Matrices gamma

Generadores del álgebra de Clifford para la mecánica cuántica relativista

En física matemática , las matrices gamma , también llamadas matrices de Dirac , son un conjunto de matrices convencionales con relaciones anticonmutación específicas que aseguran que generen una representación matricial del álgebra de Clifford. También es posible definir matrices gamma de dimensiones superiores . Cuando se interpretan como las matrices de acción de un conjunto de vectores de base ortogonales para vectores contravariantes en el espacio de Minkowski , los vectores columna sobre los que actúan las matrices se convierten en un espacio de espinores , sobre el que actúa el álgebra de Clifford del espacio-tiempo . Esto a su vez hace posible representar rotaciones espaciales infinitesimales y impulsos de Lorentz . Los espinores facilitan los cálculos del espacio-tiempo en general y, en particular, son fundamentales para la ecuación de Dirac para partículas de espín relativistas . Las matrices gamma fueron introducidas por Paul Dirac en 1928. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle {\tfrac {\ 1\ }{2}}}$

En la representación de Dirac, las cuatro matrices gamma contravariantes son

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}}$es la matriz hermitiana similar al tiempo . Las otras tres son matrices antihermitianas de tipo espacial . De manera más compacta, y donde denota el producto de Kronecker y (para j = 1, 2, 3 ) denota las matrices de Pauli . ${\displaystyle \ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,}$ ${\displaystyle \ \otimes \ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{j}\ }$

Además, para las discusiones sobre teoría de grupos, la matriz identidad ( I ) a veces se incluye con las cuatro matrices gamma, y ​​hay una "quinta" matriz auxiliar sin rastro que se utiliza junto con las matrices gamma regulares.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

La "quinta matriz" no es un miembro adecuado del conjunto principal de cuatro; se utiliza para separar representaciones quirales nominales izquierda y derecha . ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

Las matrices gamma tienen una estructura de grupo, el grupo gamma , que es compartida por todas las representaciones matriciales del grupo, en cualquier dimensión, para cualquier firma de la métrica. Por ejemplo, las matrices de Pauli 2 × 2 son un conjunto de matrices "gamma" en un espacio tridimensional con métrica de firma euclidiana (3, 0). En cinco dimensiones del espacio-tiempo , las cuatro gammas anteriores, junto con la quinta matriz gamma que se presentará a continuación, generan el álgebra de Clifford.

Estructura matemática

La propiedad definitoria de las matrices gamma para generar un álgebra de Clifford es la relación de anticonmutación.

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,}$

donde las llaves representan el anticonmutador , es la métrica de Minkowski con firma (+ − − −) , y es la matriz identidad 4 × 4 . ${\displaystyle \ \{,\}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle I_{4}}$

Esta propiedad definitoria es más fundamental que los valores numéricos utilizados en la representación específica de las matrices gamma. Las matrices gamma covariantes se definen por

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,}$

y se supone la notación de Einstein .

Tenga en cuenta que la otra convención de signos para la métrica, (− + + +), requiere un cambio en la ecuación que la define:

${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ }$

o una multiplicación de todas las matrices gamma por , que por supuesto cambia sus propiedades de hermiticidad que se detallan a continuación. Según la convención de signos alternativa para la métrica, las matrices gamma covariantes se definen por ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}~.}$

Estructura física

El álgebra de Clifford sobre el espacio-tiempo V puede considerarse como el conjunto de operadores lineales reales desde V hacia sí mismo, End( V ) , o más generalmente, cuando se complejiza como el conjunto de operadores lineales desde cualquier espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones hacia sí mismo. Más simplemente, dada una base para V , es solo el conjunto de todas las matrices complejas de 4 × 4 , pero dotadas de una estructura de álgebra de Clifford. Se supone que el espacio-tiempo está dotado de la métrica de Minkowski η _μν . También se supone un espacio de bispinores, Ux , en cada punto del espacio-tiempo, dotado de la representación de bispinores _del grupo de Lorentz . Los campos de bispinor Ψ de las ecuaciones de Dirac, evaluados en cualquier punto x en el espacio-tiempo, son elementos de U _x (ver más abajo). Se supone que el álgebra de Clifford actúa también sobre U _x (mediante multiplicación de matrices con vectores columna Ψ( x ) en U _x para todo x ). Esta será la vista principal de los elementos de esta sección. ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$

Para cada transformación lineal S de U _x , existe una transformación de End( U _x ) dada por SES ⁻¹ para E en Si S pertenece a una representación del grupo de Lorentz, entonces la acción inducida E ↦ SES ⁻¹ también pertenecerá para una representación del grupo de Lorentz, véase Teoría de la representación del grupo de Lorentz . ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.}$

Si S(Λ) es la representación bispinor que actúa sobre U _x de una transformación de Lorentz arbitraria Λ en la representación estándar (4 vectores) que actúa sobre V , entonces hay un operador correspondiente dado por la ecuación: ${\displaystyle \ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\ }$

${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,}$

mostrando que la cantidad de γ ^μ puede verse como la base de un espacio de representación de la representación de 4 vectores del grupo de Lorentz que se encuentra dentro del álgebra de Clifford. La última identidad puede reconocerse como la relación definitoria para matrices que pertenecen a un grupo ortogonal indefinido , que está escrita en notación indexada. Esto significa que cantidades de la forma ${\displaystyle \ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,}$

${\displaystyle a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$

debe tratarse como 4 vectores en las manipulaciones. También significa que los índices se pueden subir y bajar en γ usando la métrica η _μν como con cualquier 4 vector. La notación se llama notación de barra diagonal de Feynman . La operación de barra diagonal asigna la base e _μ de V , o cualquier espacio vectorial de 4 dimensiones, a los vectores de base γ _μ . La regla de transformación para cantidades reducidas es simplemente

${\displaystyle {a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.}$

Cabe señalar que esto es diferente de la regla de transformación para γ ^μ , que ahora se tratan como vectores de base (fijos). La designación de la tupla 4 como un vector 4 que a veces se encuentra en la literatura es, por tanto, un nombre ligeramente inapropiado. La última transformación corresponde a una transformación activa de los componentes de una cantidad reducida en términos de la base γ ^μ , y la primera a una transformación pasiva de la propia base γ ^μ . ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

Los elementos forman una representación del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Esta es una representación de giro. Cuando estas matrices, y combinaciones lineales de ellas, se exponen, son representaciones bispinores del grupo de Lorentz; por ejemplo, las S(Λ) de arriba tienen esta forma. El espacio de 6 dimensiones, el tramo σ ^μν , es el espacio de representación de una representación tensorial del grupo de Lorentz. Para conocer los elementos de orden superior del álgebra de Clifford en general y sus reglas de transformación, consulte el artículo Álgebra de Dirac . La representación de espín del grupo de Lorentz está codificada en el grupo de espín Spin(1, 3) (para espinores reales sin carga) y en el grupo de espín complejado Spin(1, 3) para espinores cargados (Dirac). ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\ }$

Expresando la ecuación de Dirac

En unidades naturales , la ecuación de Dirac se puede escribir como

${\displaystyle \ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\ }$

¿Dónde hay un espinor de Dirac? ${\displaystyle \ \psi \ }$

Cambiando a la notación de Feynman , la ecuación de Dirac es

${\displaystyle \ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.}$

La quinta matriz "gamma", .mw-parser-output .var-serif{font-family:"Nimbus Roman No9 L","Times New Roman",Times,serif;font-size:118%;line-height:1}γ 5

Es útil definir un producto de las cuatro matrices gamma como , de modo que ${\displaystyle \gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad }$(en la base de Dirac).

Aunque utiliza la letra gamma, no es una de las matrices gamma de El número índice 5 es una reliquia de la notación antigua: solía llamarse " ". ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{0}\ }$ ${\displaystyle \gamma ^{4}}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$tiene también una forma alternativa:

${\displaystyle \ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

usando la convención o ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

usando la convención Prueba: ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1~.}$

Esto se puede ver aprovechando el hecho de que las cuatro matrices gamma se anticonmutan, por lo que

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,}$

donde está el delta de Kronecker generalizado tipo (4,4) en 4 dimensiones, en plena antisimetrización . Si denota el símbolo de Levi-Civita en n dimensiones, podemos usar la identidad . Entonces obtenemos, usando la convención ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\ }$ ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }}$

Esta matriz es útil en discusiones sobre quiralidad de la mecánica cuántica . Por ejemplo, un campo Dirac se puede proyectar sobre sus componentes diestros y zurdos mediante:

${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.}$

Algunas propiedades son:

• Es hermitiano:

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.}$

• Sus valores propios son ±1, porque:

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.}$

• Anticonmuta con las cuatro matrices gamma:

  ${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.}$

De hecho, y son vectores propios de desde ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }\ }$ ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {R} }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,}$y ${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.}$

Cinco dimensiones

El álgebra de Clifford en dimensiones impares se comporta como dos copias del álgebra de Clifford de una dimensión menos, una copia izquierda y una copia derecha. ^{[3] : 68} Por lo tanto, se puede emplear un pequeño truco para reutilizar i  γ ⁵ como uno de los generadores del álgebra de Clifford en cinco dimensiones. En este caso, el conjunto { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , i γ ⁵ } por lo tanto, por las dos últimas propiedades (teniendo en cuenta que i ² ≡ −1 ) y las de las 'antiguas' gammas, forma la base del álgebra de Clifford en 5  dimensiones espacio-temporales para la firma métrica (1,4) . ^[a]  . ^{[4] : 97} En la firma métrica (4,1) , se utiliza el conjunto { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , γ ⁵ } , donde los γ ^μ son los apropiados para (3,1) firma. ^[5] Este patrón se repite para la dimensión del espacio-tiempo 2 n par y la siguiente dimensión impar 2 n + 1 para todo n ≥ 1 . ^{[6] : 457} Para obtener más detalles, consulte matrices gamma de dimensiones superiores .

Identidades

Las siguientes identidades se derivan de la relación fundamental de anticonmutación, por lo que se mantienen en cualquier base (aunque la última depende de la elección del signo para ). ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

Identidades varias

1. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}}$

2. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$

3. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$

4. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$

5. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

6. donde ${\displaystyle \gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\ }$

Rastrear identidades

Las matrices gamma obedecen a las siguientes identidades de traza :

1. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0}$
2. La traza de cualquier producto de un número impar de es cero. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
3. La traza de veces que un producto de un número impar de sigue siendo cero ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
4. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }}$
5. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$
6. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$
7. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$
8. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)}$

Demostrar lo anterior implica el uso de tres propiedades principales del operador de seguimiento :

• tr( A + B ) = tr( A ) + tr( B )
• tr( rA ) = r tr( A )
• tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA )

Normalización

Sin embargo, las matrices gamma se pueden elegir con condiciones de hermiticidad adicionales que están restringidas por las relaciones anticonmutación anteriores. podemos imponer

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}$, compatible con ${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}}$

y para las otras matrices gamma (para k = 1, 2, 3 )

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}}$, compatible con ${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.}$

Se comprueba inmediatamente que estas relaciones de hermiticidad son válidas para la representación de Dirac.

Las condiciones anteriores se pueden combinar en la relación

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.}$

Las condiciones de hermiticidad no son invariantes bajo la acción de una transformación de Lorentz porque no es necesariamente una transformación unitaria debido a la no compacidad del grupo de Lorentz. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle S(\Lambda )}$

Conjugación de carga

El operador de conjugación de carga , en cualquier base, puede definirse como

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}}$

donde denota la transposición de la matriz . La forma explícita que adopta depende de la representación específica elegida para las matrices gamma, hasta un factor de fase arbitrario. Esto se debe a que aunque la conjugación de carga es un automorfismo del grupo gamma , no es un automorfismo interno (del grupo). Se pueden encontrar matrices conjugantes, pero dependen de la representación. ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle C}$

Las identidades independientes de la representación incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}}$

El operador de conjugación de carga también es unitario , mientras que for también lo es para cualquier representación. Dada una representación de matrices gamma, el factor de fase arbitrario para el operador de conjugación de carga también se puede elegir de manera que , como es el caso de las cuatro representaciones que se dan a continuación (Dirac, Majorana y ambas variantes quirales). ${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{T}=-C}$ ${\displaystyle C^{\dagger }=-C}$

Notación de barra de Feynman

La notación de barra diagonal de Feynman se define por

${\displaystyle {a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }}$

para cualquier 4 vectores . ${\displaystyle a}$

A continuación se muestran algunas identidades similares a las anteriores, pero con notación de barra diagonal:

• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }\right]I_{4}}$
• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=\left[a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right]I_{4}=\left[{\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)\right]I_{4}=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$

  ¿Dónde está el símbolo de Levi-Civita y en realidad las trazas de productos de número impar son cero y por lo tanto ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.}$ ${\displaystyle \ \gamma \ }$

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\ }$para n impar. ^[7]

Muchos se derivan directamente de expandir la notación de barra y contraer expresiones de la forma con la identidad apropiada en términos de matrices gamma. ${\displaystyle \ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \ }$

Otras representaciones

Las matrices a veces también se escriben usando la matriz identidad de 2×2 , y ${\displaystyle I_{2}}$

${\displaystyle \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}}$

donde k va de 1 a 3 y las σ ^k son matrices de Pauli .

base de dirac

Las matrices gamma que hemos escrito hasta ahora son apropiadas para actuar sobre espinores de Dirac escritos en la base de Dirac ; de hecho, la base de Dirac está definida por estas matrices. Para resumir, en la base de Dirac:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

En la base de Dirac, el operador de conjugación de carga es antisimétrico real, ^{[8] : 691–700}

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.}$

Base de Weyl (quiral)

Otra opción habitual es la base de Weyl o quiral , en la que sigue siendo la misma pero es diferente, y por eso también es diferente, y la diagonal, ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},}$

o en notación más compacta:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).}$

La base de Weyl tiene la ventaja de que sus proyecciones quirales toman una forma simple,

${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.}$

La idempotencia de las proyecciones quirales es manifiesta.

Abusando ligeramente de la notación y reutilizando los símbolos podemos identificar ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} /R}}$

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},}$

donde ahora y son espinores de Weyl de dos componentes zurdos y diestros. ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

El operador de conjugación de carga en esta base es antisimétrico real,

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

La base de Dirac se puede obtener a partir de la base de Weyl como

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

a través de la transformada unitaria

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Base Weyl (quiral) (forma alternativa)

Otra posible elección ^[9] de la base de Weyl tiene

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Las proyecciones quirales toman una forma ligeramente diferente a la otra elección de Weyl,

${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

En otras palabras,

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},}$

donde y son los espinores de Weyl de dos componentes zurdos y diestros, como antes. ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

El operador de conjugación de carga en esta base es

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.}$

Esta base se puede obtener a partir de la base de Dirac anterior mediante la transformada unitaria ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

base majorana

También existe la base de Majorana , en la que todas las matrices de Dirac son imaginarias y los espinores y la ecuación de Dirac son reales. Respecto a las matrices de Pauli , la base se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}}$

donde está la matriz de conjugación de carga, que coincide con la versión de Dirac definida anteriormente. ${\displaystyle C}$

La razón para hacer imaginarias todas las matrices gamma es únicamente para obtener la métrica de la física de partículas (+, −, −, −) , en la que las masas al cuadrado son positivas. La representación de Majorana, sin embargo, es real. Se puede factorizar para obtener una representación diferente con espinores reales de cuatro componentes y matrices gamma reales. La consecuencia de eliminar es que la única métrica posible con matrices gamma reales es (−, +, +, +) . ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$

La base de Majorana se puede obtener a partir de la base de Dirac anterior mediante la transformada unitaria ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

Cl 1,3 (C) y Cl 1,3 (R)

El álgebra de Dirac puede considerarse como una complejización del álgebra real Cl _1,3 ( ), llamada álgebra del espacio-tiempo : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} }$

Cl _1,3 ( ) difiere de Cl _1,3 ( ): en Cl _1,3 ( ) sólo se permiten combinaciones lineales reales de las matrices gamma y sus productos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Dos cosas merecen señalarse. Como las álgebras de Clifford , Cl _1,3 ( ) y Cl ₄ ( ) son isomorfas, véase clasificación de las álgebras de Clifford . La razón es que la firma subyacente de la métrica del espacio-tiempo pierde su firma (1,3) al pasar a la complejización. Sin embargo, la transformación requerida para llevar la forma bilineal a la forma canónica compleja no es una transformación de Lorentz y, por lo tanto, no es "permisible" (al menos, poco práctica), ya que toda la física está estrechamente ligada a la simetría de Lorentz y es preferible mantenerla. manifiesto. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los defensores del álgebra geométrica se esfuerzan por trabajar con álgebras reales siempre que sea posible. Sostienen que generalmente es posible (y normalmente esclarecedor) identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Tales unidades surgen de una de las muchas cantidades en un álgebra de Clifford real que eleva al cuadrado -1, y tienen significado geométrico debido a las propiedades del álgebra y la interacción de sus diversos subespacios. Algunos de estos defensores también cuestionan si es necesario o incluso útil introducir una unidad imaginaria adicional en el contexto de la ecuación de Dirac. ^{[10] : x-xi}

En las matemáticas de la geometría de Riemann , es convencional definir el álgebra de Clifford Cl _p,q ( ) para dimensiones arbitrarias p,q . Los espinores de Weyl se transforman bajo la acción del grupo de espín . La complejización del grupo de espín, llamado grupo de espín , es un producto del grupo de espín con el círculo. El producto es solo un recurso de notación con el que identificarse . El punto geométrico de esto es que desenreda el espinor real, que es covariante bajo transformaciones de Lorentz. , del componente, que se puede identificar con la fibra de la interacción electromagnética. Está entrelazando la paridad y la conjugación de carga de una manera adecuada para relacionar los estados de partícula/antipartícula de Dirac (de manera equivalente, los estados quirales en la base de Weyl). El bispinor , en la medida en que tiene componentes izquierda y derecha linealmente independientes, puede interactuar con el campo electromagnético. Esto contrasta con el espinor de Majorana y el espinor ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators), que no pueden ( es decir, son eléctricamente neutros), ya que limitan explícitamente el espinor para no interactuar con la parte procedente de la complejización. El espinor ELKO es un espinor Lounesto clase 5. ^{[11] : 84} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1).}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (-a,-u).}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Sin embargo, en la práctica contemporánea de la física, el álgebra de Dirac, en lugar del álgebra espacio-temporal, sigue siendo el entorno estándar en el que "viven" los espinores de la ecuación de Dirac.

Otras propiedades libres de representación

Las matrices gamma son diagonalizables con valores propios para y valores propios para . ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$

En particular, esto implica que es simultáneamente hermitiano y unitario, mientras que es simultáneamente antihermitiano y unitario. ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$

Además, la multiplicidad de cada valor propio es dos.

De manera más general, si no es nulo, se cumple un resultado similar. Para ser más concretos, nos restringimos al caso de norma positiva. El caso negativo sigue de manera similar. ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\ }$ ${\displaystyle \ p\cdot p=m^{2}>0~.}$

De ello se deduce que el espacio de solución de (es decir, el núcleo del lado izquierdo) tiene dimensión 2. Esto significa que el espacio de solución para soluciones de onda plana de la ecuación de Dirac tiene dimensión 2. ${\displaystyle \ p\!\!\!/-m=0\ }$

Este resultado sigue siendo válido para la ecuación de Dirac sin masa. En otras palabras, si es nulo, entonces tiene nulidad 2. ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle p\!\!\!/}$

Matrices euclidianas de Dirac

En la teoría cuántica de campos, Wick puede rotar el eje del tiempo para transitar del espacio de Minkowski al espacio euclidiano . Esto es particularmente útil en algunos procedimientos de renormalización , así como en la teoría del calibre de red . En el espacio euclidiano, hay dos representaciones de matrices de Dirac de uso común:

representación quiral

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Observe que los factores de se han insertado en las matrices gamma espaciales de modo que el álgebra euclidiana de Clifford ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}$

Emergerá. También vale la pena señalar que existen variantes de esto que se insertan en una de las matrices, como en los códigos QCD de celosía que utilizan la base quiral. ${\displaystyle -i}$

En el espacio euclidiano,

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.}$

Usando el anticonmutador y observando que en el espacio euclidiano , se muestra que ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}}$

En base quiral en el espacio euclidiano,

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}}$

que no ha cambiado con respecto a su versión Minkowski.

Representación no relativista

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Notas a pie de página

1. El conjunto de matrices (Γ ^a ) = ( γ ^μ , i γ ⁵ ) con a = (0, 1, 2, 3, 4) satisfacen el álgebra de Clifford de cinco dimensiones {Γ ^a , Γ ^b } = 2  η ^ab

Ver también

• portal de física

• matrices de pauli
• Matrices de Gell-Mann
• Matrices gamma de dimensiones superiores
• identidad fierz
• Álgebra espacio-temporal

Citas

1. Kukin 2016.
2. Lonigro 2023.
3. Sólo 2002.
4. Tong 2007, Estas notas introductorias a la teoría de campos cuánticos son para estudiantes de la Parte III (nivel de maestría).
5. Weinberg 2002, § 5.5.
6. de Wit y Smith 2012.
7. Kaplunovsky 2008.
8. Itzykson y Zuber 2012.
9. Kaku 1993.
10. Hestenes 2015.
11. Rodrigues y Oliveira 2007.

Referencias

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• Halzen, Francisco; Martín, Alan D. (17 de mayo de 2008). Quarks y leptones: un curso de introducción a la física de partículas moderna. Wiley India Pvt. Ltd. Limitado. ISBN 978-81-265-1656-8.
• Hestenes, David (2015). Álgebra espacio-temporal. Publicaciones internacionales Springer. ISBN 978-3-319-18412-8.
• Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (20 de septiembre de 2012). Teoría cuántica de campos. Corporación de mensajería. Apéndice A. ISBN 978-0-486-13469-7.
• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico. Saltador. pag. 68, Corolario 1.8.1. ISBN 978-3-540-42627-1.
• Kaku, Michio (1993). Teoría cuántica de campos: una introducción moderna. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-509158-8.
• Kaplunovsky, Vadim (2008). «Traceología» (PDF) . Teoría Cuántica de Campos (tarea del curso/apuntes de clase). Departamento de Física. Universidad de Texas en Austin . Archivado desde el original (PDF) el 13 de noviembre de 2019.

• Kukin, VD (2016). "Matrices de Dirac - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 2 de noviembre de 2023 .

• Lonigro, Davide (2023). "Reducción dimensional de la ecuación de Dirac en dimensiones espaciales arbitrarias". La revista física europea Plus . 138 (4): 324. arXiv : 2212.11965 . Código Bib : 2023EPJP..138..324L. doi :10.1140/epjp/s13360-023-03919-0.
• Pauli, W. (1936). "Contribuciones matemáticas a la teoría de matrices de Dirac". Anales del Instituto Henri Poincaré . 6 : 109.

• Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos. Prensa de Westview. capítulo 3.2. ISBN 0-201-50397-2.

• Rodrigues, Waldyr A.; Oliveira, Edmundo C. de (2007). Las muchas caras de las ecuaciones de Maxwell, Dirac y Einstein: un enfoque de paquete de Clifford. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-71292-3.
• Tong, David (2007). Conferencias sobre teoría cuántica de campos (apuntes del curso). David Tong en la Universidad de Cambridge . pag. 93 . Consultado el 7 de marzo de 2015 .

• Weinberg, S. (2002). La teoría cuántica de campos . vol. 1. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-55001-7– a través de Internet Archive (archive.org).

• Zee, A. (2003). La teoría cuántica de campos en pocas palabras. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. capítulo II.1. ISBN 0-691-01019-6.

enlaces externos

• Matrices de Dirac en mathworld, incluidas sus propiedades de grupo
• Matrices de Dirac como grupo abstracto en GroupNames
• "Matrices de Dirac", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]