Asociatividad (álgebra)
La asociatividad es una propiedad en el álgebra y la lógica proposicional que se cumple, si dados tres o más elementos cualquiera de un conjunto determinado, se verifica que existe una operación:
, que cumpla la igualdad: Es decir, en una expresión asociativa con dos o más ocurrencias seguidas de un mismo operador asociativo, el orden en que se ejecuten las operaciones no altera el resultado, siempre y cuando se mantenga intacta la secuencia de los operandos.
En otras palabras, reorganizar los paréntesis en una expresión asociativa no cambia su valor final.
La suma y el producto de números reales cumplen la propiedad asociativa, siendo válidas las igualdades: para la suma y para la multiplicación: En ambas, la ubicación de los paréntesis no altera el resultado.
Nótese que los operandos se han mantenido en su posición original dentro de la expresión.
Muchas operaciones importantes son no asociativas, por ejemplo la resta y la exponenciación.
Es decir (después de reescribir la expresión con paréntesis y en notación infija si es necesario), reordenar los paréntesis en dicha expresión no cambiará su valor.
Dado que esto es cierto cuando se realiza la suma y la multiplicación de cualquier número real, se puede decir que "la suma y la multiplicación de números reales son operaciones asociativas".
Por ejemplo, el orden no importa en la multiplicación de números reales, es decir, a × b = b × a}}, por lo que decimos que la multiplicación de números reales es una operación conmutativa.
Las operaciones asociativas son abundantes en matemáticas; de hecho, muchas estructuras algebraicas (como semigrupos y categorías) requieren explícitamente que sus operaciones binarias sean asociativas.
Formalmente, una operación binaria ∗ sobre un set S se llama asociativa si satisface la ley asociativa: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) para todo x, y, z en S.}} Aquí, ∗ se utiliza para sustituir el símbolo de la operación, que puede ser cualquier símbolo, e incluso la ausencia de símbolo (yuxtaposición) como para la multiplicación.
A esto se le llama ley asociativa generalizada.
Así que, a menos que la expresión con paréntesis omitido ya tenga un significado diferente (véase más adelante), los paréntesis pueden considerarse innecesarios y "el" producto puede escribirse sin ambigüedad como abcd.
Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna
es asociativa si: La ley asociativa también puede ser expresada en notación funcional así: Partiendo del conjunto de los números naturales para la operación suma, definida como:
tiene la propiedad asociativa, dado que: Por ejemplo: Sin embargo, para la operación resta, definida como:
En matemáticas, la suma y multiplicación de números reales es asociativa.
