Par de ángulos suplementarios en cada vértice de un polígono
Los ángulos internos (verde azulado) y externos (magenta) correspondientes de un polígono son suplementarios (la suma equivale a media vuelta). Los ángulos externos de un polígono cerrado que no se interseca siempre suman una vuelta completa.Ángulos internos y externos.
En geometría , un ángulo de un polígono está formado por dos lados adyacentes. Para un polígono simple (que no se interseca), independientemente de si es convexo o no convexo , este ángulo se llamaángulo interno (oángulo interior) si un punto dentro del ángulo está en el interior del polígono. Un polígono tiene exactamente un ángulo interno porvértice.
Si cada ángulo interno de un polígono simple es menor que un ángulo recto ( π radianes o 180°), entonces el polígono se llama convexo .
En contraste, unEl ángulo externo (también llamadoángulo de girooángulo exterior) es un ángulo formado por un lado de un polígono simple y unalínea extendida desde un lado adyacente.[1] : págs. 261–264
Propiedades
La suma del ángulo interno y el ángulo externo en un mismo vértice es π radianes (180°).
La suma de todos los ángulos internos de un polígono simple es π( n −2) radianes o 180( n –2) grados, donde n es el número de lados. La fórmula se puede demostrar mediante inducción matemática : comenzando con un triángulo, cuya suma de ángulos es 180°, luego reemplazando un lado con dos lados conectados en otro vértice, y así sucesivamente.
La suma de los ángulos externos de cualquier polígono simple convexo o no convexo, si se supone solo uno de los dos ángulos externos en cada vértice, es 2π radianes (360°).
La medida del ángulo exterior en un vértice no se ve afectada por el lado que se extiende: los dos ángulos exteriores que se pueden formar en un vértice extendiendo alternativamente un lado u otro son ángulos verticales y, por lo tanto, son iguales.
Extensión a polígonos cruzados
El concepto de ángulo interior se puede extender de manera consistente a polígonos cruzados , como los polígonos en estrella, utilizando el concepto de ángulos dirigidos. En general, la suma de los ángulos interiores en grados de cualquier polígono cerrado, incluidos los cruzados (que se intersecan a sí mismos), viene dada por 180( n –2 k )°, donde n es el número de vértices y el entero estrictamente positivo k es el número de revoluciones totales (360°) que uno realiza al caminar alrededor del perímetro del polígono. En otras palabras, la suma de todos los ángulos exteriores es 2π k radianes o 360 k grados. Ejemplo: para polígonos convexos y cóncavos ordinarios , k = 1, ya que la suma de los ángulos exteriores es 360°, y uno realiza sólo una revolución completa al caminar alrededor del perímetro.
Suma de ángulos interiores de polígonos: una fórmula general: proporciona una actividad Java interactiva que extiende la fórmula de suma de ángulos interiores para polígonos cerrados simples para incluir polígonos cruzados (complejos).
