Espacio topológico

Un espacio topológico es una estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, continuidad y vecindad, usando subconjuntos de un conjunto dado.Las variedades, al igual que los espacios métricos, son especializaciones de espacios topológicos con restricciones y estructuras propias.Alrededor de 1735, Leonhard Euler descubrió la fórmulaEn 1827, Carl Friedrich Gauss publicó Investigaciones generales de superficies curvas, que en la sección 3 define la superficie curva de manera similar a la comprensión topológica moderna: "Se dice que una superficie curva posee curvatura continua en uno de sus puntos A, si la dirección de todas las líneas rectas trazadas desde A hasta puntos de la superficie a una distancia infinitamente pequeña de A se desvían infinitamente poco de un mismo plano que pasa por A.[3]​ "Möbius y Jordan parecen ser los primeros en darse cuenta de que el principal problema de la topología de las superficies (compactas) es encontrar invariantes (preferiblemente numéricos) para decidir la equivalencia de las superficies, es decir, decidir si dos superficies son homeomorfos o no.El término "topología" fue introducido por Johann Benedict Listing en 1847, aunque había usado el término en correspondencia algunos años antes en lugar de "Analysis situs" usado anteriormente.[4]​ En la década de 1930, James Waddell Alexander II y Hassler Whitney expresaron por primera vez la idea de que una superficie es un espacio topológico que es localmente como un plano euclidiano.Los espacios métricos habían sido definidos anteriormente en 1906 por Maurice Fréchet, aunque fue Hausdorff quien popularizó el término "espacio métrico" (en alemán: metrischer Raum).[5]​[6]​ Formalmente, se llama espacio topológico al par ordenadoEsta axiomatización se debe a Felix Hausdorff.suelen llamarse puntos, aunque pueden ser cualquier objeto matemático.Los tres primeros axiomas de vecindad tienen un significado claro.si incluye un intervalo abierto que contenga aLos conjuntos abiertos satisfacen entonces los axiomas dados a continuación.A la inversa, dados los conjuntos abiertos de un espacio topológico, las vecindades que satisfacen los axiomas anteriores pueden recuperarse definiendo, llamados conjuntos abiertos y que satisfacen los siguientes axiomas:[12]​ Como esta definición de una topología es la más utilizada, el conjuntode los conjuntos abiertos se llama comúnmente una topología sobreUsando las leyes de De Morgan, los axiomas anteriores que definen conjuntos abiertos se convierten en axiomas que definen conjuntos cerrados': Utilizando estos axiomas, otra forma de definir un espacio topológico es como un conjuntoUna red es una generalización del concepto de secuencia.Una topología está completamente determinada si para cada red enEn todo espacio métrico (X,d) se puede definir de manera natural una topología dada por la métrica del espacio.La topología métrica generaliza la noción usual de conjunto abierto en la recta real y en los espacios euclídeos de 2 o 3 dimensiones, permitiendo una aproximación de carácter local a la topología.Si se considera el ejemplo más conocido, el de los intervalos, uno se da cuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntos en su frontera o borde, que son puntos en contacto a la vez con A y con su complementario R - A.En otras palabras, un punto de un abierto no está directamente en contacto con el "exterior".No estar en contacto significa intuitivamente que hay una cierta distancia entre el punto y el exterior; llamémosla d. Entonces la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centro a está incluida en A y no toca el complementario.No todas las topologías provienen de una métrica: hay espacios que son metrizables y otros que no lo son.El Teorema de Nagata-Smírnov, entre otros, permite determinar si un espacio topológico es metrizable o no.[17]​ La topología pretende abstraer conceptos familiares de los espacios métricos, pero sin hacer referencia a una distancia.Existe cierta libertad para definir el significado de "alrededor" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes: Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.Los axiomas expuestos en el punto de vista global están verificados: