En matemáticas , el grupo diédrico infinito Dih ∞ es un grupo infinito con propiedades análogas a las de los grupos diédricos finitos .
En geometría bidimensional , el grupo diédrico infinito representa la simetría del grupo del friso , p 1 m 1, visto como un conjunto infinito de reflexiones paralelas a lo largo de un eje.
Todo grupo diédrico se genera por una rotación r y una reflexión; si la rotación es un múltiplo racional de una rotación completa, entonces hay algún número entero n tal que r n es la identidad, y tenemos un grupo diédrico finito de orden 2 n . Si la rotación no es un múltiplo racional de una rotación completa, entonces no existe tal n y el grupo resultante tiene infinitos elementos y se llama Dih ∞ . tiene presentaciones
y es isomorfo a un producto semidirecto de Z y Z /2, y al producto libre Z /2 * Z /2. Es el grupo de automorfismos del gráfico que consta de un camino infinito a ambos lados. En consecuencia, es el grupo de isometría de Z (ver también grupos de simetría en una dimensión ), el grupo de permutaciones α : Z → Z que satisfacen | yo - j | = | α ( i ) − α ( j )|, para todo i', j en Z . [2]
El grupo diédrico infinito también se puede definir como el holomorfo del grupo cíclico infinito .
Un ejemplo de simetría diédrica infinita es el alias de señales de valor real.
Al muestrear una función en la frecuencia f s (intervalos 1/ f s ), las siguientes funciones producen conjuntos idénticos de muestras: {sen(2 π ( f + Nf s ) t + φ ), N = 0, ±1, ±2 , ±3, . . . }. Por lo tanto, el valor detectado de la frecuencia f es periódico , lo que da el elemento de traducción r = f s . Se dice que las funciones y sus frecuencias son alias entre sí. Observando la identidad trigonométrica:
Podemos escribir todas las frecuencias de alias como valores positivos: . Esto da el elemento de reflexión ( f ), es decir, f ↦ − f . Por ejemplo, con f = 0,6 f s y N = −1 , f + Nf s = −0,4 f s se refleja a 0,4 f s , lo que da como resultado los dos puntos negros más a la izquierda en la figura. [nota 1] Los otros dos puntos corresponden a N = −2 y N = 1 . Como muestra la figura, hay simetrías de reflexión, en 0,5 f s , f s , 1,5 f s , etc. Formalmente, el cociente bajo alias es el orbifold [0, 0,5 f s ], con una acción Z /2 en los puntos finales. (los puntos orbitales), correspondientes a la reflexión.
![{\displaystyle \sin(2\pi (f+Nf_{s})t+\varphi )={\begin{casos}+\sin(2\pi (f+Nf_{s})t+\varphi ),&f+ Nf_{s}\geq 0,\\[4pt]-\sin(2\pi |f+Nf_{s}|t-\varphi ),&f+Nf_{s}<0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542c698d95b2071bb34f356c4b5e5e846cfcb3e7)
