Euclides ( / ˈ j uː k l ɪ d / ; griego : Εὐκλείδης ; fl. 300 a. C.) fue un matemático griego antiguo activo como geómetra y lógico . [2] Considerado el "padre de la geometría", [3] es conocido principalmente por el tratado Elementos , que estableció las bases de la geometría que dominó en gran medida este campo hasta principios del siglo XIX. Su sistema, ahora conocido como geometría euclidiana , implicó nuevas innovaciones en combinación con una síntesis de teorías de matemáticos griegos anteriores, incluidos Eudoxo de Cnido , Hipócrates de Quíos , Tales y Teeteto . Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga , Euclides es generalmente considerado entre los más grandes matemáticos de la antigüedad y uno de los más influyentes en la historia de las matemáticas .
Se sabe muy poco sobre la vida de Euclides y la mayor parte de la información proviene de los eruditos Proclo y Pappus de Alejandría muchos siglos después. Los matemáticos islámicos medievales inventaron una biografía fantasiosa, y los eruditos medievales bizantinos y del primer Renacimiento lo confundieron con el filósofo anterior Euclides de Megara . Actualmente se acepta generalmente que pasó su carrera en Alejandría y vivió alrededor del año 300 a. C., después de los alumnos de Platón y antes de Arquímedes. Se especula que Euclides estudió en la Academia Platónica y más tarde enseñó en el Museo ; Se considera que une la tradición platónica anterior de Atenas con la tradición posterior de Alejandría.
En los Elementos , Euclides dedujo los teoremas a partir de un pequeño conjunto de axiomas . También escribió obras sobre perspectiva , secciones cónicas , geometría esférica , teoría de números y rigor matemático . Además de los Elementos , Euclides escribió un texto temprano central en el campo de la óptica , Óptica , y obras menos conocidas como Datos y Fenómenos . Se ha cuestionado la autoría de Euclides de Sobre divisiones de figuras y catóptrica . Se cree que escribió muchas obras perdidas.
El nombre inglés 'Euclid' es la versión inglesa del nombre griego antiguo Eukleídes ( Εὐκλείδης ). [4] [a] Se deriva de 'eu-' (εὖ; 'bien') y 'klês' (-κλῆς; 'fama'), que significa "reconocido, glorioso". [6] En inglés, por metonimia , 'Euclides' puede significar su obra más conocida, Los Elementos de Euclides , o una copia de la misma, [5] y a veces es sinónimo de 'geometría'. [2]
Como ocurre con muchos matemáticos griegos antiguos , los detalles de la vida de Euclides son en su mayoría desconocidos. [7] Se le acepta como autor de cuatro tratados, en su mayoría existentes: los Elementos , la Óptica , los Datos y los Fenómenos , pero aparte de esto, no se sabe nada con certeza sobre él. [8] [b] La narrativa tradicional sigue principalmente el relato del siglo V d. C. de Proclo en su Comentario al primer libro de los Elementos de Euclides , así como algunas anécdotas de Pappus de Alejandría a principios del siglo IV. [4] [c]
Según Proclo, Euclides vivió poco después de varios de los seguidores de Platón ( m. 347 a. C.) y antes del matemático Arquímedes ( c. 287 – c. 212 a. C.); [d] específicamente, Proclo colocó a Euclides durante el gobierno de Ptolomeo I ( r. 305/304–282 a. C.). [7] [8] [e] Se desconoce la fecha de nacimiento de Euclides; algunos estudiosos estiman alrededor del 330 [11] [12] o 325 a. C., [2] [13] pero otros se abstienen de especular. [14] Se presume que era de ascendencia griega, [11] pero se desconoce su lugar de nacimiento. [15] [f] Proclo sostuvo que Euclides seguía la tradición platónica , pero no hay una confirmación definitiva para esto. [17] Es poco probable que fuera contemporáneo de Platón, por lo que a menudo se presume que fue educado por los discípulos de Platón en la Academia Platónica de Atenas. [18] El historiador Thomas Heath apoyó esta teoría, señalando que la mayoría de los geómetras capaces vivían en Atenas, incluidos muchos de aquellos cuyo trabajo basó Euclides; [19] El historiador Michalis Sialaros considera que esto es una mera conjetura. [4] [20] En cualquier caso, el contenido de la obra de Euclides demuestra familiaridad con la tradición de la geometría platónica. [11]
En su Colección , Pappus menciona que Apolonio estudió con los estudiantes de Euclides en Alejandría , y esto se ha interpretado en el sentido de que Euclides trabajó y fundó una tradición matemática allí. [8] [21] [19] La ciudad fue fundada por Alejandro Magno en 331 a. C., [22] y el gobierno de Ptolomeo I desde el 306 a. C. en adelante le dio una estabilidad que fue relativamente única en medio de las caóticas guerras para dividir el imperio de Alejandro. . [23] Ptolomeo inició un proceso de helenización y encargó numerosas construcciones, construyendo la enorme institución Museo , que era un destacado centro educativo. [15] [g] Se especula que Euclides estuvo entre los primeros eruditos del Museo. [22] Se desconoce la fecha de muerte de Euclides; se ha especulado que murió c. 270 a.C. [22]
A menudo se hace referencia a Euclides como "Euclides de Alejandría" para diferenciarlo del anterior filósofo Euclides de Megara , un alumno de Sócrates incluido en los diálogos de Platón con quien históricamente se le comparó. [4] [14] Valerio Máximo , el compilador romano de anécdotas del siglo I d. C., sustituyó erróneamente el nombre de Euclides por Eudoxo (siglo IV a. C.) como el matemático a quien Platón envió a quienes le preguntaban cómo duplicar el cubo . [26] Quizás sobre la base de esta mención de un Euclides matemático aproximadamente un siglo antes, Euclides se confundió con Euclides de Megara en fuentes bizantinas medievales (ahora perdidas), [27] lo que finalmente llevó a que a Euclides el matemático se le atribuyeran detalles de ambos. biografías de hombres y descrito como Megarensis ( literalmente ' de Megara ' ). [4] [28] El erudito bizantino Teodoro Metoquita ( c. 1300 ) combinó explícitamente a los dos Euclides, al igual que la edición princeps de 1482 del impresor Erhard Ratdolt de la traducción latina de los Elementos de Campanus de Novara . [27] Según el matemático Bartolomeo Zamberti añadió la mayoría de los fragmentos biográficos existentes sobre Euclides al prefacio de su traducción de los Elementos de 1505 ; las publicaciones posteriores transmitieron esta identificación. [27] Los eruditos del Renacimiento posterior, particularmente Peter Ramus , reevaluaron esta afirmación, demostrando que era falsa a través de cuestiones de cronología y contradicciones en las primeras fuentes. [27]
Las fuentes árabes medievales brindan una gran cantidad de información sobre la vida de Euclides, pero son completamente imposibles de verificar. [4] La mayoría de los estudiosos los consideran de dudosa autenticidad; [8] Heath en particular sostiene que la ficcionalización se hizo para fortalecer la conexión entre un matemático venerado y el mundo árabe. [17] También hay numerosas historias anecdóticas sobre Euclides, todas de historicidad incierta, que "lo representan como un anciano amable y gentil". [29] La más conocida de ellas es la historia de Proclo sobre Ptolomeo preguntando a Euclides si había un camino más rápido para aprender geometría que leer sus Elementos , a lo que Euclides respondió con "no existe un camino real hacia la geometría". [29] Esta anécdota es cuestionable ya que Stobaeus registra una interacción muy similar entre Menecmo y Alejandro Magno . [30] Ambos relatos fueron escritos en el siglo V d.C., ninguno indica su fuente y ninguno aparece en la literatura griega antigua. [31]
Cualquier datación firme de la actividad de Euclides c. El año 300 a.C. está en entredicho por la falta de referencias contemporáneas. [4] La referencia original más antigua a Euclides se encuentra en la carta preliminar de Apolonio a las Cónicas (principios del siglo II a. C.): "El tercer libro de las Cónicas contiene muchos teoremas sorprendentes que son útiles tanto para la síntesis como para la determinación del número de soluciones. de loci sólidos La mayoría de ellos, y los mejores de ellos, son novedosos y cuando los descubrimos nos dimos cuenta de que Euclides no había hecho la síntesis del locus en tres y cuatro líneas sino sólo un fragmento accidental del mismo, e incluso eso. no se hizo felizmente." [26] Se especula que Los Elementos estuvieron al menos parcialmente en circulación en el siglo III a. C., ya que Arquímedes y Apolonio dan por sentadas varias de sus proposiciones; [4] sin embargo, Arquímedes emplea una variante más antigua de la teoría de proporciones que la que se encuentra en los Elementos . [8] Las copias físicas más antiguas del material incluido en los Elementos , que datan aproximadamente del año 100 d.C., se pueden encontrar en fragmentos de papiro desenterrados en un antiguo montón de basura de Oxirrinco , Egipto romano . Las citas directas más antiguas que se conservan de los Elementos en obras cuyas fechas se conocen firmemente no son hasta el siglo II d. C., por Galeno y Alejandro de Afrodisias ; en ese momento era un texto escolar estándar. [26] Algunos matemáticos griegos antiguos mencionan a Euclides por su nombre, pero generalmente se le conoce como "ὁ στοιχειώτης" ("el autor de los Elementos "). [32] En la Edad Media, algunos eruditos sostuvieron que Euclides no era un personaje histórico y que su nombre surgió de una corrupción de términos matemáticos griegos. [33]
Euclides es mejor conocido por su tratado de trece libros, los Elementos ( griego : Στοιχεῖα ; Stoicheia ), considerado su obra maestra . [3] [35] Gran parte de su contenido se origina en matemáticos anteriores, incluidos Eudoxo , Hipócrates de Quíos , Tales y Teeteto , mientras que Platón y Aristóteles mencionan otros teoremas. [36] Es difícil diferenciar el trabajo de Euclides del de sus predecesores, especialmente porque los Elementos esencialmente reemplazaron a las matemáticas griegas mucho más antiguas y ahora perdidas. [37] [h] El clasicista Markus Asper concluye que "aparentemente el logro de Euclides consiste en reunir el conocimiento matemático aceptado en un orden convincente y agregar nuevas pruebas para llenar los vacíos" y la historiadora Serafina Cuomo lo describió como un "depósito de resultados". . [38] [36] A pesar de esto, Sialaros añade que "la estructura notablemente estricta de los Elementos revela un control del autor más allá de los límites de un mero editor". [9]
Los Elementos no tratan exclusivamente de geometría como a veces se cree. [37] Tradicionalmente se divide en tres temas: geometría plana (libros 1 a 6), teoría básica de números (libros 7 a 10) y geometría sólida (libros 11 a 13), aunque el libro 5 (sobre proporciones) y el 10 (sobre líneas irracionales ) no encajan exactamente en este esquema. [39] [40] El corazón del texto son los teoremas dispersos por todas partes. [35] Utilizando la terminología de Aristóteles, estos pueden dividirse generalmente en dos categorías: "primeros principios" y "segundos principios". [41] El primer grupo incluye declaraciones etiquetadas como una "definición" ( griego : ὅρος o ὁρισμός ), un "postulado" ( αἴτημα ) o una "noción común" ( κοινὴ ἔννοια ); [41] [42] sólo el primer libro incluye postulados, más tarde conocidos como axiomas , y nociones comunes. [37] [i] El segundo grupo consta de proposiciones, presentadas junto con pruebas matemáticas y diagramas. [41] Se desconoce si Euclides pretendía que los Elementos fueran un libro de texto, pero su método de presentación lo hace ideal. [9] En su conjunto, la voz del autor sigue siendo general e impersonal. [36]
El Libro 1 de los Elementos es fundamental para todo el texto. [37] Comienza con una serie de 20 definiciones de conceptos geométricos básicos como líneas , ángulos y varios polígonos regulares . [44] Euclides luego presenta 10 supuestos (ver tabla a la derecha), agrupados en cinco postulados (axiomas) y cinco nociones comunes. [45] [k] Estos supuestos pretenden proporcionar la base lógica para cada teorema posterior, es decir, servir como un sistema axiomático . [46] [l] Las nociones comunes se refieren exclusivamente a la comparación de magnitudes . [48] Si bien los postulados 1 a 4 son relativamente sencillos, [m] el quinto se conoce como el postulado paralelo y es particularmente famoso. [48] [n] El Libro 1 también incluye 48 proposiciones, que pueden dividirse libremente en aquellas relativas a teoremas y construcciones básicos de geometría plana y congruencia de triángulos (1-26); líneas paralelas (27–34); el área de triángulos y paralelogramos (35–45); y el teorema de Pitágoras (46-48). [48] El último de ellos incluye la prueba más antigua que se conserva del teorema de Pitágoras, descrita por Sialaros como "notablemente delicada". [41]
Tradicionalmente se entiende que el libro 2 se refiere al " álgebra geométrica ", aunque esta interpretación ha sido intensamente debatida desde la década de 1970; Los críticos describen la caracterización como anacrónica, ya que los fundamentos incluso del álgebra incipiente se produjeron muchos siglos después. [41] El segundo libro tiene un alcance más centrado y principalmente proporciona teoremas algebraicos para acompañar varias formas geométricas. [37] [48] Se centra en el área de rectángulos y cuadrados (ver Cuadratura ) y conduce a un precursor geométrico de la ley de los cosenos . [50] El libro 3 se centra en los círculos, mientras que el 4º analiza los polígonos regulares , especialmente el pentágono . [37] [51] El libro 5 se encuentra entre las secciones más importantes de la obra y presenta lo que generalmente se denomina "teoría general de la proporción". [52] [o] El libro 6 utiliza la "teoría de las proporciones " en el contexto de la geometría plana. [37] Se basa casi en su totalidad en su primera proposición: [53] "Los triángulos y paralelogramos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases". [54]
Desde el libro 7 en adelante, el matemático Benno Artmann La teoría de números está cubierta por los libros 7 a 10; el primero comienza con un conjunto de 22 definiciones de paridad , números primos y otros conceptos relacionados con la aritmética. [37] El libro 7 incluye el algoritmo euclidiano , un método para encontrar el máximo común divisor de dos números. [55] El octavo libro analiza las progresiones geométricas , mientras que el libro noveno incluye la proposición, ahora llamada teorema de Euclides , de que hay infinitos números primos . [37] De los Elementos , el libro 10 es, con diferencia, el más extenso y complejo, y trata de números irracionales en el contexto de las magnitudes. [41]
señala que "Euclides comienza de nuevo. No se utiliza nada de los libros anteriores". [55]Los últimos tres libros (11-13) analizan principalmente la geometría sólida . [39] Al introducir una lista de 37 definiciones, el Libro 11 contextualiza las dos siguientes. [56] Aunque su carácter fundamental se parece al Libro 1, a diferencia de este último no presenta ningún sistema axiomático o postulados. [56] Las tres secciones del Libro 11 incluyen contenido sobre geometría sólida (1–19), ángulos sólidos (20–23) y sólidos paralelepipédicos (24–37). [56]
Además de los Elementos , hasta nuestros días han llegado al menos cinco obras de Euclides. Siguen la misma estructura lógica que los Elementos , con definiciones y proposiciones probadas.
Otras cuatro obras se atribuyen de manera creíble a Euclides, pero se han perdido. [9]
Euclides es generalmente considerado, junto con Arquímedes y Apolonio de Perge, uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad. [11] Muchos comentaristas lo citan como una de las figuras más influyentes en la historia de las matemáticas . [2] El sistema geométrico establecido por los Elementos dominó durante mucho tiempo el campo; sin embargo, hoy en día ese sistema suele denominarse " geometría euclidiana " para distinguirlo de otras geometrías no euclidianas descubiertas a principios del siglo XIX. [61] Entre los muchos homónimos de Euclides se encuentran la nave espacial Euclides de la Agencia Espacial Europea (ESA) , [62] el cráter lunar Euclides , [63] y el planeta menor 4354 Euclides . [64]
Los Elementos a menudo se consideran, después de la Biblia , el libro más traducido, publicado y estudiado en la historia del mundo occidental . [61] Junto con la Metafísica de Aristóteles , los Elementos son quizás el texto griego antiguo de mayor éxito y fue el libro de texto matemático dominante en los mundos árabe y latino medieval. [61]
La primera edición en inglés de los Elementos fue publicada en 1570 por Henry Billingsley y John Dee . [27] El matemático Oliver Byrne publicó una conocida versión de los Elementos en 1847 titulada Los primeros seis libros de los elementos de Euclides en los que se utilizan diagramas y símbolos coloreados en lugar de letras para mayor facilidad de los estudiantes , que incluía diagramas coloreados. pretende aumentar su efecto pedagógico. [65] David Hilbert fue autor de una axiomatización moderna de los Elementos . [66]