Decaimiento exponencial
Simbólicamente, este proceso puede ser expresado por la siguiente ecuación diferencial, donde N es la cantidad y λ (lambda) es una tasa positiva llamada constante de decaimiento exponencial: La solución a esta ecuación (ver derivación más abajo) es: donde N (t) es la cantidad en el momento t y N0 = N(0) es la cantidad inicial, es decir, la cantidad en el momento t = 0[1] Si la cantidad en decadencia, N(t), es el número de elementos discretos en un determinado conjunto, es posible calcular el tiempo medio que un elemento permanece en el conjunto.
es el momento en que la población del conjunto queda reducida a 1/e ≈ 0.367879441 multiplicado por su valor inicial.
En algunos casos, una medida más útil del decaimiento exponencial es el tiempo necesario para que la cantidad del producto en decaimiento se reduzca a la mitad de su valor inicial.
Este tiempo recibe el nombre de semivida, o periodo de semidesintegración en contextos radioactivos, y a menudo es denotado por el símbolo t1/2.
La semivida puede escribirse en términos de la constante de decaimiento, λ, o de la vida media, τ, como: Ecuación que se ha obtenido resolviendo para t1/2 la ecuación exponencial: Así, la cantidad de sustancia que queda transcurrido un tiempo t1/2 es 2−1 = 1/2 elevado al número (entero o no) de vidas medias que han transcurrido.
Por ememplo, después de 3 vidas medias quedarán 1/23 = 1/8 del material original.
La ecuación que describe el decaimiento exponencial es o, por reordenación (aplicando el método de separación de variables), Integrando, tenemos donde C es la constante de integración, y por lo tanto donde la sustitución final, N0 = eC, se obtiene evaluando la ecuación a t = 0, ya que N0 se define como la cantidad a t = 0.
Esta es la forma de la ecuación que se usa más comúnmente para describir el decaimiento exponencial.
Cualquiera de las constante de decaimiento, vida útil media o vidas media es suficiente para caracterizar el decaimiento.
Dado un conjunto de elementos, cuyo número disminuye en última instancia a cero, la vida útil media,
(es decir, la vida útil individual de cada objeto se distribuye exponencialmente), que tiene un valor esperado bien conocido.
Una cantidad puede decaer a través de dos o más procesos diferentes simultáneamente.
En general, estos procesos (a menudo llamados "modos de decaimiento", "canales de decaimiento", "rutas de decaimiento", etc.) tienen diferentes probabilidades de ocurrir, y por lo tanto ocurren a diferentes velocidades y con diferentes vidas medias, en paralelo.
se trata como una nueva constante de decaimiento total
La vida útil parcial asociada a los procesos individuales es por definición del inverso multiplicativo de la correspondiente constante de decaimiento parcial:
es la vida media combinada o total para el proceso,
se denominan vida media parcial de los procesos correspondientes.
El término vida media parcial es engañoso, ya que no puede medirse como un intervalo de tiempo en el que una determinada cantidad se reduce a la mitad.
es de Para un decaimiento por tres procesos exponenciales simultáneos, la vida media total puede calcularse como se indica arriba: El decaimiento exponencial ocurre en una amplia variedad de situaciones.
Muchos procesos de decaimiento que a menudo se tratan como exponenciales, son realmente exponenciales siempre y cuando la muestra sea grande y la ley de los grandes números se mantenga.
