George Peacock FRS (9 de abril de 1791 - 8 de noviembre de 1858) fue un matemático inglés y clérigo anglicano . Fundó lo que se ha llamado el álgebra británica de la lógica .
Peacock nació el 9 de abril de 1791 en Thornton Hall , Denton, cerca de Darlington , condado de Durham. [1] Su padre, Thomas Peacock, era sacerdote de la Iglesia de Inglaterra , titular y durante 50 años coadjutor de la parroquia de Denton, donde también tenía una escuela. En sus primeros años de vida, Peacock no mostró ninguna precocidad o genio, y se destacó más por sus atrevidas hazañas de escalada que por cualquier apego especial al estudio. Inicialmente, recibió su educación primaria de su padre y luego en la Escuela Sedbergh , [2] y a los 17 años de edad, fue enviado a la Escuela Richmond bajo la dirección de James Tate , un graduado de la Universidad de Cambridge . En esta escuela se distinguió mucho tanto en los clásicos como en las matemáticas bastante elementales que entonces se requerían para ingresar a Cambridge. En 1809 se convirtió en estudiante del Trinity College de Cambridge . [3]
En 1812, Peacock obtuvo el rango de Segundo Wrangler y el segundo premio Smith , siendo el Wrangler mayor John Herschel . Dos años más tarde se presentó como candidato a una beca en su universidad y la ganó inmediatamente, en parte gracias a su amplio y preciso conocimiento de los clásicos. Una beca entonces significaba alrededor de 200 libras al año, sostenible durante siete años siempre que el becario no se casara mientras tanto, y capaz de extenderse después de los siete años siempre que el becario tomara órdenes clericales, lo que hizo Peacock en 1819.
El año después de obtener una beca, Peacock fue nombrado tutor y profesor de su universidad, cargo que continuó ocupando durante muchos años. Peacock, al igual que muchos otros estudiantes de su categoría, quedó profundamente impresionado por la necesidad de reformar la posición de Cambridge ignorando la notación diferencial para el cálculo, y cuando aún era estudiante formó una alianza con Babbage y Herschel para adoptar medidas para lograrlo. En 1815 formaron lo que llamaron la Sociedad Analítica , cuyo objetivo era defender el d' ismo del continente frente a la decadencia de la universidad.
El primer movimiento por parte de la Sociedad Analítica fue traducir del francés la obra menor de Lacroix sobre el cálculo diferencial e integral; se publicó en 1816. [4] En aquella época la lengua francesa contaba con los mejores manuales, así como las mayores obras sobre matemáticas. Peacock siguió la traducción con un volumen que contenía una copiosa Colección de ejemplos de la aplicación del cálculo diferencial e integral , que se publicó en 1820. [5] La venta de ambos libros fue rápida y contribuyó materialmente a promover el objetivo de la Sociedad. En aquella época, los grandes luchadores de un año se convertían en examinadores de los tríos matemáticos tres o cuatro años después. Peacock fue nombrado examinador en 1817 y no dejó de utilizar el puesto como una poderosa palanca para promover la causa de la reforma. En las preguntas formuladas para el examen, se utilizó oficialmente por primera vez en Cambridge la notación diferencial. La innovación no escapó a la censura, pero le escribió a un amigo lo siguiente: "Le aseguro que nunca dejaré de esforzarme al máximo en la causa de la reforma, y que nunca rechazaré ningún cargo que pueda aumentar mi poder". Estoy casi seguro de ser nombrado para el cargo de Moderador en el año 1818-1819, y como soy examinador en virtud de mi cargo, durante el próximo año seguiré un rumbo aún más decidido que hasta ahora. ya que sentiré que los hombres han sido preparados para el cambio y que entonces podrán adquirir un sistema mejor mediante la publicación de libros elementales mejorados. Tengo una influencia considerable como conferenciante y no la descuidaré. Sólo con perseverancia silenciosa podemos esperar reducir el monstruo de muchas cabezas del prejuicio y hacer que la Universidad responda a su carácter de madre amorosa del buen saber y de la ciencia". Estas pocas frases dan una idea del carácter de Peacock: fue un ardiente reformador y en pocos años trajo éxito a la causa de la Sociedad Analítica.
Otra reforma en la que trabajó Peacock fue la enseñanza del álgebra . En 1830 publicó Un Tratado sobre Álgebra , cuyo objetivo era situar el álgebra sobre una verdadera base científica, adecuada para el desarrollo que había recibido de manos de los matemáticos continentales. Para elevar la ciencia astronómica se fundó la Sociedad Astronómica de Londres, y los tres reformadores Peacock, Babbage y Herschel fueron nuevamente los principales impulsores de la empresa. Peacock fue uno de los promotores más entusiastas de un observatorio astronómico en Cambridge y uno de los fundadores de la Sociedad Filosófica de Cambridge.
En 1831 la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia (prototipo de las Asociaciones Americana, Francesa y Australasia) celebró su primera reunión en la antigua ciudad de York . Una de las primeras resoluciones adoptadas fue la de procurar informes sobre el estado y el progreso de determinadas ciencias, que serían redactados de vez en cuando por personas competentes para información de las reuniones anuales, y el primero que se incluyó en la lista fue un informe sobre el progreso de la ciencia matemática. Whewell, el matemático y filósofo, fue vicepresidente de la reunión: recibió instrucciones de seleccionar al reportero. Primero preguntó a William Rowan Hamilton , quien se negó; Luego le preguntó a Peacock, quien aceptó. Peacock tenía listo su informe para la tercera reunión de la Asociación, que se celebró en Cambridge en 1833; aunque se limita a Álgebra , Trigonometría y Aritmética de senos, es uno de los mejores de la larga serie de valiosos informes que han sido preparados e impresos por la Asociación.
En 1837, Peacock fue nombrado Profesor Lowndean de Astronomía en la Universidad de Cambridge, cátedra que luego ocupó Adams , el codescubridor de Neptuno , y más tarde ocupada por Robert Ball , célebre por su Teoría de los tornillos . Un objeto de reforma fueron los estatutos de la universidad; Trabajó duro en ello y fue nombrado miembro de una comisión designada por el Gobierno a tal efecto.
Fue elegido miembro de la Royal Society en enero de 1818. [6]
En 1842, Peacock fue elegido miembro de la Sociedad Filosófica Estadounidense . [7]
Fue ordenado diácono en 1819, sacerdote en 1822 y nombrado Vicario de Wymeswold en Leicestershire en 1826 (hasta 1835). [8]
En 1839 fue nombrado Decano de la catedral de Ely, Cambridgeshire, cargo que ocupó durante el resto de su vida, unos 20 años. Junto con el arquitecto George Gilbert Scott llevó a cabo una importante restauración del edificio de la catedral. Esto incluyó la instalación del techo de tablas. [9]
Mientras ocupaba este puesto, escribió un libro de texto sobre álgebra, Tratado de álgebra (1830). Posteriormente apareció una segunda edición en dos volúmenes, el llamado Álgebra aritmética (1842) y el otro Sobre el álgebra simbólica y sus aplicaciones a la geometría de posición (1845).
La principal contribución de Peacock al análisis matemático es su intento de situar el álgebra sobre una base estrictamente lógica. Fundó lo que se ha llamado el álgebra lógica británica ; al que pertenecían Gregory , De Morgan y Boole . Su respuesta a Maseres y Frend fue que la ciencia del álgebra constaba de dos partes ( álgebra aritmética y álgebra simbólica ) y que se equivocaron al restringir la ciencia a la parte aritmética. Su visión del álgebra aritmética es la siguiente: "En álgebra aritmética consideramos que los símbolos representan números y las operaciones a las que se someten están incluidas en las mismas definiciones que en la aritmética común; los signos y denotan las operaciones de suma y resta en sólo su significado ordinario, y esas operaciones se consideran imposibles en todos los casos en que los símbolos sujetos a ellas poseen valores que los harían así en caso de que fueran reemplazados por números digitales; así, en expresiones como las que debemos suponer y que son cantidades de del mismo tipo; en otros, como , debemos suponer mayor que y por lo tanto homogéneo con él; en productos y cocientes, como y debemos suponer que el multiplicador y el divisor son números abstractos; todos los resultados, cualesquiera que sean, incluidas las cantidades negativas, que no son Las conclusiones estrictamente deducibles como legítimas a partir de las definiciones de las diversas operaciones deben rechazarse como imposibles o como ajenas a la ciencia".
El principio de Peacock puede expresarse así: el símbolo elemental del álgebra aritmética denota un número digital , es decir, un número entero; y toda combinación de símbolos elementales debe reducirse a un número digital, de lo contrario es imposible o ajeno a la ciencia. Si y son números, entonces siempre es un número; pero es un número sólo cuando es menor que . Nuevamente, bajo las mismas condiciones, siempre es un número, pero en realidad es un número sólo cuando es divisor exacto de . De ahí el siguiente dilema: o debe considerarse una expresión imposible en general, o bien debe ampliarse el significado del símbolo fundamental del álgebra para incluir fracciones racionales. Si se elige el primer cuerno del dilema, el álgebra aritmética se convierte en una mera sombra; si se elige este último cuerno, las operaciones del álgebra no pueden definirse bajo el supuesto de que el símbolo elemental es un número entero. Peacock intenta salir de la dificultad suponiendo que un símbolo que se utiliza como multiplicador es siempre un número entero, pero que un símbolo en lugar del multiplicando puede ser una fracción. Por ejemplo, en , puede denotar sólo un número entero, pero puede denotar una fracción racional. Ahora bien, no hay principio más fundamental en álgebra aritmética que ese ; lo cual sería ilegítimo según el principio de Peacock.
Uno de los primeros escritores ingleses sobre aritmética es Robert Recorde , quien dedicó su obra al rey Eduardo VI . El autor da a su tratado la forma de un diálogo entre maestro y erudito. El erudito lucha durante mucho tiempo por esta dificultad: que multiplicar una cosa podría hacerla menos. El maestro intenta explicar la anomalía haciendo referencia a la proporción; que el producto debido a una fracción guarda la misma proporción con la cosa multiplicada que la fracción guarda con la unidad. Pero el erudito no queda satisfecho y el maestro continúa diciendo: "Si multiplico por más de uno, la cosa aumenta; si la tomo una sola vez, no cambia, y si la tomo menos de una vez, "No puede ser tanto como era antes. Entonces, viendo que una fracción es menor que uno, si multiplico por una fracción, se deduce que la tomo menos de una vez." A lo que el erudito responde: "Señor, le agradezco mucho por este motivo y confío en que lo percibo".
El hecho es que incluso en aritmética los dos procesos de multiplicación y división se generalizan en una multiplicación común; y la dificultad consiste en pasar de la idea original de multiplicación a la idea generalizada de tensor , idea que incluye tanto comprimir la magnitud como estirarla. Denotemos un número entero; el siguiente paso es adquirir la idea del recíproco de , no como sino simplemente como . Cuando y se combinan obtenemos la idea de una fracción racional; porque en general no se reduce a un número ni al recíproco de un número.
Supongamos, sin embargo, que pasamos por alto esta objeción; ¿Cómo sienta Peacock las bases del álgebra general? La llama álgebra simbólica, y pasa del álgebra aritmética al álgebra simbólica de la siguiente manera: "El álgebra simbólica adopta las reglas del álgebra aritmética pero elimina por completo sus restricciones; así, la resta simbólica difiere de la misma operación en el álgebra aritmética en que es posible para todas las relaciones de valor de los símbolos o expresiones empleadas. Todos los resultados del álgebra aritmética que se deducen mediante la aplicación de sus reglas, y que son generales en forma aunque particulares en valor, son también resultados del álgebra simbólica cuando son generales en valor. así como en la forma; así el producto de y que es cuando y son números enteros y por tanto generales en forma aunque particulares en valor, será igualmente su producto cuando y son generales tanto en valor como en forma; la serie para determinada por Los principios del álgebra aritmética, cuando es cualquier número entero, si se presenta en forma general, sin referencia a un término final , pueden demostrarse según el mismo principio para la serie equivalente cuando es general tanto en forma como en valor.
El principio aquí indicado mediante ejemplos fue denominado por Peacock " principio de permanencia de formas equivalentes ", y en la página 59 del Álgebra simbólica se enuncia así: "Cualesquiera que sean las formas algebraicas que sean equivalentes cuando los símbolos son de forma general, pero específicos en valor, serán igualmente equivalentes cuando los símbolos sean generales tanto en valor como en forma".
Por ejemplo, denotemos cualquier número entero , pero sujeto a las restricciones de que sea menor que y menor que ; entonces se puede demostrar aritméticamente que . El principio de Peacock dice que la forma del lado izquierdo es equivalente a la forma del lado derecho, no sólo cuando se eliminan dichas restricciones de ser menor, sino también cuando , , denota el símbolo algebraico más general . Significa que ,,, pueden ser fracciones racionales, o suds, o cantidades imaginarias , o incluso operadores como . La equivalencia no se establece mediante la naturaleza de la cantidad denotada; se supone que la equivalencia es verdadera y luego se intenta encontrar las diferentes interpretaciones que se pueden dar al símbolo.
No es difícil ver que el problema que tenemos ante nosotros implica el problema fundamental de una lógica racional o teoría del conocimiento; es decir, ¿cómo podemos ascender de verdades particulares a verdades más generales? Si , , denota números enteros, de los cuales es menor que y menor que , entonces .
Primero se ve que las restricciones anteriores pueden eliminarse, y aún así se mantiene la ecuación anterior. Pero el antecedente es todavía demasiado limitado; el verdadero problema científico consiste en especificar el significado de los símbolos que, y sólo cuáles, admitirán que las formas sean iguales. No se trata de encontrar “algunos significados”, sino el “sentido más general”, lo que permite que la equivalencia sea verdadera. Examinemos algunos otros casos; encontraremos que el principio de Peacock no es una solución a la dificultad; el gran proceso lógico de generalización no puede reducirse a ningún procedimiento tan fácil y arbitrario. Cuando , denota números enteros, se puede demostrar que .
Según Peacock, la forma de la izquierda siempre debe ser igual a la forma de la derecha, y los significados de , deben encontrarse mediante interpretación. Supongamos que toma la forma de la cantidad inconmensurable , la base del sistema natural de logaritmos . Un número es una forma degradada de una cantidad compleja y una cantidad compleja es una forma degradada de un cuaternión ; en consecuencia, un significado que se puede asignar a y es el de cuaternión. El principio de Peacock nos llevaría a suponer que , y denota cuaterniones; pero eso es justo lo que niega William Rowan Hamilton , el inventor de la generalización del cuaternión. Hay razones para creer que se equivocó y que las formas siguen siendo equivalentes incluso bajo esa generalización extrema de y ; pero la cuestión es esta: no es una cuestión de definición convencional y verdad formal; es una cuestión de definición objetiva y de verdad real. Dejemos que los símbolos tengan el significado prescrito, ¿se mantiene o no la equivalencia? Y si no se cumple, ¿cuál es la forma superior o más compleja que asume la equivalencia? ¿O existe tal forma de equivalencia?
Políticamente, George Peacock era un Whig . [10] Se casó con Frances Elizabeth, la hija de William Selwyn . No tuvieron hijos.
Su último acto público fue asistir a una reunión de la comisión de reforma universitaria. Murió en Ely el 8 de noviembre de 1858, a los 68 años de edad, y fue enterrado en el cementerio de Ely.
