Punto extremo
En matemáticas, un punto extremo de un conjunto convexo
que no se encuentra en ningún segmento abierto uniendo dos puntos de
[1] En todo momento se asume que
si no se halla entre dos puntos distintos de
del espacio vectorial se llama variedad de soporte si
no está vacío) y cada segmento abierto
se denominan puntos finales de estos intervalos.
Se dice que un intervalo es no degenerado o intervalo propio si sus puntos finales son distintos.
es igual a la envolvente convexa de
esos dos puntos necesariamente pertenecen a
un subconjunto convexo no vacío de un espacio vectorial
Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes: Si
son puntos extremos del intervalo
de dimensión finita no tiene puntos extremos.
[2] Los vértices de cualquier polígono convexo en el plano
son los puntos extremos de ese polígono.
hace corresponder los puntos extremos de un conjunto convexo
Los puntos extremos de un conjunto convexo compacto forman un espacio de Baire (con la topología subespacial), pero este conjunto puede que no se pueda cerrar en
es la envolvente convexa cerrada de sus puntos extremos, y en particular, tal conjunto tiene puntos extremos.
Un teorema de Joram Lindenstrauss establece que, en un espacio de Banach con la propiedad Radon-Nikodym, un conjunto cerrado y acotado no vacío tiene un punto extremo (en espacios de dimensión infinita, la propiedad de compacidad es más fuerte que las propiedades conjuntas de ser cerrado y acotado).
un subconjunto convexo, acotado, cerrado y separable de
Un subconjunto convexo cerrado de un espacio vectorial topológico se llama estrictamente convexo si cada uno de sus puntos límite (topológicos) es un punto extremo.
[6] De manera más general, un punto en un conjunto convexo
pero no en un conjunto convexo de dimensión
son exactamente los puntos interiores de las caras
Más generalmente, para cualquier conjunto convexo
que puede extenderse al máximo (porque
Si los puntos finales del segmento son
entonces su rango extremo debe ser menor que el de
y el teorema se deduce por inducción.
