En matemáticas, dos conjuntos A y B son equipotentes o equinumerosos si existe una biyección entre ellos, es decir, si existe una función de A en B tal que para cada elemento y de B, existe exactamente un elemento x de A tal que f(x)=y.
[1] Los conjuntos equipotentes tienen el mismo cardinal (número de elementos).
La expresión A y B son conjuntos equipotentes se denota:
La definición como biyección de equipotencia puede aplicarse para conjuntos tanto finitos como infinitos y permite determinar si dos conjuntos son del mismo tamaño incluso si son infinitos.
Si se mantiene el axioma de elección, entonces el número cardinal de un conjunto puede considerarse como el menor número ordinal de esa cardinalidad (véase ordinal inicial).
[1] La proposición "dos conjuntos son o bien equipotentes, o bien uno tiene menor cardinal que el otro" es equivalente al axioma de elección.
En el borrador de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, las relaciones están por definición restringidas a los conjuntos (una relación binaria en un conjunto A es el subconjunto del producto cartesiano
Si existe una biyección entre los conjuntos A y B, se dice que son equipotentes y tienen el mismo cardinal, hecho que se denota por
Si existe una inyección entre los conjuntos A y B, entonces el cardinal de A es menor o igual al cardinal de B,
Si en este caso los cardinales de A y B son distintos, entonces se dice que el cardinal de A es menor que el cardinal de B, y se denota
Si se mantiene el axioma de elección, entonces la ley de tricotomía se aplica a los números cardinales, por lo que dos conjuntos o bien son equipotentes, o uno es estrictamente menor que el otro[1].La ley de tricotomía para los números cardinales también implica el axioma de elección.
[3] El teorema de Schröder–Bernstein establece que dos conjuntos A y B para los que existen dos funciones inyectivas
[1][3] Este teorema no depende del axioma de elección.
La Equipotencia tiene las propiedades características de una relación de equivalencia (reflexividad, simetría y transitividad):[1] Dado un conjunto A, la función identidad en A es una biyección de A en sí mismo, por lo tanto todos los conjuntos son equipotentes consigo mismo:
Dados tres conjuntos A, B y C con dos biyecciones
Según el teorema de Cantor, el cardinal de cada conjunto en esta secuencia es estrictamente mayor que el del conjunto anterior, dando como resultado conjuntos infinitos cada vez mayores.
El trabajo de Cantor fue duramente criticado por sus contemporáneos , p. ej.
Leopold Kronecker, quién se adhirió fuertemente a la filosofía de las matemáticas finitista[4] y rechazó la idea de que los números pudieran formar una totalidad completa propiamente dicha (un infinito actual).
Sin embargo, las ideas de Cantor fueron defendidas por otros, p. ej.
Richard Dedekind, y finalmente fueron ampliamente reconocidas, fuertemente respaldadas por David Hilbert.
Además, el axioma del infinito garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, concretamente el conjunto que contiene a los números naturales.
Existen teorías alternativas de conjuntos, p.
(álef 0), el cardinal de un conjunto infinito numerable y
En ocasiones, un conjunto es equipotente a algunos de sus subconjuntos propios, p. ej.
[1][3] El axioma de elección numerable (ACω), una variante débil del axioma de elección (AC), es necesario para demostrar que un conjunto que no es infinito-Dedekind es realmente finito.
[5] Otras definiciones de finito e infinito no requieren del axioma de elección para ello.
Esto es útil para demostrar la definición de suma cardinal.
Además, la equipotencia es compatible con el producto cartesiano: Estas propiedades son útiles para justificar la multiplicación cardinal.
Fuera del ámbito de los conjuntos, el término Equinumerosidad fue empleado por Frege para definir relaciones entre conceptos.
Su definición es: "La expresión 'el concepto F es equinumeroso con el concepto G' significa lo mismo que la expresión 'hay una relación Φ que coordina biunívocamente los objetos que caen bajo el concepto F con los objetos que caen bajo el concepto G'.