Envolvente (matemáticas)

Pero incluso si se cumplen estas condiciones, una familia determinada puede no tener una envolvente.Considérese que cada curva Ct de una familia es la solución de una ecuación ft (x, y) = 0 (véase curva implícita), donde t es un parámetro.La envolvente de la familia Ct se define entonces como el conjuntoes la derivada parcial de F con respecto a t.[1]​ Si t y u, con t ≠ u, son dos valores del parámetro, entonces la intersección de las curvas Ct y Cu viene dada por o equivalentemente, Haciendo u → t se obtiene la definición anterior.Un caso especial importante es cuando F (t, x, y) es un polinomio en t. Esto incluye, por eliminación de denominadores, el caso en el que F (t, x, y) es una función racional en t. En este caso, la definición equivale a t siendo una raíz doble de F (t, x, y), por lo que la ecuación de la envolvente se puede encontrar al establecer la condición de que el discriminante de F sea 0 (porque la definición exige que F = 0 en algún t y la primera derivada = 0, es decir, que su valor sea 0 implica un mínimo o un máximo de la función en ese t).Por ejemplo, haciendo que Ct sea la línea cuyas intersecciones x e y son t y 11-t, se obtiene la animación anterior.La ecuación de Ct es entonces o, simplificando las fracciones, La ecuación de la envolvente es entonces A menudo, cuando F no es una función racional del parámetro, se puede reducir a este caso mediante una sustitución apropiada.Por ejemplo, si la familia viene dada por Cθ con una ecuación de la forma u (x, y) cosθ + v (x, y) sinθ =w(x, y), luego poniendo t=eiθ, cosθ = (t + 1 / t) / 2, sinθ = (t - 1 / t) / 2i, cambia la ecuación de la curva a o La ecuación de la envolvente se da luego estableciendo el discriminante en 0: o LuegoLa función generadora es Cálculando la derivada parcial Ft = 6t(x – t).Por lo tanto, el discriminante es la curva original y su línea tangente en γ (0): Luego se calcula E1.Hay que tener en cuenta que F(t,(x,y)) = F(t + ε,(x,y)) si y solo si Si t ≠ 0, entonces L tiene solo un factor dependiente de ε. Suponiendo que t ≠ 0, la intersección viene dada por Siendo t ≠ 0 se deduce que x = t. El valor y se calcula sabiendo que este punto debe estar en una línea tangente a la curva original γ, tal que F(t,(x,y)) = 0.De hecho, considerando un punto en el plano (x0, y0), este punto se encuentra en una línea tangente si y solo si existe un t tal que Esto es una tercera potencia en t, y como tal, tiene al menos una solución real.Se deduce que al menos una línea tangente a γ debe pasar a través de cualquier punto dado en el plano.Si y = x3 y x = 0, es decir, x = y = 0, este punto tiene una sola línea tangente a γ que pasa por él (esto corresponde a que el cubo tiene una raíz real de multiplicidad 3).Para simplificar las fórmulas resultantes, se configuran los alfileres en los ejes x e y.Un hilo general en línea recta conecta los dos puntos (0, k −t) y (t, 0), donde k es una constante de escala arbitraria, y la familia de líneas se genera variando el parámetro t. A partir de la simple relación geométrica, la ecuación de esta línea recta es y = −(k − t) x / t + k − t. Reordenando y reescribiendo en la forma F (x, y, t) = 0, se obtiene: Ahora, diferenciando F (x, y, t) con respecto a t con la condición de que el resultado sea igual a cero, se obtiene Estas dos ecuaciones definen conjuntamente la ecuación de la envolvente.Sea I ⊂ R un intervalo abierto tal que γ: I → R2 sea una curva plana uniforme parametrizada por la longitud de arco.Considérese la familia caracterizada por un parámetro de líneas normales a γ (I).Usando la notación de un punto (•) para denotar el producto escalar, la familia generadora monoparamétrica de líneas normales viene dada por la expresión F : I × R2 → R donde Claramente (x − γ) · T = 0 si y solo si x − γ es perpendicular a T, o equivalentemente, si y solo si x − γ es paralela a N, o equivalentemente, si y solo si x = γ + λ N para algún λ ∈ R. Resulta que es exactamente la línea normal a γ en γ (t0).Para encontrar el discriminante de F se necesita calcular su derivada parcial con respecto a t: donde κ es la curvatura de γ., considérese el triángulo rectángulo (abierto) en un plano cartesiano con vértices, es decir, el conjunto abierto Para escribir una representación cartesiana deLas envolventes están conectadas con el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y, en particular, a sus soluciones singulares.[4]​ Sea F (x, u, Du) = 0 una EDP de primer orden, donde x es una variable con valores en un conjunto abierto Ω ⊂ Rn, u es una función de valor real desconocida, Du es el gradiente de u, y F es una función continuamente diferenciable que es regular en Du.Una nueva solución de la ecuación diferencial se puede construir resolviendo primero (si es posible) para a = φ (x) en función de x.La envolvente de la familia de funciones {u(·,a)} a∈A está definida por y también resuelve la ecuación diferencial (siempre que exista como una función continuamente diferenciable).Dado que la ecuación diferencial es de primer orden, solo pone una condición en el plano tangente al gráfico, de modo que cualquier función en cualquier lugar tangente a una solución también debe ser una solución.Cuando un rayo de luz se refleja en un punto del arco, se comporta como si hubiera sido reflejado por la recta tangente del arco en ese punto.El límite del conjunto de puntos a los que la luz puede viajar desde un punto dado q después de un tiempo t se conoce como frente de onda después del tiempo t, indicado aquí por Φq (t).Consiste precisamente en los puntos que se pueden alcanzar desde q en el tiempo t viajando a la velocidad de la luz.