Bispinor

Descripción matemática de los fermiones

En física , y específicamente en la teoría cuántica de campos , un bispinor es una construcción matemática que se utiliza para describir algunas de las partículas fundamentales de la naturaleza , incluidos los quarks y los electrones . Es una realización específica de un espinor , construida específicamente para que sea consistente con los requisitos de la relatividad especial . Los bispinores se transforman de una cierta manera "espinorial" bajo la acción del grupo de Lorentz , que describe las simetrías del espacio-tiempo de Minkowski . Ocurren en las soluciones relativistas de la función de onda de espín ⁠ 1/2 ⁠ a la ecuación de Dirac .

Los bispinores se denominan así porque están construidos a partir de dos espinores componentes más simples, los espinores de Weyl . Cada uno de los dos espinores componentes se transforma de manera diferente bajo las dos representaciones de espín 1/2 complejas-conjugadas distintas del grupo de Lorentz. Este emparejamiento es de importancia fundamental, ya que permite que la partícula representada tenga una masa , lleve una carga y represente el flujo de carga como una corriente , y quizás lo más importante, lleve un momento angular . Más precisamente, la masa es un invariante de Casimir del grupo de Lorentz (un estado propio de la energía), mientras que la combinación vectorial lleva el momento y la corriente, siendo covariante bajo la acción del grupo de Lorentz. El momento angular lo lleva el vector de Poynting , construido adecuadamente para el campo de espín. ^[1]

Un bispinor es más o menos "lo mismo" que un espinor de Dirac . La convención utilizada aquí es que el artículo sobre el espinor de Dirac presenta soluciones de ondas planas para la ecuación de Dirac utilizando la convención de Dirac para las matrices gamma . Es decir, el espinor de Dirac es un bispinor en la convención de Dirac. Por el contrario, el artículo siguiente se concentra principalmente en la representación de Weyl, o quiral, se centra menos en la ecuación de Dirac y más en la estructura geométrica, incluida la geometría del grupo de Lorentz . Por lo tanto, gran parte de lo que se dice a continuación se puede aplicar a la ecuación de Majorana .

Definición

Los bispinores son elementos de un espacio vectorial complejo de 4 dimensiones ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) representación del grupo de Lorentz . ^[2]

En la base de Weyl , un bispinor

${\displaystyle \psi =\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{array}}\right)}$

consta de dos espinores de Weyl (de dos componentes) y que se transforman, correspondientemente, bajo las representaciones ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) y (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) del grupo (el grupo de Lorentz sin transformaciones de paridad ). Bajo la transformación de paridad, los espinores de Weyl se transforman entre sí. ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (1,3)}$

El bispinor de Dirac está conectado con el bispinor de Weyl mediante una transformación unitaria a la base de Dirac ,

${\displaystyle \psi \rightarrow {1 \over {\sqrt {2}}}\left[{\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}}\right]\psi ={1 \over {\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {R}}+\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}-\psi _{\rm {L}}\end{array}}\right).}$

La base de Dirac es la más utilizada en la literatura.

Expresiones para las transformaciones de Lorentz de los bispinores

Un campo bispinorial se transforma según la regla ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{a}(x)\to {\psi ^{\prime }}^{a}\left(x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}\left(\Lambda ^{-1}x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}(x)}$

donde es una transformación de Lorentz . Aquí las coordenadas de los puntos físicos se transforman según , mientras que , una matriz, es un elemento de la representación del espinor (para espín 1/2 ) del grupo de Lorentz. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x^{\prime }=\Lambda x}$ ${\displaystyle S}$

En la base de Weyl, las matrices de transformación explícitas para un impulso y para una rotación son las siguientes: ^[3] ${\displaystyle \Lambda _{\rm {boost}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\rm {rot}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S[\Lambda _{\rm {boost}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+\chi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{-\chi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\\S[\Lambda _{\rm {rot}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+i\phi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{+i\phi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$

Aquí está el parámetro de impulso y representa la rotación alrededor del eje. son las matrices de Pauli . La exponencial es el mapa exponencial , en este caso la matriz exponencial definida al poner la matriz en la serie de potencias habitual para la función exponencial. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \phi ^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$

Propiedades

Una forma bilineal de bispinores se puede reducir a cinco objetos irreducibles (según el grupo de Lorentz):

1. escalar , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$
2. pseudo-escalar , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi }$
3. vector ,;​ ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$
4. pseudo-vector , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi }$
5. tensor antisimétrico , , ${\displaystyle {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\psi }$

donde y son las matrices gamma . Estas cinco cantidades están interrelacionadas por las identidades de Fierz . Sus valores se utilizan en la clasificación de campos de espinores de Lounesto de los diferentes tipos de espinores, de los cuales el bispinor es solo uno; los otros son el asta de bandera (del cual el espinor de Majorana es un caso especial), el dipolo de bandera y el espinor de Weyl . Los espinores de asta de bandera, dipolo de bandera y de Weyl tienen todos campos de masa y pseudoescalares nulos; el asta de bandera tiene además un campo pseudovectorial nulo, mientras que los espinores de Weyl tienen un tensor antisimétrico nulo (un "campo de momento angular" nulo). ${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\right\}}$

A partir de estos se puede construir un lagrangiano adecuado para el campo de espín relativista ⁠ 1 / 2 ⁠ , y se da como

${\displaystyle {\mathcal {L}}={i \over 2}\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)-m{\bar {\psi }}\psi \;.}$

La ecuación de Dirac se puede derivar de este lagrangiano utilizando la ecuación de Euler-Lagrange .

Derivación de una representación bispinorial

Introducción

Este esquema describe un tipo de bispinores como elementos de un espacio de representación particular de la representación ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) del grupo de Lorentz. Este espacio de representación está relacionado con, pero no es idéntico a, el espacio de representación ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) contenido en el álgebra de Clifford sobre el espacio-tiempo de Minkowski como se describe en el artículo Spinors . El lenguaje y la terminología se utilizan como en la teoría de la representación del grupo de Lorentz . La única propiedad de las álgebras de Clifford que es esencial para la presentación es la propiedad definitoria dada en D1 a continuación. Los elementos base de so (3,1) están etiquetados como M ^μν .

Una representación del álgebra de Lie so (3,1) del grupo de Lorentz O(3,1) surgirá entre matrices que se elegirán como base (como espacio vectorial) del álgebra compleja de Clifford sobre el espacio-tiempo. Estas matrices 4×4 se exponenciarán dando una representación de SO(3,1) ⁺ . Esta representación, que resulta ser una representación ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) , actuará sobre un espacio vectorial complejo de 4 dimensiones arbitrario, que simplemente se tomará como C ⁴ , y sus elementos serán bispinores.

Como referencia, las relaciones de conmutación de (3,1 ) son

con la métrica del espacio-tiempo η = diag(−1, 1, 1, 1) .

Las matrices gamma

Sea γ ^μ un conjunto de cuatro matrices gamma de cuatro dimensiones, aquí llamadas matrices de Dirac . Las matrices de Dirac satisfacen

donde { , } es el anticonmutador , I ₄ es una matriz unitaria de 4×4 y η ^μν es la métrica del espacio-tiempo con signatura (+,−,−,−). Esta es la condición definitoria para un conjunto generador de un álgebra de Clifford . Otros elementos básicos σ ^μν del álgebra de Clifford se dan por

Sólo seis de las matrices σ ^μν son linealmente independientes. Esto se deduce directamente de su definición, ya que σ ^μν = − σ ^νμ . Actúan sobre el subespacio V _γ que abarcan los γ ^μ en sentido pasivo , según

En (C2) , la segunda igualdad se sigue de la propiedad (D1) del álgebra de Clifford.

Incrustación de so(3,1) en Cl en el álgebra de Lie4(DO)

Ahora definamos una acción de so (3,1) sobre σ ^μν , y el subespacio lineal V _σ ⊂ Cl ₄ ( C ) que abarcan en Cl ₄ ( C ) ≈ M ⁿ _C , dado por

La última igualdad en (C4) , que se sigue de (C2) y la propiedad (D1) de las matrices gamma, muestra que las σ ^μν constituyen una representación de so (3,1) ya que las relaciones de conmutación en (C4) son exactamente las de so (3,1) . La acción de π(M ^μν ) puede considerarse como matrices hexadimensionales Σ ^μν que multiplican los vectores base σ ^μν , ya que el espacio en M _n ( C ) abarcado por las σ ^μν es hexadimensional, o puede considerarse como la acción por conmutación sobre las σ ^ρσ . En lo que sigue, π ( M ^μν ) = σ ^μν

Tanto γ ^μ como σ ^μν son subconjuntos (disjuntos) de los elementos base de Cl ₄ ( C ), generados por las matrices de Dirac de cuatro dimensiones γ ^μ en cuatro dimensiones del espacio-tiempo. El álgebra de Lie de so ( 3,1) está, por tanto, incrustada en Cl ₄ ( C ) por π como el subespacio real de Cl ₄ ( C ) abarcado por σ ^μν . Para una descripción completa de los elementos base restantes distintos de γ ^μ y σ ^μν del álgebra de Clifford, consulte el artículo Álgebra de Dirac .

Se introducen los bispinores

Ahora introduzcamos cualquier espacio vectorial complejo de 4 dimensiones U donde γ ^μ actúe por multiplicación de matrices. Aquí, U = C ⁴ será suficiente. Sea Λ = e ^{ω _μν M μν} una transformación de Lorentz y definamos la acción del grupo de Lorentz sobre U como

${\displaystyle u\rightarrow S(\Lambda )u=e^{i\pi (\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu })}u;\quad u^{\alpha }\rightarrow [e^{\omega _{\mu \nu }\sigma ^{\mu \nu }}]^{\alpha }{}_{\beta }u^{\beta }.}$

Dado que los σ ^μν según (C4) constituyen una representación de (3,1) , la función inducida

según la teoría general, o bien es una representación o bien una representación proyectiva de SO(3,1) ⁺ . Resultará ser una representación proyectiva. Los elementos de U , cuando están dotados de la regla de transformación dada por S , se denominan bispinores o simplemente espinores .

Una selección de matrices de Dirac

Queda por elegir un conjunto de matrices de Dirac γ ^μ para obtener la representación del espín S . Una de esas opciones, apropiada para el límite ultrarelativista , es

donde σ _i son las matrices de Pauli . En esta representación de los generadores del álgebra de Clifford, σ ^μν se convierten en

Esta representación no es manifiestamente irreducible, ya que las matrices son todas diagonales en bloque . Pero por la irreducibilidad de las matrices de Pauli, la representación no se puede reducir más. Como es de 4 dimensiones, la única posibilidad es que sea una representación ( ⁠ 1 / 2 ⁠ ,0)⊕(0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) , es decir, una representación bispinorial. Ahora, utilizando la receta de exponenciación de la representación del álgebra de Lie para obtener una representación de SO(3,1) ⁺ ,

Se obtiene una representación proyectiva de 2 valores. Aquí φ es un vector de parámetros de rotación con 0 ≤ φ ⁱ ≤ 2 π , y χ es un vector de parámetros de impulso . Con las convenciones utilizadas aquí se puede escribir

para un cuerpo de bispinores. Aquí, el componente superior corresponde a un espinor de Weyl derecho . Para incluir la inversión de paridad espacial en este formalismo, se establece

como representante de P = diag(1, −1, −1, −1) . Se observa que la representación es irreducible cuando se incluye la inversión de paridad espacial.

Un ejemplo

Sea X = 2 πM ¹² de modo que X genere una rotación alrededor del eje z en un ángulo de 2 π . Entonces Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺ pero e ^{iπ ( X )} = − I ∈ GL( U ) . Aquí, I denota el elemento identidad. Si se elige X = 0 en su lugar, entonces todavía Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺ , pero ahora e ^{iπ ( X )} = I ∈ GL( U ) .

Esto ilustra la naturaleza de doble valor de una representación de espín. La identidad en SO(3,1) ⁺ se mapea en − I ∈ GL( U ) o I ∈ GL( U ) dependiendo de la elección del elemento del álgebra de Lie para representarla. En el primer caso, se puede especular que una rotación de un ángulo 2 π niega un bispinor, y que se requiere una rotación de 4 π para rotar un bispinor de vuelta sobre sí mismo. Lo que realmente sucede es que la identidad en SO(3,1) ⁺ se mapea en − I en GL( U ) con una desafortunada elección de X .

Es imposible elegir continuamente X para todo g ∈ SO(3,1) ⁺ de modo que S sea una representación continua. Supóngase que uno define S a lo largo de un bucle en SO(3,1) tal que X ( t ) = 2 πtM ¹² , 0 ≤ t ≤ 1 . Este es un bucle cerrado en SO(3,1) , es decir, rotaciones que van de 0 a 2 π alrededor del eje z bajo la función exponencial, pero es solo la "mitad" de un bucle en GL( U ) , que termina en − I . Además, el valor de I ∈ SO(3,1) es ambiguo, ya que t = 0 y t = 2 π dan valores diferentes para I ∈ SO(3,1) .

El álgebra de Dirac

La representación S sobre bispinores inducirá una representación de SO(3,1) ⁺ en End( U ) , el conjunto de operadores lineales sobre U . Este espacio corresponde al álgebra de Clifford en sí, de modo que todos los operadores lineales sobre U son elementos de esta última. Esta representación, y cómo se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles SO(3,1) ⁺ , se describe en el artículo sobre el álgebra de Dirac . Una de las consecuencias es la descomposición de las formas bilineales sobre U × U . Esta descomposición sugiere cómo acoplar cualquier campo de bispinores con otros campos en un lagrangiano para producir escalares de Lorentz .

Los bispinores y el álgebra de Dirac

Las matrices de Dirac son un conjunto de cuatro matrices 4×4 que forman el álgebra de Dirac , y se utilizan para entrelazar la dirección de espín con el marco de referencia local (el marco de coordenadas local del espacio-tiempo), así como para definir operadores de carga ( simetría C ), paridad e inversión del tiempo .

Convenciones

Existen varias opciones de firma y representación que se utilizan comúnmente en la literatura de física. Las matrices de Dirac se escriben típicamente como donde va de 0 a 3. En esta notación, 0 corresponde al tiempo y de 1 a 3 corresponden a x , y y z . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

La firma + − − − a veces se denomina métrica de la costa oeste , mientras que − + + + es la métrica de la costa este . En este momento, la firma + − − − es de uso más común y nuestro ejemplo utilizará esta firma. Para cambiar de un ejemplo a otro, multiplique todo por . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle i}$

Después de elegir la signatura, existen muchas maneras de construir una representación en las matrices 4×4, y muchas de ellas son de uso común. Para que este ejemplo sea lo más general posible, no especificaremos una representación hasta el paso final. En ese momento, sustituiremos la representación "quiral" o de Weyl .

Construcción de un espinor de Dirac con una dirección de espín y una carga dadas

Primero elegimos una dirección de espín para nuestro electrón o positrón. Al igual que en el ejemplo del álgebra de Pauli discutido anteriormente, la dirección de espín se define mediante un vector unitario en 3 dimensiones, (a, b, c). Siguiendo la convención de Peskin y Schroeder, el operador de espín para el espín en la dirección (a, b, c) se define como el producto escalar de (a, b, c) con el vector

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)&=-\left(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3}\right)i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\\sigma _{(a,b,c)}&=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^{3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}\end{aligned}}}$

Nótese que lo anterior es una raíz de la unidad , es decir, su cuadrado es 1. En consecuencia, podemos hacer un operador de proyección a partir de él que proyecte la subálgebra del álgebra de Dirac que tiene el espín orientado en la dirección (a, b, c):

${\displaystyle P_{(a,b,c)}={\frac {1}{2}}\left(1+\sigma _{(a,b,c)}\right)}$

Ahora debemos elegir una carga, +1 (positrón) o −1 (electrón). Siguiendo las convenciones de Peskin & Schroeder, el operador para carga es , es decir, los estados de electrones tomarán un valor propio de −1 con respecto a este operador mientras que los estados de positrones tomarán un valor propio de +1. ${\displaystyle Q=-\gamma ^{0}}$

Nótese que también es una raíz cuadrada de la unidad. Además, conmuta con . Forman un conjunto completo de operadores conmutativos para el álgebra de Dirac . Continuando con nuestro ejemplo, buscamos una representación de un electrón con espín en la dirección ( a , b , c ) . Al convertirlo en un operador de proyección para carga = −1, tenemos ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \sigma _{(a,b,c)}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P_{-Q}={\frac {1}{2}}\left(1-Q\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)}$

El operador de proyección para el espinor que buscamos es por tanto el producto de los dos operadores de proyección que hemos encontrado:

${\displaystyle P_{(a,b,c)}\;P_{-Q}}$

El operador de proyección anterior, cuando se aplica a cualquier espinor, dará la parte del espinor que corresponde al estado del electrón que buscamos. Por lo tanto, podemos aplicarlo a un espinor con el valor 1 en uno de sus componentes y 0 en los otros, lo que da una columna de la matriz. Continuando con el ejemplo, ponemos ( a , b , c ) = (0, 0, 1) y tenemos

${\displaystyle P_{(0,0,1)}={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma _{1}\gamma _{2}\right)}$

y entonces nuestro operador de proyección deseado es

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{4}}\left(1+\gamma ^{0}+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}+i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)}$

Las matrices gamma 4×4 utilizadas en la representación de Weyl son

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\gamma _{k}&={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

para k = 1, 2, 3 y donde son las matrices de Pauli 2×2 habituales . Sustituyéndolas en P se obtiene ${\displaystyle \sigma ^{i}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\\1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Nuestra respuesta es cualquier columna distinta de cero de la matriz anterior. La división por dos es simplemente una normalización. La primera y la tercera columna dan el mismo resultado:

${\displaystyle \left|e^{-},\,+{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

De manera más general, para electrones y positrones con espín orientado en la dirección ( a , b , c ), el operador de proyección es

${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib&\pm (1+c)&\pm (a-ib)\\a+ib&1-c&\pm (a+ib)&\pm (1-c)\\\pm (1+c)&\pm (a-ib)&1+c&a-ib\\\pm (a+ib)&\pm (1-c)&a+ib&1-c\end{bmatrix}}}$

donde los signos superiores son para el electrón y los inferiores para el positrón. El espinor correspondiente puede tomarse como cualquier columna distinta de cero, ya que las diferentes columnas son múltiplos del mismo espinor. La representación del espinor resultante en la base de Dirac puede obtenerse utilizando la regla dada en el artículo sobre el bispinor. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$

Véase también

• portal de fisica

• Espinor de Dirac
• Spin(3,1) , la doble cobertura de SO(3,1) por un grupo de espín
• Ecuación de Rarita-Schwinger

Notas

1. Hans C. Ohanian (1986) "¿Qué es el espín?", American Journal of Physics . 54 , página 500. doi: 10.1119/1.14580
2. Caban y Rembieliński 2005, pag. 2
3. David Tong, Conferencias sobre teoría cuántica de campos (2012), Conferencia 4
4. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.5
5. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.6
6. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.7
7. Weinberg 2002, Ecuaciones (5.4.17)
8. Weinberg 2002, Ecuaciones (5.4.19) y (5.4.20)
9. Weinberg 2002, Ecuación (5.4.13)

Referencias

• Caban, Paweł; Rembieliński, Jakub (5 de julio de 2005). "Matriz de densidad de espín reducida covariante de Lorentz y correlaciones de Einstein-Podolsky-Rosen–Bohm". Physical Review A . 72 (1): 012103. arXiv : quant-ph/0507056v1 . Código Bibliográfico :2005PhRvA..72a2103C. doi :10.1103/physreva.72.012103. S2CID  119105796.
• Weinberg, S (2002), La teoría cuántica de campos, vol I , ISBN 0-521-55001-7.