Constante de Euler

Diferencia entre series logarítmicas y armónicas

Valor constante utilizado en matemáticas

El área de la región azul converge a la constante de Euler.

La constante de Euler (a veces llamada constante de Euler-Mascheroni ) es una constante matemática , usualmente denotada por la letra griega minúscula gamma ( γ ), definida como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural , denotado aquí por log :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$$

Aquí, ⌊·⌋ representa la función de piso .

El valor numérico de la constante de Euler, con 50 decimales, es: ^[1]

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ... 

Historia

La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler , titulado De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler utilizó las notaciones C y O para la constante. En 1790, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni utilizó las notaciones A y a para la constante. La notación γ no aparece en ninguna parte de los escritos de Euler o Mascheroni, y fue elegida en un momento posterior, tal vez debido a la conexión de la constante con la función gamma . ^[2] Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider utilizó la notación γ en 1835, ^[3] y Augustus De Morgan la utilizó en un libro de texto publicado en partes desde 1836 hasta 1842. ^[4]

Apariciones

La constante de Euler aparece, entre otros lugares, en los siguientes (donde '*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita):

• Expresiones que involucran la integral exponencial *
• La transformada de Laplace * del logaritmo natural
• El primer término de la expansión de la serie de Laurent para la función zeta de Riemann *, donde es la primera de las constantes de Stieltjes *
• Cálculos de la función digamma
• Una fórmula de producto para la función gamma
• La expansión asintótica de la función gamma para argumentos pequeños.
• Una desigualdad para la función totiente de Euler
• La tasa de crecimiento de la función divisor
• Regularización dimensional de los diagramas de Feynman en la teoría cuántica de campos
• El cálculo de la constante de Meissel-Mertens.
• El tercero de los teoremas de Mertens *
• Solución de segundo tipo a la ecuación de Bessel
• En la regularización/ renormalización de la serie armónica como valor finito
• La media de la distribución de Gumbel
• La entropía de información de las distribuciones de Weibull y Lévy y, implícitamente, de la distribución chi-cuadrado para uno o dos grados de libertad.
• La respuesta al problema del coleccionista de cupones *
• En algunas formulaciones de la ley de Zipf
• Una definición de la integral del coseno *
• Límites inferiores de una brecha principal
• Un límite superior para la entropía de Shannon en la teoría de la información cuántica ^[5]
• Modelo de Fisher-Orr para la genética de la adaptación en biología evolutiva ^[6]
• Teoría de superconductividad de Bardeen-Cooper-Schrieffer ( teoría BCS ), donde aparece como prefactor en la ecuación BCS sobre la temperatura crítica. ${\displaystyle 2e^{\gamma }/\pi =1.134}$
• Una formulación de la hipótesis de Riemann . ^{[7] [8]}

Propiedades

No se ha demostrado que el número γ sea algebraico o trascendental . De hecho, ni siquiera se sabe si γ es irracional . La ubicuidad de γ revelada por la gran cantidad de ecuaciones que se presentan a continuación y el hecho de que γ haya sido considerada la tercera constante matemática más importante después de π y e ^{[9] [10]} hace que la irracionalidad de γ sea una cuestión abierta de gran importancia en matemáticas. ^{[11] [12] [13]}

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Es irracional la constante de Euler? Si es así, ¿es trascendental?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Sin embargo, se han logrado algunos avances. En 1959, Andrei Shidlovsky demostró que al menos una de las constantes de Euler γ y la constante de Gompertz δ es irracional; ^{[14] [7]} Tanguy Rivoal demostró en 2012 que al menos una de ellas es trascendental. ^[15] También se sabe que al menos una de γ y e ^γ es trascendental. ^[7] Kurt Mahler demostró en 1968 que el número es trascendental ( siendo y funciones de Bessel ). ^{[16] [2]} Se sabe que el grado de trascendencia del cuerpo es al menos dos. ^[2] En 2010, M. Ram Murty y N. Saradha demostraron que, como máximo, una de las constantes de Euler-Lehmer, ai, los números de la forma ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (e,\gamma ,\delta )}$

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}\right)}$$

con q ≥ 2 y 1 ≤ a < q es algebraica; esta familia incluye el caso especial γ (2,4) = ⁠gamma/4⁠ . ^{[2] [17]} En 2013, M. Ram Murty y A. Zaytseva encontraron una familia diferente que contiene γ , que se basa en sumas de recíprocos de números enteros no divisibles por una lista fija de primos, con la misma propiedad. ^{[2] [18]}

Utilizando un análisis de fracciones continuas , Papanikolaou demostró en 1997 que si γ es racional , su denominador debe ser mayor que 10 ^{244663. [19] [20]} Si e γ ^es un número racional, entonces su denominador debe ser mayor que 10 ^{15000. [2} ]

Se conjetura que la constante de Euler no es un período algebraico , ^[2] pero los valores de sus primeros 10 ⁹ dígitos decimales parecen indicar que podría ser un número normal . ^[21]

Fórmulas e identidades

Relación con la función gamma

γ está relacionada con la función digamma Ψ , y por lo tanto con la derivada de la función gamma Γ , cuando ambas funciones se evalúan en 1. Por lo tanto:

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$$

Esto es igual a los límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

Otros resultados límite son: ^[22]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Un límite relacionado con la función beta (expresado en términos de funciones gamma ) es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

Relación con la función zeta

γ también puede expresarse como una suma infinita cuyos términos involucran la función zeta de Riemann evaluada en números enteros positivos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$La constante también puede expresarse en términos de la suma de los recíprocos de ceros no triviales de la función zeta: ^[23] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2}$

Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

El término de error en la última ecuación es una función de n que disminuye rápidamente . Como resultado, la fórmula es adecuada para el cálculo eficiente de la constante con alta precisión.

Otros límites interesantes que son iguales a la constante de Euler son el límite antisimétrico: ^[24]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

y la siguiente fórmula, establecida en 1898 por de la Vallée-Poussin :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

donde ⌈ ⌉ son los soportes del techo . Esta fórmula indica que al tomar cualquier entero positivo n y dividirlo por cada entero positivo k menor que n , la fracción promedio por la cual el cociente n / k se queda corto respecto del siguiente entero tiende a γ (en lugar de 0,5) a medida que n tiende a infinito.

La expresión de la serie zeta racional está estrechamente relacionada con esto . Al tomar por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

donde ζ ( s , k ) es la función zeta de Hurwitz . La suma en esta ecuación involucra los números armónicos , H _n . Desarrollando algunos de los términos en la función zeta de Hurwitz se obtiene:

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$donde 0 < ε < ⁠1/252 número ⁶⁠ .

γ también se puede expresar de la siguiente manera, donde A es la constante de Glaisher-Kinkelin :

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

γ también se puede expresar de la siguiente manera, lo que se puede demostrar expresando la función zeta como una serie de Laurent :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$$

Relación con los números triangulares

Se han derivado numerosas formulaciones que expresan en términos de sumas y logaritmos de números triangulares . ^{[25] [26] [27] [28]} Una de las primeras de ellas es una fórmula ^{[29] [30]} para el ésimo número armónico atribuido a Srinivasa Ramanujan donde se relaciona con en una serie que considera las potencias de (una prueba anterior, menos generalizable ^{[31] [32]} de Ernesto Cesàro da los dos primeros términos de la serie, con un término de error): ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle \ln 2T_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\ln 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}}$

De la aproximación de Stirling ^{[25] [33]} se desprende una serie similar:

${\displaystyle \gamma =\ln 2\pi -\sum _{k=2}^{n}{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}}$

La serie de números triangulares inversos también aparece en el estudio del problema de Basilea ^{[34] [35]} planteado por Pietro Mengoli . Mengoli demostró que , un resultado que Jacob Bernoulli utilizó más tarde para estimar el valor de , ubicándolo entre y . Esta identidad aparece en una fórmula utilizada por Bernhard Riemann para calcular raíces de la función zeta , ^[36] donde se expresa en términos de la suma de raíces más la diferencia entre la expansión de Boya y la serie de fracciones unitarias exactas : ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1}$ ${\displaystyle \zeta (2)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle \gamma -\ln 2=\ln 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

Integrales

γ es igual al valor de un número de integrales definidas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\log {\frac {\pi }{4}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\cosh ^{2}x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}}$$donde H _x es el número armónico fraccionario , y es la parte fraccionaria de . ${\displaystyle \{1/x\}}$ ${\displaystyle 1/x}$

La tercera fórmula de la lista integral se puede demostrar de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

La integral en la segunda línea de la ecuación representa el valor de la función de Debye de +∞ , que es m ! ζ ( m + 1) .

Las integrales definidas en las que aparece γ incluyen: ^{[12] [37]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\\\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}\log x}{e^{x}+1}}\,dx&={\frac {1}{2}}\log ^{2}2-\gamma \end{aligned}}}$$

Se puede expresar γ utilizando un caso especial de la fórmula de Hadjicostas como una integral doble ^{[13] [38]} con series equivalentes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

Una comparación interesante de Sondow ^[38] es la serie doble integral y alternada

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Se muestra que el registro4/π⁠ puede considerarse como una "constante de Euler alterna".

Las dos constantes también están relacionadas por el par de series ^[39]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

donde N ₁ ( n ) y N ₀ ( n ) son el número de 1 y 0, respectivamente, en la expansión de base 2 de n .

También tenemos la integral catalana de 1875 ^[40]

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

Expansiones de la serie

En general,

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

para cualquier α > − n . Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de α . En particular, γ _n (1/2) exhibe una convergencia mucho más rápida que la expansión convencional γ _n (0) . ^{[41] [42]} Esto se debe a que

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

mientras

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

Aun así, existen otras expansiones de series que convergen más rápidamente que ésta; algunas de ellas se analizan a continuación.

Euler demostró que la siguiente serie infinita tiende a γ : $${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

La serie para γ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897: ^{[22] [43]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada ^{[44] [45] [46] [47] [48] [22] [49]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

donde log ₂ es el logaritmo en base 2 y ⌊  ⌋ es la función piso .

Esto se puede generalizar a: ^[50]

$${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left\lfloor \log _{B}k\right\rfloor }{k}}\varepsilon (k)}$$dónde: $${\displaystyle \varepsilon (k)={\begin{cases}B-1,&{\text{if }}B\mid n\\-1,&{\text{if }}B\nmid n\end{cases}}}$$

En 1926 Vacca fundó una segunda serie:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

De la expansión de Malmsten - Kummer para el logaritmo de la función gamma ^[37] obtenemos:

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

Ramanujan, en su cuaderno perdido, dio una serie que se aproxima a γ ^[51] :

$${\displaystyle \gamma =\log 2-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k={\frac {3^{n-1}+1}{2}}}^{\frac {3^{n}-1}{2}}{\frac {2n}{(3k)^{3}-3k}}}$$

Una importante expansión de la constante de Euler se debe a Fontana y Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$donde G _n son los coeficientes de Gregory . ^{[22] [49] [52]} Esta serie es el caso especial k = 1 de las expansiones

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

convergente para k = 1, 2, ...

Una serie similar con los números de Cauchy del segundo tipo C _n es ^{[49] [53]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$

Blagouchine (2018) encontró una generalización interesante de la serie Fontana-Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$$

donde ψ _n ( a ) son los polinomios de Bernoulli de segundo tipo , que están definidos por la función generadora

$${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}$$

Para cualquier racional a, esta serie contiene solo términos racionales. Por ejemplo, en a = 1 , se convierte en ^{[54] [55]}

$${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$$Otras series con los mismos polinomios incluyen estos ejemplos:

$${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$

y

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$$

donde Γ( a ) es la función gamma . ^[52]

Una serie relacionada con el algoritmo Akiyama-Tanigawa es

$${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$$

donde G _n (2) son los coeficientes de Gregory de segundo orden. ^[52]

Como una serie de números primos :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$$

Expansiones asintóticas

γ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H _n es el n -ésimo número armónico ):

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$( Euler )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$( Negocio )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( Cesáro )

La tercera fórmula también se llama expansión de Ramanujan.

Alabdulmohsin derivó expresiones de forma cerrada para las sumas de errores de estas aproximaciones. ^[53] Demostró que (Teorema A.1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}$$

Exponencial

La constante e ^γ es importante en la teoría de números. Su valor numérico es: ^[56]

1.78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

e ^γ es igual al siguiente límite , donde p _n es el n- ésimo número primo :

$${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$$

Esto reafirma el tercero de los teoremas de Mertens . ^[57]

Además tenemos el siguiente producto que involucra las tres constantes e , π y γ : ^[58]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6e^{\gamma }}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}+1}}.}$$

Otros productos infinitos relacionados con e ^γ incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$$

Estos productos son resultado de la función G de Barnes .

Además,

$${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$$

donde el factor n- ésimo es la raíz ( n + 1) -ésima de

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$$

Este producto infinito, descubierto por primera vez por Ser en 1926, fue redescubierto por Sondow utilizando funciones hipergeométricas . ^[59]

También sostiene que ^[60]

$${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$$

Fracción continua

La expansión fraccionaria continua simple de la constante de Euler está dada por: ^[61]

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

que no tiene un patrón aparente . Se sabe que tiene al menos 16.695.000.000 términos, ^[61] y tiene infinitos términos si y solo si γ es irracional.

Una buena aproximación simple está dada por el recíproco de la raíz cuadrada de 3 o aproximadamente 0,57735: ^[62]

${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

la diferencia es de aproximadamente 1 en 7.429.

La evidencia numérica sugiere que tanto la constante de Euler γ como la constante e ^γ se encuentran entre los números para los cuales la media geométrica de sus términos de fracción continua converge a la constante de Khinchin . De manera similar, cuando son los convergentes de sus respectivas fracciones continuas, en ambos casos el límite parece converger a la constante de Lévy . ^[63] Sin embargo, ninguno de estos límites ha sido probado. ^[64] ${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }q_{n}^{1/n}}$

Generalizaciones

Constantes de Stieltjes

Constantes generalizadas de Euler abm( - ${\displaystyle \alpha }$ ) para α > 0 .

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right)}$$

para 0 < α < 1 , con γ como el caso especial α = 1 . ^[65] Extendiendo para α > 1 se obtiene:

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\zeta (\alpha )-{\frac {1}{\alpha -1}}}$$

con de nuevo el límite:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$$

Esto se puede generalizar aún más a

$${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$$

para alguna función decreciente arbitraria f . Ajuste

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$$

da lugar a las constantes de Stieltjes , que aparecen en la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann : ${\displaystyle \gamma _{n}}$

${\displaystyle \zeta (1+s)={\frac {1}{s}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}s^{n}.}$

con ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577\dots }$

Constantes de Euler-Lehmer

Las constantes de Euler-Lehmer se dan mediante la suma de las inversas de los números en una clase de módulo común: ^[17]

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$$

Las propiedades básicas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$$

y si el máximo común divisor mcd( a , q ) = d entonces

$${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$$

Constante de Masser-Gramain

Una generalización bidimensional de la constante de Euler es la constante de Masser-Gramain . Se define como la siguiente diferencia límite: ^[66]

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{\pi r_{k}^{2}}}\right)}$

donde es el radio más pequeño de un disco en el plano complejo que contiene al menos números enteros gaussianos . ${\displaystyle r_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Se han establecido los siguientes límites: . ^[67] ${\displaystyle 1.819776<\delta <1.819833}$

Dígitos publicados

Euler calculó inicialmente el valor de la constante con 6 decimales. En 1781, lo calculó con 16 decimales. Mascheroni intentó calcular la constante con 32 decimales, pero cometió errores en los decimales 20.º, 22.º y 31.º y 32.º; a partir del dígito 20, calculó... 181 12090082 39 cuando el valor correcto es... 065 12090082 40 .

Véase también

• Serie armónica
• Función zeta de Riemann
• Constantes de Stieltjes
• Constante de Meissel-Mertens

Referencias

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• Sondow, Jonathan (2002). "Un enfoque hipergeométrico, a través de formas lineales que involucran logaritmos, para los criterios de irracionalidad de la constante de Euler". Mathematica Slovaca . 59 : 307–314. arXiv : math.NT/0211075 . Bibcode :2002math.....11075S. doi :10.2478/s12175-009-0127-2. S2CID  16340929.con un apéndice de Sergey Zlobin

Enlaces externos

• "Constante de Euler". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Constante de Euler-Mascheroni". MundoMatemático .
• Jonathan Sondow-Sondow, Nueva York, EE. UU.
• Algoritmos rápidos y el método FEE, EA Karatsuba (2005)
• Otras fórmulas que utilizan la constante: Gourdon y Sebah (2004).