Principio de Fermat
El principio de Fermat, en óptica, es un principio de tipo extremal y que establece: Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma moderna del principio de Fermat.
Esta dice que: Esto quiere decir que, si se expresa el trayecto recorrido por la luz entre dos puntos
por medio de una funcional llamada camino óptico definida como
La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales.
y se deduce a partir del principio de Fermat.
el vector unitario tangente a la trayectoria.
{\displaystyle L=\int _{A}^{B}n({\textbf {r}})ds=\int dL}
De esto se obtiene que
Por otro lado tenemos que (se empleará cartesianas pero sirve para el resto de bases ortonormales):
{\displaystyle {d \over ds}\left({\vec {\nabla }}L\right)={d \over ds}\left({{\partial L} \over {\partial x}}\right){\textbf {i}}+{d \over ds}\left({{\partial L} \over {\partial y}}\right){\textbf {j}}+{d \over ds}\left({{\partial L} \over {\partial z}}\right){\textbf {k}}={{\partial n} \over {\partial x}}{\textbf {i}}+{{\partial n} \over {\partial y}}{\textbf {j}}+{{\partial n} \over {\partial z}}{\textbf {k}}={\vec {\nabla }}n}
El camino óptico se puede equiparar a la acción en la mecánica lagrangiana.
Se puede tratar el índice de refracción como un lagrangiano compuesto por un potencial.
Creando un sistema con las tres coordenas se obtiene que:
Si sobre cada rayo emitido por un foco recorremos caminos ópticos iguales, entonces los puntos que los delimitan forman una superficie normal a todos los rayos.
Denominamos a dicha superficie frente de ondas.
Coincide con el frente de onda dado por la teoría oscilatoria.
Al deducirse del principio de Fermat es válido a pesar del número de reflexiones o refracciones que pueda sufrir el rayo antes de llegar a su destino.
Si se supone que un rayo de luz sale del punto A en dirección a la superficie plana, que suponemos reflectora, y viaja hasta el punto B ¿Cuál será la trayectoria seguida por la luz?
Así, el tiempo necesario para recorrer el camino entre A y B (pasando por la superficie P) será la distancia APB dividida por la velocidad de la luz en ese medio.
Como la velocidad es una constante, la trayectoria real, según el principio de Fermat, será la más corta.
Es fácil ver que la distancia APB es la misma que la distancia A'PB, donde A' es la imagen de A.
La distancia mínima A'PB es, obviamente, la línea recta A'P2B, con lo que la trayectoria real es AP2B.
dos puntos fijos situados del plano, de modo que A está situado en el primer medio, y B en el segundo medio.
Sea un rayo de luz que se propaga de A a B atravesando la superficie que separa los dos medios en el punto
El siguiente paso es deducir el tiempo que tarda el rayo en recorrer
es mínimo, es equivalente si encontramos el valor de
Herón de Alejandría (Heron) (c. 60) describió un principio de reflexión, que declaraba que un rayo de luz que va desde el punto A al punto B, sufriendo cualquier número de reflexiones en espejos planos, en el mismo medio, tiene un trayecto con menor longitud que cualquier trayecto cercano.
[1] Ibn al-Haytham (Alhazen), en su Libro de Óptica (1021), amplió el principio tanto a la reflexión como a la refracción, y expresó una temprana versión del principio del menor tiempo.
Sus experimentos se basaron en trabajos anteriores sobre la refracción realizados por el científico griego Claudio Ptolomeo.
[3] Se encontró con las objeciones efectuadas en mayo de 1662 por Claude Clerselier, un experto en óptica y líder portavoz de los cartesianos en ese momento.
