John Wallis ( / ˈ w ɒ l ɪ s / ; [2] latín : Wallisius ; 3 de diciembre [ OS 23 de noviembre] 1616 - 8 de noviembre [ OS 28 de octubre] 1703) fue un clérigo y matemático inglés , a quien se le da crédito parcial por el desarrollo del cálculo infinitesimal .
Entre 1643 y 1689 se desempeñó como criptógrafo jefe del Parlamento y, más tarde, de la corte real. [3] Se le atribuye la introducción del símbolo ∞ para representar el concepto de infinito . [4] De manera similar usó 1/∞ para un infinitesimal . John Wallis fue contemporáneo de Newton y uno de los más grandes intelectuales del primer renacimiento de las matemáticas . [5]
El 14 de marzo de 1645 se casó con Susanna Glynde ( c. 1600 - 16 de marzo de 1687). Tuvieron tres hijos:
John Wallis nació en Ashford, Kent . Fue el tercero de cinco hijos del reverendo John Wallis y Joanna Chapman. Inicialmente fue educado en una escuela en Ashford, pero se mudó a la escuela de James Movat en Tenterden en 1625 luego de un brote de peste . Wallis estuvo expuesto por primera vez a las matemáticas en 1631, en la escuela Felsted (entonces conocida como la escuela de Martin Holbeach en Felsted); disfrutaba de las matemáticas, pero su estudio era errático, ya que "las matemáticas, en ese momento entre nosotros, rara vez se consideraban estudios académicos, sino más bien mecánicos" (Scriba 1970). En la escuela de Felsted , Wallis aprendió a hablar y escribir en latín . En ese momento, también dominaba el francés , el griego y el hebreo . [9] Como estaba previsto que fuera médico, fue enviado en 1632 al Emmanuel College de Cambridge . [10] Mientras estuvo allí, mantuvo una ley sobre la doctrina de la circulación de la sangre ; Se dijo que ésta fue la primera ocasión en Europa en la que esta teoría se mantuvo públicamente en una disputa. Sus intereses, sin embargo, se centraron en las matemáticas. Recibió su licenciatura en artes en 1637 y una maestría en 1640, luego de ingresar al sacerdocio. De 1643 a 1649, sirvió como escriba sin derecho a voto en la Asamblea de Westminster . Fue elegido para una beca en el Queens' College de Cambridge en 1644, de la que tuvo que dimitir tras su matrimonio.
Durante todo este tiempo, Wallis había estado cerca del partido parlamentario, tal vez como resultado de su exposición a Holbeach en la escuela Felsted. Les prestó una gran ayuda práctica para descifrar los despachos realistas. La calidad de la criptografía en ese momento era mixta; A pesar de los éxitos individuales de matemáticos como François Viète , los principios subyacentes al diseño y análisis de cifrado se entendían muy poco. La mayoría de los cifrados eran métodos ad hoc que dependían de un algoritmo secreto , a diferencia de los sistemas basados en una clave variable . Wallis se dio cuenta de que estos últimos eran mucho más seguros, e incluso los describió como "irrompibles", aunque no confiaba lo suficiente en esta afirmación como para alentar la revelación de algoritmos criptográficos. También le preocupaba el uso de cifrados por parte de potencias extranjeras, rechazando, por ejemplo, la petición de Gottfried Leibniz de 1697 de enseñar criptografía a los estudiantes de Hannover . [11]
Al regresar a Londres (había sido nombrado capellán de St Gabriel Fenchurch en 1643), Wallis se unió al grupo de científicos que más tarde se convertiría en la Royal Society . Finalmente pudo satisfacer sus intereses matemáticos y dominó Clavis Mathematicae de William Oughtred en unas pocas semanas en 1647. Pronto comenzó a escribir sus propios tratados, que trataban de una amplia gama de temas, que continuó durante el resto de su vida. . Wallis escribió el primer estudio sobre conceptos matemáticos en Inglaterra, donde analizó el sistema hindú-árabe. [12]
Wallis se unió a los presbiterianos moderados al firmar la protesta contra la ejecución de Carlos I , por lo que provocó la hostilidad duradera de los independientes. A pesar de su oposición, en 1649 fue designado para la Cátedra Savilian de Geometría en la Universidad de Oxford, donde vivió hasta su muerte el 8 de noviembre [ OS 28 de octubre] de 1703. En 1650, Wallis fue ordenado ministro. Después, pasó dos años con Sir Richard Darley y Lady Vere como capellán privado . En 1661, fue uno de los doce representantes presbiterianos en la Conferencia de Saboya .
Además de sus trabajos matemáticos, escribió sobre teología , lógica , gramática inglesa y filosofía, y participó en el diseño de un sistema para enseñar a hablar a un niño sordo en Littlecote House . [13] William Holder había enseñado anteriormente a un hombre sordo, Alexander Popham, a hablar "clara y claramente, y con un tono bueno y elegante". [14] Más tarde, Wallis se atribuyó el mérito de esto, lo que llevó a Holder a acusar a Wallis de "saquear a sus vecinos y adornarse con sus despojos". [15]
La visita parlamentaria a Oxford , que comenzó en 1647, destituyó a muchos académicos de alto nivel de sus cargos, incluidos, en noviembre de 1648, los profesores Savilian de Geometría y Astronomía. En 1649, Wallis fue nombrado profesor saviliano de geometría. Wallis parece haber sido elegido en gran medida por motivos políticos (como quizás lo había sido su predecesor realista Peter Turner , quien a pesar de su nombramiento para dos cátedras nunca publicó ningún trabajo matemático); Si bien Wallis era quizás el principal criptógrafo del país y formaba parte de un grupo informal de científicos que más tarde se convertiría en la Royal Society , no tenía ninguna reputación particular como matemático. No obstante, el nombramiento de Wallis resultó ampliamente justificado por su trabajo posterior durante los 54 años que sirvió como profesor Savilian. [dieciséis]
Wallis hizo importantes contribuciones a la trigonometría , el cálculo , la geometría y el análisis de series infinitas . En su Opera Mathematica I (1695) introdujo el término " fracción continua ".
En 1655, Wallis publicó un tratado sobre las secciones cónicas en el que se definían analíticamente. Este fue el primer libro en el que se consideran y definen estas curvas como curvas de segundo grado . Ayudó a eliminar parte de la dificultad y oscuridad percibidas en el trabajo de René Descartes sobre geometría analítica . En el Tratado sobre las secciones cónicas, Wallis popularizó el símbolo ∞ para el infinito. Escribió: "Supongo que cualquier plano (siguiendo la Geometría de los Indivisibles de Cavalieri) está formado por un número infinito de líneas paralelas, o como yo preferiría, de un número infinito de paralelogramos de la misma altitud; (sea la altitud de cada uno de estos sea una parte infinitamente pequeña 1/∞ de la altitud total, y sea el símbolo ∞ el Infinito) y la altitud de todos para formar la altitud de la figura." [17]
Arithmetica Infinitorum , la obra más importante de Wallis, se publicó en 1656. En este tratado se sistematizaron y ampliaron los métodos de análisis de Descartes y Cavalieri , pero algunas ideas quedaron abiertas a la crítica. Comenzó, después de un breve tratado sobre secciones cónicas, desarrollando la notación estándar para potencias, extendiéndolas desde números enteros positivos hasta números racionales :
Dejando las numerosas aplicaciones algebraicas de este descubrimiento, procedió a encontrar, por integración , el área encerrada entre la curva y = x m , eje x y cualquier ordenada x = h , y demostró que la relación entre esta área y la del paralelogramo sobre la misma base y la misma altura es 1/( m + 1), ampliando la fórmula de cuadratura de Cavalieri . Aparentemente supuso que el mismo resultado sería válido también para la curva y = ax m , donde a es cualquier constante y m cualquier número positivo o negativo, pero solo analizó el caso de la parábola en la que m = 2 y la hipérbola en el que metro = −1. En este último caso, su interpretación del resultado es incorrecta. Luego demostró que se pueden escribir resultados similares para cualquier curva de la forma
y de ahí que, si la ordenada y de una curva se puede expandir en potencias de x , se puede determinar su área: así dice que si la ecuación de la curva es y = x 0 + x 1 + x 2 +... , su área sería x + x 2/2 + x 3/3 + ... . Luego aplicó esto a la cuadratura de las curvas y = ( x − x 2 ) 0 , y = ( x − x 2 ) 1 , y = ( x − x 2 ) 2 , etc., tomadas entre los límites x = 0 y x = 1. Demuestra que las áreas son, respectivamente, 1, 1/6, 1/30, 1/140, etc. Luego consideró curvas de la forma y = x 1/ m y estableció el teorema de que el área delimitada por esta curva y las líneas x = 0 y x = 1 es igual al área del rectángulo en la misma base y de la misma altitud que m : m + 1. Esto equivale a calcular
Ilustró esto con la parábola, en cuyo caso m = 2. Expuso, pero no demostró, el resultado correspondiente para una curva de la forma y = x p / q .
Wallis mostró un ingenio considerable al reducir las ecuaciones de las curvas a las formas dadas anteriormente, pero, como no estaba familiarizado con el teorema del binomio , no pudo efectuar la cuadratura del círculo , cuya ecuación es , ya que no pudo expandirla en potencias. de x . Sin embargo, estableció el principio de interpolación . Así, como la ordenada del círculo es la media geométrica de las ordenadas de las curvas y , se podría suponer que, como aproximación, el área del semicírculo que es podría tomarse como la media geométrica de los valores de
es decir, y ; esto equivale a tomar o 3,26... como valor de π. Pero, argumentó Wallis, de hecho tenemos una serie ... y por lo tanto el término interpolado entre y debe elegirse de manera que obedezca la ley de esta serie. [ se necesita aclaración ] Esto, mediante un método elaborado que no se describe aquí en detalle, conduce a un valor para el término interpolado que equivale a tomar
(que ahora se conoce como producto Wallis ).
En este trabajo también se analizan la formación y propiedades de fracciones continuas , tema que se destacó por el uso que hizo Brouncker de estas fracciones.
Unos años más tarde, en 1659, Wallis publicó un tratado que contenía la solución de los problemas de la cicloide propuestos por Blaise Pascal . En este, de paso, explicó cómo los principios establecidos en su Arithmetica Infinitorum podrían usarse para la rectificación de curvas algebraicas y dio una solución al problema de rectificar (es decir, encontrar la longitud de) la parábola semicúbica x 3 = ay 2 , que Había sido descubierto en 1657 por su alumno William Neile . Como todos los intentos de rectificar la elipse y la hipérbola habían sido (necesariamente) ineficaces, se suponía que no se podía rectificar ninguna curva, como de hecho Descartes había afirmado definitivamente que era el caso. La espiral logarítmica había sido rectificada por Evangelista Torricelli y fue la primera línea curva (aparte del círculo) cuya longitud se determinó, pero la extensión de Neile y Wallis a una curva algebraica fue novedosa. La cicloide fue la siguiente curva rectificada; esto fue hecho por Christopher Wren en 1658.
A principios de 1658, van Heuraët hizo un descubrimiento similar, independiente del de Neile, que fue publicado por van Schooten en su edición de la Geometria de Descartes en 1659. El método de Van Heuraët es el siguiente. Supone que la curva se refiere a ejes rectangulares; si esto es así, y si ( x , y ) son las coordenadas de cualquier punto sobre él, y n es la longitud de la normal, [ se necesita aclaración ] y si se toma otro punto cuyas coordenadas son ( x , η ) tal que η : h = n : y , donde h es una constante; entonces, si ds es el elemento de la longitud de la curva requerida, tenemos por triángulos semejantes ds : dx = n : y . Por lo tanto, h ds = η dx . Por lo tanto, si se puede encontrar el área del lugar geométrico del punto ( x , η ), se puede rectificar la primera curva. De esta manera van Heuraët efectuó la rectificación de la curva y 3 = ax 2 pero añadió que la rectificación de la parábola y 2 = ax es imposible ya que requiere la cuadratura de la hipérbola. Las soluciones dadas por Neile y Wallis son algo similares a las dadas por van Heuraët, aunque no se enuncia ninguna regla general y el análisis es torpe. Fermat sugirió un tercer método en 1660, pero es poco elegante y laborioso.
La teoría de la colisión de cuerpos fue propuesta por la Royal Society en 1668 para la consideración de los matemáticos. Wallis, Christopher Wren y Christiaan Huygens enviaron soluciones correctas y similares, todas ellas dependiendo de lo que ahora se llama conservación del impulso ; pero, mientras Wren y Huygens limitaron su teoría a cuerpos perfectamente elásticos ( colisión elástica ), Wallis consideró también cuerpos imperfectamente elásticos ( colisión inelástica ). A éste le siguió en 1669 un trabajo sobre estática (centros de gravedad) y en 1670 otro sobre dinámica : estos trabajos proporcionan una sinopsis conveniente de lo que se sabía entonces sobre el tema.
En 1685 Wallis publicó Álgebra , precedido de un relato histórico del desarrollo de la materia, que contiene una gran cantidad de información valiosa. La segunda edición, publicada en 1693 y que constituye el segundo volumen de su Ópera , fue considerablemente ampliada. Esta álgebra es digna de mención por contener el primer uso sistemático de fórmulas. Una magnitud dada se representa aquí por la relación numérica que guarda con la unidad del mismo tipo de magnitud: así, cuando Wallis quiere comparar dos longitudes, considera que cada una contiene tantas unidades de longitud. Esto quizás quede más claro si observamos que Wallis denota la relación entre el espacio descrito en cualquier tiempo por una partícula que se mueve con una velocidad uniforme mediante la fórmula
donde s es el número que representa la relación entre el espacio descrito y la unidad de longitud; mientras que los escritores anteriores habrían denotado la misma relación al establecer lo que es equivalente a la proposición
A Wallis se le atribuye el mérito de ser el creador de la recta numérica "para cantidades negativas" [18] y "con fines operativos". [19] Esto se basa en un pasaje de su tratado de álgebra de 1685 en el que introdujo una recta numérica para ilustrar la legitimidad de las cantidades negativas: [20]
Sin embargo, ¿esa suposición (de cantidades negativas) no es inútil o absurda? cuando se entiende correctamente. Y aunque, en cuanto a la simple notación algebraica, importa una cantidad menor que nada; sin embargo, cuando se trata de una aplicación física, denota una cantidad tan real como si el signo lo fuera ; pero debe interpretarse en sentido contrario... , significa Yardas Adelante; y significa Yardas hacia atrás.
También se ha observado que, en un trabajo anterior, Wallis llegó a la conclusión de que la proporción entre un número positivo y uno negativo es mayor que el infinito. El argumento involucra el cociente y considera lo que sucede cuando se acerca y luego cruza el punto desde el lado positivo. [21] Wallis no estaba solo en este pensamiento: Leonhard Euler llegó a la misma conclusión al considerar la serie geométrica , evaluada en , seguido de un razonamiento similar al de Wallis (resolvió la paradoja distinguiendo diferentes tipos de números negativos). [18]
Generalmente se le atribuye la demostración del teorema de Pitágoras utilizando triángulos semejantes . Sin embargo, Thabit Ibn Qurra (901 d. C.), un matemático árabe, había producido una generalización del teorema de Pitágoras aplicable a todos los triángulos seis siglos antes. Es una conjetura razonable que Wallis conocía el trabajo de Thabit. [22]
Wallis también se inspiró en las obras del matemático islámico Sadr al-Tusi, hijo de Nasir al-Din al-Tusi , particularmente en el libro de al-Tusi escrito en 1298 sobre el postulado paralelo . El libro se basó en los pensamientos de su padre y presentó uno de los primeros argumentos a favor de una hipótesis no euclidiana equivalente al postulado paralelo. Después de leer esto, Wallis escribió sobre sus ideas mientras desarrollaba sus propios pensamientos sobre el postulado, tratando de probarlo también con triángulos similares. [23]
Descubrió que el quinto postulado de Euclides es equivalente al que actualmente se denomina "postulado de Wallis" en su honor. Este postulado establece que "Sobre una recta finita dada siempre es posible construir un triángulo semejante a un triángulo dado". Este resultado se enmarcó en una tendencia que hoy se sabe que es imposible deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los otros cuatro postulados. A diferencia de otros autores, se dio cuenta de que los cuatro primeros postulados no garantizaban el crecimiento ilimitado de un triángulo. [24]
Otro aspecto de las habilidades matemáticas de Wallis fue su capacidad para realizar cálculos mentales. Dormía mal y a menudo hacía cálculos mentales mientras yacía despierto en su cama. Una noche calculó mentalmente la raíz cuadrada de un número de 53 cifras. Por la mañana dictó la raíz cuadrada de 27 cifras del número, todavía enteramente de memoria. Fue una hazaña que se consideró notable, y Henry Oldenburg , el secretario de la Royal Society, envió a un colega a investigar cómo lo hizo Wallis. Se consideró lo suficientemente importante como para merecer una discusión en las Philosophical Transactions of the Royal Society de 1685. [25] [26]
Wallis tradujo al latín obras de Ptolomeo y Bryennius, y el comentario de Porfirio sobre Ptolomeo. También publicó tres cartas a Henry Oldenburg sobre la afinación. Aprobaba el temperamento igual , que se estaba utilizando en los órganos de Inglaterra. [27]
Su Institutio logicae , publicada en 1687, fue muy popular. [4] La Grammatica linguae Anglicanae fue una obra sobre gramática inglesa que permaneció impresa hasta bien entrado el siglo XVIII. También publicó sobre teología. [4]
Mientras trabajaba como capellán de lady Vere en 1642, Wallis recibió una carta cifrada sobre la caída de Chicester que logró descifrar en dos horas. Así inició su carrera como criptógrafo. Fue un partidario moderado del bando parlamentario en la Primera Guerra Civil Inglesa y, por lo tanto, trabajó como descifrador de correspondencia interceptada para los líderes parlamentarios. Por sus servicios fue recompensado con las Livings of St. Gabriel y St. Martin's en Londres . [28]
Debido a sus simpatías parlamentarias, Wallis no fue empleado como criptógrafo después de la Restauración de los Estuardo , [29] pero después de la Revolución Gloriosa fue buscado por Lord Nottingham y frecuentemente empleado para descifrar correspondencia cifrada interceptada, aunque pensó que no siempre estaba adecuadamente recompensado por su trabajo. [a] El rey Guillermo III de 1689 también empleó a Wallis como criptógrafo, a veces casi a diario. Los mensajeros le llevaban cartas para descifrarlas y esperaban el producto frente a su estudio. El rey se interesó personalmente en el trabajo y el bienestar de Wallis, como lo demuestra una carta que envió al gran pensionista holandés Anthonie Heinsius en 1689. [29]
En estos primeros días del reinado guillermita , obtener directamente cartas extranjeras interceptadas era un problema para los ingleses, ya que todavía no contaban con los recursos de las Cámaras Negras extranjeras, pero aliados como el Elector de Brandeburgo sin sus propias Cámaras Negras ocasionalmente hacían regalos de correspondencia interceptada, como la carta del rey Luis XIV de Francia al rey Juan III Sobieski de Polonia , que el rey Guillermo utilizó en 1689 para provocar una crisis en las relaciones diplomáticas franco-polacas. Fue bastante abierto al respecto y Wallis fue recompensado por su papel. [31] Pero Wallis se puso nervioso de que los franceses pudieran tomar medidas contra él. [32]
La relación de Walli con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz fue cordial. Pero Leibniz también tenía intereses criptográficos e intentó que Wallis divulgara algunos de sus secretos comerciales, lo que Wallis se negó a hacer por una cuestión de principios patrióticos. [33]
Smith da un ejemplo del minucioso trabajo que realizó Wallis, como lo describe él mismo en una carta a Richard Hampden del 3 de agosto de 1689. En ella da una descripción detallada de su trabajo en una carta en particular y las partes con las que había encontrado dificultades. [34]
La correspondencia de Wallis también muestra detalles de la forma en que se defendió a sí mismo, cuando pensaba que estaba subestimado, financieramente o de otra manera. Presionó con entusiasmo, tanto en su propio nombre como en el de sus familiares, como lo atestiguan las cartas a Lord Nottingham, Richard Hampden y el parlamentario Harbord Harbord que cita Smith. [35] En una carta al enviado inglés a Prusia, James Johnston Wallis se queja amargamente de que un cortesano del elector prusiano, llamado Smetteau, le había hecho mal en materia de compensación justa por los servicios prestados al elector. En la carta da detalles de lo que había hecho y da consejos sobre un cifrado de sustitución simple para uso del propio Johnston. [36]
Las contribuciones de Wallis al arte de la criptografía no fueron sólo de carácter "tecnológico". De Leeuw señala que incluso las contribuciones "puramente científicas" de Wallis a la ciencia de la lingüística en el campo de la "racionalidad" del lenguaje natural , tal como se desarrolló con el tiempo, desempeñaron un papel en el desarrollo de la criptología como ciencia. El desarrollo de Wallis de un modelo de gramática inglesa, independiente de modelos anteriores basados en la gramática latina, es un ejemplo de la forma en que, en su opinión, otras ciencias ayudaron a desarrollar la criptología. [37]
Wallis intentó enseñarle a su propio hijo John y al nieto de su hija Anne, William Blencowe, los trucos del oficio. Con William tuvo tanto éxito que pudo persuadir al gobierno para que permitiera que su nieto obtuviera la pensión anual de 100 libras esterlinas que Wallis había recibido como compensación por su trabajo criptográfico. [38]
William Blencowe finalmente sucedió a Wallis como criptógrafo oficial de la reina Ana después de la muerte de Wallis en 1703. [39]
![{\displaystyle x^{2/3}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7b917ee8df59ead6e27c56ce459e2761baafb9)
![{\displaystyle x^{1/n}={\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94140b99de85804d7b71ccd80aa498a9d374bdd2)
![{\displaystyle x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c8c535fff27c5351373ce819cd68f5c8e16670)
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