Medida armónica
En dominios planos simplemente conexos, existe una estrecha relación entre la medida armónica y la teoría de la transformación conforme.
El término medida armónica fue introducido por Rolf Nevanlinna en 1928 para dominios planos,[1][2] aunque el propio Nevanlinna señala que la idea apareció implícitamente en trabajos anteriores de Johansson, F. Riesz, M. Riesz, Carleman, Ostrowski y Julia (orden original citado).
La conexión entre la medida armónica y el movimiento browniano fue identificada por primera vez por Kakutani diez años después, en 1944.
[3] Sea D un dominio abierto y acotado en un espacio euclídeo n-dimensional Rn, n ≥ 2, y sea ∂D el límite de D. Cualquier función continua f : ∂D → 'R determina una función armónica Hf única que resuelve el problema de Dirichlet Si un punto x ∈ D es fijo, por el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani y el principio del máximo Hf(x) determina una medida de probabilidad ω (x, D) en ∂D dada por La medida e(x, D) se llama medida armónica (del dominio D con polo en x).
Volviendo al ejemplo anterior del movimiento browniano, se puede demostrar que si B es un movimiento browniano en R'n comenzando en x ∈ Rn y D ⊂ Rn es un bola centrada en x, entonces la medida armónica de B en ∂D es invariante bajo todos los movimiento de rotación de D alrededor de x y coincide con la medida superficial normalizada en ∂D.
