Sistema de coordenadas polares

Coordenadas que comprenden una distancia y un ángulo.

Puntos en el sistema de coordenadas polares con polo O y eje polar L. En verde, el punto con coordenada radial 3 y coordenada angular 60 grados o (3,  60°). En azul, el punto (4,  210°).

En matemáticas , el sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto de un plano está determinado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia. El punto de referencia (análogo al origen de un sistema de coordenadas cartesiano ) se llama polo , y el rayo que sale del polo en la dirección de referencia es el eje polar . La distancia desde el polo se llama coordenada radial , distancia radial o simplemente radio , y el ángulo se llama coordenada angular , ángulo polar o acimut . ^[1] Los ángulos en notación polar generalmente se expresan en grados o radianes (siendo 2 π rad igual a 360°).

Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron los conceptos de forma independiente a mediados del siglo XVII, aunque el término real "coordenadas polares" se atribuyó a Gregorio Fontana en el siglo XVIII. La motivación inicial para la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y orbital .

Las coordenadas polares son más apropiadas en cualquier contexto donde el fenómeno que se está considerando está inherentemente ligado a la dirección y la longitud desde un punto central en un plano, como las espirales . Los sistemas físicos planos con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o fenómenos que se originan en un punto central, suelen ser más sencillos e intuitivos de modelar utilizando coordenadas polares.

El sistema de coordenadas polares se extiende a tres dimensiones de dos maneras: los sistemas de coordenadas cilíndricos y esféricos .

Historia

hiparco

Los conceptos de ángulo y radio ya eran utilizados por los pueblos antiguos del primer milenio a.C. El astrónomo y astrólogo griego Hiparco (190-120 a. C.) creó una tabla de funciones de cuerdas que proporciona la longitud de la cuerda para cada ángulo, y hay referencias a su uso de coordenadas polares para establecer posiciones estelares. ^[2] En Sobre las espirales , Arquímedes describe la espiral de Arquímedes , una función cuyo radio depende del ángulo. El trabajo griego, sin embargo, no se extendió a un sistema de coordenadas completo.

A partir del siglo VIII d.C., los astrónomos desarrollaron métodos para aproximar y calcular la dirección a La Meca ( qibla ) —y su distancia— desde cualquier lugar de la Tierra. ^[3] A partir del siglo IX se utilizaron métodos de trigonometría esférica y proyección de mapas para determinar estas cantidades con precisión. El cálculo es esencialmente la conversión de las coordenadas polares ecuatoriales de La Meca (es decir, su longitud y latitud ) a sus coordenadas polares (es decir, su qibla y distancia) en relación con un sistema cuyo meridiano de referencia es el círculo máximo que pasa por la ubicación dada y los polos de la Tierra. y cuyo eje polar es la recta que pasa por el lugar y su antípoda . ^[4]

Hay varios relatos sobre la introducción de coordenadas polares como parte de un sistema de coordenadas formal. La historia completa del tema se describe en Origin of Polar Coordinates, del profesor de Harvard Julian Lowell Coolidge . ^[5] Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron los conceptos de forma independiente a mediados del siglo XVII. Saint-Vincent escribió sobre ellos en privado en 1625 y publicó su trabajo en 1647, mientras que Cavalieri publicó el suyo en 1635 con una versión corregida que apareció en 1653. Cavalieri utilizó por primera vez coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes . Blaise Pascal utilizó posteriormente coordenadas polares para calcular la longitud de los arcos parabólicos .

En Method of Fluxions (escrito en 1671, publicado en 1736), Sir Isaac Newton examinó las transformaciones entre coordenadas polares, a las que se refirió como la "Séptima Manera; Para Espirales", y otros nueve sistemas de coordenadas. ^[6] En la revista Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli utilizó un sistema con un punto en una línea, llamado polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se especificaron por la distancia desde el polo y el ángulo desde el eje polar . El trabajo de Bernoulli se extendió a encontrar el radio de curvatura de curvas expresadas en estas coordenadas.

El término actual coordenadas polares se ha atribuido a Gregorio Fontana y fue utilizado por escritores italianos del siglo XVIII. El término apareció en inglés en la traducción de 1816 de George Peacock del Cálculo diferencial e integral de Lacroix . ^{[7] [8]} Alexis Clairaut fue el primero en pensar en las coordenadas polares en tres dimensiones, y Leonhard Euler fue el primero en desarrollarlas. ^[5]

Convenciones

Una cuadrícula polar con varios ángulos, que aumenta en sentido antihorario y está etiquetada en grados.

La coordenada radial a menudo se denota por r o ρ , y la coordenada angular por φ , θ o t . La coordenada angular se especifica como φ según la norma ISO 31-11 . Sin embargo, en la literatura matemática el ángulo a menudo se denota por θ.

Los ángulos en notación polar generalmente se expresan en grados o radianes (siendo 2 π rad igual a 360°). Los grados se utilizan tradicionalmente en navegación , topografía y muchas disciplinas aplicadas, mientras que los radianes son más comunes en matemáticas y física matemática . ^[9]

El ángulo φ se define para comenzar en 0° desde una dirección de referencia y aumentar para rotaciones en sentido horario (cw) o antihorario (ccw). Por ejemplo, en matemáticas, la dirección de referencia generalmente se dibuja como un rayo desde el polo horizontalmente hacia la derecha, y el ángulo polar aumenta a ángulos positivos para las rotaciones en sentido antihorario, mientras que en navegación ( rumbo , rumbo ) se dibuja el rumbo 0°. verticalmente hacia arriba y el ángulo aumenta para las rotaciones en sentido horario. Los ángulos polares disminuyen hacia valores negativos para rotaciones en las orientaciones respectivamente opuestas.

Unicidad de las coordenadas polares.

Agregar cualquier número de giros completos (360°) a la coordenada angular no cambia la dirección correspondiente. De manera similar, cualquier coordenada polar es idéntica a la coordenada con el componente radial negativo y la dirección opuesta (agregando 180° al ángulo polar). Por lo tanto, un mismo punto ( r , φ ) se puede expresar con un número infinito de coordenadas polares diferentes ( r , φ + n × 360°) y (− r , φ + 180° + n × 360°) = (− r , φ + (2 n + 1) × 180°) , donde n es un número entero arbitrario . ^[10] Además, el polo mismo se puede expresar como (0,  φ ) para cualquier ángulo φ . ^[11]

Cuando se necesita una representación única para cualquier punto además del polo, es habitual limitar r a números positivos ( r > 0 ) y φ al intervalo [0, 360°) o al intervalo (−180°, 180°] , que en radianes son [0, 2π) o (−π, π] . ^[12] Otra convención, en referencia al codominio habitual de la función arctan , es permitir valores reales arbitrarios distintos de cero de la componente radial y restringir la ángulo polar a (−90°,  90°] . En todos los casos se debe elegir un acimut único para el polo ( r = 0), por ejemplo, φ  = 0.

Conversión entre coordenadas polares y cartesianas

Un diagrama que ilustra la relación entre las coordenadas polares y cartesianas.

Las coordenadas polares r y φ se pueden convertir a coordenadas cartesianas x e y usando las funciones trigonométricas seno y coseno:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ,\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

Las coordenadas cartesianas x e y se pueden convertir a coordenadas polares r y φ con r  ≥ 0 y φ en el intervalo (− π , π ] mediante: ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\operatorname {hypot} (x,y)\\\varphi &=\operatorname {atan2} (y,x),\end{aligned}}}$$

suma pitagóricaatan2arcotangente

$${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}$$

Si r se calcula primero como se indicó anteriormente, entonces esta fórmula para φ se puede expresar de manera más simple usando la función arcocoseno :

$${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}$$

Números complejos

Una ilustración de un número complejo z trazado en el plano complejo

Una ilustración de un número complejo trazado en el plano complejo usando la fórmula de Euler

Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano complejo y, por lo tanto, se puede expresar especificando las coordenadas cartesianas del punto (llamada forma rectangular o cartesiana) o las coordenadas polares del punto (llamada forma polar).

En forma polar, las coordenadas de distancia y ángulo a menudo se denominan magnitud y argumento del número , respectivamente. Dos números complejos se pueden multiplicar sumando sus argumentos y multiplicando sus magnitudes.

El número complejo z se puede representar en forma rectangular como

$${\displaystyle z=x+iy}$$

iunidad imaginaria

$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$$

la fórmula de Euler^[14]

$${\displaystyle z=re^{i\varphi }=r\exp i\varphi .}$$

eel número de Eulerφvalor principalargxiynotaciones cis

$${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi =r\angle \varphi .}$$

Para las operaciones de multiplicación , división , exponenciación y extracción de raíces de números complejos, generalmente es mucho más sencillo trabajar con números complejos expresados ​​en forma polar que en forma rectangular. De las leyes de la exponenciación:

Multiplicación

${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}$

División

${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}$

Exponenciación ( fórmula de De Moivre )

${\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}$

Extracción de raíces (raíz principal)

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}}$

Ecuación polar de una curva.

Una curva en el plano cartesiano se puede representar en coordenadas polares. En esta animación, se asigna a . Haz clic en la imagen para los detalles. ${\displaystyle y=\sin(6\!\cdot \!x)+2}$ ${\displaystyle r=\sin(6\!\cdot \!\theta )+2}$

Se conoce como ecuación polar a la ecuación que define una curva plana expresada en coordenadas polares . En muchos casos, dicha ecuación puede especificarse simplemente definiendo r como una función de φ . La curva resultante consta entonces de puntos de la forma ( r ( φ ),  φ ) y puede considerarse como la gráfica de la función polar r . Tenga en cuenta que, a diferencia de las coordenadas cartesianas, la variable independiente φ es la segunda entrada del par ordenado.

Se pueden deducir diferentes formas de simetría a partir de la ecuación de una función polar r :

• Si r (− φ ) = r ( φ ) la curva será simétrica con respecto al rayo horizontal (0°/180°);
• Si r ( π − φ ) = r ( φ ) será simétrico con respecto al rayo vertical (90°/270°):
• Si r ( φ − α) = r ( φ ) será rotacionalmente simétrico por α en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polares, muchas curvas pueden describirse mediante una ecuación polar bastante simple, mientras que su forma cartesiana es mucho más compleja. Entre las más conocidas se encuentran la rosa polar , la espiral de Arquímedes , la lemniscata , la limaçon y la cardioide .

Para el círculo, la línea y la rosa polar que aparecen a continuación, se entiende que no hay restricciones en el dominio y rango de la curva.

Círculo

Un círculo con ecuación r ( φ ) = 1

La ecuación general para un círculo con centro en y radio a es ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$

$${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$$

Esto se puede simplificar de varias maneras, para ajustarse a casos más específicos, como la ecuación

$${\displaystyle r(\varphi )=a}$$

a^[15]

Cuando r ₀ = a o el origen está en el círculo, la ecuación se convierte en

$${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$$

En el caso general, la ecuación se puede resolver para r , dando

$${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}$$

Línea

Las líneas radiales (las que pasan por el polo) están representadas por la ecuación

$${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$$

pendienteperpendicularmente ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi =\arctan m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi =\gamma }$ ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$

$${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$$

De otra manera se indica el punto en el que la tangente corta al círculo imaginario de radio. ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$ ${\displaystyle r_{0}}$

rosa polar

Una rosa polar con ecuación r ( φ ) = 2 sen 4 φ

Una rosa polar es una curva matemática que parece una flor de pétalos y que se puede expresar como una simple ecuación polar.

$${\displaystyle r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)}$$

para cualquier constante γ ₀ (incluido 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos si k es impar , o una rosa de 2 k pétalos si k es par. Si k es racional, pero no un número entero, se puede formar una forma de rosa pero con pétalos superpuestos. Tenga en cuenta que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa directamente la longitud o amplitud de los pétalos de la rosa, mientras que k se relaciona con su frecuencia espacial. La constante γ ₀ puede considerarse como un ángulo de fase.

Espiral de Arquímedes

Un brazo de una espiral de Arquímedes con ecuación r ( φ ) = φ / 2 π para 0 < φ < 6 π

La espiral de Arquímedes es una espiral descubierta por Arquímedes que también se puede expresar como una simple ecuación polar. Está representado por la ecuación

$${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$$

abφ > 0φ < 0a = 0secciones cónicas

Elipse, que muestra el recto semilato.

Secciones cónicas

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en algún lugar del rayo de 0° (de modo que el eje mayor de la cónica se encuentre a lo largo del eje polar) viene dada por:

$${\displaystyle r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}}$$

eexcentricidadrecto semi-latuse > 1hipérbolae = 1parábolae < 1elipsee = 0 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

Intersección de dos curvas polares.

Las gráficas de dos funciones polares y tienen posibles intersecciones de tres tipos: ${\displaystyle r=f(\theta )}$ ${\displaystyle r=g(\theta )}$

1. En el origen, si las ecuaciones y tienen al menos una solución cada una. ${\displaystyle f(\theta )=0}$ ${\displaystyle g(\theta )=0}$
2. Todos los puntos donde son soluciones de la ecuación donde es un número entero. ${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$ ${\displaystyle k}$
3. Todos los puntos donde son soluciones de la ecuación donde es un número entero. ${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$ ${\displaystyle k}$

Cálculo

El cálculo se puede aplicar a ecuaciones expresadas en coordenadas polares. ^{[16] [17]}

La coordenada angular φ se expresa en radianes en toda esta sección, que es la opción convencional al hacer cálculos.

Calculo diferencial

Usando x = r cos φ e y = r sin φ , se puede derivar una relación entre derivadas en coordenadas cartesianas y polares. Para una función dada, u ( x , y ), se deduce que (calculando sus derivadas totales ) o

$${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

Por tanto, tenemos las siguientes fórmulas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

Utilizando la transformación de coordenadas inversas, se puede derivar una relación recíproca análoga entre las derivadas. Dada una función u ( r , φ ), se deduce que

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Por tanto, tenemos las siguientes fórmulas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Para encontrar la pendiente cartesiana de la recta tangente a una curva polar r ( φ ) en cualquier punto dado, primero se expresa la curva como un sistema de ecuaciones paramétricas .

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

Diferenciando ambas ecuaciones con respecto a φ se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}$$

Al dividir la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto ( r ( φ ),  φ ) :

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

Para otras fórmulas útiles que incluyen divergencia, gradiente y laplaciano en coordenadas polares, consulte coordenadas curvilíneas .

Cálculo integral (longitud de arco)

La longitud del arco (longitud de un segmento de línea) definida por una función polar se encuentra mediante la integración sobre la curva r ( φ ). Sea L esta longitud a lo largo de la curva que comienza desde los puntos A hasta el punto B , donde estos puntos corresponden a φ = a y φ = b tal que 0 < b − a < 2 π . La longitud de L viene dada por la siguiente integral

$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }$$

Cálculo integral (área)

La región de integración R está limitada por la curva r ( φ ) y los rayos φ = a y φ = b .

Sea R la región encerrada por una curva r ( φ ) y los rayos φ = a y φ = b , donde 0 < b − a ≤ 2 π . Entonces, el área de R es

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .}$$

La región R se aproxima por n sectores (aquí, n = 5).

Un planímetro , que calcula mecánicamente integrales polares.

Este resultado se puede encontrar de la siguiente manera. Primero, el intervalo [ a , b ] se divide en n subintervalos, donde n es algún número entero positivo. Así, Δ φ , la medida del ángulo de cada subintervalo, es igual a b − a (la medida del ángulo total del intervalo), dividida por n , el número de subintervalos. Para cada subintervalo i = 1, 2, ..., n , sea φ _i el punto medio del subintervalo y construya un sector con centro en el polo, radio r ( φ _i ), ángulo central Δ φ y longitud de arco. r ( φ _yo ) Δ φ . Por lo tanto, el área de cada sector construido es igual a

$${\displaystyle \left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$$

A medida que aumenta el número de subintervalos n , mejora la aproximación del área. Tomando n → ∞ , la suma se convierte en la suma de Riemann para la integral anterior.

Un dispositivo mecánico que calcula integrales de área es el planímetro , que mide el área de figuras planas trazándolas: esto replica la integración en coordenadas polares agregando una unión de modo que el enlace de 2 elementos efectúe el teorema de Green , convirtiendo la integral polar cuadrática en una integral lineal.

Generalización

Usando coordenadas cartesianas , un elemento de área infinitesimal se puede calcular como dA = dx dy . La regla de sustitución para integrales múltiples establece que, cuando se utilizan otras coordenadas, se debe considerar el determinante jacobiano de la fórmula de conversión de coordenadas:

$${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$$

Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares se puede escribir como

$${\displaystyle dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$$

Ahora, una función dada en coordenadas polares se puede integrar de la siguiente manera:

$${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\varphi )}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$$

Aquí, R es la misma región que arriba, es decir, la región encerrada por una curva r ( φ ) y los rayos φ = a y φ = b . La fórmula para el área de R se obtiene tomando f idénticamente igual a 1.

Una gráfica de y el área entre la función y el eje -, que es igual a . ${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$

Una aplicación más sorprendente de este resultado produce la integral gaussiana :

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$$

Cálculo vectorial

El cálculo vectorial también se puede aplicar a coordenadas polares. Para un movimiento plano, sea el vector de posición ( r cos( φ ), r sin( φ )) , donde r y φ dependen del tiempo t . ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Definimos una base ortonormal con tres vectores unitarios: direcciones radial, transversal y normal . La dirección radial se define normalizando : ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))}$$

plano del movimiento ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}={\hat {\mathbf {v} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

dirección transversal

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$$

Esta ecuación se puede obtener tomando la derivada de la función y las derivadas de los vectores de base unitaria.

Para una curva en 2D donde el parámetro es las ecuaciones anteriores se simplifican a: ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {r}}&=r(\theta ){\hat {e}}_{r}\\{\frac {d{\vec {r}}}{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {e}}_{r}+r{\hat {e}}_{\theta }\\{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {e}}_{r}+{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {e}}_{\theta }\end{aligned}}}$$

Términos centrífugos y Coriolis

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no se limita al espacio 2D, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

El término a veces se denomina aceleración centrípeta y aceleración de Coriolis . Por ejemplo, consulte Shankar. ^[18] ${\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}}$ ${\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$

Nota: estos términos, que aparecen cuando la aceleración se expresa en coordenadas polares, son una consecuencia matemática de la diferenciación; aparecen siempre que se utilizan coordenadas polares. En la dinámica de partículas planas, estas aceleraciones aparecen cuando se establece la segunda ley del movimiento de Newton en un sistema de referencia giratorio. Aquí estos términos adicionales se denominan a menudo fuerzas ficticias ; ficticios porque son simplemente el resultado de un cambio en el sistema de coordenadas. Eso no significa que no existan, sino que sólo existen en el marco giratorio.

Marco de referencia inercial S y marco de referencia co-rotativo instantáneo no inercial S′ . El marco co-rotativo gira a una velocidad angular Ω igual a la velocidad de rotación de la partícula alrededor del origen de S′ en el momento particular t . La partícula está ubicada en la posición del vector r ( t ) y los vectores unitarios se muestran en la dirección radial a la partícula desde el origen, y también en la dirección del ángulo creciente ϕ normal a la dirección radial. Estos vectores unitarios no necesitan estar relacionados con la tangente y normal a la trayectoria. Además, la distancia radial r no necesita estar relacionada con el radio de curvatura del camino.

Marco co-rotativo

Para una partícula en movimiento plano, un enfoque para otorgar significado físico a estos términos se basa en el concepto de un marco de referencia co-rotativo instantáneo . ^[19] Para definir un marco co-rotativo, primero se selecciona un origen a partir del cual se define la distancia r ( t ) a la partícula. Se establece un eje de rotación que es perpendicular al plano de movimiento de la partícula y pasa por este origen. Luego, en el momento seleccionado t , la velocidad de rotación del marco co-rotativo Ω se hace para que coincida con la velocidad de rotación de la partícula alrededor de este eje, dφ / dt . A continuación, los términos de la aceleración en el sistema inercial se relacionan con los del sistema co-rotativo. Sea la ubicación de la partícula en el marco inercial ( r ( t ), φ ( t ) ), y en el marco co-rotativo sea ( r ′(t), φ ′(t) ). Debido a que el marco co-rotativo gira a la misma velocidad que la partícula, dφ ′/ dt = 0. La fuerza centrífuga ficticia en el marco co-rotativo es mr Ω ² , radialmente hacia afuera. La velocidad de la partícula en el marco co-rotativo también es radialmente hacia afuera, porque dφ ′/ dt = 0. Por lo tanto, la fuerza de Coriolis ficticia tiene un valor −2 m ( dr / dt )Ω, apuntado en la dirección de φ creciente únicamente. . Así, usando estas fuerzas en la segunda ley de Newton encontramos:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{cf}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{Cor}}=m{\ddot {\boldsymbol {r}}}\ ,}$$

F

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}$$

Esta comparación, más el reconocimiento de que según la definición del marco co-rotativo en el tiempo t tiene una velocidad de rotación Ω = dφ / dt , muestra que podemos interpretar los términos de la aceleración (multiplicada por la masa de la partícula) tal como se encuentra en el marco inercial como el negativo de las fuerzas centrífugas y de Coriolis que se verían en el marco co-rotativo instantáneo, no inercial.

Para el movimiento general de una partícula (a diferencia del movimiento circular simple), las fuerzas centrífugas y de Coriolis en el marco de referencia de una partícula comúnmente se refieren al círculo osculante instantáneo de su movimiento, no a un centro fijo de coordenadas polares. Para más detalles, ver fuerza centrípeta .

Geometría diferencial

En la terminología moderna de geometría diferencial , las coordenadas polares proporcionan gráficos de coordenadas para la variedad diferenciable R ² \ {(0,0)} , el plano menos el origen. En estas coordenadas, el tensor métrico euclidiano viene dado por

$${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$

formas diferenciales dxdyderivada exteriorx = r cos( θ )y = r sin( θ )ds ² = dx ² + dy ²marco ortonormal

$${\displaystyle e_{r}={\frac {\partial }{\partial r}},\quad e_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},}$$

doble coframe

$${\displaystyle e^{r}=dr,\quad e^{\theta }=rd\theta .}$$

forma de conexiónconexión Levi-Civita

$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}={\begin{pmatrix}0&-d\theta \\d\theta &0\end{pmatrix}}}$$

forma de curvatura Ω = dω + ω ∧ ωvariedad plana

Extensiones en 3D

El sistema de coordenadas polares se amplía a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes, el sistema de coordenadas cilíndrico y esférico .

Aplicaciones

Las coordenadas polares son bidimensionales y, por lo tanto, sólo se pueden utilizar cuando las posiciones de los puntos se encuentran en un único plano bidimensional. Son más apropiados en cualquier contexto donde el fenómeno que se está considerando está inherentemente ligado a la dirección y la longitud desde un punto central. Por ejemplo, los ejemplos anteriores muestran cómo las ecuaciones polares elementales son suficientes para definir curvas (como la espiral de Arquímedes) cuya ecuación en el sistema de coordenadas cartesiano sería mucho más compleja. Además, muchos sistemas físicos (como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central o con fenómenos que se originan en un punto central) son más sencillos e intuitivos de modelar utilizando coordenadas polares. La motivación inicial para la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y orbital .

Posición y navegación

Las coordenadas polares se utilizan a menudo en la navegación , ya que el destino o la dirección del viaje se puede dar como un ángulo y una distancia desde el objeto que se está considerando. Por ejemplo, los aviones utilizan una versión ligeramente modificada de las coordenadas polares para la navegación. En este sistema, el que se utiliza generalmente para cualquier tipo de navegación, el rayo de 0° se llama generalmente rumbo 360, y los ángulos continúan en el sentido de las agujas del reloj, en lugar de en el sentido contrario, como en el sistema matemático. El rumbo 360 corresponde al norte magnético , mientras que los rumbos 90, 180 y 270 corresponden al este, sur y oeste magnéticos, respectivamente. ^[20] Por lo tanto, un avión que viaje 5 millas náuticas hacia el este viajará 5 unidades en rumbo 90 (léase cero-nueve-cero por el control de tráfico aéreo ). ^[21]

Modelado

Los sistemas que muestran simetría radial proporcionan configuraciones naturales para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un excelente ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de agua subterránea cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. Los sistemas con fuerza radial también son buenos candidatos para el uso del sistema de coordenadas polares. Estos sistemas incluyen campos gravitacionales , que obedecen la ley del cuadrado inverso , así como sistemas con fuentes puntuales , como antenas de radio .

Los sistemas radialmente asimétricos también se pueden modelar con coordenadas polares. Por ejemplo, el patrón de captación de un micrófono ilustra su respuesta proporcional a un sonido entrante desde una dirección determinada, y estos patrones se pueden representar como curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el micrófono unidireccional más común, se puede representar como r = 0,5 + 0,5 sin ( ϕ ) en su frecuencia de diseño objetivo. ^[22] El patrón cambia hacia la omnidireccionalidad en frecuencias más bajas.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Coordenadas curvilíneas
• Lista de transformaciones de coordenadas canónicas
• Coordenadas log-polares
• Descomposición polar
• Circulo unitario

Referencias

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4. Rey (2005, pág. 169). Los cálculos fueron tan precisos como se pudo lograr bajo las limitaciones impuestas por su suposición de que la Tierra era una esfera perfecta.
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6. Boyer, CB (1949). "Newton como creador de coordenadas polares". Mensual Matemático Estadounidense . 56 (2). Asociación Matemática de América: 73–78. doi :10.2307/2306162. JSTOR  2306162.
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13. Torrence, Bruce Follett; Eva Torrence (1999). La introducción del estudiante a Mathematica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-59461-8.
14. Smith, Julio O. (2003). "La identidad de Euler". Matemáticas de la Transformada Discreta de Fourier (DFT) . Publicación W3K. ISBN 0-9745607-0-7. Archivado desde el original el 15 de septiembre de 2006 . Consultado el 22 de septiembre de 2006 .
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18. Ramamurti Shankar (1994). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). Saltador. pag. 81.ISBN​ 0-306-44790-8.
19. Para la siguiente discusión, consulte John R Taylor (2005). Mecanica clasica . Libros de ciencias universitarias. pag. §9.10, págs. 358 y 359. ISBN 1-891389-22-X.
20. Santhi, Sumrit. «Sistema de navegación de aeronaves» . Consultado el 26 de noviembre de 2006 .
21. "Procedimientos de emergencia" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 3 de junio de 2013 . Consultado el 15 de enero de 2007 .
22. Eargle, John (2005). Manual de ingeniería de grabación (Cuarta ed.). Saltador. ISBN 0-387-28470-2.

Referencias generales

• Adams, Robert; Christopher Essex (2013). Cálculo: un curso completo (Octava ed.). Pearson Canadá Inc. ISBN 978-0-321-78107-9.
• Antón, Howard; Irlanda Bivens; Stephen Davis (2002). Cálculo (Séptima ed.). Libros de texto Anton, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
• Finney, Ross; Jorge Thomas; Franklin Demana; Bert espera (junio de 1994). Cálculo: gráfico, numérico, algebraico (versión de variable única ed.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.

enlaces externos

• "Coordenadas polares", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Software de gráficos en Curlie
• Convertidor de coordenadas: convierte entre coordenadas polares, cartesianas y esféricas.
• Demostración dinámica del sistema de coordenadas polares