Ecuación en derivadas parciales

En matemáticas, una ecuación en derivadas parciales (en ocasiones abreviada como EDP) es aquella ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables independientes, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas.Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables independientes.Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.Participaron, al inicio, en su estudio los franceses d'Alembert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica.Sin embargo, normalmente es imposible escribir fórmulas explícitas para las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales.Existe, en consecuencia, una gran cantidad de investigación matemática y científica moderna sobre métodos para aproximar numéricamente soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales utilizando ordenadores.Las ecuaciones diferenciales parciales ocupan también un amplio sector de la investigación matemática pura, en el que las cuestiones habituales versan, a grandes rasgos, sobre la identificación de características cualitativas generales de las soluciones de diversas ecuaciones diferenciales parciales, tales como existencia, unicidad, regularidad y estabilidad.Las ecuaciones diferenciales parciales son omnipresentes en campos científicos orientados a las matemáticas, como la física y la ingeniería.Por ejemplo, son fundamentales en la comprensión científica moderna del sonido, el calor, la difusión, la electrostática, el electrodinámica, la termodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la relatividad general y la mecánica cuántica (ecuación de Schrödinger, ecuación de Pauli, etc.).Como tal, por lo general se reconoce que no existe una "teoría general" de las ecuaciones diferenciales parciales, con el conocimiento especializado siendo algo dividido entre varios subcampos esencialmente distintos.[2]​ Las ecuaciones diferenciales ordinarias forman una subclase de ecuaciones diferenciales parciales, correspondientes a funciones de una sola variable.Temas más clásicos, en los que todavía hay mucha investigación activa, incluyen elíptica y parabólica ecuaciones diferenciales parciales, mecánica de fluidos, ecuación de Boltzmann, y dispersiva ecuaciones diferenciales parciales.Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) para la funciónUna ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser: donde u es una función de x e y.Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x.Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga esDonde c es cualquier valor constante (independiente de x).Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias.Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función f (y ) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x = 0.) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como Toda ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP.En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas, que frecuentemente pueden obtenerse por el método de separación de variables.Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación.[3]​ Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables.Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y.El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o mal definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema.Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.Con estos coeficientes se monta la siguiente matriz:En función del determinante la ecuación (*): Nombres de objetos de la geometría analítica y se llaman cónicas.