, primera letra del alfabeto hebreo) es un signo empleado para referirse a ciertos números transfinitos que de hecho resultan ser números ordinales iniciales y por tanto números cardinales.[1] Fueron introducidos por primera vez por el matemático Georg Cantor.[2] En el análisis matemático, aparecen frecuentemente álef 0 y álef 1, aunque pueden definirse números transfinitos arbitrariamente grandes, más allá de estos dos.Georg Cantor, que inauguró la teoría de conjuntos, demostró que existían diferentes tipos de infinitos inconmensurables entre sí, y por tanto, no todos los conjuntos infinitos eran equipotentes.Cantor demostró que el conjunto de los números reales tenía "más elementos" que los números enteros (si bien ninguno de los dos conjuntos es finito, ambos diferían en su grado de "infinidad")., se emplea en teoría de conjuntos para construir cardinales transfinitos arbitrariamente grandes.Dicho isomorfismo es un epimorfismo (isomorfismo suprayectivo) y, por tanto, matemáticamente todos los cardinales transfinitos resultan ser un cardinal de tipo álef.El más pequeño de todos los números transfinitos (cardinales), y el más simple de entender conceptualmente esEn análisis matemático puede definirse de manera sencilla e intuitiva la clase de conjuntos numerables (conjuntos cuyo cardinal esEn términos prácticos, esto significa que los elementos de un conjunto numerable pueden "etiquetarse" como 1, 2, 3 ... de tal manera que a cada elemento de dicho conjunto le corresponda un número natural (y nada más que un número natural).En análisis matemático, se interpreta usualmente al cardinalcomo la cantidad de números reales, asumiendo como cierta la hipótesis del continuo.Para justificar esto se parte del teorema de Cantor.Este teorema afirma que el cardinal dees el cardinal del conjunto potencia de los números naturales, que es exactamente el mismo que el cardinal de los números reales.En la teoría ZFC, el axioma de elección permite probar que, es decir, que el cardinal de los números reales es exactamenteEl teorema de Cantor sobre el conjunto potencia afirma que para cualquier conjunto A se cumple que:La hipótesis del continuo generalizada de hecho permite ordenar los cardinales transfinitos de manera sencilla, ya que en esencia afirma que:designa, asumiendo como válida la hipótesis del continuo generalizada, el cardinal transfinito del conjunto potencia de los números reales, y por tanto podría adoptarse como definición tambiénIgualmente aceptando la hipótesis del continuo generalizada, puede demostrarse quetambién es el cardinal del conjunto de todas las funciones reales ya que:Esto último se debe a que una función continua queda determinada si se especifica su valor sobre los números racionales, que son numerables y por tanto tienen), ya que su índice ω es un ordinal límite.Dado que el ordinal ω coincide con el cardinal(los dos signos representan el mismo conjunto), técnicamente se podría escribir el cardinalcomo una aplicación reiterada de la función álef, es decir:Aunque esa manera de escribirlo no es tan común.En teoría de conjuntos, la función álef es el únicoPuede demostrarse que esta es una función normal, es decir, es una función monótona creciente y además continua (en el sentido de los ordinales).
Álef 0, el más pequeño de todos los números transfinitos (cardinales).
