fuerza central

Fuerza mecánica hacia o lejos de un punto.

En mecánica clásica , una fuerza central sobre un objeto es una fuerza que se dirige hacia o alejándose de un punto llamado centro de fuerza . ^{[a] [1] : 93}

$${\displaystyle {\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\left\vert F(\mathbf {r} )\right\vert {\hat {\mathbf {r} }}}$$

Ffunción de fuerza con valor vectorialFrvector de posiciónrvector unitario ${\textstyle {\vec {F}}}$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /\|\mathbf {r} \|}$

No todos los campos de fuerza centrales son conservadores o esféricamente simétricos . Sin embargo, una fuerza central es conservativa si y sólo si es esféricamente simétrica o rotacionalmente invariante. ^{[1] : 133–38}

Propiedades

Las fuerzas centrales que son conservativas siempre se pueden expresar como el gradiente negativo de una energía potencial :

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )\;{\text{, where }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r}$$

hasta

En un campo conservador, la energía mecánica total ( cinética y potencial) se conserva:

$${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+{\tfrac {1}{2}}I|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{constant}}}$$

ṙ'derivadar'velocidadI'momento de inerciaω'velocidad angularmomento angular

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{constant}}}$$

momento de torsiónsegunda ley de Kepler

También se puede demostrar que un objeto que se mueve bajo la influencia de cualquier fuerza central obedece la segunda ley de Kepler. Sin embargo, la primera y la tercera leyes dependen de la naturaleza del cuadrado inverso de la ley de gravitación universal de Newton y, en general, no se aplican a otras fuerzas centrales.

Como consecuencia de ser conservadores, estos campos de fuerzas centrales específicos son irrotacionales, es decir, su curvatura es cero, excepto en el origen :

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} .}$$

Ejemplos

Gravitational force and Coulomb force are two familiar examples with ${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$ being proportional to 1/r² only. An object in such a force field with negative ${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$ (corresponding to an attractive force) obeys Kepler's laws of planetary motion.

The force field of a spatial harmonic oscillator is central with ${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$ proportional to r only and negative.

By Bertrand's theorem, these two, ${\displaystyle F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}}$and ${\displaystyle F(\mathbf {r} )=-kr}$, are the only possible central force fields where all bounded orbits are stable closed orbits. However, there exist other force fields, which have some closed orbits.

See also

• Classical central-force problem
• Particle in a spherically symmetric potential

Notes

1. This article uses the definition of central force given in Taylor.^[1]: 93 Another common definition (used in ScienceWorld^[2]) adds the constraint that the force be spherically symmetric, i.e. ${\displaystyle {\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(\|\mathbf {r} \|){\hat {\mathbf {r} }}}$.

References

1. Taylor, John R. (2005). Classical Mechanics. Sausalito, CA.: Univ. Science Books. ISBN 1-891389-22-X.
2. Eric W. Weisstein (1996–2007). "Central Force". ScienceWorld. Wolfram Research. Retrieved 2008-08-18.