Representación irreducible

Tipo de grupo y representación algebraica

En matemáticas , específicamente en la teoría de representación de grupos y álgebras , una representación irreducible o irrep de una estructura algebraica es una representación distinta de cero que no tiene una subrepresentación no trivial propia , con cerrada bajo la acción de . ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\rho |_{W},W)}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$

Toda representación unitaria de dimensión finita en un espacio de Hilbert es la suma directa de representaciones irreducibles. Las representaciones irreducibles son siempre indecomponibles (es decir, no se pueden descomponer en una suma directa de representaciones), pero lo inverso puede no ser cierto; por ejemplo, la representación bidimensional de los números reales que actúan mediante matrices unipotentes triangulares superiores es indecomponible pero reducible. ${\displaystyle V}$

Historia

La teoría de la representación de grupos fue generalizada por Richard Brauer a partir de la década de 1940 para dar lugar a la teoría de la representación modular , en la que los operadores matriciales actúan sobre un espacio vectorial sobre un cuerpo de características arbitrarias , en lugar de sobre un espacio vectorial sobre el cuerpo de números reales o sobre el cuerpo de números complejos . La estructura análoga a una representación irreducible en la teoría resultante es un módulo simple . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle K}$

Descripción general

Sea una representación, es decir, un homomorfismo de un grupo donde es un espacio vectorial sobre un cuerpo . Si elegimos una base para , se puede considerar como una función (un homomorfismo) de un grupo en un conjunto de matrices invertibles y en este contexto se denomina representación matricial . Sin embargo, simplifica mucho las cosas si pensamos en el espacio sin base. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$

Un subespacio lineal se llama -invariante si para todos y todos . La co-restricción de al grupo lineal general de un subespacio -invariante se conoce como subrepresentación . Se dice que una representación es irreducible si solo tiene subrepresentaciones triviales (todas las representaciones pueden formar una subrepresentación con los subespacios -invariantes triviales, p. ej. todo el espacio vectorial , y {0} ). Si hay un subespacio invariante no trivial propio, se dice que es reducible . ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$

Notación y terminología de representaciones de grupos

Los elementos de un grupo pueden representarse mediante matrices , aunque el término "representado" tiene un significado específico y preciso en este contexto. Una representación de un grupo es una aplicación de los elementos del grupo al grupo lineal general de matrices. Como notación, sean a , b , c , ... elementos de un grupo G con el producto del grupo indicado sin ningún símbolo, por lo que ab es el producto del grupo de a y b y también es un elemento de G , y sean las representaciones indicadas por D. La representación de a se escribe como

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Por definición de representaciones de grupo, la representación de un producto de grupo se traduce en la multiplicación matricial de las representaciones:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Si e es el elemento identidad del grupo (de modo que ae = ea = a , etc.), entonces D ( e ) es una matriz identidad , o idénticamente una matriz de bloques de matrices identidad, ya que debemos tener

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

y lo mismo para todos los demás elementos del grupo. Las dos últimas afirmaciones corresponden al requisito de que D es un homomorfismo de grupo .

Representaciones reducibles e irreducibles

Una representación es reducible si contiene un subespacio G-invariante no trivial, es decir, todas las matrices pueden ponerse en forma de bloque triangular superior mediante la misma matriz invertible . En otras palabras, si hay una transformación de semejanza: ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

que asigna cada matriz de la representación a los mismos bloques triangulares superiores del patrón. Cada bloque menor de secuencia ordenada es una subrepresentación de grupo. Es decir, si la representación es, por ejemplo, de dimensión 2, entonces tenemos: $${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},}$$

donde es una subrepresentación no trivial. Si podemos encontrar una matriz que haga lo mismo, entonces no solo es reducible sino también descomponible. ${\displaystyle D^{(11)}(a)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$ ${\displaystyle D(a)}$

Nota: Incluso si una representación es reducible, su representación matricial puede no ser la forma de bloque triangular superior. Solo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz anterior a la base estándar. ${\displaystyle P^{-1}}$

Representaciones descomponibles e indescomponibles

Una representación es descomponible si todas las matrices pueden ponerse en forma diagonal por bloques mediante la misma matriz invertible . En otras palabras, si existe una transformación de semejanza : ^[1] ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

que diagonaliza cada matriz en la representación en el mismo patrón de bloques diagonales . Cada uno de estos bloques es entonces una subrepresentación de grupo independiente de los demás. Se dice que las representaciones D ( a ) y D′ ( a ) son representaciones equivalentes . ^[2] La representación ( k -dimensional, por ejemplo) se puede descomponer en una suma directa de matrices k > 1 :

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

Entonces D ( a ) es descomponible , y es habitual etiquetar las matrices descompuestas con un superíndice entre paréntesis, como en D ^{( n )} ( a ) para n = 1, 2, ..., k , aunque algunos autores simplemente escriben la etiqueta numérica sin paréntesis.

La dimensión de D ( a ) es la suma de las dimensiones de los bloques:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

Si esto no es posible, es decir k = 1 , entonces la representación es indescomponible. ^{[1] [3]}

Nota : Aunque una representación sea descomponible, su representación matricial puede no ser la forma de bloque diagonal. Solo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz anterior a la base estándar. ${\displaystyle P^{-1}}$

Conexión entre la representación irreducible y la representación indescomponible

Una representación irreducible es por naturaleza indescomponible. Sin embargo, la inversa puede fallar.

Pero bajo ciertas condiciones, tenemos una representación indecomponible que es una representación irreducible.

• Cuando el grupo es finito y tiene una representación sobre el cuerpo , entonces una representación indecomponible es una representación irreducible. ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Cuando el grupo es finito y tiene una representación sobre el cuerpo , si tenemos , entonces una representación indecomponible es una representación irreducible. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$

Ejemplos de representaciones irreducibles

Representación trivial

Todos los grupos tienen una representación trivial unidimensional e irreducible al asignar todos los elementos del grupo a la transformación de identidad. ${\displaystyle G}$

Representación unidimensional

Cualquier representación unidimensional es irreducible ya que no tiene subespacios invariantes no triviales propios.

Representaciones complejas irreducibles

Las representaciones complejas irreducibles de un grupo finito G se pueden caracterizar utilizando resultados de la teoría de caracteres . En particular, todas las representaciones complejas se descomponen como una suma directa de irreps, y el número de irreps de es igual al número de clases de conjugación de . ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

• Las representaciones complejas irreducibles de están dadas exactamente por los mapas , donde es una raíz ésima de la unidad . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$
• Sea una representación compleja -dimensional de con base . Entonces se descompone como una suma directa de los irrep y el subespacio ortogonal dado por El primer irrep es unidimensional e isomorfo a la representación trivial de . El último es dimensional y se conoce como la representación estándar de . ^[5] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$ $${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle S_{n}}$
• Sea un grupo. La representación regular de es el espacio vectorial complejo libre sobre la base de la acción de grupo , denotada Todas las representaciones irreducibles de aparecen en la descomposición de como una suma directa de irreps. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$ ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G}$

Ejemplo de una representación irreducible sobreF- p

• Sea un grupo y una representación irreducible de dimensión finita de G sobre . Por el teorema del estabilizador de órbita, la órbita de cada elemento actuado por el grupo tiene un tamaño que es una potencia de . Dado que los tamaños de todas estas órbitas suman el tamaño de , y está en una órbita de tamaño 1 que solo se contiene a sí misma, debe haber otras órbitas de tamaño 1 para que la suma coincida. Es decir, existe alguna tal que para todo . Esto obliga a que toda representación irreducible de un grupo sobre sea unidimensional. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle gv=v}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Aplicaciones en física teórica y química.

En física cuántica y química cuántica , cada conjunto de estados propios degenerados del operador hamiltoniano comprende un espacio vectorial V para una representación del grupo de simetría del hamiltoniano, un "multiplete", que se estudia mejor mediante la reducción a sus partes irreducibles. La identificación de las representaciones irreducibles permite, por tanto, etiquetar los estados, predecir cómo se dividirán bajo perturbaciones; o la transición a otros estados en V. Así, en mecánica cuántica, las representaciones irreducibles del grupo de simetría del sistema etiquetan parcial o completamente los niveles de energía del sistema, lo que permite determinar las reglas de selección . ^[6]

Grupos de mentiras

Grupo de Lorentz

Las irreps de D ( K ) y D ( J ) , donde J es el generador de rotaciones y K el generador de impulsos, se pueden utilizar para construir representaciones de espín del grupo de Lorentz, porque están relacionadas con las matrices de espín de la mecánica cuántica. Esto les permite derivar ecuaciones de onda relativistas . ^[7]

Véase también

Álgebras asociativas

• Módulo simple
• Módulo indecomponible
• Representación de un álgebra asociativa

Grupos de mentiras

• Teoría de la representación de las álgebras de Lie
• Teoría de la representación de SU(2)
• Teoría de la representación de SL2(R)
• Teoría de la representación del grupo galileano
• Teoría de la representación de los grupos difeomorfistas
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Teorema del mayor peso

Referencias

1. EP Wigner (1959). Teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de los espectros atómicos . Física pura y aplicada. Prensa académica. pág. 73.
2. WK Tung (1985). Teoría de grupos en física. World Scientific. pág. 32. ISBN 978-997-1966-560.
3. WK Tung (1985). Teoría de grupos en física. World Scientific. pág. 33. ISBN 978-997-1966-560.
4. Artin, Michael (2011). Álgebra (2.ª ed.). Pearson. pág. 295. ISBN 978-0132413770.
5. Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9.
6. Levine, Ira N. (1991). "15". Química cuántica (4.ª ed.). Prentice-Hall. pág. 457. ISBN 0-205-12770-3Cada conjunto posible de valores propios de simetría ... se denomina especie de simetría (o tipo de simetría). El término de la teoría de grupos es representación irreducible.
7. T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). "Geometría de la propagación espaciotemporal de partículas giratorias". Anales de Física . 216 (2): 226–267. Código Bibliográfico :1992AnPhy.216..226J. doi :10.1016/0003-4916(92)90176-M.

Libros

• H. Weyl (1950). La teoría de grupos y la mecánica cuántica . Courier Dover Publications. pág. 203. ISBN 978-0-486-60269-1. momentos magnéticos en la mecánica cuántica relativista.
• PR Bunker; Per Jensen (2004). Fundamentos de simetría molecular . CRC Press. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
• AD Boardman; DE O'Conner; PA Young (1973). Simetría y sus aplicaciones en la ciencia . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (2007). Teoría de grupos en mecánica cuántica: una introducción a su uso actual. Dover. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (1993). Teoría de grupos en mecánica cuántica: una introducción a su uso actual. Courier Dover Publications. ISBN 978-048-6675-855.
• E. Abers (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. pág. 425. ISBN 978-0-13-146100-0.
• BR Martin, G.Shaw (3 de diciembre de 2008). Física de partículas (3.ª ed.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. pág. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• Weinberg, S. (1995), La teoría cuántica de campos , vol. 1, Cambridge University Press, págs. 230-231, ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (1996), La teoría cuántica de campos , vol. 2, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Weinberg, S. (2000), La teoría cuántica de campos , vol. 3, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66000-6
• R. Penrose (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
• PW Atkins (1970). Mecánica cuántica molecular (partes 1 y 2): una introducción a la química cuántica . Vol. 1. Oxford University Press. Págs. 125-126. ISBN. 978-0-19-855129-4.

Artículos

• Bargmann, V.; Wigner, EP (1948). "Discusión teórica grupal de ecuaciones de onda relativistas". Proc. Natl. Sci. USA . 34 (5): 211–23. Bibcode :1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC  1079095 . PMID  16578292.
• E. Wigner (1937). "Sobre representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo" (PDF) . Anales de Matemáticas . 40 (1): 149–204. Código Bibliográfico :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. MR  1503456. S2CID  121773411. Archivado desde el original (PDF) el 2015-10-04 . Consultado el 2013-07-07 .

Lectura adicional

• Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) . Capítulo V.

Enlaces externos

• "Comisión de Cristalografía Matemática y Teórica, Escuelas de Verano sobre Cristalografía Matemática" (PDF) . 2010.
• van Beveren, Eef (2012). «Algunas notas sobre teoría de grupos» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2011-05-20 . Consultado el 2013-07-07 .
• Teleman, Constantin (2005). "Teoría de la representación" (PDF) .
• "Algunas notas sobre cuadros de Young útiles para irreps para su(n)" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2014-11-07 . Consultado el 2014-11-07 .
• Hunt (2008). "Etiquetas de simetría de representación irreducible (IR)" (PDF) .
• Dermisek, Radovan (2008). "Representaciones del grupo de Lorentz" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de noviembre de 2018. Consultado el 7 de julio de 2013 .
• Maciejko, Joseph (2007). "Representaciones de los grupos de Lorentz y Poincaré" (PDF) .
• Woit, Peter (2015). "Mecánica cuántica para matemáticos: representaciones del grupo de Lorentz" (PDF) ., véase el capítulo 40
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Guild, David; Turetsky, Emma (2009). "Representaciones del grupo de simetría del espacio-tiempo" (PDF) .
• Finley. "Álgebra de Lie para los grupos de Poincaré y Lorentz" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de junio de 2012.
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "Las representaciones unitarias del grupo de Poincaré en cualquier dimensión del espacio-tiempo". arXiv : hep-th/0611263 .
• "Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos". Answers.com .