Ecuación de Schrödinger

Descripción de un sistema mecánico cuántico

Ecuación de Schrödinger inscrita en la lápida de Annemarie y Erwin Schrödinger. ( Se utiliza la notación de puntos de Newton para la derivada temporal).

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial que gobierna la función de onda de un sistema mecánico cuántico. ^{[1] : 1–2} Su descubrimiento fue un hito significativo en el desarrollo de la mecánica cuántica . Recibe su nombre en honor a Erwin Schrödinger , quien postuló la ecuación en 1925 y la publicó en 1926, formando la base del trabajo que resultó en su Premio Nobel de Física en 1933. ^{[2] [3]}

Conceptualmente, la ecuación de Schrödinger es la contraparte cuántica de la segunda ley de Newton en la mecánica clásica . Dado un conjunto de condiciones iniciales conocidas, la segunda ley de Newton realiza una predicción matemática sobre qué camino tomará un sistema físico dado a lo largo del tiempo. La ecuación de Schrödinger proporciona la evolución a lo largo del tiempo de la función de onda , la caracterización mecánico-cuántica de un sistema físico aislado. La ecuación fue postulada por Schrödinger basándose en un postulado de Louis de Broglie de que toda la materia tiene una onda de materia asociada . La ecuación predijo estados ligados del átomo de acuerdo con las observaciones experimentales. ^{[4] : II:268}

La ecuación de Schrödinger no es la única forma de estudiar los sistemas mecánicos cuánticos y hacer predicciones. Otras formulaciones de la mecánica cuántica incluyen la mecánica matricial , introducida por Werner Heisenberg , y la formulación de la integral de trayectorias , desarrollada principalmente por Richard Feynman . Cuando se comparan estos enfoques, el uso de la ecuación de Schrödinger a veces se denomina "mecánica ondulatoria". La ecuación de Klein-Gordon es una ecuación de onda que es la versión relativista de la ecuación de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger no es relativista porque contiene una primera derivada en el tiempo y una segunda derivada en el espacio, y por lo tanto el espacio y el tiempo no están en igualdad de condiciones.

Paul Dirac incorporó la relatividad especial y la mecánica cuántica en una única formulación que se simplifica a la ecuación de Schrödinger en el límite no relativista. Esta es la ecuación de Dirac , que contiene una única derivada tanto en el espacio como en el tiempo. La EDP de segunda derivada de la ecuación de Klein-Gordon condujo a un problema con la densidad de probabilidad a pesar de que era una ecuación de onda relativista . La densidad de probabilidad podría ser negativa, lo que es físicamente inviable. Esto fue solucionado por Dirac tomando la llamada raíz cuadrada del operador de Klein-Gordon y, a su vez, introduciendo matrices de Dirac . En un contexto moderno, la ecuación de Klein-Gordon describe partículas sin espín , mientras que la ecuación de Dirac describe partículas con espín 1/2 .

Definición

Preliminares

Gráfica compleja de una función de onda que satisface la ecuación no relativista de Schrödinger con V = 0. Para más detalles, consulte el paquete de ondas

Los cursos introductorios de física o química suelen introducir la ecuación de Schrödinger de una forma que se puede apreciar conociendo únicamente los conceptos y notaciones del cálculo básico , en particular las derivadas con respecto al espacio y al tiempo. Un caso especial de la ecuación de Schrödinger que admite un enunciado en esos términos es la ecuación de Schrödinger en el espacio de posición para una única partícula no relativista en una dimensión: Aquí, es una función de onda, una función que asigna un número complejo a cada punto en cada tiempo . El parámetro es la masa de la partícula, y es el potencial que representa el entorno en el que existe la partícula. ^{[5] : 74} La constante es la unidad imaginaria , y es la constante de Planck reducida , que tiene unidades de acción ( energía multiplicada por tiempo). ^{[5] : 10} $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t).}$$ ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(x,t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hbar }$

Ampliando más allá de este caso simple, la formulación matemática de la mecánica cuántica desarrollada por Paul Dirac , ^[6] David Hilbert , ^[7] John von Neumann , ^[8] y Hermann Weyl ^[9] define el estado de un sistema mecánico cuántico como un vector perteneciente a un espacio de Hilbert complejo separable . Se postula que este vector está normalizado bajo el producto interno del espacio de Hilbert, es decir, en la notación de Dirac obedece a . La naturaleza exacta de este espacio de Hilbert depende del sistema; por ejemplo, para describir la posición y el momento, el espacio de Hilbert es el espacio de funciones integrables al cuadrado , mientras que el espacio de Hilbert para el espín de un solo protón es el espacio vectorial complejo bidimensional con el producto interno habitual. ^{[5] : 322} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Las magnitudes físicas de interés (posición, momento, energía, espín) se representan mediante observables , que son operadores autoadjuntos que actúan sobre el espacio de Hilbert. Una función de onda puede ser un vector propio de un observable, en cuyo caso se denomina estado propio , y el valor propio asociado corresponde al valor del observable en ese estado propio. De manera más general, un estado cuántico será una combinación lineal de los estados propios, conocida como superposición cuántica . Cuando se mide un observable, el resultado será uno de sus valores propios con probabilidad dada por la regla de Born : en el caso más simple, el valor propio no es degenerado y la probabilidad viene dada por , donde es su vector propio asociado. De manera más general, el valor propio es degenerado y la probabilidad viene dada por , donde es el proyector sobre su espacio propio asociado. ^{[nota 1]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$

Un estado propio de momento sería una onda perfectamente monocromática de extensión infinita, que no es integrable al cuadrado. Del mismo modo, un estado propio de posición sería una distribución delta de Dirac , no integrable al cuadrado y técnicamente no una función en absoluto. En consecuencia, ninguno puede pertenecer al espacio de Hilbert de la partícula. Los físicos a veces consideran estos estados propios como "vectores propios generalizados" para un espacio de Hilbert compuesto de elementos fuera de ese espacio. Estos se utilizan para conveniencia de cálculo y no representan estados físicos. ^{[10] [11] : 100–105} Por lo tanto, una función de onda del espacio de posición como la utilizada anteriormente se puede escribir como el producto interno de un vector de estado dependiente del tiempo con "estados propios de posición" no físicos pero convenientes : ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$ $${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x|\Psi (t)\rangle .}$$

Ecuación dependiente del tiempo

La forma de la ecuación de Schrödinger depende de la situación física. La forma más general es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, que proporciona una descripción de un sistema que evoluciona con el tiempo: ^{[12] : 143}

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo  (general)

i ℏ d d t | Ψ ( t ) ⟩ = H ^ | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \Psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \Psi (t)\rangle }

donde es el tiempo, es el vector de estado del sistema cuántico ( siendo la letra griega psi ), y es un observable, el operador hamiltoniano . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \vert \Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Cada una de estas tres filas es una función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para un oscilador armónico . Izquierda: La parte real (azul) y la parte imaginaria (roja) de la función de onda. Derecha: La distribución de probabilidad de encontrar la partícula con esta función de onda en una posición dada. Las dos filas superiores son ejemplos de estados estacionarios , que corresponden a ondas estacionarias . La fila inferior es un ejemplo de un estado que no es un estado estacionario.

El término "ecuación de Schrödinger" puede referirse tanto a la ecuación general como a la versión no relativista específica. La ecuación general es, de hecho, bastante general y se utiliza en toda la mecánica cuántica, para todo, desde la ecuación de Dirac hasta la teoría cuántica de campos , al introducir diversas expresiones para el hamiltoniano. La versión no relativista específica es una aproximación que arroja resultados precisos en muchas situaciones, pero solo hasta cierto punto (véase mecánica cuántica relativista y teoría cuántica de campos relativista ).

Para aplicar la ecuación de Schrödinger, escriba el hamiltoniano para el sistema, teniendo en cuenta las energías cinética y potencial de las partículas que constituyen el sistema, luego introdúzcalo en la ecuación de Schrödinger. La ecuación diferencial parcial resultante se resuelve para la función de onda, que contiene información sobre el sistema. En la práctica, el cuadrado del valor absoluto de la función de onda en cada punto se toma para definir una función de densidad de probabilidad . ^{[5] : 78} Por ejemplo, dada una función de onda en el espacio de posición como la anterior, tenemos ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ $${\displaystyle \Pr(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.}$$

Ecuación independiente del tiempo

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo descrita anteriormente predice que las funciones de onda pueden formar ondas estacionarias , llamadas estados estacionarios . Estos estados son particularmente importantes ya que su estudio individual simplifica posteriormente la tarea de resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para cualquier estado. Los estados estacionarios también pueden describirse mediante una forma más simple de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ( general )

${\displaystyle \operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle }$

donde es la energía del sistema. ^{[5] : 134} Esto solo se utiliza cuando el hamiltoniano en sí no depende del tiempo explícitamente. Sin embargo, incluso en este caso la función de onda total depende del tiempo como se explica en la sección sobre linealidad a continuación. En el lenguaje del álgebra lineal , esta ecuación es una ecuación de valor propio . Por lo tanto, la función de onda es una función propia del operador hamiltoniano con valor(es) propio(s) correspondiente(s) . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Propiedades

Linealidad

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal , lo que significa que si dos vectores de estado y son soluciones, entonces también lo es cualquier combinación lineal de los dos vectores de estado donde a y b son números complejos cualesquiera. ^{[13] : 25} Además, la suma se puede extender para cualquier número de vectores de estado. Esta propiedad permite que las superposiciones de estados cuánticos sean soluciones de la ecuación de Schrödinger. Incluso de manera más general, sostiene que se puede encontrar una solución general a la ecuación de Schrödinger tomando una suma ponderada sobre una base de estados. Una opción que se emplea a menudo es la base de estados propios de energía , que son soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. En esta base, un vector de estado dependiente del tiempo se puede escribir como la combinación lineal donde son números complejos y los vectores son soluciones de la ecuación independiente del tiempo . ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =a|\psi _{1}\rangle +b|\psi _{2}\rangle }$$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/\hbar }|\psi _{E_{n}}\rangle ,}$$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle |\psi _{E_{n}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{E_{n}}\rangle =E_{n}|\psi _{E_{n}}\rangle }$

Unitaridad

Manteniendo constante el hamiltoniano , la ecuación de Schrödinger tiene la solución ^[12] El operador se conoce como operador de evolución temporal, y es unitario : preserva el producto interno entre vectores en el espacio de Hilbert. ^[13] La unitaridad es una característica general de la evolución temporal bajo la ecuación de Schrödinger. Si el estado inicial es , entonces el estado en un tiempo posterior estará dado por para algún operador unitario . A la inversa, supongamos que es una familia continua de operadores unitarios parametrizados por . Sin pérdida de generalidad , ^[14] la parametrización puede elegirse de modo que sea el operador identidad y que para cualquier . Entonces depende del parámetro de tal manera que para algún operador autoadjunto , llamado generador de la familia . Un hamiltoniano es justamente un generador de este tipo (hasta el factor de la constante de Planck que se fijaría en 1 en unidades naturales ). Para ver que el generador es hermítico, note que con , tenemos que es unitario sólo si, de primer orden, su derivada es hermítica. ^[15] ${\displaystyle {\hat {H}}}$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$ ${\displaystyle |\Psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi (0)\rangle }$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t/N)^{N}={\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {G}}t}}$$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)\approx {\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t}$ $${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)^{\dagger }{\hat {U}}(\delta t)\approx ({\hat {U}}(0)^{\dagger }+i{\hat {G}}^{\dagger }\delta t)({\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t)=I+i\delta t({\hat {G}}^{\dagger }-{\hat {G}})+O(\delta t^{2}),}$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

Cambios de base

La ecuación de Schrödinger se presenta a menudo utilizando cantidades que varían en función de la posición, pero como ecuación de operador vectorial tiene una representación válida en cualquier base completa arbitraria de kets en el espacio de Hilbert . Como se mencionó anteriormente, las "bases" que se encuentran fuera del espacio físico de Hilbert también se emplean para fines de cálculo. Esto se ilustra con las ecuaciones de Schrödinger en el espacio de posición y en el espacio de momento para una partícula no relativista y sin espín. ^{[11] : 182} El espacio de Hilbert para tal partícula es el espacio de funciones complejas integrables al cuadrado en el espacio euclidiano tridimensional, y su hamiltoniano es la suma de un término de energía cinética que es cuadrático en el operador de momento y un término de energía potencial: Escribiendo para un vector de posición tridimensional y para un vector de momento tridimensional, la ecuación de Schrödinger en el espacio de posición es La contraparte en el espacio de momento involucra las transformadas de Fourier de la función de onda y el potencial: Las funciones y se derivan de por donde y no pertenecen al espacio de Hilbert en sí, pero tienen productos internos bien definidos con todos los elementos de ese espacio. $${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+{\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle .}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} '\,{\tilde {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ',t).}$$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle ,}$$ $${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle ,}$$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$

Cuando se restringe de tres dimensiones a una, la ecuación del espacio de posición es solo la primera forma de la ecuación de Schrödinger dada anteriormente. La relación entre la posición y el momento en la mecánica cuántica se puede apreciar en una sola dimensión. En la cuantificación canónica , las variables clásicas y se promueven a operadores autoadjuntos y que satisfacen la relación de conmutación canónica Esto implica que ^{[11] : 190} por lo que la acción del operador de momento en la representación del espacio de posición es . Por lo tanto, se convierte en una segunda derivada , y en tres dimensiones, la segunda derivada se convierte en el Laplaciano . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$ $${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x),}$$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

La relación de conmutación canónica también implica que los operadores de posición y momento son conjugados de Fourier entre sí. En consecuencia, las funciones definidas originalmente en términos de su dependencia de la posición se pueden convertir en funciones de momento utilizando la transformada de Fourier. En física del estado sólido , la ecuación de Schrödinger a menudo se escribe para funciones de momento, ya que el teorema de Bloch asegura que el potencial de red cristalina periódica se acopla con solo para vectores de red recíprocos discretos . Esto hace que sea conveniente resolver la ecuación de Schrödinger en el espacio de momento en cada punto de la zona de Brillouin independientemente de los otros puntos de la zona de Brillouin. ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p+K)}$ ${\displaystyle K}$

Corriente de probabilidad

La ecuación de Schrödinger es consistente con la conservación de la probabilidad local . ^{[11] : 238} También asegura que una función de onda normalizada permanezca normalizada después de la evolución temporal. En mecánica matricial, esto significa que el operador de evolución temporal es un operador unitario . ^[16] A diferencia de, por ejemplo, la ecuación de Klein Gordon, aunque un producto interno redefinido de una función de onda puede ser independiente del tiempo, la integral de volumen total del cuadrado del módulo de la función de onda no necesita ser independiente del tiempo. ^[17]

La ecuación de continuidad para la probabilidad en la mecánica cuántica no relativista se enuncia como: donde es la corriente de probabilidad o el flujo de probabilidad (flujo por unidad de área). $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$

Si la función de onda se representa como donde es una función real que representa la fase compleja de la función de onda, entonces el flujo de probabilidad se calcula como: Por lo tanto, se dice que la variación espacial de la fase de una función de onda caracteriza el flujo de probabilidad de la función de onda. Aunque el término parece desempeñar el papel de la velocidad, no representa la velocidad en un punto ya que la medición simultánea de la posición y la velocidad viola el principio de incertidumbre . ^[16] ${\textstyle \psi ({\bf {x}},t)={\sqrt {\rho ({\bf {x}},t)}}\exp \left({\frac {iS({\bf {x}},t)}{\hbar }}\right),}$ ${\displaystyle S(\mathbf {x} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$ ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$

Separación de variables

Si el hamiltoniano no es una función explícita del tiempo, la ecuación de Schrödinger se lee: El operador del lado izquierdo depende sólo del tiempo; el del lado derecho depende sólo del espacio. Resolver la ecuación por separación de variables significa buscar una solución en forma de un producto de partes espaciales y temporales ^[18] donde es una función de todas las coordenadas espaciales de la(s) partícula(s) que constituyen el sistema solamente, y es una función sólo del tiempo. Sustituyendo esta expresión por en el lado izquierdo dependiente del tiempo se muestra que es un factor de fase: Una solución de este tipo se llama estacionaria, ya que la única dependencia del tiempo es un factor de fase que se cancela cuando la densidad de probabilidad se calcula mediante la regla de Born. ^{[12] : 143ff} $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),}$$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \tau (t)}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau (t)}$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.}$$

La parte espacial de la función de onda completa resuelve: ^[19] donde la energía aparece en el factor de fase. $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=0.}$$ ${\displaystyle E}$

Esto se generaliza a cualquier número de partículas en cualquier número de dimensiones (en un potencial independiente del tiempo): las soluciones de onda estacionaria de la ecuación independiente del tiempo son los estados con energía definida, en lugar de una distribución de probabilidad de diferentes energías. En física, estas ondas estacionarias se denominan " estados estacionarios " o " estados propios de energía "; en química se denominan " orbitales atómicos " u " orbitales moleculares ". Las superposiciones de estados propios de energía cambian sus propiedades según las fases relativas entre los niveles de energía. Los estados propios de energía forman una base: cualquier función de onda puede escribirse como una suma sobre los estados de energía discretos o una integral sobre los estados de energía continuos, o más generalmente como una integral sobre una medida. Este es el teorema espectral en matemáticas, y en un espacio de estados de dimensión finita es solo una declaración de la completitud de los vectores propios de una matriz hermítica .

La separación de variables también puede ser un método útil para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Por ejemplo, dependiendo de la simetría del problema, se pueden separar los ejes cartesianos o las coordenadas radiales y angulares : $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z),}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi ).}$$

Ejemplos

Partícula en una caja

Caja de energía potencial unidimensional (o pozo de potencial infinito)

La partícula en una caja de energía potencial unidimensional es el ejemplo matemáticamente más simple en el que las restricciones conducen a la cuantificación de los niveles de energía. La caja se define como una caja con energía potencial cero dentro de una cierta región y energía potencial infinita fuera de ella . ^{[11] : 77–78} Para el caso unidimensional en la dirección, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo puede escribirse ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

Con el operador diferencial definido por la ecuación anterior se evoca el análogo clásico de la energía cinética , teniendo en este caso un estado de energía coincidente con la energía cinética de la partícula. $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

Las soluciones generales de la ecuación de Schrödinger para la partícula en una caja son o, de la fórmula de Euler , $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$ $${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).}$$

Las paredes potenciales infinitas de la caja determinan los valores de y en y donde deben ser cero. Por lo tanto, en , y . En , en donde no puede ser cero ya que esto entraría en conflicto con el postulado de que tiene norma 1. Por lo tanto, como , debe ser un múltiplo entero de , ${\displaystyle C,D,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$ ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle x=L}$ $${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sin(kL)=0}$ ${\displaystyle kL}$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

Esta restricción implica una restricción en los niveles de energía, lo que produce ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

Un pozo de potencial finito es la generalización del problema del pozo de potencial infinito a pozos de potencial que tienen una profundidad finita. El problema del pozo de potencial finito es matemáticamente más complicado que el problema de la partícula infinita en una caja, ya que la función de onda no está fijada a cero en las paredes del pozo. En cambio, la función de onda debe satisfacer condiciones de contorno matemáticas más complicadas, ya que es distinta de cero en las regiones fuera del pozo. Otro problema relacionado es el de la barrera de potencial rectangular , que proporciona un modelo para el efecto de túnel cuántico que desempeña un papel importante en el rendimiento de las tecnologías modernas, como la memoria flash y la microscopía de efecto túnel de barrido .

Oscilador armónico

Un oscilador armónico en mecánica clásica (A–B) y mecánica cuántica (C–H). En (A–B), una bola, unida a un resorte , oscila de un lado a otro. (C–H) son seis soluciones de la ecuación de Schrödinger para esta situación. El eje horizontal es la posición, el eje vertical es la parte real (azul) o la parte imaginaria (roja) de la función de onda . Los estados estacionarios o estados propios de energía, que son soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, se muestran en C, D, E, F, pero no en G o H.

La ecuación de Schrödinger para esta situación es donde es el desplazamiento y la frecuencia angular. Además, se puede utilizar para describir aproximadamente una amplia variedad de otros sistemas, incluidos átomos y moléculas vibrantes , ^[20] y átomos o iones en redes, ^[21] y para aproximar otros potenciales cerca de puntos de equilibrio. También es la base de los métodos de perturbación en mecánica cuántica. $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$

Las soluciones en el espacio de posiciones son donde , y las funciones son los polinomios de Hermite de orden . El conjunto de soluciones puede generarse mediante $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\ \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\ e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\ {\mathcal {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$$ ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\right)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.}$$

Los valores propios son $${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

El caso se llama estado fundamental , su energía se llama energía de punto cero y la función de onda es gaussiana . ^[22] ${\displaystyle n=0}$

El oscilador armónico, al igual que la partícula en una caja, ilustra la característica genérica de la ecuación de Schrödinger de que las energías de los estados propios ligados están discretizadas. ^{[11] : 352}

Átomo de hidrógeno

Funciones de onda del electrón en un átomo de hidrógeno a diferentes niveles de energía . Se representan gráficamente según las soluciones de la ecuación de Schrödinger.

La ecuación de Schrödinger para el electrón en un átomo de hidrógeno (o un átomo similar al hidrógeno) es donde es la carga del electrón, es la posición del electrón en relación con el núcleo, es la magnitud de la posición relativa, el término potencial se debe a la interacción de Coulomb , donde es la permitividad del espacio libre y es la masa reducida de 2 cuerpos del núcleo de hidrógeno (solo un protón ) de masa y el electrón de masa . El signo negativo surge en el término potencial ya que el protón y el electrón tienen cargas opuestas. Se utiliza la masa reducida en lugar de la masa del electrón ya que el electrón y el protón juntos orbitan entre sí alrededor de un centro de masa común y constituyen un problema de dos cuerpos para resolver. El movimiento del electrón es de principal interés aquí, por lo que el problema de un cuerpo equivalente es el movimiento del electrón usando la masa reducida. $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi }$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle \mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$$ ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle m_{q}}$

La ecuación de Schrödinger para un átomo de hidrógeno se puede resolver mediante la separación de variables. ^[23] En este caso, las coordenadas polares esféricas son las más convenientes. Por lo tanto, donde R son funciones radiales y son armónicos esféricos de grado y orden . Este es el único átomo para el que se ha resuelto exactamente la ecuación de Schrödinger. Los átomos multielectrónicos requieren métodos aproximados. La familia de soluciones son: ^[24] donde $${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi ),}$$ ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$es el radio de Bohr ,
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$son los polinomios de Laguerre generalizados de grado , ${\displaystyle n-\ell -1}$
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$son los números cuánticos principal , azimutal y magnético respectivamente, que toman los valores ${\displaystyle n=1,2,3,\dots ,}$ ${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1,}$ ${\displaystyle m=-\ell ,\dots ,\ell .}$

Soluciones aproximadas

Normalmente no es posible resolver la ecuación de Schrödinger con exactitud para situaciones de interés físico. Por lo tanto, se obtienen soluciones aproximadas utilizando técnicas como métodos variacionales y aproximación WKB . También es común tratar un problema de interés como una pequeña modificación de un problema que se puede resolver con exactitud, un método conocido como teoría de perturbaciones .

Límite semiclásico

Una forma sencilla de comparar la mecánica clásica con la cuántica es considerar la evolución temporal de la posición esperada y el momento esperado , que luego se puede comparar con la evolución temporal de la posición y el momento ordinarios en la mecánica clásica. ^{[25] : 302} Los valores de expectativa cuántica satisfacen el teorema de Ehrenfest . Para una partícula cuántica unidimensional que se mueve en un potencial , el teorema de Ehrenfest dice Aunque la primera de estas ecuaciones es consistente con el comportamiento clásico, la segunda no lo es: Si el par satisficiera la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación tendría que ser que normalmente no es lo mismo que . Para un general , por lo tanto, la mecánica cuántica puede llevar a predicciones donde los valores de expectativa no imitan el comportamiento clásico. En el caso del oscilador armónico cuántico, sin embargo, es lineal y esta distinción desaparece, de modo que en este caso muy especial, la posición esperada y el momento esperado siguen exactamente las trayectorias clásicas. ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}$$ ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$ $${\displaystyle -V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$$ ${\displaystyle -\left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'}$

En el caso de los sistemas generales, lo mejor que podemos esperar es que la posición y el momento esperados sigan aproximadamente las trayectorias clásicas. Si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto , entonces y serán casi iguales, ya que ambos serán aproximadamente iguales a . En ese caso, la posición y el momento esperados permanecerán muy cerca de las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca muy localizada en la posición. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

La ecuación de Schrödinger en su forma general está estrechamente relacionada con la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJE) donde es la acción clásica y es la función hamiltoniana (no el operador). ^{[25] : 308} Aquí las coordenadas generalizadas para (usadas en el contexto de la HJE) se pueden establecer en la posición en coordenadas cartesianas como . $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}$$ $${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$

Sustituyendo donde es la densidad de probabilidad, en la ecuación de Schrödinger y luego tomando el límite en la ecuación resultante se obtiene la ecuación de Hamilton-Jacobi . $${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

Matrices de densidad

Las funciones de onda no siempre son la forma más conveniente de describir los sistemas cuánticos y su comportamiento. Cuando la preparación de un sistema se conoce de manera imperfecta, o cuando el sistema bajo investigación es parte de un todo más grande, se pueden utilizar matrices de densidad en su lugar. ^{[25] : 74} Una matriz de densidad es un operador semidefinido positivo cuya traza es igual a 1. (El término "operador de densidad" también se utiliza, particularmente cuando el espacio de Hilbert subyacente es de dimensión infinita). El conjunto de todas las matrices de densidad es convexo , y los puntos extremos son los operadores que se proyectan sobre vectores en el espacio de Hilbert. Estas son las representaciones de la matriz de densidad de las funciones de onda; en la notación de Dirac, se escriben $${\displaystyle {\hat {\rho }}=|\Psi \rangle \langle \Psi |.}$$

El análogo de la matriz de densidad de la ecuación de Schrödinger para funciones de onda es ^{[26] [27]} donde los corchetes denotan un conmutador . Esto se conoce como ecuación de von Neumann, ecuación de Liouville-von Neumann o simplemente ecuación de Schrödinger para matrices de densidad. ^{[25] : 312} Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, esta ecuación se puede resolver fácilmente para obtener $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],}$$ $${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {\rho }}(0)e^{i{\hat {H}}t/\hbar }.}$$

De manera más general, si el operador unitario describe la evolución de la función de onda durante un intervalo de tiempo determinado, entonces la evolución temporal de una matriz de densidad durante ese mismo intervalo viene dada por ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ $${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)^{\dagger }.}$$

La evolución unitaria de una matriz de densidad conserva su entropía de von Neumann . ^{[25] : 267}

Física cuántica relativista y teoría cuántica de campos

La ecuación de Schrödinger de una partícula descrita anteriormente es válida esencialmente en el dominio no relativista. Por una razón, es esencialmente invariante bajo las transformaciones galileanas , que forman el grupo de simetría de la dinámica newtoniana . ^{[nota 2]} Además, los procesos que cambian el número de partículas son naturales en la relatividad, y por lo tanto una ecuación para una partícula (o cualquier número fijo de ellas) solo puede ser de uso limitado. ^[29] Una forma más general de la ecuación de Schrödinger que también se aplica en situaciones relativistas se puede formular dentro de la teoría cuántica de campos (QFT), un marco que permite la combinación de la mecánica cuántica con la relatividad especial. La región en la que ambas se aplican simultáneamente puede describirse mediante la mecánica cuántica relativista . Tales descripciones pueden utilizar la evolución temporal generada por un operador hamiltoniano, como en el método funcional de Schrödinger . ^{[30] [31] [32] [33]}

Ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac

Los intentos de combinar la física cuántica con la relatividad especial comenzaron con la construcción de ecuaciones de onda relativistas a partir de la relación energía-momento relativista en lugar de ecuaciones de energía no relativistas. La ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac son dos de esas ecuaciones. La ecuación de Klein-Gordon fue la primera ecuación de este tipo que se obtuvo, incluso antes de la ecuación de Schrödinger de una partícula no relativista, y se aplica a partículas masivas sin espín. Históricamente, Dirac obtuvo la ecuación de Dirac al buscar una ecuación diferencial que fuera de primer orden tanto en el tiempo como en el espacio, una propiedad deseable para una teoría relativista. Tomar la "raíz cuadrada" del lado izquierdo de la ecuación de Klein-Gordon de esta manera requirió factorizarla en un producto de dos operadores, que Dirac escribió utilizando matrices de 4 × 4. En consecuencia, la función de onda también se convirtió en una función de cuatro componentes, gobernada por la ecuación de Dirac que, en el espacio libre, se leía $${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2},}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi +\nabla ^{2}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,}$$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta }$ $${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

Esto tiene nuevamente la forma de la ecuación de Schrödinger, con la derivada temporal de la función de onda dada por un operador hamiltoniano que actúa sobre la función de onda. Incluir influencias sobre la partícula requiere modificar el operador hamiltoniano. Por ejemplo, el hamiltoniano de Dirac para una partícula de masa m y carga eléctrica q en un campo electromagnético (descrito por los potenciales electromagnéticos φ y A ) es: en donde γ = ( γ ¹ , γ ² , γ ³ ) y γ ⁰ son las matrices gamma de Dirac relacionadas con el espín de la partícula. La ecuación de Dirac es verdadera para todas las partículas de espín 1 ⁄ 2 , y las soluciones de la ecuación son campos de espinor de 4 componentes con dos componentes correspondientes a la partícula y los otros dos a la antipartícula . $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right],}$$

Para la ecuación de Klein-Gordon, la forma general de la ecuación de Schrödinger es incómoda de utilizar, y en la práctica el hamiltoniano no se expresa de forma análoga al hamiltoniano de Dirac. Las ecuaciones para campos cuánticos relativistas, de las que las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac son dos ejemplos, se pueden obtener de otras formas, como a partir de una densidad lagrangiana y utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos, o utilizando la teoría de representación del grupo de Lorentz en la que se pueden utilizar ciertas representaciones para fijar la ecuación para una partícula libre de espín (y masa) dados.

En general, el hamiltoniano que se debe sustituir en la ecuación general de Schrödinger no es sólo una función de los operadores de posición y momento (y posiblemente del tiempo), sino también de matrices de espín. Además, las soluciones de una ecuación de onda relativista, para una partícula masiva de espín s , son campos de espinores de 2(2 s + 1) componentes de valor complejo .

Espacio de Fock

Tal como se formuló originalmente, la ecuación de Dirac es una ecuación para una sola partícula cuántica, al igual que la ecuación de Schrödinger de una sola partícula con función de onda . Esto es de uso limitado en la mecánica cuántica relativista, donde el número de partículas no es fijo. Heurísticamente, esta complicación puede motivarse al notar que la equivalencia masa-energía implica que las partículas materiales pueden crearse a partir de energía. Una forma común de abordar esto en QFT es introducir un espacio de Hilbert donde los estados base están etiquetados por número de partículas, un llamado espacio de Fock . La ecuación de Schrödinger puede entonces formularse para estados cuánticos en este espacio de Hilbert. ^[29] Sin embargo, debido a que la ecuación de Schrödinger escoge un eje de tiempo preferido, la invariancia de Lorentz de la teoría ya no es manifiesta y, en consecuencia, la teoría a menudo se formula de otras maneras. ^[34] ${\displaystyle \Psi (x,t)}$

Historia

Erwin Schrödinger

Siguiendo la cuantificación de la luz de Max Planck (ver radiación de cuerpo negro ), Albert Einstein interpretó los cuantos de Planck como fotones , partículas de luz , y propuso que la energía de un fotón es proporcional a su frecuencia , uno de los primeros signos de la dualidad onda-partícula . Dado que la energía y el momento están relacionados de la misma manera que la frecuencia y el número de onda en la relatividad especial , se dedujo que el momento de un fotón es inversamente proporcional a su longitud de onda , o proporcional a su número de onda : donde es la constante de Planck y es la constante de Planck reducida. Louis de Broglie planteó la hipótesis de que esto es cierto para todas las partículas, incluso las partículas que tienen masa como los electrones. Demostró que, suponiendo que las ondas de materia se propagan junto con sus contrapartes de partículas, los electrones forman ondas estacionarias , lo que significa que solo se permiten ciertas frecuencias rotacionales discretas alrededor del núcleo de un átomo. ^[35] Estas órbitas cuantificadas corresponden a niveles de energía discretos , y de Broglie reprodujo la fórmula del modelo de Bohr para los niveles de energía. El modelo de Bohr se basó en la cuantificación supuesta del momento angular según Según de Broglie, el electrón se describe mediante una onda, y un número entero de longitudes de onda deben encajar a lo largo de la circunferencia de la órbita del electrón: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k,}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \hbar ={h}/{2\pi }}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar .}$$ $${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$$

Este enfoque básicamente confinó la onda del electrón en una dimensión, a lo largo de una órbita circular de radio . ${\displaystyle r}$

En 1921, antes de De Broglie, Arthur C. Lunn de la Universidad de Chicago había utilizado el mismo argumento basado en la completitud del 4-vector energía-momento relativista para derivar lo que ahora llamamos la relación de De Broglie. ^{[36] [37]} A diferencia de De Broglie, Lunn formuló la ecuación diferencial ahora conocida como ecuación de Schrödinger y resolvió sus valores propios de energía para el átomo de hidrógeno; el artículo fue rechazado por Physical Review , según Kamen. ^[38]

Siguiendo las ideas de De Broglie, el físico Peter Debye hizo un comentario informal de que si las partículas se comportaran como ondas, deberían satisfacer algún tipo de ecuación de onda. Inspirado por la observación de Debye, Schrödinger decidió encontrar una ecuación de onda tridimensional adecuada para el electrón. Se guió por la analogía de William Rowan Hamilton entre la mecánica y la óptica , codificada en la observación de que el límite de longitud de onda cero de la óptica se asemeja a un sistema mecánico: las trayectorias de los rayos de luz se convierten en pistas nítidas que obedecen al principio de Fermat , un análogo del principio de mínima acción . ^[39]

La ecuación que encontró es ^[40] $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

Para entonces, Arnold Sommerfeld había refinado el modelo de Bohr con correcciones relativistas . ^{[41] [42]} Schrödinger utilizó la relación energía-momento relativista para encontrar lo que ahora se conoce como la ecuación de Klein-Gordon en un potencial de Coulomb (en unidades naturales ): $${\displaystyle \left(E+{\frac {e^{2}}{r}}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x).}$$

Encontró las ondas estacionarias de esta ecuación relativista, pero las correcciones relativistas no concordaban con la fórmula de Sommerfeld. Desalentado, dejó de lado sus cálculos y se recluyó con una amante en una cabaña de montaña en diciembre de 1925. ^[43]

Mientras estaba en la cabaña, Schrödinger decidió que sus cálculos no relativistas anteriores eran lo suficientemente novedosos como para publicarlos y decidió dejar de lado el problema de las correcciones relativistas para el futuro. A pesar de las dificultades para resolver la ecuación diferencial del hidrógeno (había buscado la ayuda de su amigo el matemático Hermann Weyl ^{[44] : 3} ) Schrödinger demostró que su versión no relativista de la ecuación de onda producía las energías espectrales correctas del hidrógeno en un artículo publicado en 1926. ^{[44] : 1  [45]} Schrödinger calculó la serie espectral del hidrógeno tratando el electrón de un átomo de hidrógeno como una onda , que se mueve en un pozo de potencial , creado por el protón . Este cálculo reprodujo con precisión los niveles de energía del modelo de Bohr . ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle V}$

La ecuación de Schrödinger detalla el comportamiento de pero no dice nada sobre su naturaleza . Schrödinger intentó interpretar la parte real de como una densidad de carga, y luego revisó esta propuesta, diciendo en su siguiente artículo que el módulo al cuadrado de es una densidad de carga. Este enfoque, sin embargo, no tuvo éxito. ^{[nota 3]} En 1926, solo unos días después de que se publicara este artículo, Max Born interpretó con éxito como la amplitud de probabilidad , cuyo módulo al cuadrado es igual a la densidad de probabilidad . ^{[46] : 220} Más tarde, el propio Schrödinger explicó esta interpretación de la siguiente manera: ^[49] ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

La función psi ya mencionada es ahora el medio para predecir la probabilidad de los resultados de las mediciones. En ella se encuentra incorporada la suma momentáneamente alcanzada de expectativas futuras basadas en la teoría, algo así como si estuvieran establecidas en un catálogo.

—  Erwin Schrödinger

Interpretación

La ecuación de Schrödinger proporciona una manera de calcular la función de onda de un sistema y cómo cambia dinámicamente en el tiempo. Sin embargo, la ecuación de Schrödinger no dice directamente qué es exactamente la función de onda. El significado de la ecuación de Schrödinger y cómo las entidades matemáticas que contiene se relacionan con la realidad física depende de la interpretación de la mecánica cuántica que se adopte.

En las opiniones que a menudo se agrupan bajo la interpretación de Copenhague , la función de onda de un sistema es una colección de información estadística sobre ese sistema. La ecuación de Schrödinger relaciona la información sobre el sistema en un momento con la información sobre él en otro. Si bien el proceso de evolución temporal representado por la ecuación de Schrödinger es continuo y determinista, en el sentido de que conocer la función de onda en un instante es en principio suficiente para calcularla para todos los tiempos futuros, las funciones de onda también pueden cambiar de manera discontinua y estocástica durante una medición . La función de onda cambia, según esta escuela de pensamiento, porque hay nueva información disponible. La función de onda posterior a la medición generalmente no se puede conocer antes de la medición, pero las probabilidades para las diferentes posibilidades se pueden calcular utilizando la regla de Born . ^{[25] [50] [nota 4]} Otras interpretaciones más recientes de la mecánica cuántica, como la mecánica cuántica relacional y el QBismo, también le dan a la ecuación de Schrödinger un estatus de este tipo. ^{[53] [54]}

El propio Schrödinger sugirió en 1952 que los diferentes términos de una superposición que evoluciona bajo la ecuación de Schrödinger "no son alternativas sino que todos ocurren realmente simultáneamente". Esto ha sido interpretado como una versión temprana de la interpretación de los múltiples mundos de Everett . ^{[55] [56] [nota 5]} Esta interpretación, formulada de forma independiente en 1956, sostiene que todas las posibilidades descritas por la teoría cuántica ocurren simultáneamente en un multiverso compuesto de universos paralelos en su mayoría independientes. ^[58] Esta interpretación elimina el axioma del colapso de la función de onda, dejando solo la evolución continua bajo la ecuación de Schrödinger, y por lo tanto todos los estados posibles del sistema medido y el aparato de medición, junto con el observador, están presentes en una superposición cuántica física real . Si bien el multiverso es determinista, percibimos un comportamiento no determinista gobernado por probabilidades, porque no observamos el multiverso como un todo, sino solo un universo paralelo a la vez. Exactamente cómo se supone que esto funciona ha sido objeto de mucho debate. ¿Por qué deberíamos asignar probabilidades a resultados que es seguro que ocurrirán en algunos mundos, y por qué las probabilidades deberían darse mediante la regla de Born? ^[59] Se han propuesto varias maneras de responder a estas preguntas en el marco de los múltiples mundos, pero no hay consenso sobre si son exitosas. ^{[60] [61] [62]}

La mecánica bohmiana reformula la mecánica cuántica para hacerla determinista, al precio de añadir una fuerza debida a un “potencial cuántico”. Atribuye a cada sistema físico no sólo una función de onda sino además una posición real que evoluciona deterministamente bajo una ecuación guía no local. La evolución de un sistema físico está dada en todo momento por la ecuación de Schrödinger junto con la ecuación guía. ^[63]

Véase también

• Ecuación de Eckhaus
• Ecuación de Fokker-Planck
• Interpretaciones de la mecánica cuántica
• Lista de cosas que llevan el nombre de Erwin Schrödinger
• Ecuación logarítmica de Schrödinger
• Ecuación no lineal de Schrödinger
• Ecuación de Pauli
• Canal cuántico
• Relación entre la ecuación de Schrödinger y la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica
• Imagen de Schrödinger
• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner

Notas

1. Esta regla para obtener probabilidades a partir de un vector de estados implica que los vectores que solo difieren en una fase general son físicamente equivalentes y representan los mismos estados cuánticos. En otras palabras, los estados posibles son puntos en el espacio proyectivo de un espacio de Hilbert, generalmente llamado espacio de Hilbert proyectivo . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }|\psi \rangle }$
2. Más precisamente, el efecto de una transformación galileana sobre la ecuación de Schrödinger puede cancelarse mediante una transformación de fase de la función de onda que deja las probabilidades, calculadas mediante la regla de Born, sin cambios. ^[28]
3. Para más detalles, véase Moore, ^{[46] : 219} Jammer, ^{[47] : 24–25} y Karam. ^[48]
4. Una dificultad a la hora de analizar la posición filosófica de la "interpretación de Copenhague" es que no existe una única fuente autorizada que establezca cuál es la interpretación. Otra complicación es que el trasfondo filosófico que resulta familiar para Einstein, Bohr, Heisenberg y sus contemporáneos es mucho menos conocido para los físicos e incluso para los filósofos de la física de épocas más recientes. ^{[51] [52]}
5. Los escritos posteriores de Schrödinger también contienen elementos que se asemejan a la interpretación modal originada por Bas van Fraassen . Debido a que Schrödinger suscribía una especie de monismo neutral postmachista , en el que la "materia" y la "mente" son solo aspectos o disposiciones diferentes de los mismos elementos comunes, tratar la función de onda como física y tratarla como información se volvió intercambiable. ^[57]

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Enlaces externos

• "Ecuación de Schrödinger". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Libro de cocina cuántica (PDF) y PHYS 201: Fundamentos de física II de Ramamurti Shankar , Yale OpenCourseware
• La revolución moderna en la física: un libro de texto en línea.
• Física cuántica I en el MIT OpenCourseWare