Las matemáticas permiten a los economistas formular proposiciones significativas y comprobables sobre temas complejos y de amplio alcance que difícilmente podrían expresarse de manera informal. Además, el lenguaje de las matemáticas permite a los economistas hacer afirmaciones específicas y positivas sobre temas controvertidos o polémicos que serían imposibles sin las matemáticas. [4] Gran parte de la teoría económica se presenta actualmente en términos de modelos económicos matemáticos , un conjunto de relaciones matemáticas estilizadas y simplificadas afirmadas para aclarar supuestos e implicaciones. [5]
Las aplicaciones amplias incluyen:
Problemas de optimización en cuanto al equilibrio objetivo, ya sea de un hogar, una empresa comercial o un formulador de políticas.
Análisis estático (o de equilibrio ) en el que la unidad económica (como un hogar) o el sistema económico (como un mercado o la economía ) se modela como si no cambiara.
Estática comparativa en cuanto a un cambio de un equilibrio a otro inducido por un cambio en uno o más factores.
El modelado económico formal comenzó en el siglo XIX con el uso del cálculo diferencial para representar y explicar el comportamiento económico, como la maximización de la utilidad , una de las primeras aplicaciones económicas de la optimización matemática . La economía se volvió más matemática como disciplina a lo largo de la primera mitad del siglo XX, pero la introducción de técnicas nuevas y generalizadas en el período alrededor de la Segunda Guerra Mundial , como en la teoría de juegos , ampliaría enormemente el uso de formulaciones matemáticas en economía. [8] [7]
Esta rápida sistematización de la economía alarmó a los críticos de la disciplina, así como a algunos economistas destacados. John Maynard Keynes , Robert Heilbroner , Friedrich Hayek y otros han criticado el amplio uso de modelos matemáticos para el comportamiento humano, argumentando que algunas elecciones humanas son irreductibles a las matemáticas.
Historia
El uso de las matemáticas al servicio del análisis social y económico se remonta al siglo XVII. Luego, principalmente en las universidades alemanas , surgió un estilo de enseñanza que se ocupaba específicamente de la presentación detallada de datos relacionados con la administración pública. Gottfried Achenwall dio una conferencia de esta manera y acuñó el término estadística . Al mismo tiempo, un pequeño grupo de profesores en Inglaterra estableció un método de "razonamiento mediante cifras sobre cuestiones relacionadas con el gobierno" y se refirió a esta práctica como Aritmética Política . [9] Sir William Petty escribió extensamente sobre temas que luego preocuparían a los economistas, como los impuestos, la velocidad del dinero y el ingreso nacional , pero si bien su análisis era numérico, rechazó la metodología matemática abstracta. El uso que hizo Petty de datos numéricos detallados (junto con John Graunt ) influiría en los estadísticos y economistas durante algún tiempo, aunque los estudiosos ingleses ignoraron en gran medida las obras de Petty. [10]
La matematización de la economía comenzó en serio en el siglo XIX. La mayor parte del análisis económico de la época fue lo que más tarde se llamaría economía clásica . Se discutieron y prescindieron de los temas mediante medios algebraicos , pero no se utilizó el cálculo. Más importante aún, hasta El estado aislado de Johann Heinrich von Thünen en 1826, los economistas no desarrollaron modelos de comportamiento explícitos y abstractos para aplicar las herramientas de las matemáticas. El modelo de uso de la tierra agrícola de Thünen representa el primer ejemplo de análisis marginal. [11] El trabajo de Thünen fue en gran medida teórico, pero también extrajo datos empíricos para intentar respaldar sus generalizaciones. En comparación con sus contemporáneos, Thünen construyó modelos y herramientas económicos, en lugar de aplicar herramientas anteriores a nuevos problemas. [12]
Mientras tanto, una nueva cohorte de académicos formados en los métodos matemáticos de las ciencias físicas gravitó hacia la economía, defendiendo y aplicando esos métodos a su materia, [13] y que hoy se describe como un paso de la geometría a la mecánica . [14]
Entre ellos se encontraba WS Jevons , quien presentó un artículo sobre una "teoría matemática general de la economía política" en 1862, proporcionando un esquema para el uso de la teoría de la utilidad marginal en la economía política. [15] En 1871, publicó Los principios de economía política , declarando que la materia como ciencia "debe ser matemática simplemente porque trata de cantidades". Jevons esperaba que sólo la recopilación de estadísticas sobre precios y cantidades permitiría que el tema presentado se convirtiera en una ciencia exacta. [16] Otros precedieron y siguieron en la ampliación de las representaciones matemáticas de los problemas económicos . [17]
Los marginalistas y las raíces de la economía neoclásica
Cantidades de equilibrio como solución a dos funciones de reacción en el duopolio de Cournot. Cada función de reacción se expresa como una ecuación lineal que depende de la cantidad demandada.
Augustin Cournot y Léon Walras construyeron las herramientas de la disciplina axiomáticamente en torno a la utilidad, argumentando que los individuos buscaban maximizar su utilidad a través de opciones de una manera que pudiera describirse matemáticamente. [18] En ese momento, se pensaba que la utilidad era cuantificable, en unidades conocidas como utils . [19] Cournot, Walras y Francis Ysidro Edgeworth son considerados los precursores de la economía matemática moderna. [20]
Agustín Cournot
Cournot, profesor de matemáticas, desarrolló un tratamiento matemático en 1838 para el duopolio , una condición de mercado definida por la competencia entre dos vendedores. [20] Este tratamiento de la competencia, publicado por primera vez en Investigaciones sobre los principios matemáticos de la riqueza , [21] se conoce como duopolio de Cournot . Se supone que ambos vendedores tenían igual acceso al mercado y podían producir sus bienes sin costo. Además, supuso que ambos bienes eran homogéneos . Cada vendedor variaría su producción en función de la producción del otro y el precio de mercado estaría determinado por la cantidad total ofrecida. El beneficio de cada empresa se determinaría multiplicando su producción por el precio unitario de mercado . Diferenciar la función de beneficio con respecto a la cantidad ofrecida por cada empresa dejó un sistema de ecuaciones lineales, cuya solución simultánea dio la cantidad, el precio y los beneficios de equilibrio. [22] Las contribuciones de Cournot a la matematización de la economía serían ignoradas durante décadas, pero finalmente influyeron en muchos de los marginalistas . [22] [23] Los modelos de duopolio y oligopolio de Cournot también representan una de las primeras formulaciones de juegos no cooperativos . Hoy en día la solución puede darse como un equilibrio de Nash , pero el trabajo de Cournot precedió a la teoría de juegos moderna en más de 100 años. [24]
leon walras
Mientras Cournot proporcionó una solución para lo que más tarde se llamaría equilibrio parcial, Léon Walras intentó formalizar la discusión de la economía en su conjunto a través de una teoría del equilibrio competitivo general . El comportamiento de cada actor económico se consideraría tanto desde el punto de vista de la producción como del consumo. Walras presentó originalmente cuatro modelos separados de intercambio, cada uno incluido recursivamente en el siguiente. La solución del sistema de ecuaciones resultante (tanto lineal como no lineal) es el equilibrio general. [25] En ese momento, no se podía expresar ninguna solución general para un sistema de muchas ecuaciones arbitrarias, pero los intentos de Walras produjeron dos resultados famosos en economía. La primera es la ley de Walras y la segunda es el principio de tâtonnement . El método de Walras se consideraba altamente matemático para la época y Edgeworth comentó extensamente sobre este hecho en su reseña de Éléments d'économie politique pure (Elementos de economía pura). [26]
La ley de Walras se introdujo como una respuesta teórica al problema de determinar las soluciones en equilibrio general. Su notación es diferente de la notación moderna, pero se puede construir utilizando una notación de suma más moderna. Walras supuso que, en equilibrio, todo el dinero se gastaría en todos los bienes: cada bien se vendería al precio de mercado de ese bien y cada comprador gastaría su último dólar en una cesta de bienes. Partiendo de este supuesto, Walras podría demostrar que si hubiera n mercados y n-1 mercados se liquidaran (se alcanzaran condiciones de equilibrio), el enésimo mercado también se liquidaría. Esto es más fácil de visualizar con dos mercados (considerados en la mayoría de los textos como un mercado de bienes y un mercado de dinero). Si uno de dos mercados ha alcanzado un estado de equilibrio, ningún bien adicional (o, por el contrario, dinero) puede entrar o salir del segundo mercado, por lo que también debe estar en un estado de equilibrio. Walras utilizó esta afirmación para avanzar hacia una prueba de la existencia de soluciones al equilibrio general, pero hoy en día se usa comúnmente para ilustrar la compensación del mercado en los mercados monetarios a nivel universitario. [27]
Tâtonnement (aproximadamente, tantear en francés ) estaba destinado a servir como expresión práctica del equilibrio general walrasiano. Walras abstrajo el mercado como una subasta de bienes donde el subastador anunciaría los precios y los participantes del mercado esperarían hasta que cada uno pudiera satisfacer sus precios de reserva personales para la cantidad deseada (recordando aquí que esta es una subasta de todos los bienes, por lo que todos tienen una precio de reserva para su cesta de productos deseada). [28]
Sólo cuando todos los compradores estén satisfechos con el precio de mercado dado se producirán transacciones. El mercado se "vaciaría" a ese precio: no existiría excedente ni escasez. La palabra tâtonnement se utiliza para describir las direcciones que toma el mercado para buscar el equilibrio, estableciendo precios altos o bajos para diferentes bienes hasta que se acuerde un precio para todos los bienes. Si bien el proceso parece dinámico, Walras sólo presentó un modelo estático, ya que no se producirían transacciones hasta que todos los mercados estuvieran en equilibrio. En la práctica, muy pocos mercados operan de esta manera. [29]
Francisco Ysidro Edgeworth
Edgeworth introdujo elementos matemáticos en la economía explícitamente en Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences , publicado en 1881. [30] Adoptó el cálculo feliz de Jeremy Bentham para el comportamiento económico, permitiendo que el resultado de cada decisión sea convertido en un cambio de utilidad. [31] Utilizando este supuesto, Edgeworth construyó un modelo de intercambio sobre tres supuestos: los individuos tienen intereses propios, los individuos actúan para maximizar la utilidad y los individuos son "libres de volver a contratar con otro independientemente de... cualquier tercero". [32]
Un cuadro de Edgeworth que muestra la curva de contrato de una economía con dos participantes. Conocido como el "núcleo" de la economía en el lenguaje moderno, hay infinitas soluciones a lo largo de la curva para economías con dos participantes [33]
Dados dos individuos, el conjunto de soluciones en las que ambos individuos pueden maximizar la utilidad se describe mediante la curva de contrato en lo que ahora se conoce como Caja de Edgeworth . Técnicamente, la construcción de la solución bipersonal al problema de Edgeworth no fue desarrollada gráficamente hasta 1924 por Arthur Lyon Bowley . [34] La curva de contrato de la caja de Edgeworth (o más generalmente, de cualquier conjunto de soluciones al problema de Edgeworth para más actores) se conoce como el núcleo de una economía. [35]
Edgeworth dedicó un esfuerzo considerable a insistir en que las demostraciones matemáticas eran apropiadas para todas las escuelas de pensamiento en economía. Mientras estaba al frente de The Economic Journal , publicó varios artículos criticando el rigor matemático de investigadores rivales, incluido Edwin Robert Anderson Seligman , un destacado escéptico de la economía matemática. [36] Los artículos se centraron en un vaivén sobre la incidencia fiscal y las respuestas de los productores. Edgeworth notó que un monopolio que producía un bien que tenía oferta conjunta pero no demanda conjunta (como primera clase y clase económica en un avión, si el avión vuela, ambos juegos de asientos vuelan con él) en realidad podría reducir el precio visto por el consumidor de uno de los dos bienes si se aplicara un impuesto. El sentido común y el análisis numérico más tradicional parecían indicar que esto era absurdo. Seligman insistió en que los resultados que logró Edgeworth fueron una peculiaridad de su formulación matemática. Sugirió que el supuesto de una función de demanda continua y un cambio infinitesimal en el impuesto daba como resultado predicciones paradójicas. Harold Hotelling demostró más tarde que Edgeworth tenía razón y que el mismo resultado (una "disminución del precio como resultado del impuesto") podría ocurrir con una función de demanda discontinua y grandes cambios en la tasa impositiva. [37]
Economía matemática moderna
Desde finales de la década de 1930, se utilizó una serie de nuevas herramientas matemáticas, provenientes del cálculo diferencial y las ecuaciones diferenciales, los conjuntos convexos y la teoría de grafos , para hacer avanzar la teoría económica de una manera similar a los nuevos métodos matemáticos aplicados anteriormente a la física. [8] [38] Más tarde se describió que el proceso pasaba de la mecánica a la axiomática . [39]
Calculo diferencial
Vilfredo Pareto analizó la microeconomía tratando las decisiones de los actores económicos como intentos de cambiar una determinada asignación de bienes por otra asignación más preferida. Los conjuntos de asignaciones podrían entonces considerarse eficientes en el sentido de Pareto (el óptimo de Pareto es un término equivalente) cuando no pueden ocurrir intercambios entre actores que puedan mejorar la situación de al menos un individuo sin empeorar la situación de ningún otro. [40] La prueba de Pareto comúnmente se combina con el equilibrio walrassiano o se atribuye informalmente a la hipótesis de la mano invisible de Adam Smith . [41] Más bien, la afirmación de Pareto fue la primera afirmación formal de lo que se conocería como el primer teorema fundamental de la economía del bienestar . [42] Estos modelos carecían de las desigualdades de la próxima generación de economía matemática.
En el tratado histórico Fundamentos del análisis económico (1947), Paul Samuelson identificó un paradigma y una estructura matemática comunes en múltiples campos del tema, basándose en trabajos anteriores de Alfred Marshall . Las fundaciones tomaron conceptos matemáticos de la física y los aplicaron a problemas económicos. Esta visión amplia (por ejemplo, comparar el principio de Le Chatelier con el tâtonnement ) impulsa la premisa fundamental de la economía matemática: los sistemas de actores económicos pueden ser modelados y su comportamiento descrito de manera muy similar a cualquier otro sistema. Esta extensión siguió el trabajo de los marginalistas del siglo anterior y lo amplió significativamente. Samuelson abordó los problemas de aplicar la maximización de la utilidad individual sobre grupos agregados con estática comparativa , que compara dos estados de equilibrio diferentes después de un cambio exógeno en una variable. Este y otros métodos del libro sentaron las bases de la economía matemática en el siglo XX. [7] [43]
Modelos lineales
John von Neumann formuló modelos restringidos de equilibrio general en 1937. [44] A diferencia de versiones anteriores, los modelos de von Neumann tenían restricciones de desigualdad. Para su modelo de economía en expansión, von Neumann demostró la existencia y unicidad de un equilibrio utilizando su generalización del teorema del punto fijo de Brouwer . El modelo de von Neumann de una economía en expansión consideraba la matriz lápiz A - λ B con matrices no negativas A y B ; von Neumann buscó vectores de probabilidad p y q y un número positivo λ que resolviera la ecuación de complementariedad
p T ( A − λ B ) q = 0,
junto con dos sistemas de desigualdad que expresan eficiencia económica. En este modelo, el vector de probabilidad ( transpuesto ) p representa los precios de los bienes, mientras que el vector de probabilidad q representa la "intensidad" a la que se ejecutaría el proceso de producción. La solución única λ representa la tasa de crecimiento de la economía, que es igual a la tasa de interés . Demostrar la existencia de una tasa de crecimiento positiva y demostrar que la tasa de crecimiento es igual a la tasa de interés fueron logros notables, incluso para von Neumann. [45] [46] [47] Los resultados de Von Neumann se han visto como un caso especial de programación lineal , donde el modelo de von Neumann utiliza sólo matrices no negativas. [48] El estudio del modelo de von Neumann de una economía en expansión continúa interesando a los economistas matemáticos interesados en la economía computacional. [49] [50] [51]
Economía insumo-producto
En 1936, el economista nacido en Rusia Wassily Leontief construyó su modelo de análisis insumo-producto a partir de las tablas de "equilibrio de materiales" construidas por los economistas soviéticos, que a su vez seguían trabajos anteriores de los fisiócratas . Con su modelo, que describía un sistema de procesos de producción y demanda, Leontief describió cómo los cambios en la demanda en un sector económico influirían en la producción en otro. [52] En la práctica, Leontief estimó los coeficientes de sus modelos simples, para abordar cuestiones económicamente interesantes. En economía de la producción , las "tecnologías de Leontief" producen productos utilizando proporciones constantes de insumos, independientemente del precio de los insumos, lo que reduce el valor de los modelos de Leontief para comprender las economías pero permite estimar sus parámetros con relativa facilidad. Por el contrario, el modelo de von Neumann de una economía en expansión permite elegir técnicas , pero los coeficientes deben estimarse para cada tecnología. [53] [54]
Optimización matemática
Punto rojo en la dirección z como máximo para la función paraboloide de entradas (x, y)
La programación lineal y no lineal ha afectado profundamente a la microeconomía, que anteriormente sólo había considerado restricciones de igualdad. [64] Muchos de los economistas matemáticos que recibieron premios Nobel de Economía habían realizado investigaciones notables utilizando programación lineal: Leonid Kantorovich , Leonid Hurwicz , Tjalling Koopmans , Kenneth J. Arrow , Robert Dorfman , Paul Samuelson y Robert Solow . [65] Tanto Kantorovich como Koopmans reconocieron que George B. Dantzig merecía compartir su Premio Nobel de programación lineal. Los economistas que realizaron investigaciones sobre programación no lineal también ganaron el premio Nobel, en particular Ragnar Frisch , además de Kantorovich, Hurwicz, Koopmans, Arrow y Samuelson.
Optimización lineal
La programación lineal se desarrolló para ayudar a la asignación de recursos en empresas e industrias durante la década de 1930 en Rusia y durante la década de 1940 en Estados Unidos. Durante el puente aéreo de Berlín (1948) , se utilizó la programación lineal para planificar el envío de suministros para evitar que Berlín muriera de hambre tras el bloqueo soviético. [66] [67]
son las funciones de las restricciones de desigualdad donde
son las funciones de las restricciones de igualdad donde .
Al permitir restricciones de desigualdad, el enfoque de Kuhn-Tucker generalizó el método clásico de los multiplicadores de Lagrange , que (hasta entonces) había permitido sólo restricciones de igualdad. [68] El enfoque de Kuhn-Tucker inspiró más investigaciones sobre la dualidad lagrangiana, incluido el tratamiento de las restricciones de desigualdad. [69] [70] La teoría de la dualidad de la programación no lineal es particularmente satisfactoria cuando se aplica a problemas de minimización convexa , que disfrutan de la teoría de la dualidad analítica-convexa de Fenchel y Rockafellar ; esta dualidad convexa es particularmente fuerte para funciones convexas poliédricas , como las que surgen en la programación lineal . La dualidad lagrangiana y el análisis convexo se utilizan a diario en la investigación de operaciones , en la programación de centrales eléctricas, en la planificación de programas de producción para fábricas y en el trazado de rutas de las aerolíneas (rutas, vuelos, aviones, tripulaciones). [70]
Siguiendo el trabajo de Richard Bellman sobre programación dinámica y la traducción al inglés de 1962 del trabajo anterior de L. Pontryagin et al ., [71] la teoría del control óptimo se utilizó más ampliamente en economía para abordar problemas dinámicos, especialmente en lo que respecta al equilibrio del crecimiento económico y estabilidad de los sistemas económicos, [72] de los cuales un ejemplo de libro de texto es el consumo y el ahorro óptimos . [73] Una distinción crucial es entre modelos de control deterministas y estocásticos. [74] Otras aplicaciones de la teoría del control óptimo incluyen aquellas en finanzas, inventarios y producción, por ejemplo. [75]
En Rusia, el matemático Leonid Kantorovich desarrolló modelos económicos en espacios vectoriales parcialmente ordenados , que enfatizaban la dualidad entre cantidades y precios. [79] Kantorovich cambió el nombre de los precios a "valoraciones objetivamente determinadas", que en ruso se abreviaron como "o. o. o.", en alusión a la dificultad de discutir los precios en la Unión Soviética. [78] [80] [81]
Incluso en dimensiones finitas, los conceptos de análisis funcional han iluminado la teoría económica, particularmente al aclarar el papel de los precios como vectores normales a un hiperplano que sostiene un conjunto convexo, que representa posibilidades de producción o consumo. Sin embargo, los problemas de describir la optimización a lo largo del tiempo o bajo incertidumbre requieren el uso de espacios funcionales de dimensión infinita, porque los agentes eligen entre funciones o procesos estocásticos . [78] [82] [83] [84]
Disminución y ascenso diferencial
El trabajo de John von Neumann sobre análisis funcional y topología abrió nuevos caminos en matemáticas y teoría económica. [44] [85] También dejó a la economía matemática avanzada con menos aplicaciones de cálculo diferencial. En particular, los teóricos del equilibrio general utilizaron la topología general , la geometría convexa y la teoría de la optimización más que el cálculo diferencial, porque el enfoque del cálculo diferencial no había logrado establecer la existencia de un equilibrio.
Sin embargo, no se debe exagerar el declive del cálculo diferencial, porque el cálculo diferencial siempre se ha utilizado en la formación de posgrado y en aplicaciones. Además, el cálculo diferencial ha vuelto a los niveles más altos de la economía matemática, la teoría del equilibrio general (GET), tal como lo practica el " conjunto GET " (la denominación humorística debida a Jacques H. Drèze ). Sin embargo, en las décadas de 1960 y 1970, Gérard Debreu y Stephen Smale lideraron un resurgimiento del uso del cálculo diferencial en la economía matemática. En particular, pudieron demostrar la existencia de un equilibrio general, donde los escritores anteriores habían fracasado, debido a sus novedosas matemáticas: la categoría de Baire de la topología general y el lema de Sard de la topología diferencial . Otros economistas asociados con el uso del análisis diferencial incluyen a Egbert Dierker, Andreu Mas-Colell e Yves Balasko . [86] [87] Estos avances han cambiado la narrativa tradicional de la historia de la economía matemática, siguiendo a von Neumann, que celebró el abandono del cálculo diferencial.
Teoría de juego
John von Neumann, trabajando con Oskar Morgenstern en la teoría de juegos , abrió nuevos caminos matemáticos en 1944 al extender los métodos analíticos funcionales relacionados con conjuntos convexos y la teoría topológica del punto fijo al análisis económico. [8] [85] Su trabajo evitó así el cálculo diferencial tradicional , para el cual el operador máximo no se aplicaba a funciones no diferenciables. Continuando con el trabajo de von Neumann en la teoría de juegos cooperativos , los teóricos de juegos Lloyd S. Shapley , Martin Shubik , Hervé Moulin , Nimrod Megiddo y Bezalel Peleg influyeron en la investigación económica en política y economía. Por ejemplo, la investigación sobre los precios justos en los juegos cooperativos y los valores justos para los juegos de votación condujo a cambios en las reglas para votar en las legislaturas y para contabilizar los costos en proyectos de obras públicas. Por ejemplo, la teoría de juegos cooperativos se utilizó para diseñar el sistema de distribución de agua del sur de Suecia y para fijar las tarifas de las líneas telefónicas exclusivas en Estados Unidos.
La economía computacional basada en agentes (ACE) como campo con nombre es relativamente reciente y data aproximadamente de la década de 1990 en cuanto a trabajos publicados. Estudia los procesos económicos, incluidas economías enteras , como sistemas dinámicos de agentes que interactúan a lo largo del tiempo. Como tal, cae en el paradigma de los sistemas adaptativos complejos . [97] En los modelos correspondientes basados en agentes , los agentes no son personas reales sino "objetos computacionales modelados para interactuar de acuerdo con reglas"... "cuyas interacciones a nivel micro crean patrones emergentes" en el espacio y el tiempo. [98] Las reglas están formuladas para predecir el comportamiento y las interacciones sociales basándose en incentivos e información. El supuesto teórico de optimización matemática por parte de los agentes de los mercados es reemplazado por el postulado menos restrictivo de agentes con racionalidad limitada que se adaptan a las fuerzas del mercado. [99]
Los modelos ACE aplican métodos numéricos de análisis a simulaciones por computadora de problemas dinámicos complejos para los cuales los métodos más convencionales, como la formulación de teoremas, pueden no encontrar un uso fácil. [100] A partir de condiciones iniciales especificadas, se modela que el sistema económico computacional evoluciona a lo largo del tiempo a medida que sus agentes constituyentes interactúan repetidamente entre sí. En estos aspectos, ACE se ha caracterizado como un enfoque de abajo hacia arriba para el estudio de la economía. [101] A diferencia de otros métodos de modelado estándar, los eventos ACE son impulsados únicamente por condiciones iniciales, existan o no equilibrios o sean manejables computacionalmente. El modelado ACE, sin embargo, incluye adaptación, autonomía y aprendizaje del agente. [102] Tiene una similitud y se superpone con la teoría de juegos como método basado en agentes para modelar interacciones sociales. [96] Otras dimensiones del enfoque incluyen temas económicos estándar como competencia y colaboración , [103] estructura de mercado y organización industrial , [104] costos de transacción , [105] economía del bienestar [106] y diseño de mecanismos , [95] información y incertidumbre , [107] y macroeconomía . [108] [109]
Se dice que el método se beneficia de las continuas mejoras en las técnicas de modelado de la informática y del aumento de las capacidades informáticas. Los problemas incluyen aquellos comunes a la economía experimental en general [110] y en comparación [111] y al desarrollo de un marco común para la validación empírica y la resolución de preguntas abiertas en el modelado basado en agentes. [112] El objetivo científico último del método ha sido descrito como "probar los hallazgos teóricos contra datos del mundo real de manera que permitan que las teorías respaldadas empíricamente se acumulen con el tiempo, con el trabajo de cada investigador basándose adecuadamente en el trabajo realizado". antes". [113]
Matematización de la economía.
La superficie de la sonrisa de volatilidad es una superficie tridimensional mediante la cual la volatilidad implícita actual del mercado (eje Z) para todas las opciones sobre el subyacente se traza en función del precio de ejercicio y el tiempo hasta el vencimiento (ejes X e Y). [114]
A lo largo del siglo XX, los artículos de las "revistas principales" [115] de economía han sido escritos casi exclusivamente por economistas del mundo académico . Como resultado, gran parte del material transmitido en esas revistas se relaciona con la teoría económica, y "la teoría económica misma ha sido cada vez más abstracta y matemática". [116] Una evaluación subjetiva de las técnicas matemáticas [117] empleadas en estas revistas principales mostró una disminución en los artículos que no utilizan representaciones geométricas ni notación matemática del 95% en 1892 al 5,3% en 1990. [118] Una encuesta de 2007 de diez de Las principales revistas económicas encuentran que sólo el 5,8% de los artículos publicados en 2003 y 2004 carecían de análisis estadístico de datos y no mostraban expresiones matemáticas indexadas con números al margen de la página. [119]
Econometría
Entre las guerras mundiales, los avances en la estadística matemática y un grupo de economistas con formación matemática llevaron a la econometría , que fue el nombre propuesto para la disciplina del avance de la economía mediante el uso de las matemáticas y la estadística. Dentro de la economía, la "econometría" se ha utilizado a menudo para métodos estadísticos en economía, en lugar de economía matemática. La econometría estadística presenta la aplicación de regresión lineal y análisis de series de tiempo a datos económicos.
Ragnar Frisch acuñó la palabra "econometría" y ayudó a fundar la Sociedad Econométrica en 1930 y la revista Econometrica en 1933. [120] [121] Un estudiante de Frisch, Trygve Haavelmo publicó The Probability Approach in Econometrics en 1944, donde afirmó que el análisis estadístico preciso podría usarse como herramienta para validar teorías matemáticas sobre actores económicos con datos de fuentes complejas. [122] Esta vinculación del análisis estadístico de sistemas a la teoría económica también fue promulgada por la Comisión Cowles (ahora Fundación Cowles ) a lo largo de las décadas de 1930 y 1940. [123]
Las raíces de la econometría moderna se remontan al economista estadounidense Henry L. Moore . Moore estudió la productividad agrícola e intentó ajustar los valores cambiantes de productividad de parcelas de maíz y otros cultivos a una curva utilizando diferentes valores de elasticidad. Moore cometió varios errores en su trabajo, algunos por la elección de modelos y otros por limitaciones en el uso de las matemáticas. La precisión de los modelos de Moore también se vio limitada por los deficientes datos de las cuentas nacionales de Estados Unidos en ese momento. Si bien sus primeros modelos de producción eran estáticos, en 1925 publicó un modelo dinámico de "equilibrio móvil" diseñado para explicar los ciclos económicos; esta variación periódica debido a una sobrecorrección en las curvas de oferta y demanda se conoce ahora como el modelo de telaraña . Más tarde, Nicholas Kaldor hizo una derivación más formal de este modelo , a quien se le atribuye en gran medida su exposición. [124]
Solicitud
El modelo IS/LM es un modelo macroeconómico keynesiano diseñado para hacer predicciones sobre la intersección de la actividad económica "real" (por ejemplo, gasto, ingresos , tasas de ahorro) y las decisiones tomadas en los mercados financieros ( oferta monetaria y preferencia de liquidez ). El modelo ya no se enseña ampliamente a nivel de posgrado, pero es común en los cursos de macroeconomía de pregrado. [125]
Gran parte de la economía clásica se puede presentar en términos geométricos simples o en notación matemática elemental. La economía matemática, sin embargo, convencionalmente utiliza el cálculo y el álgebra matricial en el análisis económico para hacer afirmaciones poderosas que serían más difíciles sin tales herramientas matemáticas. Estas herramientas son requisitos previos para el estudio formal, no sólo de la economía matemática sino de la teoría económica contemporánea en general. Los problemas económicos a menudo involucran tantas variables que las matemáticas son la única forma práctica de atacarlos y resolverlos. Alfred Marshall argumentó que todo problema económico que pueda cuantificarse, expresarse analíticamente y resolverse debe tratarse mediante trabajo matemático. [126]
La economía se ha vuelto cada vez más dependiente de los métodos matemáticos y las herramientas matemáticas que emplea se han vuelto más sofisticadas. Como resultado, las matemáticas se han vuelto considerablemente más importantes para los profesionales de la economía y las finanzas. Los programas de posgrado tanto en economía como en finanzas requieren una sólida preparación universitaria en matemáticas para su admisión y, por esta razón, atraen a un número cada vez mayor de matemáticos . Los matemáticos aplicados aplican principios matemáticos a problemas prácticos, como el análisis económico y otras cuestiones relacionadas con la economía, y muchos problemas económicos a menudo se definen como integrados en el alcance de las matemáticas aplicadas. [18]
Esta integración resulta de la formulación de problemas económicos como modelos estilizados con supuestos claros y predicciones falsables. Este modelado puede ser informal o prosaico, como lo fue en La riqueza de las naciones de Adam Smith , o puede ser formal, riguroso y matemático.
En términos generales, los modelos económicos formales pueden clasificarse como estocásticos o deterministas y discretos o continuos. A nivel práctico, los modelos cuantitativos se aplican a muchas áreas de la economía y varias metodologías han evolucionado más o menos independientemente unas de otras. [127]
Los modelos matemáticos no estocásticos pueden ser puramente cualitativos (por ejemplo, modelos involucrados en algún aspecto de la teoría de la elección social ) o cuantitativos (que implican la racionalización de variables financieras, por ejemplo con coordenadas hiperbólicas , y/o formas específicas de relaciones funcionales entre variables). En algunos casos, las predicciones económicas de un modelo simplemente afirman la dirección del movimiento de las variables económicas, por lo que las relaciones funcionales se utilizan sólo en un sentido cualitativo: por ejemplo, si el precio de un artículo aumenta, entonces la demanda de ese artículo disminuirá. . Para tales modelos, los economistas suelen utilizar gráficos bidimensionales en lugar de funciones.
Ocasionalmente se utilizan modelos cualitativos . Un ejemplo es la planificación cualitativa de escenarios en los que se desarrollan posibles acontecimientos futuros. Otro ejemplo es el análisis de árboles de decisión no numéricos. Los modelos cualitativos a menudo adolecen de falta de precisión.
Ejemplo: El efecto de un recorte del impuesto de sociedades sobre los salarios
El gran atractivo de la economía matemática es que aporta cierto grado de rigor al pensamiento económico, particularmente en torno a temas políticos cargados. Por ejemplo, durante la discusión sobre la eficacia de un recorte del impuesto corporativo para aumentar los salarios de los trabajadores, un modelo matemático simple resultó beneficioso para comprender los problemas en cuestión.
Una economía abierta tiene la función de producción , donde es la producción por trabajador y el capital por trabajador. El stock de capital se ajusta de modo que el producto marginal del capital después de impuestos sea igual a la tasa de interés mundial dada exógenamente ... ¿En qué medida aumentará los salarios el recorte de impuestos?
La elección estándar para la función de producción es la función de producción Cobb-Douglas : donde se supone que el factor de productividad es una constante. Un recorte del impuesto de sociedades en este modelo equivale a un impuesto al capital. Con los impuestos, las empresas buscan maximizar: ¿ dónde está la tasa del impuesto al capital, los salarios por trabajador y la tasa de interés exógena? Entonces las condiciones de optimización de primer orden se convierten en: Por lo tanto, las condiciones de optimización implican que: Defina los impuestos totales . Esto implica que los impuestos por trabajador son: Entonces el cambio en los impuestos por trabajador, dada la tasa impositiva, es: Para encontrar el cambio en los salarios, diferenciamos la segunda condición de optimización para que los salarios por trabajador obtengan: Suponiendo que la tasa de interés es fijado en , de modo que podamos diferenciar la primera condición de optimización para encontrar la tasa de interés: Por el momento, centrémonos sólo en el efecto estático de un recorte del impuesto al capital, de modo que . Si sustituimos esta ecuación en la ecuación para los cambios salariales con respecto a la tasa impositiva, entonces encontramos que: Por lo tanto, el efecto estático de un recorte del impuesto al capital sobre los salarios es: Según el modelo, parece posible que podamos lograr un aumento en el salario de un trabajador mayor que el monto del recorte de impuestos. Pero eso sólo considera el efecto estático, y sabemos que el efecto dinámico debe tenerse en cuenta. En el modelo dinámico, podemos reescribir la ecuación para los cambios en los impuestos por trabajador con respecto a la tasa impositiva como: Recordando que , tenemos que: Usando la función de producción Cobb-Douglas, tenemos que: Por lo tanto, el efecto dinámico de un El recorte del impuesto al capital sobre los salarios es: Si tomamos , entonces el efecto dinámico de reducir los impuestos al capital sobre los salarios será incluso mayor que el efecto estático. Además, si existen externalidades positivas para la acumulación de capital , el efecto del recorte de impuestos sobre los salarios sería mayor que en el modelo que acabamos de derivar. Es importante señalar que el resultado es una combinación de:
El resultado estándar es que en una economía pequeña y abierta el trabajo soporta el 100% del impuesto sobre la renta del capital pequeño.
El hecho de que, partiendo de un tipo impositivo positivo, la carga de un aumento impositivo supere la recaudación de ingresos debido a la pérdida de eficiencia de primer orden
Este resultado que muestra que, bajo ciertos supuestos, un recorte del impuesto corporativo puede aumentar los salarios de los trabajadores en más que la pérdida de ingresos no implica que la magnitud sea correcta. Más bien, sugiere una base para el análisis de políticas que no se basa en gestos de mano. Si los supuestos son razonables, entonces el modelo es una aproximación aceptable a la realidad; si no es así, entonces deberían desarrollarse mejores modelos.
Función de producción CES
Ahora supongamos que en lugar de la función de producción Cobb-Douglas tenemos una función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES) más general : donde ; es la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo. La cantidad relevante que queremos calcular es , que puede derivarse como: Por lo tanto, podemos usar esto para encontrar que: Por lo tanto, bajo un modelo CES general, el efecto dinámico de un recorte del impuesto al capital sobre los salarios es: Recuperamos el Cobb- Solución de Douglas cuando . Cuando , que es el caso cuando existen sustitutos perfectos, encontramos que - los cambios en los impuestos al capital no tienen ningún efecto sobre los salarios. Y cuando , que es el caso cuando existen complementos perfectos, encontramos que un recorte en los impuestos al capital aumenta los salarios exactamente en un dólar.
Críticas y defensas
Adecuación de las matemáticas para la economía cualitativa y complicada.
La escuela austriaca –si bien presenta muchos de los mismos argumentos económicos normativos que los economistas tradicionales de tradiciones marginalistas, como la escuela de Chicago– difiere metodológicamente de las principales escuelas neoclásicas de economía, en particular en sus agudas críticas a la matematización de la economía. [130] Friedrich Hayek sostuvo que el uso de técnicas formales proyecta una exactitud científica que no tiene en cuenta adecuadamente las limitaciones de información que enfrentan los agentes económicos reales. [131]
En una entrevista de 1999, el historiador económico Robert Heilbroner afirmó: [132]
Supongo que el enfoque científico empezó a penetrar y pronto a dominar la profesión en los últimos veinte o treinta años. Esto se debió en parte a la "invención" del análisis matemático de diversos tipos y, de hecho, a mejoras considerables en el mismo. Esta es la era en la que no sólo tenemos más datos sino también un uso más sofisticado de los datos. Por lo tanto, existe un fuerte sentimiento de que se trata de una ciencia cargada de datos y una empresa cargada de datos que, en virtud de los números, las ecuaciones y el aspecto de una página de revista, tiene cierta semejanza con la ciencia. . . Esa actividad central parece científica. Entiendo que. Creo que eso es genuino. Se acerca a ser una ley universal. Pero parecerse a una ciencia es diferente de ser una ciencia.
Heilbroner afirmó que "parte o gran parte de la economía no es naturalmente cuantitativa y, por lo tanto, no se presta a una exposición matemática". [133]
Probando predicciones de economía matemática.
El filósofo Karl Popper analizó la posición científica de la economía en las décadas de 1940 y 1950. Sostuvo que la economía matemática adolecía de ser tautológica. En otras palabras, en la medida en que la economía se convirtió en una teoría matemática, la economía matemática dejó de depender de la refutación empírica y se basó más bien en pruebas y refutaciones matemáticas . [134] Según Popper, los supuestos falsables pueden probarse mediante experimentos y observaciones, mientras que los supuestos infalsables pueden explorarse matemáticamente en busca de sus consecuencias y su coherencia con otros supuestos. [135]
Compartiendo las preocupaciones de Popper sobre los supuestos en la economía en general, y no sólo en la economía matemática, Milton Friedman declaró que "todos los supuestos son poco realistas". Friedman propuso juzgar los modelos económicos por su desempeño predictivo y no por la correspondencia entre sus supuestos y la realidad. [136]
La economía matemática como forma de matemática pura.
Considerando la economía matemática, JM Keynes escribió en The General Theory : [137]
Es un gran defecto de los métodos pseudomatemáticos simbólicos de formalizar un sistema de análisis económico... que asumen expresamente una independencia estricta entre los factores involucrados y pierden su contundencia y autoridad si se rechaza esta hipótesis; Considerando que, en el discurso ordinario, donde no manipulamos ciegamente y sabemos todo el tiempo lo que estamos haciendo y lo que significan las palabras, podemos mantener "en el fondo de nuestra cabeza" las reservas y cualificaciones necesarias y los ajustes que tendremos que hacer. más adelante, de manera que no podamos mantener complicadas derivadas parciales "al final" de varias páginas de álgebra que suponen que todas desaparecen. Una proporción demasiado grande de la economía "matemática" reciente son meros brebajes, tan imprecisos como los supuestos iniciales en los que se basan, que permiten al autor perder de vista las complejidades e interdependencias del mundo real en un laberinto de símbolos pretenciosos e inútiles.
Defensa de la economía matemática
En respuesta a estas críticas, Paul Samuelson argumentó que las matemáticas son un lenguaje, repitiendo una tesis de Josiah Willard Gibbs . En economía, el lenguaje de las matemáticas es a veces necesario para representar problemas sustantivos. Además, la economía matemática ha dado lugar a avances conceptuales en economía. [138] En particular, Samuelson dio el ejemplo de la microeconomía , escribiendo que "pocas personas son lo suficientemente ingeniosas como para comprender [sus] partes más complejas... sin recurrir al lenguaje de las matemáticas, mientras que la mayoría de los individuos comunes y corrientes pueden hacerlo con bastante facilidad con la ayuda de las matemáticas." [139]
Algunos economistas afirman que la economía matemática merece apoyo al igual que otras formas de matemáticas, en particular sus vecinas en optimización matemática y estadística matemática y cada vez más en informática teórica . La economía matemática y otras ciencias matemáticas tienen una historia en la que los avances teóricos han contribuido regularmente a la reforma de las ramas más aplicadas de la economía. En particular, siguiendo el programa de John von Neumann , la teoría de juegos proporciona ahora las bases para describir gran parte de la economía aplicada, desde la teoría de la decisión estadística (como "juegos contra la naturaleza") y la econometría hasta la teoría del equilibrio general y la organización industrial. En la última década, con el auge de Internet, los economistas matemáticos, los expertos en optimización y los científicos informáticos han trabajado en problemas de fijación de precios para servicios en línea, y sus contribuciones utilizaron matemáticas de la teoría de juegos cooperativos, la optimización no diferenciable y los juegos combinatorios.
La economía ya no es un tema de conversación adecuado para damas y caballeros. Se ha convertido en un tema técnico. Como cualquier tema técnico, atrae a algunas personas que están más interesadas en la técnica que en el tema. Es una lástima, pero puede que sea inevitable. En cualquier caso, no se engañen: el núcleo técnico de la economía es una infraestructura indispensable para la economía política. Por eso, si consultas [una referencia en economía contemporánea] en busca de información sobre el mundo actual, serás conducido a la economía técnica, o a la historia, o a nada en absoluto. [140]
Economistas matemáticos
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