En matemática, las funciones de Liapunov, planteadas principalmente por el ruso Aleksandr Liapunov, son funciones que demuestran la estabilidad de cierto punto fijo en un sistema dinámico o en las ecuaciones diferenciales autónomas.No existe un método general para construir o encontrar una función candidata de Liapunov que demuestre la estabilidad de un equilibrio dado, en todo caso, la incapacidad de encontrar una función de Liapunov no implica automáticamente la inestabilidad del equilibrio mismo.Para los sistemas dinámicos (como los sistemas físicos) las leyes de conservación proveen frecuentemente a las funciones candidatas de Liapunov., ya no podrá salir de ella.La restricción en las trayectorias que imponen las curvas de nivel permiten asegurar que el sistema dinámico es estable.y dicha función candidata de Liapunov si es localmente (en 0) una función definida positiva o, equivalentemente, si existe un entorno(la función candidata de Liapunov) está localmente semidefinida negativa, entonces existe un entornocentrado en 0 tal que entonces el equilibrio es estable, para algún entorno o vecindadestá localmente definida negativa, esto es si existe un entornode 0 tal que: entonces el equilibrio es localmente atractivo.están definidas como positiva sobre todo el dominio y si su derivada respecto al tiempo es globalmente definida como negativa, esto es entonces el equilibrio es globalmente atractivo.
Ejemplo de una función de Liapunov definida para un sistema dinámico. Las distintas trayectorias que pueden generarse van quedando atrapadas en regiones cada vez menores.
