Leonhard Euler ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər , [b] alemán: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ,alemán estándar suizo:[ˈleːɔnhartˈɔʏlər]; (15 de abril de 1707 – 18 de septiembre de 1783) fue unmatemático,físico,astrónomo,geógrafo,lógicoeingenierosuizoque fundó los estudios deteoría de grafosytopologíae hizo descubrimientos pioneros e influyentes en muchas otras ramas de las matemáticas, comola teoría analítica de números.análisis complejoycálculo infinitesimal. Introdujo gran parte de la terminología ynotación, incluida la noción defunción matemática.[6]También es conocido por su trabajo enmecánica,dinámica de fluidos,óptica,astronomíayteoría musical.[7]
Euler es considerado uno de los matemáticos más grandes y prolíficos de la historia y el más grande del siglo XVIII. Varios grandes matemáticos que produjeron su trabajo después de la muerte de Euler han reconocido su importancia en el campo, como lo demuestran las citas atribuidas a muchos de ellos: Pierre-Simon Laplace expresó la influencia de Euler en las matemáticas al afirmar: "Lea a Euler, lea a Euler, él es el maestro". de todos nosotros." [8] [c] Carl Friedrich Gauss escribió: "El estudio de las obras de Euler seguirá siendo la mejor escuela para los diferentes campos de las matemáticas, y nada más puede reemplazarla". [9] [d] Sus 866 publicaciones, así como su correspondencia, se están recopilando en la Opera Omnia Leonhard Euler que, una vez terminada, constará de 81 cuartos . [11] [12] [13] Pasó la mayor parte de su vida adulta en San Petersburgo , Rusia, y en Berlín , entonces capital de Prusia .
A Euler se le atribuye haber popularizado la letra griega ( pi minúscula ) para denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro , así como haber utilizado por primera vez la notación para el valor de una función, la letra para expresar la unidad imaginaria , la letra griega ( sigma mayúscula ) para expresar sumatorias , la letra griega ( delta mayúscula ) para diferencias finitas y letras minúsculas para representar los lados de un triángulo mientras se representan los ángulos como letras mayúsculas. [14] Dio la definición actual de la constante , la base del logaritmo natural , ahora conocida como número de Euler . [15]
A Euler también se le atribuye ser el primero en desarrollar la teoría de grafos (en parte como una solución al problema de los Siete Puentes de Königsberg , que también se considera la primera aplicación práctica de la topología). También se hizo famoso, entre muchos otros logros, por proporcionar una solución a varios problemas no resueltos en teoría y análisis de números, incluido el problema de Basilea , que había permanecido sin resolver durante 150 años. El problema de Basilea consiste en encontrar la suma de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales. Euler encontró que esta suma es exactamente igual a π 2/6 . A Euler también se le atribuye el descubrimiento de que la suma del número de vértices y caras menos el número de aristas de un poliedro es igual a 2, un número ahora comúnmente conocido como característica de Euler . En el campo de la física, Euler reformuló las leyes de la física de Newton en nuevas leyes en su obra de dos volúmenes Mechanica para explicar mejor el movimiento de los cuerpos rígidos . También hizo importantes contribuciones al estudio de las deformaciones elásticas de objetos sólidos.
Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea , hijo de Pablo III Euler, pastor de la Iglesia Reformada , y Marguerite (de soltera Brucker), cuyos antepasados incluyen a varios eruditos de renombre en los clásicos. [16] Era el mayor de cuatro hermanos, tenía dos hermanas menores, Anna Maria y Maria Magdalena, y un hermano menor, Johann Heinrich. [17] [16] Poco después del nacimiento de Leonhard, la familia Euler se mudó de Basilea a la ciudad de Riehen , Suiza, donde su padre se convirtió en pastor de la iglesia local y Leonhard pasó la mayor parte de su infancia. [dieciséis]
Desde muy joven, Euler recibió educación en matemáticas de su padre, quien había tomado cursos de Jacob Bernoulli algunos años antes en la Universidad de Basilea . Alrededor de los ocho años, Euler fue enviado a vivir a la casa de su abuela materna y se matriculó en la escuela de latín de Basilea. Además, recibió tutoría privada de Johannes Burckhardt, un joven teólogo con un gran interés por las matemáticas. [dieciséis]
En 1720, a los trece años de edad, Euler se matriculó en la Universidad de Basilea . [7] Asistir a la universidad a una edad tan temprana no era inusual en ese momento. [16] El curso de matemáticas elementales fue impartido por Johann Bernoulli , el hermano menor del fallecido Jacob Bernoulli (que había enseñado al padre de Euler). Johann Bernoulli y Euler pronto se conocieron mejor. Euler describió a Bernoulli en su autobiografía: [18]
Fue durante este tiempo que Euler, respaldado por Bernoulli, obtuvo el consentimiento de su padre para convertirse en matemático en lugar de pastor. [19] [20]
En 1723, Euler recibió una Maestría en Filosofía con una disertación que comparaba las filosofías de René Descartes e Isaac Newton . [16] Posteriormente, se matriculó en la facultad de teología de la Universidad de Basilea. [20]
En 1726, Euler completó una disertación sobre la propagación del sonido con el título De Sono [21] [22] con la que intentó sin éxito obtener un puesto en la Universidad de Basilea. [23] En 1727, participó por primera vez en el concurso de premios de la Academia de París (ofrecido anualmente y luego cada dos años por la academia a partir de 1720) [24] . El problema que se planteó ese año fue encontrar la mejor manera de colocar los mástiles en un barco. Pierre Bouguer , que llegó a ser conocido como "el padre de la arquitectura naval", ganó y Euler ocupó el segundo lugar. [25] A lo largo de los años, Euler participó en esta competencia 15 veces, [24] ganando 12 de ellas. [25]
.jpg/1280px-The_Soviet_Union_1957_CPA_2000_stamp,_Portrait_of_Leonhard_Euler_(1707-1783).jpg)
Los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolaus , entraron a servir en la Academia Imperial Rusa de Ciencias en San Petersburgo en 1725, dejando a Euler con la seguridad de que lo recomendarían para un puesto cuando hubiera uno disponible. [23] El 31 de julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis después de pasar menos de un año en Rusia. [26] [27] Cuando Daniel asumió el puesto de su hermano en la división de matemáticas/física, recomendó que el puesto en fisiología que había dejado vacante fuera ocupado por su amigo Euler. [23] En noviembre de 1726, Euler aceptó con entusiasmo la oferta, pero retrasó el viaje a San Petersburgo mientras solicitaba sin éxito una cátedra de física en la Universidad de Basilea. [23]
Euler llegó a San Petersburgo en mayo de 1727. [23] [20] Fue ascendido de su puesto junior en el departamento médico de la academia a un puesto en el departamento de matemáticas. Se alojó con Daniel Bernoulli con quien trabajó en estrecha colaboración. [28] Euler aprendió ruso, se instaló en San Petersburgo y aceptó un trabajo adicional como médico en la Armada rusa . [29]
La academia de San Petersburgo, fundada por Pedro el Grande , tenía como objetivo mejorar la educación en Rusia y cerrar la brecha científica con Europa occidental. Como resultado, se volvió especialmente atractivo para académicos extranjeros como Euler. [25] La benefactora de la academia, Catalina I , que había continuado las políticas progresistas de su difunto marido, murió antes de la llegada de Euler a San Petersburgo. [30] La nobleza conservadora rusa ganó poder tras la ascensión de Pedro II, de doce años . [30] La nobleza, sospechando de los científicos extranjeros de la academia, cortó la financiación para Euler y sus colegas e impidió la entrada de estudiantes extranjeros y no aristocráticos en el Gymnasium y las universidades. [30]
Las condiciones mejoraron ligeramente después de la muerte de Pedro II en 1730 y Anna de Rusia , de influencia alemana, asumió el poder. [31] Euler ascendió rápidamente en los rangos de la academia y fue nombrado profesor de física en 1731. [31] También abandonó la Armada rusa, rechazando un ascenso a teniente . [31] Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de la censura y la hostilidad que enfrentó en San Petersburgo, partió hacia Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de matemáticas. [32] En enero de 1734, se casó con Katharina Gsell (1707-1773), hija de Georg Gsell . [33] Federico II había intentado contratar los servicios de Euler para su recién creada Academia de Berlín en 1740, pero Euler inicialmente prefirió quedarse en San Petersburgo. [34] Pero después de la muerte de la emperatriz Ana y de que Federico II aceptara pagar 1.600 ecus (lo mismo que ganaba Euler en Rusia), aceptó trasladarse a Berlín. En 1741 solicitó permiso para partir a Berlín, argumentando que necesitaba un clima más templado para su vista. [34] La academia rusa dio su consentimiento y le pagaría 200 rublos al año como uno de sus miembros activos. [34]
Preocupado por la continua agitación en Rusia, Euler abandonó San Petersburgo en junio de 1741 para ocupar un puesto en la Academia de Berlín , que le había ofrecido Federico el Grande de Prusia . [35] Vivió durante 25 años en Berlín , donde escribió varios cientos de artículos. [20] En 1748 se publicó su texto sobre funciones llamado Introductio in analysin infinitorum y en 1755 se publicó un texto sobre cálculo diferencial llamado Institutiones calculi diferencialis . [36] [37] En 1755, fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias [38] y de la Academia Francesa de Ciencias . [39] Entre los estudiantes notables de Euler en Berlín se encontraba Stepan Rumovsky , más tarde considerado como el primer astrónomo ruso. [40] [41] En 1748 rechazó una oferta de la Universidad de Basilea para suceder al recientemente fallecido Johann Bernoulli. [20] En 1753 compró una casa en Charlottenburg , en la que vivió con su familia y su madre viuda. [42] [43]
Euler se convirtió en la tutora de Friederike Charlotte de Brandenburg-Schwedt , la princesa de Anhalt-Dessau y sobrina de Federico. Le escribió más de 200 cartas a principios de la década de 1760, que luego fueron recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre diferentes temas de filosofía natural dirigidas a una princesa alemana . [44] Este trabajo contenía la exposición de Euler sobre diversos temas relacionados con la física y las matemáticas y ofrecía información valiosa sobre la personalidad y las creencias religiosas de Euler. Fue traducido a varios idiomas, publicado en Europa y Estados Unidos, y llegó a ser más leído que cualquiera de sus obras matemáticas. La popularidad de las Cartas atestigua la capacidad de Euler para comunicar cuestiones científicas de forma eficaz a un público no especializado, una capacidad poco común para un científico investigador dedicado. [37]
A pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la academia y de haber sido propuesto como candidato a la presidencia por Jean le Rond d'Alembert , Federico II se nombró a sí mismo como su presidente. [43] El rey de Prusia tenía un gran círculo de intelectuales en su corte, y encontró al matemático poco sofisticado y mal informado en asuntos más allá de los números y las cifras. Euler era un hombre sencillo y devotamente religioso que nunca cuestionó el orden social existente ni las creencias convencionales. Era, en muchos sentidos, el polo opuesto de Voltaire , que disfrutaba de un alto prestigio en la corte de Federico. Euler no era un polemista hábil y a menudo se esforzaba en discutir temas sobre los que sabía poco, lo que lo convertía en el blanco frecuente del ingenio de Voltaire. [37] Frederick también expresó su decepción con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler, afirmando:
Quería tener un chorro de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza de las ruedas necesaria para elevar el agua hasta un depósito, desde donde debería caer a través de canales, para finalmente brotar en Sanssouci . Mi molino estaba hecho geométricamente y no podía elevar una bocanada de agua a menos de cincuenta pasos del embalse. ¡Vanidad de vanidades! ¡Vanidad de la geometría! [45]
Sin embargo, es casi seguro que la decepción fue injustificada desde una perspectiva técnica. Es probable que los cálculos de Euler sean correctos, incluso si las interacciones de Euler con Federico y quienes construyeron su fuente pueden haber sido disfuncionales. [46]
A lo largo de su estancia en Berlín, Euler mantuvo una fuerte conexión con la academia de San Petersburgo y también publicó 109 artículos en Rusia. [47] También ayudó a estudiantes de la academia de San Petersburgo y en ocasiones alojó a estudiantes rusos en su casa de Berlín. [47] En 1760, con la Guerra de los Siete Años en pleno apogeo, la granja de Euler en Charlottenburg fue saqueada por el avance de las tropas rusas. [42] Al enterarse de este evento, el general Ivan Petrovich Saltykov pagó una compensación por los daños causados a la propiedad de Euler, y la emperatriz Isabel de Rusia añadió más tarde un pago adicional de 4000 rublos, una cantidad exorbitante en ese momento. [48] Euler decidió abandonar Berlín en 1766 y regresar a Rusia. [49]
Durante sus años en Berlín (1741-1766), Euler se encontraba en la cima de su productividad. Escribió 380 obras, de las cuales 275 fueron publicadas. [50] Esto incluía 125 memorias en la Academia de Berlín y más de 100 memorias enviadas a la Academia de San Petersburgo , que lo había retenido como miembro y le pagaba un estipendio anual. La Introductio in Analysin Infinitorum de Euler se publicó en dos partes en 1748. Además de su propia investigación, Euler supervisó la biblioteca, el observatorio, el jardín botánico y la publicación de calendarios y mapas de los que la academia obtenía ingresos. [51] Incluso participó en el diseño de las fuentes de agua de Sanssouci , el palacio de verano del rey. [52]
La situación política en Rusia se estabilizó después del ascenso al trono de Catalina la Grande , por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para regresar a la Academia de San Petersburgo. Sus condiciones eran bastante exorbitantes: un salario anual de 3.000 rublos, una pensión para su esposa y la promesa de nombramientos de alto rango para sus hijos. En la universidad fue ayudado por su alumno Anders Johan Lexell . [53] Mientras vivía en San Petersburgo, un incendio en 1771 destruyó su casa. [54]
El 7 de enero de 1734 se casó con Katharina Gsell (1707-1773), hija de Georg Gsell , pintor de la Academia Gimnasio de San Petersburgo. [33] La joven pareja compró una casa junto al río Neva .
De sus trece hijos, sólo cinco sobrevivieron a la infancia, [55] tres hijos y dos hijas. [56] Su primer hijo fue Johann Albrecht Euler , cuyo padrino fue Christian Goldbach . [56]
Tres años después de la muerte de su esposa en 1773, [54] Euler se casó con su media hermana, Salomé Abigail Gsell (1723-1794). [57] Este matrimonio duró hasta su muerte en 1783.
Su hermano Johann Heinrich se instaló en San Petersburgo en 1735 y trabajó como pintor en la academia. [34]
La vista de Euler empeoró a lo largo de su carrera matemática. En 1738, tres años después de casi morir a causa de una fiebre, [58] quedó casi ciego del ojo derecho. Euler culpó de su condición a la cartografía que realizó para la Academia de San Petersburgo, [59] pero la causa de su ceguera sigue siendo objeto de especulación. [60] [61] La visión de Euler en ese ojo empeoró durante su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico se refirió a él como " Cíclope ". Euler comentó sobre su pérdida de visión y afirmó: "Ahora tendré menos distracciones". [59] En 1766 se descubrió una catarata en su ojo izquierdo. Aunque el alivio de la catarata mejoró temporalmente su visión, las complicaciones finalmente lo dejaron también casi totalmente ciego del ojo izquierdo. [39] Sin embargo, su condición parecía tener poco efecto en su productividad. Con la ayuda de sus escribas, aumentó la productividad de Euler en muchas áreas de estudio; [62] y, en 1775, produjo, en promedio, un artículo matemático cada semana. [39]
En San Petersburgo, el 18 de septiembre de 1783, después de un almuerzo con su familia, Euler estaba discutiendo sobre el recién descubierto planeta Urano y su órbita con Anders Johan Lexell cuando se desplomó y murió a causa de una hemorragia cerebral . [60] Jacob von Staehlin escribió un breve obituario para la Academia de Ciencias de Rusia y el matemático ruso Nicolas Fuss , uno de los discípulos de Euler, escribió un elogio más detallado, [55] que pronunció en una reunión conmemorativa. En su panegírico a la Academia Francesa , el matemático y filósofo francés Marqués de Condorcet , escribió:
il cessa de calculer et de vivre —... dejó de calcular y de vivir. [63]
Euler fue enterrado junto a Katharina en el cementerio luterano de Smolensk en la isla Vasilievsky . En 1837, la Academia de Ciencias de Rusia instaló un nuevo monumento, reemplazando su placa funeraria demasiado grande. Para conmemorar el 250 aniversario del nacimiento de Euler en 1957, su tumba fue trasladada al cementerio Lazarevskoe en el monasterio Alexander Nevsky . [64]
Euler trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas, incluyendo geometría , cálculo infinitesimal , trigonometría , álgebra y teoría de números , así como física del continuo , teoría lunar y otras áreas de la física . Es una figura fundamental en la historia de las matemáticas; Si se imprimieran, sus obras, muchas de las cuales son de interés fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes en cuarto . [39] El nombre de Euler está asociado a una gran cantidad de temas . La obra de Euler tiene un promedio de 800 páginas al año desde 1725 hasta 1783. También escribió más de 4500 cartas y cientos de manuscritos. Se ha estimado que Leonhard Euler fue el autor de una cuarta parte de la producción combinada de matemáticas, física, mecánica, astronomía y navegación del siglo XVIII. [14]
Euler introdujo y popularizó varias convenciones de notación a través de sus numerosos libros de texto de amplia circulación. En particular, introdujo el concepto de función [6] y fue el primero en escribir f ( x ) para denotar la función f aplicada al argumento x . También introdujo la notación moderna para las funciones trigonométricas , la letra e para la base del logaritmo natural (ahora también conocido como número de Euler ), la letra griega Σ para sumatorias y la letra i para denotar la unidad imaginaria . [65] Euler también popularizó el uso de la letra griega π para denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro , aunque se originó con el matemático galés William Jones . [66]
El desarrollo del cálculo infinitesimal estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII, y los Bernoulli (amigos de la familia de Euler) fueron responsables de gran parte de los primeros avances en este campo. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en el foco principal del trabajo de Euler. Si bien algunas de las demostraciones de Euler no son aceptables según los estándares modernos de rigor matemático [67] (en particular su dependencia del principio de generalidad del álgebra ), sus ideas condujeron a muchos grandes avances. Euler es bien conocido en el análisis por su uso frecuente y desarrollo de series de potencias , la expresión de funciones como sumas de infinitos términos, [68] como
El uso de series de potencias por parte de Euler le permitió resolver el famoso problema de Basilea en 1735 (proporcionó un argumento más elaborado en 1741): [67]
Euler introdujo el uso de la función exponencial y logaritmos en pruebas analíticas . Descubrió formas de expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos , ampliando así enormemente el alcance de las aplicaciones matemáticas de los logaritmos. [65] También definió la función exponencial para números complejos y descubrió su relación con las funciones trigonométricas . Para cualquier número real φ (considerado radianes), la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja satisface
que fue llamada "la fórmula más notable de las matemáticas" por Richard P. Feynman . [70]
Un caso especial de la fórmula anterior se conoce como identidad de Euler ,
Euler elaboró la teoría de funciones trascendentales superiores introduciendo la función gamma [71] [72] e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones cuárticas . [73] Encontró una manera de calcular integrales con límites complejos, presagiando el desarrollo del análisis complejo moderno . Inventó el cálculo de variaciones y formuló la ecuación de Euler-Lagrange para reducir los problemas de optimización en esta área a la solución de ecuaciones diferenciales .
Euler fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas dispares de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio: la teoría analítica de números . Para abrir camino en este nuevo campo, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas , las series q , las funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de las fracciones continuas . Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos utilizando la divergencia de la serie armónica y utilizó métodos analíticos para comprender mejor la forma en que se distribuyen los números primos . El trabajo de Euler en esta área condujo al desarrollo del teorema de los números primos . [74]
El interés de Euler por la teoría de números se remonta a la influencia de Christian Goldbach , [75] su amigo en la Academia de San Petersburgo. [58] Gran parte de los primeros trabajos de Euler sobre teoría de números se basaron en el trabajo de Pierre de Fermat . Euler desarrolló algunas de las ideas de Fermat y refutó algunas de sus conjeturas, como su conjetura de que todos los números de la forma ( números de Fermat ) son primos. [76]
Euler vinculó la naturaleza de la distribución prima con las ideas del análisis. Demostró que la suma de los recíprocos de los números primos diverge . Al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos; esto se conoce como fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann . [77]
Euler inventó la función totiente φ( n ), el número de enteros positivos menores o iguales que el entero n que son coprimos de n . Utilizando propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que hoy se conoce como teorema de Euler . [78] Contribuyó significativamente a la teoría de los números perfectos , que había fascinado a los matemáticos desde Euclides . Demostró que la relación mostrada entre números pares perfectos y primos de Mersenne (que había demostrado anteriormente) era uno a uno, un resultado también conocido como teorema de Euclides-Euler . [79] Euler también conjeturó la ley de la reciprocidad cuadrática . El concepto se considera un teorema fundamental dentro de la teoría de números, y sus ideas allanaron el camino para el trabajo de Carl Friedrich Gauss , en particular las Disquisitiones Arithmeticae . [80] En 1772, Euler había demostrado que 2 31 − 1 = 2.147.483.647 es un primo de Mersenne. Es posible que haya seguido siendo el número primo más grande conocido hasta 1867. [81]
Euler también contribuyó con importantes avances a la teoría de las particiones de un número entero . [82]
En 1735, Euler presentó una solución al problema conocido como los Siete Puentes de Königsberg . [83] La ciudad de Königsberg , Prusia, estaba ubicada en el río Pregel e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre sí y con el continente por siete puentes. El problema es decidir si es posible seguir un camino que cruce cada puente exactamente una vez y regrese al punto de partida. No es posible: no existe ningún circuito euleriano . Esta solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos . [83]
Euler también descubrió la fórmula que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo , [84] y, por tanto, de un gráfico plano . La constante en esta fórmula ahora se conoce como característica de Euler para el gráfico (u otro objeto matemático) y está relacionada con el género del objeto. [85] El estudio y generalización de esta fórmula, específicamente por Cauchy [86] y L'Huilier , [87] está en el origen de la topología . [84]
Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron la resolución analítica de problemas del mundo real y la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli , las series de Fourier , los números de Euler , las constantes e y π , las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxiones de Newton y desarrolló herramientas que facilitaron la aplicación del cálculo a problemas físicos. Dio grandes pasos en la mejora de la aproximación numérica de integrales, inventando lo que hoy se conoce como aproximaciones de Euler . Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler [88] y la fórmula de Euler-Maclaurin . [89] [90] [91]
Euler ayudó a desarrollar la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli , que se convirtió en la piedra angular de la ingeniería. [92] Además de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a problemas de mecánica clásica , Euler aplicó estas técnicas a problemas celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido con múltiples premios de la Academia de París a lo largo de su carrera. Sus logros incluyen determinar con gran precisión las órbitas de los cometas y otros cuerpos celestes, comprender la naturaleza de los cometas y calcular el paralaje del Sol. Sus cálculos contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud precisas . [93]
Euler hizo importantes contribuciones en óptica . [94] No estaba de acuerdo con la teoría corpuscular de la luz de Newton , [95] que era la teoría predominante en la época. Sus artículos sobre óptica de la década de 1740 ayudaron a garantizar que la teoría ondulatoria de la luz propuesta por Christiaan Huygens se convirtiera en el modo de pensamiento dominante, al menos hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz . [96]
En dinámica de fluidos , Euler fue el primero en predecir el fenómeno de la cavitación , en 1754, mucho antes de su primera observación a finales del siglo XIX, y el número de Euler utilizado en los cálculos del flujo de fluidos proviene de su trabajo relacionado sobre la eficiencia de las turbinas . [97] En 1757 publicó un importante conjunto de ecuaciones para el flujo no viscoso en dinámica de fluidos , que ahora se conocen como ecuaciones de Euler . [98]
Euler es bien conocido en ingeniería estructural por su fórmula que da la carga crítica de Euler , la carga de pandeo crítica de un puntal ideal, que depende únicamente de su longitud y rigidez a la flexión . [99]
A Euler se le atribuye el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Estos diagramas se conocen como diagramas de Euler . [100]
Un diagrama de Euler es un medio esquemático para representar conjuntos y sus relaciones. Los diagramas de Euler consisten en curvas cerradas simples (generalmente círculos) en el plano que representan conjuntos . Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o "zonas": la interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y la exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Los tamaños o formas de las curvas no son importantes; La importancia del diagrama está en cómo se superponen. Las relaciones espaciales entre las regiones delimitadas por cada curva (superposición, contención o ninguna) corresponden a relaciones de teoría de conjuntos ( intersección , subconjunto y disjunción ). Las curvas cuyas zonas interiores no se cruzan representan conjuntos disjuntos . Dos curvas cuyas zonas interiores se cruzan representan conjuntos que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva que está contenida completamente dentro de la zona interior de otra representa un subconjunto de ella.
Los diagramas de Euler (y su perfeccionamiento hasta los diagramas de Venn ) se incorporaron como parte de la enseñanza de la teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático de la década de 1960. [101] Desde entonces, se han utilizado ampliamente como una forma de visualizar combinaciones de características. [102]
Uno de los intereses más inusuales de Euler fue la aplicación de ideas matemáticas a la música . En 1739 escribió Tentamen novae theoriae musicae ( Intento de una nueva teoría de la música ), con la esperanza de incorporar eventualmente la teoría musical como parte de las matemáticas. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no recibió mucha atención y alguna vez fue descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos. [103] Incluso cuando se trata de música, el enfoque de Euler es principalmente matemático, [104] por ejemplo, su introducción de logaritmos binarios como una forma de describir numéricamente la subdivisión de octavas en partes fraccionarias. [105] Sus escritos sobre música no son particularmente numerosos (unos pocos cientos de páginas, en su producción total de unas treinta mil páginas), pero reflejan una preocupación temprana que permaneció con él durante toda su vida. [104]
Un primer punto de la teoría musical de Euler es la definición de "géneros", es decir, de posibles divisiones de la octava utilizando los números primos 3 y 5. Euler describe 18 de estos géneros, con la definición general 2 m A, donde A es el "exponente " del género (es decir, la suma de los exponentes de 3 y 5) y 2 m (donde "m es un número indefinido, pequeño o grande, siempre que los sonidos sean perceptibles" [106] ), expresa que la relación se cumple independientemente del número de octavas en cuestión. El primer género, con A = 1, es la octava misma (o sus duplicados); el segundo género, 2 m .3, es la octava dividida por la quinta (quinta + cuarta, C – G – C); el tercer género es 2 m .5, tercera mayor + sexta menor (C – E – C); el cuarto es 2 m .3 2 , dos cuartos y un tono (C–F–B ♭ –C); el quinto es de 2 m .3,5 (C – E – G – B – C); etc. Los géneros 12 (2 m .3 3 .5), 13 (2 m .3 2 .5 2 ) y 14 (2 m .3.5 3 ) son versiones corregidas de los diatónicos, cromáticos y enarmónicos , respectivamente, de los Antiguos. . El género 18 (2 m .3 3 .5 2 ) es el "diatónico-cromático", "usado generalmente en todas las composiciones", [107] y que resulta idéntico al sistema descrito por Johann Mattheson . [108] Euler más tarde previó la posibilidad de describir géneros que incluyan el número primo 7. [109]
Euler ideó un gráfico específico, el Speculum musicum , [110] [111] para ilustrar el género diatónico-cromático, y analizó los caminos en este gráfico para intervalos específicos, recordando su interés en los Siete Puentes de Königsberg (ver arriba). El dispositivo atrajo un renovado interés como Tonnetz en la teoría neoriemanniana (ver también Lattice (música) ). [112]
Euler utilizó además el principio del "exponente" para proponer una derivación del gradus suavitatis (grado de suavidad, de amabilidad) de intervalos y acordes a partir de sus factores primos; hay que tener en cuenta que consideraba la entonación justa, es decir, 1 y el Sólo los números primos 3 y 5. [113] Se han propuesto fórmulas que extienden este sistema a cualquier número de números primos, por ejemplo, en la forma
Euler fue una persona religiosa durante toda su vida. [20] Gran parte de lo que se sabe sobre las creencias religiosas de Euler se puede deducir de sus Cartas a una princesa alemana y de una obra anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister ( Defensa de la revelación divina contra las objeciones de los librepensadores ). Estas obras muestran que Euler era un cristiano devoto que creía que la Biblia era inspirada; el Rettung fue principalmente un argumento a favor de la inspiración divina de las Escrituras . [115] [116]
Euler se opuso a los conceptos del monadismo de Leibniz y a la filosofía de Christian Wolff . [117] Euler insistió en que el conocimiento se funda en parte sobre la base de leyes cuantitativas precisas, algo que el monadismo y la ciencia wolffiana no pudieron proporcionar. Euler también calificó las ideas de Wolff como "paganas y ateas". [118]
Hay una famosa leyenda [119] inspirada en las discusiones de Euler con filósofos seculares sobre la religión, que se desarrolla durante el segundo período de Euler en la Academia de San Petersburgo. El filósofo francés Denis Diderot estaba de visita en Rusia por invitación de Catalina la Grande. Sin embargo, la emperatriz estaba alarmada de que los argumentos del filósofo a favor del ateísmo estuvieran influyendo en los miembros de su corte, por lo que se le pidió a Euler que confrontara al francés. Diderot fue informado de que un erudito matemático había presentado una prueba de la existencia de Dios : aceptó ver la prueba tal como se presentó ante el tribunal. Euler apareció, avanzó hacia Diderot y, en tono de perfecta convicción, anunció este non sequitur :
"Señor, por eso Dios existe –¡responda!"
Diderot, para quien (dice la historia) todas las matemáticas eran un galimatías, se quedó estupefacto mientras estallaban carcajadas en la corte. Avergonzado, pidió salir de Rusia, petición que fue gentilmente concedida por la Emperatriz. Por divertida que pueda resultar la anécdota, es apócrifa, dado que el propio Diderot investigó en matemáticas. [120] La leyenda aparentemente fue contada por primera vez por Dieudonné Thiébault con adornos de Augustus De Morgan . [119]
.jpg/1280px-Euler-10_Swiss_Franc_banknote_(front).jpg)
Euler apareció tanto en la sexta [121] como en la séptima [122] serie del billete de 10 francos suizos y en numerosos sellos postales suizos, alemanes y rusos. En 1782 fue elegido miembro honorario extranjero de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias . [123] El asteroide 2002 Euler recibió su nombre en su honor. [124]
Euler tiene una extensa bibliografía . Sus libros incluyen:
Fue necesario hasta 1830 para que la mayor parte de las obras póstumas de Euler se publicaran individualmente, [131] con un lote adicional de 61 obras inéditas descubiertas por Paul Heinrich von Fuss (bisnieto de Euler e hijo de Nicolas Fuss ) y publicadas como una colección. en 1862. [131] [132] El matemático sueco Gustaf Eneström compiló un catálogo cronológico de las obras de Euler y lo publicó de 1910 a 1913. [133] El catálogo, conocido como índice de Eneström, enumera las obras de Euler desde E1 hasta E866. [134] El Archivo Euler se inició en Dartmouth College [135] antes de trasladarse a la Asociación Matemática de América [136] y, más recientemente, a la Universidad del Pacífico en 2017. [137]
En 1907, la Academia Suiza de Ciencias creó la Comisión Euler y le encargó la publicación de las obras completas de Euler. Después de varios retrasos en el siglo XIX, [131] el primer volumen de la Opera Omnia se publicó en 1911. [138] Sin embargo, el descubrimiento de nuevos manuscritos siguió aumentando la magnitud de este proyecto. Afortunadamente, la publicación de la Opera Omnia de Euler ha progresado constantemente, con más de 70 volúmenes (con un promedio de 426 páginas cada uno) publicados en 2006 y 80 volúmenes publicados en 2022. [139] [12] [14] Estos volúmenes están organizados en cuatro series. La primera serie recopila los trabajos sobre análisis, álgebra y teoría de números; Consta de 29 volúmenes y cuenta con más de 14.000 páginas. Los 31 volúmenes de la Serie II, que suman 10.660 páginas, contienen obras sobre mecánica, astronomía e ingeniería. La Serie III contiene 12 volúmenes sobre física. La Serie IV, que contiene la enorme cantidad de correspondencias, manuscritos inéditos y notas de Euler, comenzó a compilarse recién en 1967. Después de publicar 8 volúmenes impresos en la Serie IV, el proyecto decidió en 2022 publicar los volúmenes restantes proyectados en la Serie IV solo en formato en línea. . [12] [138] [14]
Medios de los comunes
Citas de Wikiquote
Textos de Wikisource
Datos de Wikidata
