En física, específicamente en física estadística fuera del equilibrio, la ecuación de Boltzmann describe el comportamiento estadístico de un sistema termodinámico fuera del equilibrio termodinámico.
En la literatura moderna el término Ecuación de Boltzmann se usa a menudo en un sentido más general y se refiere a cualquier ecuación cinética que describe el cambio o evolución de cantidades macroscópicas en un sistema termodinámico, tales como la energía, la carga o el número de partículas.
, donde d significa "diferencial", un cambio muy pequeño) a la que se denota con un vector de posición r, y tengan un momento también muy definido dentro de una región muy pequeña del espacio de momentos (análogamente escrito como
La ecuación de Boltzmann puede ser usada para entender cómo evolucionan determinadas cantidades físicas, como la energía, la temperatura y el momento de un fluido, y otras propiedades características de fluidos como la viscosidad, la conductividad térmica, también la conductividad eléctrica (al estudiar transporte de cargas en un material como un gas) puede ser derivadas.
Dicho espacio tiene 6 dimensiones: un punto es (r, p) = (x, y, z, px, py, pz), y cada coordenada está parametrizada por el tiempo t. El elemento diferencial de volumen es La probabilidad de que N partículas se encuentren dentro del elemento de volumen diferencial dado arriba y centrado en la posición r y en el momento p, es una cantidad que denotamos como f y nos da esta probabilidad por unidad del volumen del espacio de fases a cada instante de tiempo t. Esta función es una función de densidad de la probabilidad :
centrado en p, en un instante de tiempo t dado.
[4] Integrando sobre todas las posibles posiciones y todos los posibles momentos se obtiene el número total de partículas del problema estudiado: esta es una integral múltiple en 6 variables.
para la partícula N. Aquí se ha supuesto que las partículas del sistema son todas idénticas (todas tienen por ejemplo la misma masa m).
La ecuación general puede escribirse:[5] donde el término "fuerzas" corresponde a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por un campo externo (no por las partículas), como por ejemplo el campo gravitatorio terrestre; el término "dif" (abreviatura de difusión) representa la difusión de partículas, y "col" (abreviatura de colisión) es el término de colisiones, que tiene en cuenta las fuerzas internas entre las partículas.
Las fórmulas para cada uno de los términos aquí descritos están dadas más abajo.
[5] Nótese que algunos autores utilizan la velocidad de la partícula v en lugar del momento p, pero estas cantidades están relacionadas en la definición del momento como
Considérese que las partículas descritas por f experimentan una fuerza externa F cuyo origen no son el resto de partículas (véase el término de colisión para este último caso).
Supóngase que a un tiempo t, un número
actúa en ese instante sobre cada partícula, entonces a un tiempo
es constante, lo que se puede demostrar usando las ecuaciones de Hamilton (véase la discusión del teorema de Liouville).
es el operador gradiente, y · es el producto escalar, Es una abreviatura para el equivalente en variables de momento de ∇, y êx, êy, êz son los vectores unidad cartesianos.
y sustituyendo la derivada total en la ecuación general, se obtiene: En este contexto, F(r, t) es el campo de fuerza que actúa sobre las partículas del fluido, y m es la masa de las partículas.
El término del lado derecho se añade para describir el efecto de las colisiones entre las partículas Si es igual a cero, entonces las partículas no colisionan.
Esta ecuación es más útil que la más general escrita arriba, pero aun así es una ecuación incompleta, pues f no puede ser resuelto en tanto no conozcamos el término de colisiones.
Este término no es tan fácil de deducir como los otros, es un término estadístico que representa las colisiones de partículas, y requiere que conozcamos qué distribución estadística obedecen las partículas: Maxwell–Boltzmann (si son partículas clásicas), Fermi–Dirac (fermiones) o Bose–Einstein (bosones).
Para una mezcla de varias especies químicas etiquetadas por índices i = 1,2,3...,n la ecuación para la especie i es:[1] donde fi = fi(r, pi, t), y el término de colisión es donde f′ = f′(p′i, t), la magnitud de los momentos relativos es Y Iij es la sección eficaz diferencial, entre las partículas i y j. La integración es sobre los componentes de momento en el integrando (los cuales están etiquetados como i y j).
sólo, el cual está conservado en colisiones (se supone que los choques entre partículas son elásticos).
es una función de la posición únicamente, y que f es cero para
Multiplicando la ecuación de Boltzmann por g e integrando sobre el momento se obtienen cuatro términos los cuales, al integrar por partes, se pueden escribir como: donde que el último término sea cero significa que g se conserva al chocar las partículas.
Una galaxia, bajo ciertas condiciones, puede aproximarse por un fluido continuo, su distribución de masa se representa por f; en galaxias, las colisiones entre estrellas son muy raras, y el efecto de colisiones gravitacionales puede ser despreciado para tiempos mayores que la edad del universo.
La generalización a relatividad general es dónde Γαβγ es el símbolo de Christoffel de segundo tipo (aquí se supone hay no fuerzas externas, de modo que las partículas se mueven sobre geodésicas en ausencia de colisiones), con la sutileza importante de que la densidad es ahora una función en variables contravariante y covariante (xi, pi), en oposición con la naturaleza completamente contravariante (xi, pi) del espacio de fase.
[9][10] En cosmología física, el estudio de procesos en el universo temprano a menudo requiere tener en cuenta los efectos de la mecánica cuántica y la relatividad general.
[7] En el medio muy denso formado por el plasma primordial formado después del Big Bang, las partículas son continuamente creadas y destruidas.
En tal entorno, la coherencia cuántica y la extensión espacial de la función de ondas puede afectar a la dinámica, poniendo en cuestión que la distribución clásica en el espacio de fases f que aparece en la ecuación de Boltzmann sea la adecuada para describir al sistema.
[8] Esto incluye la formación de los elementos ligeros en la nucleosíntesis del Big Bang, la producción de materia oscura y la baryogenesis.