Sector circular

Porción de un disco encerrado por dos radios y un arco.

El sector menor está sombreado en verde mientras que el sector mayor está sombreado en blanco.

Un sector circular , también conocido como sector de círculo o sector de disco o simplemente sector (símbolo: ⌔ ), es la porción de un disco (una región cerrada delimitada por un círculo) encerrada por dos radios y un arco , siendo el área más pequeña conocida como el sector menor y el más grande como el sector mayor . ^[1] En el diagrama, θ es el ángulo central , el radio del círculo y es la longitud del arco del sector menor. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$

El ángulo que se forma al unir los extremos del arco con cualquier punto de la circunferencia que no esté en el sector es igual a la mitad del ángulo central. ^[2]

Tipos

Un sector con un ángulo central de 180° se denomina semidisco y está delimitado por un diámetro y un semicírculo . A los sectores con otros ángulos centrales se les dan a veces nombres especiales, como cuadrantes (90°), sextantes (60°) y octantes (45°), que provienen de que el sector es una cuarta, sexta u octava parte de un círculo completo, respectivamente. El arco de un cuadrante (un arco circular ) también puede denominarse cuadrante.

Brújula

Una rosa de los vientos de 8 puntas

Tradicionalmente, las direcciones del viento en la rosa de los vientos se dan como uno de los 8 octantes (N, NE, E, SE, S, SO, O, NO) porque eso es más preciso que simplemente dar uno de los 4 cuadrantes, y la veleta normalmente no tiene suficiente precisión para permitir una indicación más precisa.

El nombre del instrumento " octante " proviene del hecho de que se basa en 1/8 del círculo. Los octantes más comunes se ven en la rosa de los vientos .

Área

El área total de un círculo es πr ² . El área del sector se puede obtener multiplicando el área del círculo por la relación entre el ángulo θ (expresado en radianes) y 2 π (porque el área del sector es directamente proporcional a su ángulo, y 2 π es el ángulo de todo el círculo, en radianes): $${\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$$

El área de un sector en términos de L se puede obtener multiplicando el área total π r ² por la relación de L al perímetro total 2 π r . $${\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}}$$

Otro enfoque es considerar esta área como el resultado de la siguiente integral: $${\displaystyle A=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\tilde {r}}\,d{\tilde {r}}\,d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$$

Al convertir el ángulo central en grados se obtiene ^[3] $${\displaystyle A=\pi r^{2}{\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}}$$

Perímetro

La longitud del perímetro de un sector es la suma de la longitud del arco y los dos radios: donde θ está en radianes. $${\displaystyle P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)}$$

Longitud del arco

La fórmula para la longitud de un arco es: ^[4] donde L representa la longitud del arco, r representa el radio del círculo y θ representa el ángulo en radianes que forma el arco en el centro del círculo. ^[5] $${\displaystyle L=r\theta }$$

Si el valor del ángulo se da en grados, entonces también podemos utilizar la siguiente fórmula: ^[3] $${\displaystyle L=2\pi r{\frac {\theta }{360}}}$$

Longitud del acorde

La longitud de una cuerda formada con los puntos extremos del arco está dada por donde C representa la longitud de la cuerda, R representa el radio del círculo y θ representa el ancho angular del sector en radianes. $${\displaystyle C=2R\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

Véase también

• Segmento circular : parte del sector que queda después de eliminar el triángulo formado por el centro del círculo y los dos puntos finales del arco circular en el límite.
• Sección cónica
• Cuadrante terrestre
• Sector hiperbólico
• Sector de (matemáticas)
• Sector esférico – la figura tridimensional análoga

Referencias

1. Dewan, Rajesh K. (2016). Saraswati Mathematics. Nueva Delhi: New Saraswati House India Pvt Ltd. pág. 234. ISBN 978-8173358371.
2. Achatz, Thomas; Anderson, John G. (2005). Matemáticas técnicas de taller. Kathleen McKenzie (3.ª ed.). Nueva York: Industrial Press. pág. 376. ISBN 978-0831130862.OCLC 56559272  .
3. Uppal, Shveta (2019). Matemáticas: libro de texto para décimo grado . Nueva Delhi : Consejo Nacional de Investigación y Formación Educativa . págs. 226, 227. ISBN 978-81-7450-634-4.OCLC 1145113954  .
4. Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2002). Cálculo I con precálculo (3.ª ed.). Boston, MA.: Brooks/Cole . p. 570. ISBN 978-0-8400-6833-0.OCLC 706621772  .
5. Wicks, Alan (2004). Nivel estándar de matemáticas para el Bachillerato Internacional: un texto para el nuevo programa de estudios. West Conshohocken, PA : Infinity Publishing.com. pág. 79. ISBN 0-7414-2141-0.OCLC 58869667  .

Fuentes

• Gerard, LJV, Los elementos de geometría, en ocho libros; o, primer paso en lógica aplicada (Londres, Longmans, Green, Reader y Dyer , 1874), pág. 285.
• Legendre, AM , Elementos de geometría y trigonometría , Charles Davies , ed. (Nueva York: AS Barnes & Co. , 1858), pág. 119.