Sistema no lineal
Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales.
En física[1][2] matemáticas[3], biología, ingeniería o economía la no linealidad es inherente a diversos subsistemas es una fuente de problemas complejos, en las últimas décadas la aparición de los ordenadores digitales y la simulación numérica ha disparado el interés científico por los sistemas no lineales, ya que por primera vez muchos sistemas han podido ser investigados de manera más o menos sistemática.
[4][5][6] Los sistemas dinámicos no lineales, que describen cambios en las variables a lo largo del tiempo, pueden parecer caóticos, impredecibles o contraintuitivos, lo que contrasta con sistemas lineales mucho más sencillos.
Esto funciona bien hasta cierta precisión y cierto rango para los valores de entrada, pero algunos fenómenos interesantes como solitónes, caos,[7] y singularidades quedan ocultos por la linealización.
De ello se deduce que algunos aspectos del comportamiento dinámico de un sistema no lineal pueden parecer contraintuitivos, impredecibles o incluso caóticos.
Por ejemplo, algunos aspectos del clima se consideran caóticos, ya que simples cambios en una parte del sistema producen efectos complejos en todo el sistema.
Esta no linealidad es una de las razones por las que es imposible realizar previsiones precisas a largo plazo con la tecnología actual.
Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difícil de predecir.
Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables, mientras que otros tienen comportamiento caótico, por lo tanto no se pueden reducir a una forma simple ni se pueden resolver.
Aunque algunos sistemas no lineales y ecuaciones de interés general han sido extensamente estudiados, la vasta mayoría son pobremente comprendidos.
Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como Principio de superposición.
Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza.
Ejemplos físicos de sistemas lineales son relativamente raros.
Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes fenómenos como la teoría del caos.
es un número real, un vector o, tal vez, una función con algunas propiedades.
Esto hace que las ecuaciones lineales sean fáciles de resolver.
Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y mucho más difíciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas.
Esto hace el resolver las ecuaciones mucho más difícil que en sistemas lineales.
Los problemas que implican ecuaciones diferenciales no lineales son extremadamente diversos, y los métodos de solución o análisis dependen del problema.
En los problemas lineales, por ejemplo, se puede utilizar una familia de soluciones linealmente independientes para construir soluciones generales mediante el principio de superposición.
correspondiente al límite de la solución general cuando C tiende a infinito).
Entre los métodos habituales para el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales se incluyen: El enfoque básico más común para estudiar ecuaciones diferenciales parciales no lineales es cambiar las variables (o transformar el problema) para que el problema resultante sea más simple (posiblemente lineal).
Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes (muy) no lineales pueden simplificarse en una ecuación diferencial parcial lineal en el caso de un flujo transitorio, laminar y unidimensional en una tubería circular; el análisis de escala proporciona las condiciones en las que el flujo es laminar y unidimensional y también proporciona la ecuación simplificada.
Utilizando la mecánica Lagrangiana, se puede demostrar[9] que el desplazamiento del péndulo puede ser descripto por la ecuación nolineal adimensional donde la gravedad apunta hacia "abajo" y
Ello corresponde a la dificultad de balancear el péndulo invertido, lo cual es literalmente un estado inestable.
Se puede obtener una imagen cualitativa muy útil de la dinámica del péndulo juntando estas linealizaciones, como se ve en la figura de la derecha.
Se pueden utilizar otras técnicas para encontrar retratos de fase (exactos) y periodos aproximados.
