Principio del máximo

Esta imagen cualitativa puede extenderse a muchos tipos de ecuaciones diferenciales.En particular, si una de las segundas derivadas direccionales es negativa, entonces la otra debe ser positiva.En un punto hipotético donde u se maximiza, todas las segundas derivadas direccionales son automáticamente no positivas, y el equilibrio representado por la ecuación anterior requiere que todas las segundas derivadas direccionales sean idénticamente cero.Se podría argumentar que este razonamiento elemental representa una formulación infinitesimal del principio del máximo fuerte, que establece que, bajo algunos supuestos adicionales (como la continuidad de a), u debe ser constante si hay un punto de M donde u está maximizado.Téngase en cuenta que el razonamiento anterior no se ve afectado si se considera la ecuación diferencial parcial más general ya que el término agregado es automáticamente cero en cualquier punto máximo hipotético.Sin embargo, el razonamiento anterior ya no se aplica si se considera la condición ya que ahora la condición de equilibrio, tal como se evalúa en un punto máximo hipotético de u, solo dice que un promedio ponderado de cantidades manifiestamente no positivas no es positivo.Entonces, si u es la solución de una ecuación diferencial parcial, entonces es posible que las condiciones anteriores sobre la primera y la segunda derivadas de u formen una contradicción con esta relación algebraica.Por ejemplo, si u resuelve la ecuación diferencial entonces es claramente imposible tenerEntonces, siguiendo la observación anterior, es imposible que u tome un valor máximo., entonces el mismo análisis mostraría que u no puede tomar un valor mínimo.La posibilidad de tal análisis ni siquiera se limita a ecuaciones diferenciales parciales.Sin embargo, se podría considerar, para un número real arbitrario s, la función us definida por Es sencillo ver que Según el análisis anterior, siSe podría considerar el límite a s como 0 para concluir que u tampoco puede alcanzar un valor máximo.En este sentido, se podría haber usado, por ejemplo, con el mismo efecto.Según el principio del máximo débil, se tiene que u + h − C ≤ 0 en Ω.Esto se puede reorganizar, de manera que para todos los x en Ω.A continuación se desarrolla el procedimiento resumido en el punto anterior.Sea x0 un punto en este último conjunto que cumple la condición de distancia.En la esfera exterior, se tiene h = 0, y debido a la selección de R, se cumple que u ≤ C está en esta esfera, por lo que u + h − C ≤ 0 se mantiene en esta parte del límite, junto con el requisito de que h(x0) = 0.El cálculo directo muestra que Hay varias condiciones bajo las cuales se puede garantizar que el lado derecho de la ecuación no sea negativo (véase el enunciado del teorema a continuación).Además, por el mismo principio, existe un número λ tal que para todos los x en el anillo, la matriz [aij(x)] tiene todos los valores propios mayores o iguales a λ.Entonces, se considera que α, tal como aparece en la demostración, es grande en relación con estos límites.Por ejemplo, lo siguiente es el enunciado del teorema de Gilbarg y Trudinger, siguiendo la misma demostración: No se pueden extender ingenuamente estas afirmaciones a la ecuación elíptica lineal general de segundo orden, como ya se vio en el caso unidimensional.Por ejemplo, la ecuación diferencial ordinaria y'' + 2y = 0}} tiene soluciones sinusoidales, que ciertamente tienen máximos interiores.Esto se extiende al caso de dimensiones superiores, donde a menudo se tienen soluciones a las ecuaciones de función propia Δu + cu = 0 que tienen máximos interiores.