Álgebra

rama de las matemáticas

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas y la manipulación de enunciados dentro de esas estructuras. Es una generalización de la aritmética que introduce variables y operaciones algebraicas distintas de las operaciones aritméticas estándar, como la suma y la multiplicación .

El álgebra elemental es la forma principal de álgebra que se enseña en la escuela y examina enunciados matemáticos utilizando variables para valores no especificados. Busca determinar para qué valores las afirmaciones son verdaderas. Para ello, utiliza diferentes métodos de transformación de ecuaciones para aislar variables. El álgebra lineal es un campo estrechamente relacionado que investiga las variables que aparecen en varias ecuaciones lineales , los llamados sistemas de ecuaciones lineales . Intenta descubrir los valores que resuelven todas las ecuaciones al mismo tiempo.

El álgebra abstracta estudia estructuras algebraicas, que constan de un conjunto de objetos matemáticos junto con una o varias operaciones binarias definidas en ese conjunto. Es una generalización del álgebra elemental y lineal ya que permite objetos matemáticos distintos de los números y operaciones no aritméticas. Distingue entre diferentes tipos de estructuras algebraicas, como grupos , anillos y campos , según el número de operaciones que utilizan y las leyes que siguen . El álgebra universal constituye un nivel adicional de generalización que no se limita a operaciones binarias e investiga patrones más abstractos que caracterizan diferentes clases de estructuras algebraicas.

Los métodos algebraicos se estudiaron por primera vez en la antigüedad para resolver problemas específicos en campos como la geometría . Los matemáticos posteriores examinaron técnicas generales para resolver ecuaciones independientemente de sus aplicaciones específicas. Describieron ecuaciones y sus soluciones utilizando palabras y abreviaturas hasta los siglos XVI y XVII, cuando se desarrolló un formalismo simbólico riguroso. A mediados del siglo XIX, el alcance del álgebra se amplió más allá de una teoría de ecuaciones para cubrir diversos tipos de operaciones algebraicas y estructuras algebraicas. El álgebra es relevante para muchas ramas de las matemáticas, como la geometría, la topología , la teoría de números y el cálculo , y otros campos de investigación, como la lógica y las ciencias empíricas .

Definición y etimología

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las operaciones algebraicas ^[a] y las estructuras algebraicas . ^{[2] Una estructura algebraica es un} conjunto no vacío de objetos matemáticos , como los números reales , junto con operaciones algebraicas definidas en ese conjunto, como la suma y la multiplicación . ^[3] Álgebra explora las leyes, las características generales y los tipos de estructuras algebraicas. Dentro de ciertas estructuras algebraicas, estudia el uso de variables en ecuaciones y cómo manipular estas ecuaciones. ^{[4] [b]}

El álgebra suele entenderse como una generalización de la aritmética . ^[8] La aritmética estudia operaciones aritméticas, como suma, resta , multiplicación y división , en un dominio específico de números, como los números reales. ^[9] El álgebra elemental constituye el primer nivel de abstracción. Al igual que la aritmética, se limita a tipos específicos de números y operaciones. Generaliza estas operaciones al permitir cantidades indefinidas en forma de variables además de números. ^[10] Se logra un mayor nivel de abstracción en el álgebra abstracta, que no se limita a un dominio específico y estudia diferentes clases de estructuras algebraicas, como grupos y anillos . Estas estructuras algebraicas no se limitan a operaciones aritméticas típicas y cubren otras operaciones binarias además de ellas. ^[11] El álgebra universal es aún más abstracta en el sentido de que no se limita a operaciones binarias ni se interesa en clases específicas de estructuras algebraicas, sino que investiga las características de las estructuras algebraicas en general. ^[12]

La palabra álgebra proviene del título del libro de al-Khwarizmi, Al-Jabr . ^[13]

El término "álgebra" se utiliza a veces en un sentido más estricto para referirse únicamente al álgebra elemental o únicamente al álgebra abstracta. ^[14] Cuando se usa como sustantivo contable, un álgebra es un tipo específico de estructura algebraica que involucra un espacio vectorial equipado con un cierto tipo de operación binaria . ^[15] Dependiendo del contexto, "álgebra" también puede referirse a otras estructuras algebraicas, como un álgebra de Lie o un álgebra asociativa . ^[dieciséis]

La palabra álgebra proviene del término árabe الجبر ( al-jabr ), que originalmente se refería al tratamiento quirúrgico de la fijación de huesos . En el siglo IX, el término recibió un significado matemático cuando el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi lo empleó para describir un método de resolución de ecuaciones y lo utilizó como título de un tratado de álgebra, también conocido con el nombre de El Libro Compendioso. sobre Cálculo por Terminación y Equilibrio . La palabra entró en el idioma inglés en el siglo XVI procedente del italiano , el español y el latín medieval . ^[17] Inicialmente, el significado del término estaba restringido a la teoría de ecuaciones , es decir, al arte de manipular ecuaciones polinómicas con vistas a resolverlas. Esto cambió en el transcurso del siglo XIX ^[c] cuando el alcance del álgebra se amplió para cubrir el estudio de diversos tipos de operaciones algebraicas y estructuras algebraicas junto con sus axiomas subyacentes. ^[20]

Ramas principales

Álgebra elemental

Notación de expresión algebraica:
  1 – potencia (exponente)
  2 – coeficiente
  3 – término
  4 – operador
  5 – término constante – variables/constantes
  ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c}$

El álgebra elemental, también conocida como álgebra escolar, álgebra universitaria y álgebra clásica, ^[21] es la forma más antigua y básica de álgebra. Es una generalización de la aritmética que se basa en el uso de variables y examina cómo se pueden transformar los enunciados matemáticos. ^[22]

La aritmética es el estudio de operaciones numéricas e investiga cómo se combinan y transforman los números usando las operaciones aritméticas de suma , resta , multiplicación , división , exponenciación , extracción de raíces y logaritmo . Por ejemplo, la operación de suma combina dos números, llamados sumandos, en un tercer número, llamado suma, como en . ^[9] ${\displaystyle 2+5=7}$

El álgebra elemental se basa en las mismas operaciones y permite variables además de números regulares. Las variables son símbolos de cantidades desconocidas o no especificadas. Permiten enunciar relaciones cuyos valores exactos no se conocen y expresar leyes generales que son verdaderas, independientemente de los números que se utilicen. Por ejemplo, la ecuación pertenece a la aritmética y expresa una igualdad sólo para estos números específicos. Al reemplazar los números con variables, es posible expresar una ley general que se aplica a cualquier combinación posible de números, como la propiedad conmutativa de la multiplicación , que se expresa en la ecuación . ^[22] ${\displaystyle 2\times 3=3\times 2}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$

Las expresiones algebraicas se forman mediante el uso de operaciones aritméticas para combinar variables y números. Por convención, las letras minúsculas y representan variables. En algunos casos, se agregan subíndices para distinguir variables, como en , y . Las letras minúsculas , y normalmente se utilizan para constantes y coeficientes . ^[d] Por ejemplo, la expresión es una expresión algebraica creada multiplicando el número 5 con la variable y sumando el número 3 al resultado. Otros ejemplos de expresiones algebraicas son y . ^[23] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 5x+3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 32xyz}$ ${\displaystyle 64x_{1}^{2}+7x_{2}-13}$

Las expresiones algebraicas se utilizan para construir declaraciones que relacionan dos expresiones entre sí. Una ecuación es una declaración formada al comparar dos expresiones con un signo igual ( ), como en . Las inecuaciones se forman con símbolos como el signo menor que ( ), el signo mayor que ( ) y el signo de desigualdad ( ). A diferencia de las meras expresiones, las afirmaciones pueden ser verdaderas o falsas y su valor de verdad suele depender de los valores de las variables. Por ejemplo, la afirmación es verdadera si es 2 o −2 y falsa en caso contrario. ^[24] Las ecuaciones con variables se pueden dividir en ecuaciones identidad y ecuaciones condicionales. Las ecuaciones de identidad son verdaderas para todos los valores que se pueden asignar a las variables, como la ecuación . Las ecuaciones condicionales sólo son verdaderas para algunos valores. Por ejemplo, la ecuación sólo es verdadera si es 5. ^[25] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 5x^{2}+6x=3y+4}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle \neq }$ ${\displaystyle x^{2}=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x+5x=7x}$ ${\displaystyle x+4=9}$ ${\displaystyle x}$

El principal objetivo del álgebra elemental es determinar para qué valores un enunciado es verdadero. Para lograrlo se utilizan técnicas para transformar y manipular declaraciones. Un principio clave que guía este proceso es que cualquier operación que se aplique a un lado de una ecuación también debe realizarse en el otro lado de la ecuación. Por ejemplo, si uno resta 5 del lado izquierdo de una ecuación, también necesita restar 5 del lado derecho de la ecuación para equilibrar ambos lados. El objetivo de estos pasos suele ser aislar la variable que nos interesa de un lado, un proceso conocido como resolución de la ecuación de esa variable. Por ejemplo, la ecuación se puede resolver sumando 7 a ambos lados, lo que despeja en el lado izquierdo y da como resultado la ecuación . ^[26] ${\displaystyle x-7=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=11}$

Hay muchas otras técnicas que se utilizan para resolver ecuaciones. La simplificación se emplea para reemplazar una expresión complicada por una equivalente más simple. Por ejemplo, la expresión se puede reemplazar con la expresión . ^[27] La ​​factorización se utiliza para reescribir una expresión como producto de varios factores. Esta técnica es común en polinomios ^[e] para determinar para qué valores la expresión es cero . Por ejemplo, el polinomio se puede factorizar como . El polinomio en su conjunto es cero si y sólo si uno de sus factores es cero, es decir, si es −2 o 5. ^[29] Para declaraciones con varias variables, la sustitución es una técnica común para reemplazar una variable con una expresión equivalente. que no utiliza esta variable. Por ejemplo, si se sabe eso , se puede simplificar la expresión para llegar a . De manera similar, si uno conoce el valor exacto de una variable, puede usarlo para determinar el valor de otras variables. ^[30] ${\displaystyle 7x-3x}$ ${\displaystyle 4x}$ ${\displaystyle x^{2}-3x-10}$ ${\displaystyle (x+2)(x-5)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=3x}$ ${\displaystyle 7xy}$ ${\displaystyle 21x^{2}}$

Las ecuaciones algebraicas se pueden utilizar para describir figuras geométricas. Todos los valores de y que resuelven la ecuación se interpretan como puntos y se dibujan como una línea roja. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

El álgebra elemental tiene aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, las ciencias, los negocios y la vida cotidiana. ^[31] Una aplicación importante en el campo de la geometría se refiere al uso de ecuaciones algebraicas para describir figuras geométricas en forma de gráfico . Para ello, las diferentes variables de la ecuación se interpretan como coordenadas y los valores que resuelven la ecuación se interpretan como puntos de la gráfica. Por ejemplo, si se establece en cero en la ecuación, entonces tiene que ser −1 para que la ecuación sea verdadera. Esto significa que el par - es parte de la gráfica de la ecuación. El par - , por el contrario, no resuelve la ecuación y, por lo tanto, no forma parte de la gráfica. La gráfica abarca la totalidad de todos los pares que resuelven la ecuación. ^[32] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=0.5x-1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (0,7)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Álgebra lineal

El álgebra lineal emplea los métodos del álgebra elemental para estudiar sistemas de ecuaciones lineales . ^[33] Una ecuación es lineal si ninguna variable se multiplica por otra variable y no se aplican operaciones como exponenciación , extracción de raíces y logaritmo a las variables. Por ejemplo, las ecuaciones y son lineales mientras que las ecuaciones y son no lineales . Varias ecuaciones forman un sistema de ecuaciones si todas dependen del mismo conjunto de variables. ^[34] ${\displaystyle 0.25x-4=y}$ ${\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0}$ ${\displaystyle x^{2}=y}$ ${\displaystyle 3x_{1}x_{2}+15=0}$

Los sistemas de ecuaciones lineales suelen expresarse mediante matrices ^[f] y vectores ^[g] para representar todo el sistema en una sola ecuación. Esto se puede hacer moviendo las variables al lado izquierdo de cada ecuación y moviendo los términos constantes al lado derecho. Luego, el sistema se expresa formulando una matriz que contiene todos los coeficientes de las ecuaciones y multiplicándola por el vector columna formado por las variables. ^[35] Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

(a) ${\displaystyle 9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}=0}$

(b) ${\displaystyle 2.3x_{1}+7x_{3}=9}$

(C) ${\displaystyle -5x_{1}-17x_{2}=-3}$

Se puede escribir como

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}}$$

Al igual que el álgebra elemental, el álgebra lineal está interesada en manipular y transformar ecuaciones para resolverlas. Va más allá del álgebra elemental al tratar varias ecuaciones a la vez y buscar los valores para los cuales todas las ecuaciones son verdaderas al mismo tiempo. Por ejemplo, si el sistema está formado por dos ecuaciones y luego usa los valores 1 y 3 para y no resuelve el sistema de ecuaciones porque solo resuelve la primera pero no la segunda ecuación. ^[36] ${\displaystyle 3x_{1}-x_{2}=0}$ ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=8}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Dos preguntas centrales en álgebra lineal son si un sistema de ecuaciones tiene alguna solución y, de ser así, si tiene una solución única. Un sistema de ecuaciones que tiene soluciones se llama consistente . Este es el caso si las ecuaciones no se contradicen entre sí. Si dos o más ecuaciones se contradicen, el sistema de ecuaciones es inconsistente y no tiene soluciones. Por ejemplo, las ecuaciones y se contradicen entre sí ya que no existen valores de y que resuelvan ambas ecuaciones al mismo tiempo. ^[37] ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=0}$ ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=7}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Que un sistema consistente de ecuaciones tenga una solución única depende del número de variables y del número de ecuaciones independientes . Varias ecuaciones son independientes entre sí si no proporcionan la misma información y no pueden derivarse unas de otras. Existe una solución única si el número de variables es el mismo que el número de ecuaciones independientes. Los sistemas indeterminados , por el contrario, tienen más variables que ecuaciones y tienen un número infinito de soluciones si son consistentes. ^[38]

Las ecuaciones lineales con dos variables se pueden interpretar geométricamente como líneas. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es donde se cruzan las rectas.

Muchas de las técnicas empleadas en álgebra elemental para resolver ecuaciones también se aplican en álgebra lineal. El método de sustitución comienza con una ecuación y aísla una variable en ella. Continúa con la siguiente ecuación y reemplaza la variable aislada con la expresión encontrada, reduciendo así el número de variables desconocidas en uno. Se aplica el mismo proceso nuevamente a esta y a las ecuaciones restantes hasta que se determinen los valores de todas las variables. ^[39] El método de eliminación crea una nueva ecuación sumando una ecuación a otra ecuación. De esta forma, es posible eliminar una variable que aparece en ambas ecuaciones. Para un sistema que contiene las ecuaciones y , es posible eliminar sumando la primera a la segunda ecuación, revelando así que es 13. En algunos casos, la ecuación debe multiplicarse por una constante antes de sumarla a otra ecuación. ^[40] Muchas técnicas avanzadas implementan algoritmos basados ​​en cálculos matriciales, como la regla de Cramer , la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición LU . ^[41] ${\displaystyle -x+7y=3}$ ${\displaystyle 2x-7y=10}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

A nivel geométrico, los sistemas de ecuaciones se pueden interpretar como figuras geométricas. Para sistemas que tienen dos variables, cada ecuación representa una línea en el espacio bidimensional . El punto donde se cruzan las dos rectas es la solución. Para sistemas inconsistentes, las dos líneas corren paralelas, lo que significa que no hay solución ya que nunca se cruzan. Si dos ecuaciones no son independientes, entonces describen la misma recta, lo que significa que cada solución de una ecuación es también una solución de la otra ecuación. Estas relaciones permiten buscar soluciones gráficamente trazando las ecuaciones y determinando dónde se cruzan. ^[42] Los mismos principios también se aplican a sistemas de ecuaciones con más variables, con la diferencia de que las ecuaciones no describen líneas sino figuras de dimensiones superiores. Por ejemplo, las ecuaciones con tres variables corresponden a planos en el espacio tridimensional y los puntos donde todos los planos se cruzan resuelven el sistema de ecuaciones. ^[43]

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta, también llamada álgebra moderna, ^[44] estudia diferentes tipos de estructuras algebraicas . Una estructura algebraica es un marco para comprender operaciones con objetos matemáticos , como la suma de números. Mientras que el álgebra elemental y el álgebra lineal funcionan dentro de los límites de estructuras algebraicas particulares, el álgebra abstracta adopta un enfoque más general que compara en qué se diferencian las estructuras algebraicas entre sí y qué tipos de estructuras algebraicas existen, como grupos , anillos y campos . ^[45]

Muchas estructuras algebraicas se basan en operaciones binarias, que toman dos objetos como entrada y los combinan en un solo objeto como salida, como lo hacen la suma y la multiplicación.

A nivel formal, una estructura algebraica es un conjunto ^[h] de objetos matemáticos, llamado conjunto subyacente, junto con una o varias operaciones. ^[i] El álgebra abstracta generalmente se restringe a operaciones binarias ^[j] que toman dos objetos cualesquiera del conjunto subyacente como entradas y los asignan a otro objeto de este conjunto como salida. ^[49] Por ejemplo, la estructura algebraica tiene los números naturales como conjunto subyacente y la suma como operación binaria. ^[47] El conjunto subyacente puede contener objetos matemáticos distintos de números y las operaciones no se limitan a operaciones aritméticas regulares. ^[50] Por ejemplo, el conjunto subyacente del grupo de simetría de un objeto geométrico se compone de transformaciones geométricas , como rotaciones , bajo las cuales el objeto permanece sin cambios . Su operación binaria es la composición de funciones , que toma dos transformaciones como entrada y tiene como salida la transformación resultante de aplicar la primera transformación seguida de la segunda. ^[51] ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$

El álgebra abstracta clasifica las estructuras algebraicas en función de las leyes o axiomas que obedecen sus operaciones y el número de operaciones que utiliza. Uno de los tipos más básicos es un grupo, que tiene una operación y requiere que esta operación sea asociativa y tenga un elemento identidad y elementos inversos . Una operación ^[k] es asociativa si no importa el orden de varias aplicaciones, es decir, si es el mismo que para todos los elementos. Una operación tiene un elemento identidad o un elemento neutral si existe un elemento e que no cambia el valor de ningún otro elemento, es decir, si . Una operación admite elementos inversos si para algún elemento existe un elemento recíproco que invierte sus efectos. Si un elemento está vinculado a su inverso, entonces el resultado es el elemento neutro e , expresado formalmente como . Toda estructura algebraica que cumple estos requisitos es un grupo. ^[52] Por ejemplo, es un grupo formado por el conjunto de números enteros junto con la operación de suma. El elemento neutro es 0 y el elemento inverso de cualquier número es . ^[53] Los números naturales, por el contrario, no forman un grupo ya que contienen sólo números positivos y, por tanto, carecen de elementos inversos. ^[54] La teoría de grupos es la subdisciplina de los grupos de estudio de álgebra abstracta. ^[55] ${\displaystyle (a\circ b)\circ c}$ ${\displaystyle a\circ (b\circ c)}$ ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Diagrama de relaciones entre algunas estructuras algebraicas.

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones ( y ) que funcionan de manera similar a la suma y la multiplicación. Todos los requisitos de los grupos también se aplican a la primera operación: es asociativa y tiene un elemento identidad y elementos inversos. Además, es conmutativo , lo que significa que es válido para todos los elementos. El axioma de distributividad gobierna cómo interactúan las dos operaciones entre sí. Dice que y . ^{[l] [57]} El anillo de números enteros es el anillo denotado por . ^[58] Un anillo se convierte en un campo si ambas operaciones siguen los axiomas de asociatividad, conmutatividad y distributividad y si ambas operaciones tienen un elemento identidad y elementos inversos. ^{[m] [60]} El anillo de números enteros no forma un campo porque carece de inversos multiplicativos. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de es , que no forma parte de los números enteros. Los números racionales , los números reales y los números complejos forman cada uno un campo con las operaciones de suma y multiplicación. ^[61] ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$ ${\displaystyle a\star (b\circ c)=(a\star b)\circ (a\star c)}$ ${\displaystyle (b\circ c)\star a=(b\star a)\circ (c\star a)}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+,\times \rangle }$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$

Además de grupos, anillos y campos, existen muchas otras estructuras algebraicas que estudia el álgebra abstracta. Incluyen magmas , semigrupos , monoides , grupos abelianos , anillos conmutativos , módulos , redes , espacios vectoriales y álgebras sobre un campo . Se diferencian entre sí en cuanto a los tipos de objetos que describen y los requisitos que cumplen sus operaciones. Muchos de ellos están relacionados entre sí en el sentido de que una estructura básica se puede convertir en una estructura más avanzada agregando requisitos adicionales. ^[62] Por ejemplo, un magma se convierte en un semigrupo si su operación es asociativa. ^[63]

álgebra universal

El álgebra universal es el estudio de las estructuras algebraicas en general. Es una generalización del álgebra abstracta que no se limita a operaciones binarias y también permite operaciones con más entradas, como las operaciones ternarias . El álgebra universal no está interesada en los elementos específicos que componen los conjuntos subyacentes y, en cambio, investiga qué características estructurales tienen en común las diferentes estructuras algebraicas. ^[64] Una de esas características estructurales se refiere a las identidades que son verdaderas en diferentes estructuras algebraicas. En este contexto, una identidad es una ecuación universal o una ecuación que es verdadera para todos los elementos del conjunto subyacente. Por ejemplo, la conmutatividad es una ecuación universal que establece que es idéntica para todos los elementos. ^[65] Se dice que dos estructuras algebraicas que comparten todas sus identidades pertenecen a la misma variedad . ^[66] Por ejemplo, el anillo de números enteros y el anillo de polinomios forman parte de la misma variedad porque tienen las mismas identidades, como la conmutatividad y la asociatividad. El campo de los números racionales, por el contrario, no pertenece a esta variedad ya que tiene identidades adicionales, como la existencia de inversos multiplicativos. ^{[67] [o]} ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle b\circ a}$

Los homomorfismos son una herramienta del álgebra universal para examinar características estructurales comparando dos estructuras algebraicas. ^[69] Un homomorfismo es una función del conjunto subyacente de una estructura algebraica al conjunto subyacente de otra estructura algebraica que conserva ciertas características estructurales. Si las dos estructuras algebraicas usan operaciones binarias y tienen la forma y entonces la función es un homomorfismo si cumple el siguiente requisito: . La existencia de un homomorfismo revela que la operación en la segunda estructura algebraica juega el mismo papel que la operación en la primera estructura algebraica. ^[70] Los isomorfismos son un tipo especial de homomorfismo que indica un alto grado de similitud entre dos estructuras algebraicas. Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo , lo que significa que establece una relación uno a uno entre los elementos de dos estructuras algebraicas. Esto implica que cada elemento de la primera estructura algebraica se asigna a un elemento único en la segunda estructura sin ningún elemento no asignado en la segunda estructura. ^[71] ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ ${\displaystyle \langle B,\star \rangle }$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle h(x\circ y)=h(x)\star h(y)}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$

Las subálgebras restringen sus operaciones a un subconjunto del conjunto subyacente de la estructura algebraica original.

Otra herramienta de comparación es la relación entre una estructura algebraica y su subálgebra . ^[72] La estructura algebraica y su subálgebra utilizan las mismas operaciones, ^[p] que siguen los mismos axiomas. La única diferencia es que el conjunto subyacente de la subálgebra es un subconjunto del conjunto subyacente de la estructura algebraica. ^[q] Se requiere que todas las operaciones en la subálgebra estén cerradas en su conjunto subyacente, lo que significa que solo producen elementos que pertenecen a este conjunto. ^[72] Por ejemplo, el conjunto de números enteros pares junto con la suma es una subálgebra del conjunto completo de números enteros junto con la suma. Este es el caso porque la suma de dos números pares vuelve a ser un número par. Pero el conjunto de los enteros impares junto con la suma no es una subálgebra ya que la suma de dos números impares produce un número par, que no forma parte del subconjunto elegido. ^[73]

Historia

El Papiro Rhind del antiguo Egipto , fechado alrededor de 1650 a. C., es uno de los primeros documentos que analizan problemas algebraicos.

El origen del álgebra radica en los intentos de resolver problemas matemáticos que implican cálculos aritméticos y cantidades desconocidas. Estos desarrollos ocurrieron en el período antiguo en diversas regiones como Babilonia , Egipto , Grecia , China e India . Uno de los documentos más antiguos es el Papiro Rhind del antiguo Egipto, que fue escrito alrededor de 1650 a. C. ^[r] y analiza cómo resolver ecuaciones lineales , expresadas en problemas como "Una cantidad; se le suma la cuarta. Se convierte en quince. ¿Cuál es la cantidad?" Las tablillas de arcilla babilónicas de aproximadamente la misma época explican métodos para resolver ecuaciones polinómicas lineales y cuadráticas , como el método para completar el cuadrado . ^[74]

Muchas de estas ideas llegaron a los antiguos griegos. A partir del siglo VI a. C., su principal interés era la geometría más que el álgebra, pero empleaban métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Por ejemplo, estudiaron figuras geométricas tomando sus longitudes y áreas como cantidades desconocidas por determinar, como se ejemplifica en la formulación de Pitágoras del método de la diferencia de dos cuadrados y más tarde en los Elementos de Euclides . ^[75] En el siglo III d.C., Diofanto proporcionó un tratamiento detallado de cómo resolver ecuaciones algebraicas en una serie de libros llamados Arithmetica . Fue el primero en experimentar con notación simbólica para expresar polinomios. ^[76] En la antigua China, el libro Los nueve capítulos sobre el arte matemático exploró varias técnicas para resolver ecuaciones algebraicas, incluido el uso de construcciones similares a matrices. ^[77]

El libro compendioso sobre cálculo por terminación y equilibrio de Al-Khwarizmi proporcionó una explicación general de cómo se pueden resolver ecuaciones lineales y cuadráticas mediante los métodos de "reducción" y "equilibrio".

Es controvertido hasta qué punto estos primeros desarrollos deben considerarse parte del álgebra propiamente dicha y no precursores. Ofrecieron soluciones a problemas algebraicos pero no los concibieron de manera abstracta y general, sino que se centraron en casos y aplicaciones específicas. ^[78] Esto cambió con el matemático persa al-Khwarizmi , ^[s] quien publicó su Libro compendioso sobre el cálculo por terminación y equilibrio en 825 EC. Presenta el primer tratamiento detallado de los métodos generales que se pueden utilizar para manipular ecuaciones lineales y cuadráticas "reduciendo" y "equilibrando" ambos lados. ^[80] Otras contribuciones influyentes al álgebra provinieron del matemático árabe Thābit ibn Qurra en el siglo IX y del matemático persa Omar Khayyam en los siglos XI y XII. ^[81]

En la India, Brahmagupta investigó cómo resolver ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones con varias variables en el siglo VII d.C. Entre sus otras innovaciones estuvo el uso de cero y números negativos en ecuaciones algebraicas. ^[82] Los matemáticos indios Mahāvīra en el siglo IX y Bhāskara II en el siglo XII refinaron aún más los métodos y conceptos de Brahmagupta. ^[83] En 1247, el matemático chino Qin Jiushao escribió el Tratado matemático en nueve secciones , que incluye un algoritmo para la evaluación numérica de polinomios , incluidos los polinomios de grados superiores. ^[84]

François Viète y René Descartes inventaron una notación simbólica para expresar ecuaciones de manera abstracta y concisa.

El matemático italiano Fibonacci trajo las ideas y técnicas de al-Khwarizmi a Europa en libros como su Liber Abaci . ^[85] En 1545, el erudito italiano Gerolamo Cardano publicó su libro Ars Magna , que cubría muchos temas de álgebra y fue el primero en presentar métodos generales para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas . ^[86] En los siglos XVI y XVII, los matemáticos franceses François Viète y René Descartes introdujeron letras y símbolos para denotar variables y operaciones, lo que permitió expresar ecuaciones de una manera abstracta y concisa. Sus predecesores se habían basado en descripciones verbales de problemas y soluciones. ^[87] Algunos historiadores ven este desarrollo como un punto de inflexión clave en la historia del álgebra y consideran lo que vino antes como la prehistoria del álgebra porque carecía de la naturaleza abstracta basada en la manipulación simbólica. ^[88]

Garrett Birkhoff desarrolló muchos de los conceptos fundamentales del álgebra universal.

Muchos intentos en los siglos XVII y XVIII para encontrar soluciones generales ^[t] a polinomios de grado cinco y superiores fracasaron. ^[91] A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra , que describe la existencia de ceros de polinomios de cualquier grado sin proporcionar una solución general. ^[18] A principios del siglo XIX, el matemático italiano Paolo Ruffini y el matemático noruego Niels Henrik Abel pudieron demostrar que no existe una solución general para polinomios de grado cinco y superiores. ^[91] En respuesta a sus hallazgos y poco después, el matemático francés Évariste Galois desarrolló lo que más tarde se conocería como teoría de Galois , que ofrecía un análisis más profundo de las soluciones de polinomios y al mismo tiempo sentaba las bases de la teoría de grupos . ^[19] Los matemáticos pronto se dieron cuenta de la relevancia de la teoría de grupos para otros campos y la aplicaron a disciplinas como la geometría y la teoría de números. ^[92]

A partir de mediados del siglo XIX, el interés por el álgebra pasó del estudio de los polinomios asociados con el álgebra elemental hacia una investigación más general de las estructuras algebraicas, lo que marcó el surgimiento del álgebra abstracta . Este enfoque exploró la base axiomática de operaciones algebraicas arbitrarias. ^[93] La invención de nuevos sistemas algebraicos basados ​​en diferentes operaciones y elementos acompañó este desarrollo, como el álgebra de Boole , el álgebra vectorial y el álgebra matricial . ^[94] Los primeros desarrollos influyentes en el álgebra abstracta fueron realizados por los matemáticos alemanes David Hilbert , Ernst Steinitz , Emmy Noether y Emil Artin . Investigaron diferentes formas de estructuras algebraicas y las clasificaron según sus axiomas subyacentes en tipos, como grupos, anillos y campos. ^[95] La idea de un enfoque aún más general asociado con el álgebra universal fue concebida por el matemático inglés Alfred North Whitehead en su libro de 1898 Tratado sobre el álgebra universal . A partir de la década de 1930, el matemático estadounidense Garrett Birkhoff amplió estas ideas y desarrolló muchos de los conceptos fundamentales de este campo. ^[96] Desarrollos estrechamente relacionados fueron la formulación de la teoría de modelos , la teoría de categorías , el álgebra topológica , el álgebra homológica , las álgebras de Lie , las álgebras libres y los grupos de homología . ^[97]

Aplicaciones

La influencia del álgebra es de amplio alcance e incluye muchas ramas de las matemáticas, así como las ciencias empíricas. La notación algebraica y los principios algebraicos desempeñan un papel clave en la física y disciplinas relacionadas para expresar leyes científicas y resolver ecuaciones. ^[98] También se utilizan en campos como la ingeniería , la economía , la informática y la geografía para expresar relaciones, resolver problemas y modelar sistemas. ^[99]

Otras ramas de las matemáticas

La algebraización de las matemáticas es el proceso de aplicar métodos y principios algebraicos a otras ramas de las matemáticas . Esto implica emplear símbolos en forma de variables para expresar conocimientos matemáticos en un nivel más general y el uso de álgebra para desarrollar modelos matemáticos que describen cómo los objetos interactúan y se relacionan entre sí. ^[100] Esto es posible porque los patrones abstractos estudiados por el álgebra tienen muchas aplicaciones concretas en campos como la geometría , la topología , la teoría de números y el cálculo . ^[101]

La ecuación algebraica describe una esfera en el origen con un radio de 1. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

A la geometría le interesan las figuras geométricas, que pueden describirse con enunciados algebraicos. Por ejemplo, la ecuación describe una línea en un espacio bidimensional mientras que la ecuación corresponde a una esfera en un espacio tridimensional. De especial interés para la geometría algebraica son las variedades algebraicas , ^[u] que son soluciones a sistemas de ecuaciones polinomiales que pueden usarse para describir figuras geométricas más complejas. ^[102] El razonamiento algebraico también se puede utilizar para resolver problemas geométricos. Por ejemplo, se puede determinar si la línea descrita por se cruza con el círculo descrito por resolviendo el sistema de ecuaciones formado por estas dos ecuaciones y dónde. ^[103] La topología estudia las propiedades de figuras geométricas o espacios topológicos que se conservan bajo operaciones de deformación continua . La topología algebraica se basa en teorías algebraicas como la teoría de grupos para clasificar espacios topológicos. Por ejemplo, los grupos de homotopía clasifican espacios topológicos en función de la existencia de bucles o agujeros en ellos. ^[104] La teoría de números se ocupa de las propiedades y las relaciones entre números enteros. La teoría algebraica de números aplica métodos algebraicos a este campo de investigación, por ejemplo, utilizando expresiones algebraicas para describir leyes, como el último teorema de Fermat , y analizando cómo los números forman estructuras algebraicas, como el anillo de los números enteros . ^[105] Los conocimientos del álgebra también son relevantes para el cálculo, que utiliza expresiones matemáticas para examinar las tasas de cambio y acumulación . Se basa en el álgebra para comprender cómo se pueden transformar estas expresiones y qué papel juegan las variables en ellas. ^[106] ${\displaystyle y=3x-7}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ ${\displaystyle y=x+1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=25}$

Las permutaciones del Cubo de Rubik forman un grupo llamado grupo del Cubo de Rubik . ^[107]

El álgebra abstracta tiene diversos usos en las matemáticas aplicadas , que van desde la electrónica y la robótica hasta la criptografía . ^[108] Aplicaciones más específicas son el uso de la teoría de grupos para resolver acertijos como el Sudoku y el cubo de Rubik . ^[109]

Lógica

La lógica es el estudio del razonamiento correcto. ^[110] La lógica algebraica emplea métodos algebraicos para describir y analizar las estructuras y patrones que subyacen al razonamiento lógico . ^[111] Una parte está interesada en comprender las estructuras matemáticas mismas sin tener en cuenta las consecuencias concretas que tienen en la actividad de hacer inferencias . Otra parte investiga cómo los problemas de la lógica pueden expresarse en el lenguaje del álgebra y cómo los conocimientos obtenidos mediante el análisis algebraico afectan a la lógica. ^[112]

El álgebra booleana es un recurso influyente en la lógica algebraica para describir la lógica proposicional . ^[113] Las proposiciones son afirmaciones que pueden ser verdaderas o falsas. ^[114] La lógica proposicional utiliza conectivos lógicos para combinar dos proposiciones y formar una proposición compleja. Por ejemplo, el conectivo "si  ... entonces" puede usarse para combinar las proposiciones "llueve" y "las calles están mojadas" para formar la proposición compleja "si llueve entonces las calles están mojadas". La lógica proposicional está interesada en cómo el valor de verdad de una proposición compleja depende de los valores de verdad de sus constituyentes. ^[115] Con el álgebra booleana, este problema se puede abordar interpretando los valores de verdad como números: 0 corresponde a falso y 1 corresponde a verdadero. Los conectivos lógicos se entienden como operaciones binarias que toman dos números como entrada y devuelven la salida que corresponde al valor de verdad de la proposición compleja. ^[116] La lógica algebraica también está interesada en cómo se pueden describir sistemas de lógica más complejos a través de estructuras algebraicas y a qué variedades y cuasivaridades pertenecen estas estructuras algebraicas. ^[117]

Educación

Las balanzas se utilizan en la educación de álgebra para ayudar a los estudiantes a comprender cómo se pueden transformar las ecuaciones para determinar valores desconocidos. ^[118]

La educación en álgebra se centra principalmente en álgebra elemental, que es una de las razones por las que se la conoce como álgebra escolar. Por lo general, no se introduce hasta la educación secundaria, ya que requiere el dominio de los fundamentos de la aritmética y al mismo tiempo plantea nuevos desafíos cognitivos asociados al razonamiento abstracto y la generalización. ^[119] Su objetivo es familiarizar a los estudiantes con el lado abstracto de las matemáticas ayudándoles a comprender el simbolismo matemático, por ejemplo, cómo se pueden utilizar variables para representar cantidades desconocidas. Una dificultad adicional para los estudiantes radica en el hecho de que, a diferencia de los cálculos aritméticos, las expresiones algebraicas a menudo no se pueden resolver directamente. En cambio, los estudiantes necesitan aprender a transformarlos de acuerdo con ciertas leyes, a menudo con el objetivo de determinar una cantidad desconocida. ^[120]

El uso de balanzas para representar ecuaciones es un enfoque pictórico para presentar a los estudiantes los problemas básicos del álgebra. La masa de algunos objetos en la escala es desconocida y representa variables. Resolver una ecuación corresponde a sumar y quitar objetos de ambos lados de tal manera que los lados se mantengan en equilibrio hasta que el único objeto que quede en un lado sea el objeto de masa desconocida. ^[118] El uso de problemas planteados es otra herramienta para mostrar cómo se aplica el álgebra a situaciones de la vida real. Por ejemplo, a los estudiantes se les puede presentar una situación en la que el hermano de Naomi tiene el doble de manzanas que Naomi. Dado que ambos juntos tienen doce manzanas, se pide a los estudiantes que encuentren una ecuación algebraica que describa esta situación ( ) y que determinen cuántas manzanas tiene Noemí ( ). ^[121] ${\displaystyle 2x+x=12}$ ${\displaystyle x=4}$

Ver también

• Álgebra sobre un conjunto
• Azulejo de álgebra
• combinatoria algebraica
• C*-álgebra
• Álgebra de composición
• Álgebra informática
• Álgebra exterior
• álgebra F
• F-coálgebra
• Álgebra de Heyting
• álgebra de hopf
• Álgebra no asociativa
• Esquema de álgebra
• Álgebra relacional
• sigma-álgebra
• álgebra simétrica
• T-álgebra
• Álgebra tensorial

Referencias

Notas

1. Cuando se entiende en el sentido más amplio, una operación algebraica es una función de una potencia cartesiana de un conjunto a ese conjunto , expresada formalmente como . La suma de números reales es un ejemplo de operaciones algebraicas: toma dos números como entrada y produce un número como salida. Tiene la forma . ^[1] ${\displaystyle \omega :A^{n}\to A}$ ${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$
2. El álgebra está cubierta por la división 512 de la Clasificación Decimal de Dewey ^[5] y la subclase QA 150-272.5 de la Clasificación de la Biblioteca del Congreso . ^[6] Abarca varias áreas de la Clasificación de Materias de Matemáticas . ^[7]
3. Estos cambios fueron provocados en parte por descubrimientos que resolvieron muchos de los problemas más antiguos del álgebra. Por ejemplo, la prueba del teorema fundamental del álgebra demostró la existencia de soluciones complejas de polinomios ^[18] y la introducción de la teoría de Galois caracterizó los polinomios que tienen soluciones generales . ^[19]
4. Las constantes representan magnitudes fijas que, a diferencia de las variables, no pueden cambiar.
5. Un polinomio es una expresión que consta de uno o más términos que se suman o restan entre sí. Cada término es una constante, una variable o un producto de una constante y variables. Cada variable se puede elevar a una potencia entera positiva. Ejemplos son y . ^[28] ${\displaystyle 3x^{2}-7}$ ${\displaystyle 5x^{3}y+4yz}$
6. Una matriz es una tabla de números, como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&-7&19\\0.3&7&-4\end{bmatrix}}}$$
7. Un vector es una matriz de números o una matriz con una sola columna, como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2.1\\0\\-1\end{bmatrix}}}$$
8. Un conjunto es una colección desordenada de elementos distintos, como números, vectores u otros conjuntos. La teoría de conjuntos describe las leyes y propiedades de los conjuntos. ^[46]
9. Según algunas definiciones, las estructuras algebraicas incluyen un elemento distinguido como componente adicional, como el elemento identidad en el caso de la multiplicación. ^[47]
10. Algunas de las estructuras algebraicas estudiadas por el álgebra abstracta incluyen operaciones unarias además de operaciones binarias. Por ejemplo, los espacios vectoriales normados tienen una norma , que es una operación unaria que se utiliza a menudo para asociar un vector con su longitud. ^[48]
11. Los símbolos como y se utilizan a menudo en álgebra abstracta para representar cualquier operación que puede parecerse o no a operaciones aritméticas. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \star }$
12. Algunas definiciones requieren además que la segunda operación sea asociativa. ^[56]
13. Para la segunda operación, suele haber un elemento, correspondiente a 0, que no requiere un elemento inverso. ^[59]
14. Las condiciones toman la forma de una cláusula Horn .
15. Además de las identidades, el álgebra universal también está interesada en las características estructurales asociadas con las cuasiidentidades . Una cuasiidentidad es una identidad que sólo necesita estar presente bajo ciertas condiciones. ^[n] Es una generalización de la identidad en el sentido de que toda identidad es una cuasiidentidad, pero no toda cuasiidentidad es una identidad. Las estructuras algebraicas que comparten todas sus cuasiidentidades tienen ciertas características estructurales en común, lo que se expresa al afirmar que pertenecen a una misma cuasivariedad . ^[68]
16. Según algunas definiciones, también es posible que una subálgebra tenga menos operaciones. ^[73]
17. Esto significa que todos los elementos del primer conjunto también son elementos del segundo conjunto, pero el segundo conjunto puede contener elementos que no se encuentran en el primer conjunto.
18. La fecha exacta está en disputa.
19. Algunos historiadores lo consideran el "padre del álgebra", mientras que otros reservan este título para Diofanto. ^[79]
20. Una solución general o una solución en radicales es una ecuación algebraica de forma cerrada que aísla la variable en un lado. Por ejemplo, la solución general de ecuaciones cuadráticas de la forma es . La ausencia de soluciones generales no significa que no existan soluciones numéricas. ^{[89] [90]} ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$
21. Las variedades algebraicas estudiadas en geometría son diferentes de las variedades más generales estudiadas en álgebra universal.

Citas

1. Baranovich 2023, Sección principal
2. • Merzlyakov & Shirshov 2020, Sección Principal
   • Gilbert y Nicholson 2004, pág. 4
3. • Fiche y Hebuterne 2013, pág. 326
   • Merzlyakov & Shirshov 2020, § La materia del álgebra, sus ramas principales y su conexión con otras ramas de las matemáticas.
   • Gilbert y Nicholson 2004, pág. 4
4. • Pratt 2022, Sección principal, § 1. Álgebra elemental, § 2. Álgebra abstracta, § 3. Álgebra universal
   • Merzlyakov & Shirshov 2020, § La materia del álgebra, sus ramas principales y su conexión con otras ramas de las matemáticas.
5. Higham 2019, pag. 296.
6. Biblioteca del Congreso, pag. 3.
7. zbMATH Abierto 2024.
8. • Maddocks 2008, pag. 129
   • Burgin 2022, pág. 45
9. • Romanowski 2008, págs. 302-303
   • Personal HC 2022
   • Plantilla MW 2023
   • Bukhshtab y Pechaev 2020
10. • Maddocks 2008, págs. 129-130
    • Pratt 2022, Sección principal, § 1. Álgebra elemental
    • Wagner y Kieran 2018, pág. 225
11. • Maddocks 2008, págs. 131-132
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
    • Wagner y Kieran 2018, pág. 225
12. • Pratt 2022, § 3. Álgebra universal
    • Parrilla 2007, pág. 559
13. • Cresswell 2010, pág. 11
    • Personal de la OUP
    • Menini y Oystaeyen 2017, pág. 722
14. • Weisstein 2003, pág. 46
    • Walz 2016, Álgebra
15. • Weisstein 2003, pág. 46
    • Brešar 2014, pág. xxxiii
    • Golán 1995, págs. 219-227
16. Personal de la EdM 2017
17. • Cresswell 2010, pág. 11
    • Personal de la OUP
    • Menini y Oystaeyen 2017, pág. 722
    • Hoad 1993, pág. 10
18. • Tanton 2005, pág. 10
    • Kvasz 2006, pág. 308
    • Corry 2024, § El teorema fundamental del álgebra
19. • Kvasz 2006, págs. 314–345
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Corry 2024, § Teoría de Galois, § Aplicaciones de la teoría de grupos
20. • Tanton 2005, pág. 10
    • Corry 2024, § Álgebra estructural
    • Hazewinkel 1994, págs. 73–74
21. • Arcavi, Drijvers y Stacey 2016, pág. 2
    • Benson 2003, págs. 111-112
22. • Maddocks 2008, pag. 129
    • Berggren 2015, Sección Principal
    • Pratt 2022, § 1. Álgebra elemental
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § 1. Reseña histórica
23. • Maddocks 2008, págs. 129-130
    • Joven 2010, pág. 999
    • Majewski 2004, pág. 347
    • Buthusiem y Toth 2020, págs. 24-28
    • Pratt 2022, § 1. Álgebra elemental
    • Libra esterlina 2016, pág. 13
    • Sorell 2000, pág. 19
24. • Maddocks 2008, págs. 129-130
    • Buthusiem y Toth 2020, págs. 24-28
25. • Musser, Peterson y Burger 2013, pág. dieciséis
    • Goodman 2001, pág. 5
    • Williams 2022
26. • Maddocks 2008, pag. 130
    • Buthusiem y Toth 2020, págs. 25-28
    • Pratt 2022, § 1. Álgebra elemental
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § 1. Reseña histórica
27. • Tan, Steeb y Hardy 2012, pág. 306
    • Lamagna 2019, pág. 150
28. Markushevich 2015.
29. • Buthusiem y Toth 2020, págs. 24-28
    • Berggren 2015, § Expresiones algebraicas, § Resolución de ecuaciones algebraicas
30. • Zill y Dewar 2011, pág. 529
    • Berggren 2015, § Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas
    • McKeague 2014, pág. 386
31. • Maddocks 2008, págs. 130-131
    • Walz 2016, Álgebra
32. • Maddocks 2008, págs. 130-131
    • Rohde y cols. 2012, pág. 89
    • Walz 2016, Álgebra
33. • Maddocks 2008, pag. 131
    • Barrera-Mora 2023, págs. ix, 1-2,
34. • Antón y Rorres 2013, págs. 2-3
    • Maddocks 2008, pag. 131
    • Voitsekhovskii 2011
35. • Barrera-Mora 2023, págs. ix, 1, 12-13
    • Joven 2010, págs. 726–727
    • Antón y Rorres 2013, págs. 32-34
36. • Maddocks 2008, pag. 131
    • Andrilli y Hecker 2022, págs. 57–58
37. • Antón y Rorres 2013, págs. 3–7
    • Mortensen 2013, págs. 73–74
    • Williams 2007, págs. 4-5
    • Joven 2023, págs. 714–715
38. • Maddocks 2008, pag. 131
    • Harrison y Waldron 2011, pág. 464
    • Antón 2013, pág. 255
39. • Joven 2010, págs. 697–698
    • Maddocks 2008, pag. 131
    • Sullivan 2010, págs. 53–54
40. • Antón y Rorres 2013, págs. 7–8
    • Sullivan 2010, págs. 55–56
    • Atanasiu y Mikusinski 2019, pág. 75
41. • Maddocks 2008, pag. 131
    • Antón y Rorres 2013, págs. 7–8, 11, 491
42. • Antón y Rorres 2013, págs. 3-5
    • Joven 2010, págs. 696–697
    • Williams 2007, págs. 4-5
43. • Antón y Rorres 2013, págs. 3-5
    • Joven 2010, pág. 713
    • Williams 2007, págs. 4-5
44. • Gilbert y Nicholson 2004, pág. 1
    • Dominich 2008, pág. 19
45. • Maddocks 2008, págs. 131-132
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
    • Gilbert y Nicholson 2004, págs. 1-3
    • Dominich 2008, pág. 19
46. Tanton 2005, pag. 460
47. Ovchinnikov 2015, pág. 27
48. Parrilla 2007, pag. 247
49. • Ovchinnikov 2015, pág. 27
    • Fiche y Hebuterne 2013, pág. 326
    • Gilbert y Nicholson 2004, pág. 4
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
50. • Maddocks 2008, págs. 131-132
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
51. • Olver 1999, págs. 55–56
    • Abas y Salman 1994, págs. 58–59
    • Häberle 2009, pág. 640
52. • Kargapolov y Merzlyakov 2016, § Definición
    • Khattar y Agrawal 2023, págs. 4–6
    • Maddocks 2008, págs. 131-132
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
    • Neri 2019, pág. 258
53. • Khattar y Agrawal 2023, págs. 6–7
    • Maddocks 2008, págs. 131-132
54. • McWeeny 2002, pág. 6
    • Kramer y Pippich 2017, pág. 49
55. Tanton 2005, pag. 242
56. Weisstein 2003, pag. 2579
57. • Weisstein 2003, pág. 2579
    • Ivánova 2016
    • Maxwell 2009, págs. 73–74
    • Pratt 2022, § 2.3 Anillos
58. Smith 2015, pag. 161
59. Weisstein 2003, pag. 1047
60. • Weisstein 2003, págs. 1047, 2579
    • Pratt 2022, § 2.4 Campos
61. • Irving 2004, págs.77, 236
    • Weisstein 2003, págs. 1047, 2579
    • Negro 2022, pág. 365
62. • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
    • Merzlyakov & Shirshov 2020, La materia del álgebra, sus ramas principales y su conexión con otras ramas de las matemáticas.
63. Cooper 2011, pag. 60
64. • Pratt 2022, § 3. Álgebra universal
    • Cohn 2012, pág. xiii
65. • Pratt 2022, § 3.2 Lógica ecuacional
    • Mal'cev 1973, págs. 210-211
66. • Pratt 2022, § 3. Álgebra universal
    • Mal'cev 1973, págs. 210-211
67. • Cox, Little y O'Shea 2015, pág. 268
    • Negro 2022, pág. 365
68. • Mal'cev 1973, págs. 210-211
    • Pratt 2022, § 3. Álgebra universal
    • Artamonov 2003, pág. 873
69. • Rowen 2006, pág. 12
    • Pratt 2022, § 3.3 Teorema de Birkhoff
    • Grätzer 2008, pág. 34
70. • Pratt 2022, § 3.3 Teorema de Birkhoff
    • Rowen 2006, pág. 12
    • Silvia y Robinson 1979, pág. 82
71. • Neri 2019, págs. 278–279
    • Ivanova y Smirnov 2012
72. • Indurkhya 2013, págs. 217-218
    • Pratt 2022, § 3.3 Teorema de Birkhoff
    • Grätzer 2008, pág. 34
73. Indurkhya 2013, págs. 217-218
74. • Tanton 2005, pág. 9
    • Kvasz 2006, pág. 290
    • Corry 2024, § Resolución de problemas en Egipto y Babilonia
75. • Tanton 2005, pág. 9
    • Kvasz 2006, pág. 290
    • Corry 2024, § Los pitagóricos y Euclides
76. • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Sialaros 2018, pág. 55
    • Musielak 2020, pág. 36
    • Corry 2024, § Diofanto
77. Higgins 2015, pag. 89
78. • Kvasz 2006, págs. 290-291
    • Sialaros 2018, pág. 55
    • Boyer y Merzbach 2011, pág. 161
    • Derbyshire 2006, pág. 31
79. • Boyer y Merzbach 2011, pág. 161
    • Derbyshire 2006, pág. 31
80. • Tanton 2005, pág. 10
    • Kvasz 2006, págs. 291-293
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
81. • Waerden 2013, págs. 3, 15–16, 24–25
    • Jenkins 2010, pág. 82
    • Recogida 2009, pág. 90
82. • Tanton 2005, págs. 9-10
    • Corry 2024, § La ecuación en India y China
83. • Seshadri 2010, pág. 156
    • Emch, Sridharan y Srinivas 2005, pág. 20
84. • Smorynski 2007, pág. 137
    • Zwillinger 2002, pág. 812
85. • Waerden 2013, págs. 32-35
    • Tanton 2005, pág. 10
    • Kvasz 2006, pág. 293
86. • Tanton 2005, pág. 10
    • Kvasz 2006, pág. 293
    • Corry 2024, § Cardano y la resolución de ecuaciones cúbicas y cuárticas
87. • Tanton 2005, pág. 10
    • Kvasz 2006, págs. 291–292, 297–298, 302
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Corry 2024, § Viète y la ecuación formal, § Geometría analítica
88. • Hazewinkel 1994, pág. 73
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
89. Igarashi y col. 2014, pág. 103.
90. Sol y Zhang 2020, pag. 94.
91. • Tanton 2005, pág. 10
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Corry 2024, § Impasse con los métodos radicales
92. • Corry 2024, § Aplicaciones de la teoría de grupos
    • Bueno y francés 2018, págs. 73–75
93. • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Tanton 2005, pág. 10
    • Corry 2024, § Álgebra estructural
    • Hazewinkel 1994, págs. 73–74
94. • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Tanton 2005, pág. 10
    • Corry 2024, § Matrices, § Cuaterniones y vectores
95. • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Corry 2024, § Hilbert y Steinitz, § Noether y Artin
    • Hazewinkel 1994, págs. 73–74
96. • Grätzer 2008, pág. viii
    • Chang y Keisler 1990, pág. 603
    • Knoebel 2011, pág. 5
    • Hazewinkel 1994, págs. 74-75
97. • Hazewinkel 1994, págs. 74-75
    • Grätzer 2008, pág. 338
    • Pratt 2022, § 6. Álgebras libres
98. • Houston 2004, pág. 319
    • Corrochano y Sobczyk 2011, pág. xvii
    • Neri 2019, pág. xiii
99. • Corrochano y Sobczyk 2011, pág. xvii
    • Neri 2019, pág. xiii
    • Aleskerov, Ersel y Piontkovski 2011, págs. 1–9
    • Straffin 1980, pág. 269
100. • Mancosu 1999, págs. 84–85
     • Kleiner 2007, pág. 100
     • Pratt 2022, § 5. Algebraización de las matemáticas
101. • Kleiner 2007, pág. 100
     • Pratt 2022, § 5. Algebraización de las matemáticas
     • Maddocks 2008, pag. 130
102. • Pratt 2022, § 5.1 Geometría algebraica
     • Danilov 2006, págs.172, 174
103. Libra esterlina 2021, pag. 645
104. • Pratt 2022, § 5.3 Topología algebraica
     • Rabadan y Blumberg 2019, págs. 49–50
     • Nakahara 2018, pág. 121
     • Weisstein 2003, págs. 52-53
105. • Pratt 2022, § 5.2 Teoría algebraica de números
     • Jarvis 2014, pág. 1
     • Viterbo y Hong 2011, pág. 127
106. • Kilty y McAllister 2018, págs. x, 347, 589
     • Edwards 2012, págs. ix-x
107. Joyner 2008, pag. 92
108. • Menini y Oystaeyen 2017, pág. v
     • Lovett 2015, pág. ix
109. Terras 2019, págs. 63–64, 142
110. Hintikka 2019, sección principal, § Naturaleza y variedades de lógica
111. • Halmos 1956, pág. 363
     • Burris & Legris 2021, § 1. Introducción
112. Andréka, Németi y Sain 2001, págs. 133-134
113. • Andréka, Madarász & Németi 2020, § Lógica algebraica concreta
     • Pratt 2022, § 5.4 Lógica algebraica
     • Plotkin 2012, págs. 155-156
     • Jansana 2022, Sección Principal
114. McGrath & Frank 2023, sección principal
115. • Boschini, Hansen y Wolf 2022, pág. 21
     • Brody 2006, págs. 535–536
     • Franks 2023, Sección Principal
116. • Andréka, Madarász & Németi 2020, § Lógica algebraica concreta
     • Plotkin 2012, págs. 155-156
     • Kachroo y Özbay 2018, págs. 176-177
117. • Andréka, Madarász & Németi 2020, § Lógica algebraica abstracta
     • Jansana 2022, § 4. Álgebras
118. Gardella y DeLucia 2020, págs. 19-22
119. • Arcavi, Drijvers y Stacey 2016, pág. xiii
     • Dekker y Dolk 2011, pág. 69
120. • Arcavi, Drijvers y Stacey 2016, págs. 2–5
     • Drijvers, Goddijn y Kindt 2011, págs. 8–10, 16–18
121. • Arcavi, Drijvers y Stacey 2016, págs. 58–59
     • Drijvers, Goddijn y Kindt 2011, pág. 13

Fuentes

• Abas, Syed Jan; Salman, Amer Shaker (1994). Simetrías de patrones geométricos islámicos. Científico mundial. ISBN 978-981-4502-21-4.
• Aleskerov, Fuad; Ersel, Hasan; Piontkovski, Dmitri (18 de agosto de 2011). Álgebra lineal para economistas. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-20570-5.
• Andréka, H.; Nemeti, I.; Saín, I. (2001). "Lógica algebraica". Manual de lógica filosófica . Springer Países Bajos. doi :10.1007/978-94-017-0452-6_3. ISBN 978-94-017-0452-6. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Andréka, H.; Madarász, JX; Németi, I. (2020). "Lógica algebraica". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Andrilli, Stephen; Hecker, David (2022). Álgebra lineal elemental. Prensa académica. ISBN 978-0-323-98426-3. Archivado desde el original el 17 de enero de 2024 . Consultado el 18 de enero de 2024 .
• Antón, Howard; Rorres, Chris (2013). Álgebra lineal elemental: versión de aplicaciones. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-47422-8. Archivado desde el original el 17 de enero de 2024 . Consultado el 18 de enero de 2024 .
• Antón, Howard (2013). Álgebra lineal elemental. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-67730-8. Archivado desde el original el 18 de enero de 2024 . Consultado el 18 de enero de 2024 .
• Arcavi, Abraham; Drijvers, Paul; Stacey, Kaye (2016). El aprendizaje y la enseñanza del álgebra: ideas, conocimientos y actividades. Rutledge. ISBN 978-1-134-82077-1. Archivado desde el original el 23 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Artamonov, VA (2003). "Cuasivariedades". En Hazewinkel, M. (ed.). Manual de álgebra . Elsevier. ISBN 978-0-08-053297-4. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 21 de enero de 2024 .
• Atanasio, Dragu; Mikusinski, Piotr (8 de abril de 2019). Un puente hacia el álgebra lineal. Científico mundial. ISBN 978-981-12-0024-3.
• Baranovich, TM (2023). "Operación algebraica". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador. Archivado desde el original el 23 de agosto de 2023 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Barrera-Mora, Fernando (2023). Álgebra lineal: un enfoque polinomial mínimo para la teoría propia. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-113591-5. Archivado desde el original el 16 de enero de 2024 . Consultado el 18 de enero de 2024 .
• Benson, Donald C. (2003). Un guijarro más liso: exploraciones matemáticas. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-514436-9. Archivado desde el original el 16 de enero de 2024 . Consultado el 16 de enero de 2024 .
• Berggren, John L. (2015). "Álgebra elemental". Enciclopedia Británica . Archivado desde el original el 14 de enero de 2024 . Consultado el 14 de enero de 2024 .
• Boschini, Cecilia; Hansen, Arne; Lobo, Stefan (2022). Matemáticas discretas. vdf Hochschulverlag ETH Zúrich. ISBN 978-3-7281-4110-1. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). Una historia de las matemáticas. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-63056-3. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Brešar, Matej (2014). Introducción al álgebra no conmutativa. Saltador. ISBN 978-3-319-08693-4.
• Brody, Boruch A. (2006). Enciclopedia de Filosofía . vol. 5. Donald M. Borchert (2ª ed.). Thomson Gale/Macmillan Referencia Estados Unidos. págs. 535–536. ISBN 978-0-02-865780-6. OCLC  61151356.
• Bueno, Otávio; Francés, Steven (2018). Aplicación de las matemáticas: inmersión, inferencia, interpretación. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-881504-4.
• Bukhshtab, AA; Pechaev, VI (2020). "Aritmética". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador. Archivado desde el original el 4 de octubre de 2009 . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Burgin, Mark (2022). Trilogía de números y aritmética - Libro 1: Historia de los números y la aritmética: una perspectiva de la información. Científico mundial. ISBN 978-981-12-3685-3. Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Burris, Stanley; Legris, Javier (2021). "El álgebra de la tradición lógica". La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 22 de enero de 2024 .
• Buthusiem, Gregorio; Toth, Gabor (2020). Precálculo. Linus aprendiendo. ISBN 978-1-60797-798-8. Archivado desde el original el 14 de enero de 2024 . Consultado el 16 de enero de 2024 .
• Chang, CC; Keisler, HJ (1990). Teoría de modelos. Elsevier. ISBN 978-0-08-088007-5. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Cohn, PM (2012). Álgebra universal. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-009-8399-1.
• Cooper, Ellis D. (2011). Mecánica matemática: de la partícula al músculo. Científico mundial. ISBN 978-981-4289-70-2. Archivado desde el original el 2024-01-20 . Consultado el 20 de enero de 2024 .
• Corrochano, Eduardo Bayro; Sobczyk, Garret (2011). Álgebra geométrica con aplicaciones en ciencias e ingeniería. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4612-0159-5. Archivado desde el original el 23 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Corry, Leo (2024). "Álgebra". Enciclopedia Británica . Archivado desde el original el 19 de enero de 2024 . Consultado el 25 de enero de 2024 .
• Cox, David A.; Pequeño John; O'Shea, Donal (2015). Ideales, variedades y algoritmos: una introducción a la geometría algebraica computacional y al álgebra conmutativa. Saltador. ISBN 978-3-319-16721-3. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 21 de enero de 2024 .
• Cresswell, Julia (2010). Diccionario Oxford de orígenes de palabras. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-954793-7. Archivado desde el original el 27 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Danilov, VI (2006). "II. Variedades y esquemas algebraicos". Geometría algebraica I: curvas algebraicas, variedades y esquemas algebraicos . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-51995-9. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Dekker, Truus; Dolk, Martín (2011). "3. De la aritmética al álgebra". En Drijvers, Paul (ed.). Educación secundaria de álgebra: revisión de temas y temas y exploración de lo desconocido . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-6091-334-1. Archivado desde el original el 23 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Derbyshire, John (2006). "2. El padre del álgebra". Cantidad desconocida: una historia real e imaginaria del álgebra . Prensa de Academias Nacionales. ISBN 978-0-309-09657-7. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Dominich, Sándor (2008). El álgebra moderna de la recuperación de información. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-77659-8. Archivado desde el original el 2024-01-20 . Consultado el 20 de enero de 2024 .
• Drijvers, Paul; Goddijn, Aad; Kindt, Martín (2011). "1. Educación en álgebra: exploración de temas y temas". En Drijvers, Paul (ed.). Educación secundaria de álgebra: revisión de temas y temas y exploración de lo desconocido . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-6091-334-1. Archivado desde el original el 23 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Edwards, CH (2012). Cálculo Avanzado de Varias Variables. Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-13195-5. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Emch, Gerard G.; Sridharan, R.; Srinivas, MD (2005). Contribuciones a la historia de las matemáticas indias. Saltador. ISBN 978-93-86279-25-5. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Personal de la EdM (2017). "Álgebra". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador. Archivado desde el original el 29 de noviembre de 2022 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Ficha, Georges; Hebuterne, Gerard (2013). Matemáticas para ingenieros. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-62333-6. Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Francos, Curtis (2023). "Lógica proposicional". La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 22 de enero de 2024 .
• Gardella, Francisco; DeLucía, María (2020). Álgebra para los grados medios. PAI. ISBN 978-1-64113-847-5. Archivado desde el original el 23 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Gilbert, William J.; Nicholson, W. Keith (2004). Álgebra moderna con aplicaciones. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-46989-6. Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Golán, Jonathan S. (1995). "Álgebras sobre un campo". Fundamentos del Álgebra Lineal . Textos de Kluwer en ciencias matemáticas. vol. 11. Springer Países Bajos. págs. 219-227. doi :10.1007/978-94-015-8502-6_18. ISBN 978-94-015-8502-6. Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Goodman, AW (4 de septiembre de 2001). Álgebra de la A a la Z - Volumen 1. Científico mundial. ISBN 978-981-310-266-8.
• Grätzer, George (2008). Álgebra universal (2 ed.). Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-77487-9. Archivado desde el original el 27 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Grillet, Pierre Antoine (2007). "Álgebra universal". Álgebra abstracta . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 242. Saltador. págs. 559–580. doi :10.1007/978-0-387-71568-1_15. ISBN 978-0-387-71568-1. Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Häberle, L. (14 de octubre de 2009). "Sobre clasificación de moléculas y especies de anillos de representación". En Fink, Andreas; Lausen, Berthold; Seidel, Wilfried; Ultsch, Alfred (eds.). Avances en Análisis de Datos, Manejo de Datos e Inteligencia de Negocios . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-01044-6.
• Halmos, Paul R. (1956). "Los conceptos básicos de la lógica algebraica". El Mensual Matemático Estadounidense . 63 (6): 363–387. doi :10.2307/2309396. ISSN  0002-9890. JSTOR  2309396.
• Harrison, Michael; Waldron, Patricio (2011). Matemáticas para la Economía y las Finanzas. Rutledge. ISBN 978-1-136-81921-6. Archivado desde el original el 17 de enero de 2024 . Consultado el 18 de enero de 2024 .
• Hazewinkel, Michiel (1994). Enciclopedia de Matemáticas (Conjunto). Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Personal de HC (2022). "Aritmética". Diccionario de herencia americana . HarperCollins. Archivado desde el original el 8 de noviembre de 2023 . Consultado el 19 de octubre de 2023 .
• Higgins, Peter M. (2015). Álgebra: una introducción muy breve. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-104746-6. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Higham, Nicholas J. (16 de diciembre de 2019). Manual de escritura para las ciencias matemáticas (3 ed.). SIAM. ISBN 978-1-61197-610-6.
• Hintikka, Jaakko J. (2019). "Filosofía de la Lógica". Enciclopedia Británica . Archivado desde el original el 28 de abril de 2015 . Consultado el 21 de noviembre de 2021 .
• Hoad, TF (1993). Diccionario Oxford conciso de etimología inglesa . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-283098-2.
• Houston, Stephen D. (9 de diciembre de 2004). La primera escritura: la invención del guión como historia y proceso. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-83861-0.
• Igarashi, Yoshihide; Altman, Tom; Funada, Mariko; Kamiyama, Bárbara (2014). Computación: una perspectiva histórica y técnica. Prensa CRC. ISBN 978-1-4822-2741-3. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 29 de enero de 2024 .
• Indurkhya, Bipin (2013). "6.5 Álgebras y estructuras". Metáfora y cognición: un enfoque interaccionista . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-017-2252-0. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 21 de enero de 2024 .
• Irving, Ronald S. (2004). Enteros, polinomios y anillos: un curso de álgebra. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-40397-7. Archivado desde el original el 19 de enero de 2024 . Consultado el 20 de enero de 2024 .
• Ivanova, OA (2016). "Anillo". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador. Archivado desde el original el 1 de enero de 2023 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Ivanova, OA; Smirnov, DM (2012). "Isomorfismo". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador.
• Jansana, Ramón (2022). "Lógica proposicional algebraica". La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford. Archivado desde el original el 20 de diciembre de 2016 . Consultado el 22 de enero de 2024 .
• Jarvis, Frazer (2014). Teoría algebraica de números. Saltador. ISBN 978-3-319-07545-7. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Jenkins, Everett (2010). La diáspora musulmana (volumen 1, 570-1500): una cronología completa de la expansión del Islam en Asia, África, Europa y América. McFarland. ISBN 978-0-7864-4713-8. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 28 de enero de 2024 .
• Joyner, David (2008). Aventuras en la teoría de grupos: el cubo de Rubik, la máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos (2 ed.). Prensa de la Universidad Johns Hopkins. ISBN 978-0-8018-9012-3.
• Kachroo, Pushkin; Özbay, Kaan MA (2018). Teoría del control de retroalimentación para la asignación dinámica de tráfico. Saltador. ISBN 978-3-319-69231-9. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Kargapolov, MI; Merzlyakov, Yu. Yo (2016). "Grupo". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador. Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2022 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Khattar, Dinesh; Agrawal, Neha (2023). Teoría de grupos. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-031-21307-6. Archivado desde el original el 19 de enero de 2024 . Consultado el 20 de enero de 2024 .
• Kilty, Joel; McAllister, Alex (2018). Modelización Matemática y Cálculo Aplicado. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-255813-8. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Kleiner, Israel (2007). Una historia del álgebra abstracta. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-8176-4685-1. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Knoebel, Arturo (2011). Gavillas de álgebras sobre espacios booleanos. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-8176-4218-1. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Kramer, Jürg; Pippich, Anna-Maria von (2017). De los números naturales a los cuaterniones. Saltador. ISBN 978-3-319-69429-0. Archivado desde el original el 19 de enero de 2024 . Consultado el 20 de enero de 2024 .
• Kvasz, L. (2006). "La Historia del Álgebra y el Desarrollo de la Forma de su Lenguaje". Filosofía Matemática . 14 (3): 287–317. doi : 10.1093/philmat/nkj017 .
• Lamagna, Edmund A. (2019). Álgebra informática: conceptos y técnicas. Prensa CRC. ISBN 978-1-351-60583-0. Archivado desde el original el 14 de enero de 2024 . Consultado el 16 de enero de 2024 .
• Biblioteca del Congreso. Clasificación de la Biblioteca del Congreso: Clase Q - Ciencias (PDF) . Biblioteca del Congreso.
• Lovett, Stephen (2015). Álgebra abstracta: estructuras y aplicaciones. Prensa CRC. ISBN 978-1-4822-4891-3.
• Maddocks, JR (2008). "Álgebra". En Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee (eds.). La enciclopedia de ciencia Gale (4ª ed.). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2. Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Majewski, Miroslaw (2004). Conceptos básicos de informática MuPAD Pro (2 ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-21943-9.
• Mal'cev, AI (1973). "Cuasivariedades". Sistemas Algebraicos . Saltador. págs. 210–266. doi :10.1007/978-3-642-65374-2_5. ISBN 978-3-642-65374-2. Archivado desde el original el 18 de junio de 2018 . Consultado el 21 de enero de 2024 .
• Mancosu, Paolo (1999). Filosofía de las Matemáticas y Práctica Matemática en el Siglo XVII. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-513244-1. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Markushevich, AI (2015). "Polinomio". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Maxwell, EA (2009). Libro 2 de estructuras y matrices algebraicas. Syracuse University Press. ISBN 978-0-521-10905-5. Archivado desde el original el 19 de enero de 2024 . Consultado el 20 de enero de 2024 .
• McGrath, Mateo; Frank, Devin (2023). "Proposiciones". La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 22 de enero de 2024 .
• McKeague, Charles P. (2014). Álgebra intermedia: un texto/libro de trabajo. Prensa académica. ISBN 978-1-4832-1417-7. Archivado desde el original el 14 de enero de 2024 . Consultado el 16 de enero de 2024 .
• McWeeny, R. (2002). Simetría: una introducción a la teoría de grupos y sus aplicaciones. Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-42182-7. Archivado desde el original el 19 de enero de 2024 . Consultado el 20 de enero de 2024 .
• Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017). Álgebra abstracta: un tratamiento integral. Prensa CRC . ISBN 978-1-4822-5817-2. Archivado desde el original el 27 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Merzlyakov, Yu. I.; Shirshov, AI (2020). "Álgebra 2)". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador. Archivado desde el original el 7 de abril de 2023 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Mortensen, CE (2013). Matemáticas inconsistentes. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-015-8453-1. Archivado desde el original el 17 de enero de 2024 . Consultado el 18 de enero de 2024 .
• Musielak, Dora (2020). Sophie Germain: matemática revolucionaria. Naturaleza Springer. ISBN 978-3-030-38375-6. Archivado desde el original el 25 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Hamburguesa, William F. (2013). Matemáticas para profesores de primaria: un enfoque contemporáneo. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-48700-6.
• Personal de MW (2023). "Definición de Aritmética". Merriam Webster . Archivado desde el original el 14 de noviembre de 2023 . Consultado el 19 de octubre de 2023 .
• Nakahara, Mikio (2018). Geometría, Topología y Física. Taylor y Francisco. ISBN 978-1-4200-5694-5. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Negro, Luca Dal (2022). Ondas en medios complejos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-03750-2. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 21 de enero de 2024 .
• Neri, Ferrante (2019). Álgebra lineal para ciencias e ingeniería computacional. Saltador. ISBN 978-3-030-21321-3. Archivado desde el original el 23 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Olver, Peter J. (13 de enero de 1999). Teoría clásica invariante. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55821-1.
• Personal de la OUP. "Álgebra". Léxico . Prensa de la Universidad de Oxford . Archivado desde el original el 20 de noviembre de 2013.
• Ovchinnikov, Sergei (2015). Sistemas numéricos. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-1-4704-2018-5. Archivado desde el original el 19 de enero de 2024 . Consultado el 20 de enero de 2024 .
• Pickover, Clifford A. (2009). El libro de las matemáticas: de Pitágoras a la dimensión 57, 250 hitos en la historia de las matemáticas. Sterling Publishing Company, Inc. ISBN 978-1-4027-5796-9. Archivado desde el original el 28 de enero de 2024 . Consultado el 28 de enero de 2024 .
• Plotkin, B. (2012). Álgebra universal, lógica algebraica y bases de datos. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-94-011-0820-1. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Pratt, Vaughan (2022). "Álgebra". La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 11 de enero de 2024 .
• Rabadán, Raúl; Blumberg, Andrew J. (2019). Análisis de datos topológicos para genómica y evolución: topología en biología. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-15954-9. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Rohde, Ulrich L.; Jainista, GC; Poddar, Ajay K.; Ghosh, Alaska (2012). Introducción al cálculo diferencial: estudios sistemáticos con aplicaciones de ingeniería para principiantes. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-13014-8. Archivado desde el original el 15 de enero de 2024 . Consultado el 16 de enero de 2024 .
• Romanowski, Perry (2008). "Aritmética". En Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee (eds.). La enciclopedia de ciencia Gale (4ª ed.). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2. Archivado desde el original el 1 de noviembre de 2023 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Rowen, Luis Halle (2006). Álgebra de posgrado: visión conmutativa: visión conmutativa. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-0570-1.
• Seshadri, CS (2010). Estudios de historia de las matemáticas indias. Saltador. ISBN 978-93-86279-49-1. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Sialaros, Michalis (2018). Revoluciones y continuidad en las matemáticas griegas. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-056527-0. Archivado desde el original el 25 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Silvia, MT; Robinson, EA (1979). Deconvolución de Series Temporales Geofísicas en la Exploración de Petróleo y Gas Natural. Elsevier. ISBN 978-0-08-086864-6. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 21 de enero de 2024 .
• Smith, Jonathan DH (2015). Introducción al Álgebra Abstracta. Prensa CRC. ISBN 978-1-4987-3162-1.
• Smorynski, Craig (2007). Historia de las matemáticas: un suplemento. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-75481-9. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Sorell, Tom (12 de octubre de 2000). Descartes: una introducción muy breve. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-285409-4.
• Sterling, Mary Jane (26 de mayo de 2016). Álgebra I para principiantes. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-119-29756-7.
• Sterling, Mary Jane (18 de noviembre de 2021). Álgebra I todo en uno para principiantes. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-119-84306-1.
• Straffin, Philip D. (1980). "Álgebra lineal en geografía: vectores propios de redes". Revista Matemáticas . 53 (5): 269–276. doi :10.2307/2689388. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689388.
• Sullivan, Michael (2010). Matemáticas finitas: un enfoque aplicado. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-87639-8. Archivado desde el original el 17 de enero de 2024 . Consultado el 18 de enero de 2024 .
• Sol, Shuyu; Zhang, Tao (2020). Simulaciones de yacimientos: modelado y aprendizaje automático. Publicaciones profesionales del Golfo. ISBN 978-0-12-820962-2. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024 . Consultado el 29 de enero de 2024 .
• Tan, Kiat Shi; Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2012). SymbolicC++: Introducción al álgebra informática mediante programación orientada a objetos: Introducción al álgebra informática mediante programación orientada a objetos. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4471-0405-6. Archivado desde el original el 14 de enero de 2024 . Consultado el 16 de enero de 2024 .
• Tanton, James (2005). Enciclopedia de Matemáticas . Hechos archivados. ISBN 978-0-8160-5124-3.
• Terras, Audrey (2019). Álgebra abstracta con aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-16407-9.
• Viterbo, Emanuele; Hong, Yi (2011). "3.4 Teoría algebraica de números". En Hlawatsch, Franz; Matz, Gerald (eds.). Comunicaciones inalámbricas a través de canales que varían rápidamente en el tiempo . Prensa académica. ISBN 978-0-08-092272-0. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Voitsekhovskii, MI (2011). "Ecuación lineal". Enciclopedia de Matemáticas . Saltador. Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2023 . Consultado el 10 de enero de 2024 .
• Waerden, Bartel L. van der (2013). Una historia del álgebra: de al-Khwārizmī a Emmy Noether. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-51599-6. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .
• Wagner, Sigrid; Kieran, Carolyn (2018). Temas de investigación en el aprendizaje y la enseñanza del álgebra: la agenda de investigación para la educación matemática, volumen 4. Routledge. ISBN 978-1-135-43421-2. Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Walz, Guido (2016). "Álgebra". Lexikon der Mathematik: Banda 1: A bis Eif (en alemán). Springer-Verlag. ISBN 978-3-662-53498-4. Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Weisstein, Eric W. (2003). Enciclopedia concisa de matemáticas CRC (2ª ed.). Chapman y Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-347-0.
• Williams, Gareth (2007). Álgebra lineal con aplicaciones. Aprendizaje de Jones y Bartlett. ISBN 978-0-7637-5753-3. Archivado desde el original el 17 de enero de 2024 . Consultado el 18 de enero de 2024 .
• Williams, G. Arnell (23 de agosto de 2022). Álgebra la bella: una oda a la materia menos querida de las matemáticas. Libros básicos. ISBN 978-1-5416-0070-6.
• Joven, Cynthia Y. (2010). Precálculo. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-75684-2. Archivado desde el original el 13 de enero de 2024 . Consultado el 16 de enero de 2024 .
• Joven, Cynthia Y. (2023). Precálculo. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-119-86940-5. Archivado desde el original el 17 de enero de 2024 . Consultado el 18 de enero de 2024 .
• Abierto zbMATH (2024). "Clasificación". zbMATH Abierto . Revisiones matemáticas y zbMATH Open . Consultado el 17 de marzo de 2024 .
• Zill, Dennis; Dewar, Jacqueline (2011). Álgebra y Trigonometría. Editores Jones y Bartlett. ISBN 978-0-7637-5461-7. Archivado desde el original el 14 de enero de 2024 . Consultado el 16 de enero de 2024 .
• Zwillinger, Daniel (2002). Tablas y fórmulas matemáticas estándar CRC. Prensa CRC. ISBN 978-1-4200-3534-6. Archivado desde el original el 26 de enero de 2024 . Consultado el 27 de enero de 2024 .

enlaces externos