En matemáticas, la desigualdad de Harnack es una desigualdad relacionando los valores de una función armónica positiva a dos puntos, introdujo por A. Harnack (1887).
J. Serrin (1955) y J. Moser (1961, 1964) generalizó Harnack desigualdad en soluciones de elíptica o ecuaciones diferenciales parciales parabólicas.
La desigualdad de Harnack también se puede utilizar para mostrar la regularidad interior de soluciones débiles de ecuaciones diferenciales parciales.
La desigualdad de Harnack aplica a una función no-negativa f definida en una bola cerrada en R n con radios R y centro x 0 .
Declara que, si f es continuo en el balón cerrada y armónica en su interior, entonces para cualquier punto x con | x - x 0 | = R < R En el plano
(n= 2) la desigualdad puede ser escrita: Para dominios generales
es un dominio delimitado y
tal que para cada función dos veces diferenciable, armónica y no-negativa
; sólo depende de los dominios
Por fórmula de Poisson: donde
es el área de la esfera unitaria en
dado que el núcleo en el integrando satisface La desigualdad de Harnack sigue para sustituir esta desigualdad en la integral anterior y usando el hecho de que la media de una función armónica sobre una esfera es igual a su valor en el centro de la esfera: Las ecuaciones diferenciales parciales elípticas, la desigualdad de Harnack afirma que el supremo de una solución positiva en alguna región abierta conectada está limitada por algunos tiempos constantes el ínfimo, posiblemente con un término agregado que contiene una norma funcional de los datos: La constante depende del elipticidad de la ecuación y la región abierta conectada.
Hay una versión de la desigualdad de Harnack por parabólicos lineales de PDE como la ecuación del calor.
y considerar el operador parabólico lineal con coeficientes lisos y acotados y una matriz no degenerada
un subconjunto compacto de
(Dependiendo sólo de
y los coeficientes de
) De tal manera que, para cada