Fuerza ficticia

Fuerza sobre objetos que se mueven dentro de un sistema de referencia que gira con respecto a un sistema inercial.

Una fuerza ficticia es una fuerza que parece actuar sobre una masa cuyo movimiento se describe utilizando un sistema de referencia no inercial , como un sistema de referencia que se acelera linealmente o que gira . ^[1] Se invocan fuerzas ficticias para mantener la validez y, por tanto, el uso de la segunda ley del movimiento de Newton , en marcos de referencia que no son inerciales. ^[2]

Los pasajeros de un vehículo que acelera hacia adelante pueden percibir que una fuerza actúa sobre ellos y los mueve en dirección al respaldo de sus asientos, por ejemplo. Un ejemplo en un sistema de referencia giratorio puede ser la impresión de que es una fuerza que parece mover objetos hacia el borde de una centrífuga o carrusel.

La fuerza ficticia llamada pseudofuerza también podría denominarse fuerza corporal . Se debe a la inercia de un objeto cuando el sistema de referencia ya no se mueve inercialmente sino que comienza a acelerar con respecto al objeto libre. En términos del ejemplo del vehículo de pasajeros, una pseudofuerza parece estar activa justo antes de que el cuerpo toque el respaldo del asiento del automóvil. Una persona en el automóvil inclinada hacia adelante primero retrocede un poco con respecto al automóvil que ya está acelerando, antes de tocar el respaldo. El movimiento en este corto período parece ser simplemente el resultado de una fuerza sobre la persona; es decir, es una pseudofuerza. Una pseudofuerza no surge de ninguna interacción física entre dos objetos, como el electromagnetismo o las fuerzas de contacto. Es solo una consecuencia de la aceleración a del objeto físico al que está conectado el sistema de referencia no inercial , es decir, el vehículo en este caso. Desde el punto de vista del respectivo marco de aceleración, parece existir una aceleración del objeto inerte, para lo cual aparentemente se necesita una "fuerza".

Según lo declarado por Iro: ^[3]

Esta fuerza adicional debida al movimiento relativo no uniforme de dos sistemas de referencia se denomina pseudofuerza .

—  Harald Iro en Un enfoque moderno de la mecánica clásica pag. 180

La pseudofuerza sobre un objeto surge como una influencia imaginaria cuando el marco de referencia utilizado para describir el movimiento del objeto se acelera en comparación con un marco que no se acelera. La pseudofuerza "explica", utilizando la mecánica de la segunda ley de Newton, por qué un objeto no sigue la segunda ley de Newton y "flota libremente" como si no tuviera peso. Así como un marco puede acelerarse de cualquier manera arbitraria, las pseudofuerzas también pueden ser igualmente arbitrarias (pero solo en respuesta directa a la aceleración del marco). Un ejemplo de pseudofuerza tal como la define Iro es la fuerza de Coriolis , quizás mejor llamarla: efecto Coriolis. ^{[4] [5] [6]} La fuerza gravitacional también sería una fuerza ficticia (pseudo fuerza), basada en un modelo de campo en el que las partículas distorsionan el espacio-tiempo debido a su masa, como en la teoría de la relatividad general .

Asumiendo la segunda ley de Newton en la forma F  =  ma , las fuerzas ficticias siempre son proporcionales a la masa m .

La fuerza ficticia que ha sido denominada fuerza de inercia ^{[7] [8] [9]} también se conoce como fuerza de d'Alembert , ^{[10] [11]} o en ocasiones como pseudofuerza. ^[12] El principio de D'Alembert es simplemente otra forma de formular la segunda ley del movimiento de Newton. Define una fuerza de inercia como el negativo del producto de la masa por la aceleración, sólo para facilitar los cálculos.

(Una fuerza de d'Alembert no debe confundirse con una fuerza de contacto que surge de la interacción física entre dos objetos, que es el tema de la tercera ley de Newton: 'acción es reacción '. ^{[13] [14]} En términos del ejemplo (En el ejemplo del vehículo de pasajeros de arriba, cuando el cuerpo del pasajero toca el respaldo del asiento del automóvil, se genera una fuerza de contacto que permanece presente mientras se acelera el automóvil).

Se han definido cuatro fuerzas ficticias para marcos acelerados de formas comunes:

• la provocada por cualquier aceleración relativa al origen en línea recta ( aceleración rectilínea ); ^[15]
• dos que involucran rotación: fuerza centrífuga y efecto Coriolis
• y una cuarta, llamada fuerza de Euler , causada por una velocidad de rotación variable, en caso de que ocurriera.

Fondo

Tonnelat describe el papel de las fuerzas ficticias en la mecánica newtoniana : ^[16]

Para Newton, la aparición de aceleración siempre indica la existencia de movimiento absoluto –movimiento absoluto de la materia en lo que respecta a fuerzas reales ; movimiento absoluto del sistema de referencia, cuando se trata de las llamadas fuerzas ficticias , como las fuerzas de inercia o las de Coriolis.

—  María Antonieta Tonnelat en Los principios de la teoría y la relatividad electromagnética , p.113

Las fuerzas ficticias surgen en la mecánica clásica y en la relatividad especial en todos los sistemas no inerciales. Los marcos inerciales tienen privilegios sobre los no inerciales porque no tienen física cuyas causas estén fuera del sistema, mientras que los marcos no inerciales sí la tienen. Las fuerzas ficticias, o físicas cuya causa está fuera del sistema, ya no son necesarias en la relatividad general , puesto que estas físicas se explican con las geodésicas del espacio -tiempo: "El campo de todas las geodésicas nulas o trayectorias de fotones espacio-temporales posibles unifica el local absoluto estándar de no rotación en todo el espacio-tiempo". ^[17]

En la tierra

La superficie de la Tierra es un sistema de referencia giratorio . Para resolver problemas de mecánica clásica exactamente en un marco de referencia terrestre, se deben introducir tres fuerzas ficticias: la fuerza de Coriolis , la fuerza centrífuga (descrita a continuación) y la fuerza de Euler . La fuerza de Euler normalmente se ignora porque las variaciones en la velocidad angular de la superficie giratoria de la Tierra suelen ser insignificantes. Las otras dos fuerzas ficticias son débiles en comparación con la mayoría de las fuerzas típicas de la vida cotidiana, pero pueden detectarse en condiciones cuidadosas. Por ejemplo, Léon Foucault utilizó su péndulo de Foucault para demostrar que la fuerza de Coriolis resulta de la rotación de la Tierra. Si la Tierra girara veinte veces más rápido (haciendo que cada día durara sólo ~72 minutos), la gente podría fácilmente tener la impresión de que fuerzas ficticias tiraban de ellos, como en un carrusel giratorio; De hecho, los habitantes de latitudes templadas y tropicales tendrían que aferrarse para evitar ser lanzados a la órbita por la fuerza centrífuga.

Detección de marco de referencia no inercial.

Los observadores dentro de una caja cerrada que se mueve con velocidad constante no pueden detectar su propio movimiento; sin embargo, los observadores dentro de un marco de referencia en aceleración pueden detectar que están en un marco de referencia no inercial a partir de las fuerzas ficticias que surgen. Por ejemplo, para la aceleración en línea recta, Vladimir Arnold presenta el siguiente teorema: ^[18]

En un sistema de coordenadas K que se mueve por traslación con respecto a un sistema inercial k , el movimiento de un sistema mecánico se produce como si el sistema de coordenadas fuera inercial, pero sobre cada punto de masa m actuaba una "fuerza de inercia" adicional: F  = − m a , donde a es la aceleración del sistema K .

Otras aceleraciones también dan lugar a fuerzas ficticias, como se describe matemáticamente a continuación. La explicación física de los movimientos en un sistema inercial es la más simple posible y no requiere fuerzas ficticias: las fuerzas ficticias son cero, lo que proporciona un medio para distinguir los sistemas inerciales de otros. ^[19]

Un ejemplo de la detección de un sistema de referencia giratorio no inercial es la precesión de un péndulo de Foucault . En el marco no inercial de la Tierra, la fuerza de Coriolis ficticia es necesaria para explicar las observaciones. En un sistema inercial fuera de la Tierra, no es necesaria tal fuerza ficticia.

Ejemplo sobre movimiento circular

En el sistema de referencia inercial (parte superior de la imagen), la bola negra se mueve en línea recta. Sin embargo, el observador (punto marrón) que está parado en el marco de referencia giratorio/no inercial (parte inferior de la imagen) ve que el objeto sigue una trayectoria curva debido a las fuerzas de Coriolis o centrífugas presentes en este marco.

El efecto de una fuerza ficticia también se produce cuando un coche toma la curva . Observada desde un marco de referencia no inercial adjunto al automóvil, aparece la fuerza ficticia llamada fuerza centrífuga . Cuando el automóvil gira a la izquierda, una maleta que primero se encuentra en el asiento trasero izquierdo se desliza hacia el asiento trasero derecho y luego continúa hasta que entra en contacto con la puerta cerrada de la derecha. Este movimiento marca la fase de la fuerza centrífuga ficticia, ya que es la inercia de la maleta la que juega un papel en este movimiento. Puede parecer que debe haber una fuerza responsable de este movimiento, pero en realidad, este movimiento surge debido a la inercia de la maleta, que (todavía) es un "objeto libre" dentro de un marco de referencia que ya se está acelerando. Después de que la maleta entra en contacto con la puerta cerrada del coche, se vuelve actual la situación de aparición de fuerzas de contacto . La fuerza centrípeta sobre el coche ahora también se transfiere a la maleta y entra en juego la situación de la tercera ley de Newton, con la fuerza centrípeta como parte de acción y con la llamada fuerza centrífuga reactiva como parte de reacción. La fuerza centrífuga reactiva también se debe a la inercia de la maleta. Pero ahora la inercia se manifiesta en forma de una resistencia manifiesta a un cambio en su estado de movimiento.^[20]

Supongamos que unos kilómetros más adelante el automóvil se mueve a velocidad constante recorriendo una rotonda, una y otra vez, entonces los ocupantes sentirán como si la fuerza centrífuga (reactiva) los empujara hacia el exterior del vehículo, lejos del centro de la carretera. el turno.

La situación puede verse tanto desde sistemas inerciales como no inerciales.

• Desde el punto de vista de un sistema de referencia inercial estacionario con respecto a la carretera, el automóvil acelera hacia el centro del círculo. Está acelerando porque la dirección de la velocidad está cambiando, a pesar de que el automóvil tiene velocidad constante. Esta aceleración hacia adentro se llama aceleración centrípeta y requiere una fuerza centrípeta para mantener el movimiento circular. Esta fuerza la ejerce el suelo sobre las ruedas, en este caso, por el rozamiento entre las ruedas y la carretera. ^[21] El automóvil está acelerando debido a la fuerza desequilibrada, lo que hace que se mueva en círculo. (Ver también giro peraltado ).
• Desde el punto de vista de un marco giratorio que se mueve con el automóvil, parece estar presente una fuerza centrífuga ficticia que empuja al automóvil hacia el exterior de la carretera (y empuja a los ocupantes hacia el exterior del automóvil). La fuerza centrífuga equilibra la fricción entre las ruedas y la carretera, haciendo que el automóvil esté estacionario en este marco no inercial.

Un ejemplo clásico de una fuerza ficticia en el movimiento circular es el experimento de hacer girar esferas atadas por una cuerda y girando alrededor de su centro de masa. En este caso, la identificación de un sistema de referencia giratorio y no inercial puede basarse en la desaparición de fuerzas ficticias. En un sistema inercial, no son necesarias fuerzas ficticias para explicar la tensión en la cuerda que une las esferas. En un marco giratorio, se deben introducir fuerzas centrífugas y de Coriolis para predecir la tensión observada.

En el marco de referencia giratorio que se percibe en la superficie de la Tierra, una fuerza centrífuga reduce la fuerza de gravedad aparente en aproximadamente una parte entre mil, dependiendo de la latitud. Esta reducción es nula en los polos, máxima en el ecuador .

La fuerza de Coriolis ficticia , que se observa en marcos de rotación, normalmente sólo es visible en movimientos a muy gran escala, como el movimiento de proyectiles de armas de largo alcance o la circulación de la atmósfera terrestre (ver número de Rossby ). Sin tener en cuenta la resistencia del aire, un objeto lanzado desde una torre de 50 metros de altura en el ecuador caerá 7,7 milímetros hacia el este del lugar debajo de donde se deja caer debido a la fuerza de Coriolis. ^[22]

Fuerzas ficticias y trabajo.

Se puede considerar que las fuerzas ficticias realizan trabajo , siempre que muevan un objeto en una trayectoria que cambie su energía de potencial a cinética . Por ejemplo, consideremos a algunas personas en sillas giratorias sosteniendo un peso en sus manos extendidas. Si tiran de su mano hacia adentro, hacia su cuerpo, desde la perspectiva del sistema de referencia giratorio, han realizado un trabajo contra la fuerza centrífuga. Cuando se suelta el peso, éste vuela espontáneamente hacia afuera en relación con el sistema de referencia giratorio, porque la fuerza centrífuga realiza trabajo sobre el objeto, convirtiendo su energía potencial en cinética. Desde un punto de vista inercial, por supuesto, el objeto se aleja de ellos porque de repente se le permite moverse en línea recta. Esto ilustra que el trabajo realizado, al igual que la energía potencial y cinética total de un objeto, puede ser diferente en un sistema no inercial que en uno inercial.

La gravedad como fuerza ficticia

La noción de "fuerza ficticia" también surge en la teoría general de la relatividad de Einstein . ^{[23] [24]} Todas las fuerzas ficticias son proporcionales a la masa del objeto sobre el que actúan, lo que también es cierto para la gravedad . ^{[25] [26]} Esto llevó a Albert Einstein a preguntarse si la gravedad podría modelarse como una fuerza ficticia. Observó que un observador en caída libre en una caja cerrada no sería capaz de detectar la fuerza de gravedad; por tanto, los sistemas de referencia en caída libre son equivalentes a los sistemas de referencia inerciales (el principio de equivalencia ). Desarrollando esta idea, Einstein formuló una teoría con la gravedad como fuerza ficticia y atribuyó la aparente aceleración debida a la gravedad a la curvatura del espacio-tiempo . Esta idea subyace a la teoría de la relatividad general de Einstein . Véase el experimento de Eötvös .

Derivación matemática de fuerzas ficticias.

Figura 2: Un objeto ubicado en x A _en el marco inercial A está ubicado en la ubicación x _B en el marco de aceleración B. El origen del cuadro B está ubicado en X _AB en el cuadro A. La orientación del marco B está determinada por los vectores unitarios a lo largo de sus direcciones de coordenadas, u _j con j = 1, 2, 3. Usando estos ejes, las coordenadas del objeto según el marco B son x _B = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ).

Derivación general

Muchos problemas requieren el uso de sistemas de referencia no inerciales, por ejemplo, los que involucran satélites ^{[28] [29]} y aceleradores de partículas. ^[30] La Figura 2 muestra una partícula con masa m y vector de posición x _A ( t ) en un sistema inercial particular A. Considere un sistema no inercial B cuyo origen relativo al inercial está dado por X _AB ( t ). Sea la posición de la partícula en el cuadro B x _B ( t ). ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula expresada en el sistema de coordenadas del marco B? ^{[31] [32]}

Para responder a esta pregunta, supongamos que el eje de coordenadas en B esté representado por vectores unitarios u _j con j cualquiera de { 1, 2, 3 } para los tres ejes de coordenadas. Entonces

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

La interpretación de esta ecuación es que x _B es el desplazamiento vectorial de la partícula expresado en términos de las coordenadas en el sistema B en el momento t . Desde el cuadro A la partícula se ubica en:

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

Además, los vectores unitarios {  u _j  } no pueden cambiar de magnitud, por lo que las derivadas de estos vectores expresan solo la rotación del sistema de coordenadas B. Por otro lado, el vector X _AB simplemente ubica el origen del marco B con respecto al marco A, y por lo que no puede incluir la rotación del marco B.

Tomando una derivada del tiempo, la velocidad de la partícula es:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.}$

La suma del segundo término es la velocidad de la partícula, digamos v _B medida en el cuadro B. Es decir:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

La interpretación de esta ecuación es que la velocidad de la partícula vista por los observadores en el marco A consiste en lo que los observadores en el marco B llaman velocidad, es decir v _B , más dos términos adicionales relacionados con la tasa de cambio de los ejes de coordenadas del marco B. . Uno de ellos es simplemente la velocidad del origen en movimiento v _AB . La otra es una contribución a la velocidad debido al hecho de que diferentes ubicaciones en el marco no inercial tienen diferentes velocidades aparentes debido a la rotación del marco; un punto visto desde un sistema giratorio tiene una componente rotacional de la velocidad que es mayor cuanto más lejos está el punto del origen.

Para encontrar la aceleración, otra diferenciación temporal proporciona:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.}$

Usando la misma fórmula ya utilizada para la derivada del tiempo de x _B , la derivada de la velocidad a la derecha es:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

Como consecuencia,

La interpretación de esta ecuación es la siguiente: la aceleración de la partícula en el marco A consiste en lo que los observadores en el marco B llaman aceleración de la partícula a _B , pero además, hay tres términos de aceleración relacionados con el movimiento de la coordenada del marco B. ejes: un término relacionado con la aceleración del origen del marco B, es decir, a _AB , y dos términos relacionados con la rotación del marco B. En consecuencia, los observadores en B verán que el movimiento de las partículas posee una aceleración "extra", que atribuir a "fuerzas" que actúan sobre la partícula, pero que los observadores en A dicen que son fuerzas "ficticias" que surgen simplemente porque los observadores en B no reconocen la naturaleza no inercial del sistema B.

El factor de dos en la fuerza de Coriolis surge de dos contribuciones iguales: (i) el cambio aparente de una velocidad inercialmente constante con el tiempo porque la rotación hace que la dirección de la velocidad parezca cambiar (término a d v B / d _t ) y ( ii) un cambio aparente en la velocidad de un objeto cuando cambia _su posición, acercándolo o alejándolo del eje de rotación (el cambio debido al cambio en xj ). ${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$

Para poner las cosas en términos de fuerzas, las aceleraciones se multiplican por la masa de la partícula:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .}$

La fuerza observada en el cuadro B, F _B = m a _B , está relacionada con la fuerza real sobre la partícula, F _A , por

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },}$

dónde:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.}$

Por lo tanto, los problemas pueden resolverse en el marco B suponiendo que la segunda ley de Newton se cumple (con respecto a las cantidades en ese marco) y tratando a F _ficticia como una fuerza adicional. ^{[18] [33] [34]}

A continuación se muestran varios ejemplos que aplican este resultado para fuerzas ficticias. Se pueden encontrar más ejemplos en el artículo sobre fuerza centrífuga .

Sistemas de coordenadas giratorias

Una situación común en la que los marcos de referencia no inerciales son útiles es cuando el marco de referencia está girando. Debido a que dicho movimiento de rotación no es inercial, debido a la aceleración presente en cualquier movimiento de rotación, siempre se puede invocar una fuerza ficticia utilizando un marco de referencia de rotación. A pesar de esta complicación, el uso de fuerzas ficticias a menudo simplifica los cálculos involucrados.

Para derivar expresiones de las fuerzas ficticias, se necesitan derivadas de la tasa de cambio temporal aparente de los vectores que tienen en cuenta la variación temporal de los ejes de coordenadas. Si la rotación del marco 'B' está representada por un vector Ω apuntado a lo largo del eje de rotación con la orientación dada por la regla de la mano derecha y con magnitud dada por

${\displaystyle |{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),}$

entonces la derivada temporal de cualquiera de los tres vectores unitarios que describen el cuadro B es ^{[33] [35]}

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),}$

y

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],}$

como se verifica utilizando las propiedades del producto vectorial vectorial . Estas fórmulas derivadas ahora se aplican a la relación entre la aceleración en un sistema inercial y la de un sistema de coordenadas que gira con una velocidad angular variable en el tiempo ω ( t ). De la sección anterior, donde el subíndice A se refiere al marco inercial y B al marco giratorio, estableciendo AB ₌ 0 para eliminar cualquier aceleración de traslación y centrándose solo en las propiedades de rotación (ver Ec. 1):

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}}$

Reuniendo los términos, el resultado es la llamada fórmula de transformación de aceleración : ^[36]

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.}$

La aceleración física a _A debida a lo que los observadores en el marco inercial A llaman fuerzas externas reales sobre el objeto no es, por lo tanto, simplemente la aceleración a _B vista por los observadores en el marco rotacional B, sino que tiene varios términos de aceleración geométrica adicionales asociados con la rotación de B. Como se ve en el marco de rotación, la aceleración a _B de la partícula viene dada por la reordenación de la ecuación anterior como:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

La fuerza neta sobre el objeto según los observadores en el sistema giratorio es F _B = m a _B . Si sus observaciones deben dar como resultado la fuerza correcta sobre el objeto cuando usan las leyes de Newton, deben considerar que la fuerza adicional F _fict está presente, por lo que el resultado final es F _B = F _A + F _fict . Así, la fuerza ficticia utilizada por los observadores en B para obtener el comportamiento correcto del objeto a partir de las leyes de Newton es igual a:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

Aquí, el primer término es la fuerza de Coriolis , ^[37] el segundo término es la fuerza centrífuga , ^[38] y el tercer término es la fuerza de Euler . ^{[39] [40]}

Sistemas de coordenadas en órbita

Figura 3: Un sistema de coordenadas B en órbita pero de orientación fija , mostrado en tres momentos diferentes. Los vectores unitarios u _j , j = 1, 2, 3 no giran , pero mantienen una orientación fija, mientras que el origen del sistema de coordenadas B se mueve a una velocidad angular constante ω alrededor del eje fijo Ω . El eje Ω pasa por el origen del sistema inercial A , por lo que el origen del sistema B está a una distancia fija R del origen del sistema inercial A.

Como ejemplo relacionado, supongamos que el sistema de coordenadas en movimiento B gira con una velocidad angular constante ω en un círculo de radio R alrededor del origen fijo del marco inercial A , pero mantiene sus ejes de coordenadas fijos en orientación, como en la Figura 3. La aceleración de un cuerpo observado es ahora (ver Ec. 1):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}}$

donde las sumatorias son cero ya que los vectores unitarios no dependen del tiempo. El origen del sistema B se sitúa según el cuadro A en:

${\displaystyle \mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,}$

conduciendo a una velocidad del origen del cuadro B como:

${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,}$

conduciendo a una aceleración del origen de B dada por:

${\displaystyle \mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.}$

Porque el primer término, que es

$${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

B

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,}$

y de magnitud:

${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.}$

Esta "fuerza centrífuga" difiere del caso de un marco giratorio. En el marco giratorio la fuerza centrífuga está relacionada con la distancia del objeto desde el origen del marco B , mientras que en el caso de un marco en órbita, la fuerza centrífuga es independiente de la distancia del objeto desde el origen del marco B , pero en cambio, depende de la distancia del origen del marco B desde su centro de rotación, lo que resulta en la misma fuerza centrífuga ficticia para todos los objetos observados en el marco B.

Orbitando y girando

Figura 4: Un sistema de coordenadas en órbita B similar a la Figura 3, pero en el que los vectores unitarios u _j , j = 1, 2, 3 giran para mirar hacia el eje de rotación, mientras que el origen del sistema de coordenadas B se mueve a una velocidad angular constante ω aproximadamente. el eje fijo Ω .

Como ejemplo de combinación, la Figura 4 muestra un sistema de coordenadas B que orbita el sistema inercial A como en la Figura 3, pero los ejes de coordenadas en el sistema B giran de modo que el vector unitario u ₁ siempre apunta hacia el centro de rotación. Este ejemplo podría aplicarse a un tubo de ensayo en una centrífuga, donde el vector u ₁ apunta a lo largo del eje del tubo hacia su abertura en la parte superior. También se parece al sistema Tierra-Luna, donde la Luna siempre presenta la misma cara a la Tierra. ^[41] En este ejemplo, el vector unitario u ₃ conserva una orientación fija, mientras que los vectores u ₁ , u ₂ giran a la misma velocidad que el origen de coordenadas. Eso es,

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\ ;\ }$  ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\ ;}$  ${\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .}$

Por tanto, la aceleración de un objeto en movimiento se expresa como (ver ecuación 1):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}}$

donde el término de aceleración angular es cero para la velocidad de rotación constante. Porque el primer término, que es

$${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

X _ABRx _BF _ficción² RR^{[42] [43]}

Además, el tubo de ensayo limita el movimiento a la dirección a lo largo del tubo, por lo que v _B es opuesta a u ₁ y la fuerza de Coriolis es opuesta a u ₂ , es decir, contra la pared del tubo. Si el tubo se hace girar durante un tiempo suficiente, la velocidad v _B cae a cero a medida que la materia alcanza una distribución de equilibrio. Para más detalles, consultar los artículos sobre sedimentación y ecuación de Lamm .

Un problema relacionado es el de las fuerzas centrífugas para el sistema Tierra-Luna-Sol, donde aparecen tres rotaciones: la rotación diaria de la Tierra alrededor de su eje, la rotación mensual del sistema Tierra-Luna alrededor de su centro de masa, y la rotación mensual del sistema Tierra-Luna alrededor de su centro de masa. la revolución anual del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol. Estos tres movimientos influyen en las mareas . ^[44]

Cruzando un carrusel

Figura 5: Cruzando un carrusel giratorio caminando a velocidad constante desde el centro del carrusel hasta su borde, se traza una espiral en el marco inercial, mientras que en el marco del carrusel se ve una trayectoria radial recta simple.

La Figura 5 muestra otro ejemplo que compara las observaciones de un observador inercial con las de un observador en un carrusel giratorio . ^[45] El carrusel gira a una velocidad angular constante representada por el vector Ω con magnitud ω , apuntando hacia arriba según la regla de la mano derecha . Un usuario en el carrusel camina radialmente a través de él a una velocidad constante, en lo que al caminante le parece ser el camino en línea recta inclinado a 45° en la Figura 5. Sin embargo, para el observador estacionario, el caminante recorre un camino en espiral. Los puntos identificados en ambos caminos en la Figura 5 corresponden a los mismos tiempos espaciados en intervalos de tiempo iguales. Nos preguntamos cómo dos observadores, uno en el carrusel y otro en un sistema inercial, formulan lo que ven utilizando las leyes de Newton.

observador inercial

El observador en reposo describe el camino seguido por el caminante como una espiral. Adoptando el sistema de coordenadas que se muestra en la Figura 5, la trayectoria se describe mediante r ( t ):

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {u} _{R}={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(t)\cos(\omega t+\pi /4)\\R(t)\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}},}$

donde el π/4 agregado establece el ángulo de trayectoria en 45° para empezar (solo una elección arbitraria de dirección), u _R es un vector unitario en la dirección radial que apunta desde el centro del carrusel hasta el caminante en el momento t . La distancia radial R ( t ) aumenta constantemente con el tiempo según:

${\displaystyle R(t)=st,}$

con s la velocidad de caminar. Según la cinemática simple, la velocidad es entonces la primera derivada de la trayectoria:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&={\frac {dR}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+\omega R(t){\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&={\frac {dR}{dt}}\mathbf {u} _{R}+\omega R(t)\mathbf {u} _{\theta },\end{aligned}}}$

con u _θ un vector unitario perpendicular a u _R en el tiempo t (como se puede verificar al notar que el producto escalar del vector con el vector radial es cero) y apuntando en la dirección de viaje. La aceleración es la primera derivada de la velocidad:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\,.\end{aligned}}}$

El último término de la aceleración es radialmente hacia adentro de magnitud ω ² R , que por lo tanto es la aceleración centrípeta instantánea del movimiento circular . ^[46] El primer término es perpendicular a la dirección radial y apunta en la dirección de viaje. Su magnitud es 2 sω , y representa la aceleración del caminante a medida que se acerca al borde del carrusel y el arco del círculo recorrido en un tiempo fijo aumenta, como se puede ver por el aumento del espacio entre puntos en pasos de tiempo iguales. en la espiral de la Figura 5 a medida que se acerca al borde exterior del carrusel.

Aplicando las leyes de Newton, multiplicando la aceleración por la masa del caminante, el observador inercial concluye que el caminante está sujeto a dos fuerzas: la fuerza centrípeta dirigida radialmente hacia adentro y otra fuerza perpendicular a la dirección radial que es proporcional a la velocidad del caminante. .

Observador giratorio

El observador giratorio ve que el andador recorre una línea recta desde el centro del carrusel hacia la periferia, como se muestra en la Figura 5. Además, el observador giratorio ve que el andador se mueve a una velocidad constante en la misma dirección, por lo que aplicando la ley de Newton inercia, no hay fuerza sobre el caminante. Estas conclusiones no concuerdan con el observador inercial. Para llegar a un acuerdo, el observador en rotación tiene que introducir fuerzas ficticias que parecen existir en el mundo en rotación, aunque no haya ninguna razón aparente para ellas, ninguna masa gravitacional aparente, carga eléctrica o lo que sea, que pueda explicar estas fuerzas ficticias. .

Para estar de acuerdo con el observador inercial, las fuerzas aplicadas al caminante deben ser exactamente las encontradas anteriormente. Se pueden relacionar con las fórmulas generales ya derivadas, a saber:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

En este ejemplo, la velocidad vista en el marco giratorio es:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B} }=s\mathbf {u} _{R},}$

siendo u _R un vector unitario en la dirección radial. La posición del andador según se ve en el carrusel es:

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=R(t)\mathbf {u} _{R},}$

y la derivada del tiempo de Ω es cero para una rotación angular uniforme. notando que

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }}$

y

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}\,,}$

encontramos:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m\omega s\mathbf {u} _{\theta }+m\omega ^{2}R(t)\mathbf {u} _{R}.}$

Para obtener un movimiento rectilíneo en el mundo giratorio, se debe aplicar una fuerza de signo exactamente opuesto a la fuerza ficticia para reducir a cero la fuerza neta sobre el caminante, por lo que la ley de inercia de Newton predecirá un movimiento rectilíneo, de acuerdo con lo que ve el observador en rotación. Las fuerzas ficticias que hay que combatir son la fuerza de Coriolis (primer término) y la fuerza centrífuga (segundo término). (Estos términos son aproximados. ^[47] ) Al aplicar fuerzas para contrarrestar estas dos fuerzas ficticias, el observador giratorio termina aplicando exactamente las mismas fuerzas sobre el caminante que el observador inercial predijo que eran necesarias.

Como sólo se diferencian por la velocidad constante al caminar, el caminante y el observador rotacional ven las mismas aceleraciones. Desde la perspectiva del caminante, la fuerza ficticia se experimenta como real, y combatir esta fuerza es necesario para mantenerse en una trayectoria radial en línea recta manteniendo una velocidad constante. Es como luchar contra un viento cruzado mientras te arrojan al borde del carrusel.^[48]

Observación

Observe que esta discusión cinemática no profundiza en el mecanismo por el cual se generan las fuerzas requeridas. Ése es el tema de la cinética . En el caso del carrusel, la discusión cinética implicaría quizás un estudio de los zapatos del caminante y la fricción que necesitan generar contra el piso del carrusel, o quizás la dinámica del skate si el caminante cambiara a viajar en patineta. Cualquiera que sea el medio de desplazamiento a través del carrusel, se deben realizar las fuerzas calculadas anteriormente. Una analogía muy aproximada es calentar tu casa: debes tener una cierta temperatura para estar cómodo, pero si calientas quemando gas o carbón es otro problema. La cinemática ajusta el termostato, la cinética enciende el horno.

Ver también

• Mecánica analítica
• Mecánica Aplicada
• Fuerza centrífuga
• Fuerza centrípeta
• Movimiento circular
• Mecanica clasica
• fuerza Coriolis
• Coordenadas curvilíneas § Fuerzas ficticias en coordenadas curvilíneas generales
• Principio de fuerzas de inercia de d'Alembert.
• Dinámica (física)
• Ecuación de movimiento libre
• Fórmulas de Frenet-Serret
• Relatividad general
• Coordenadas generalizadas
• Fuerza generalizada
• Gravedad
• Marco de referencia inercial
• Cinemática
• Cinética (física)
• Las leyes del movimiento de Newton.
• Marco de referencia no inercial
• Coordenadas ortogonales
• Marco de referencia giratorio
• estática
• Movimiento circular uniforme

• Portal de física

Notas

1. "¿Qué es una" fuerza ficticia "?". Científico americano . Consultado el 14 de diciembre de 2021 .
2. "Fuerza ficticia - Britannica".
3. Harald Iro (2002). Un enfoque moderno de la mecánica clásica. Científico mundial. pag. 180.ISBN​ 981-238-213-5.
4. Británica, "Fuerza de Coriolis".
5. Demostración de la conferencia de la Universidad de Harvard, "Fuerza de Coriolis".
6. Sitio web de ThoughtCo, "Efecto Coriolis".
7. "Fuerza inercial - Britannica".
8. Max nacido; Günther Leibfried (1962). La Teoría de la Relatividad de Einstein . Nueva York: Publicaciones Courier Dover. págs. 76–78. ISBN 0-486-60769-0. fuerzas de inercia.
9. Notas de la NASA: (23) Marcos de referencia acelerados: fuerzas de inercia
10. Cornelio Lanczos (1986). Los principios variacionales de la mecánica. Nueva York: Publicaciones Courier Dover. pag. 100.ISBN​ 0-486-65067-7.
11. Seligman, Courtney. "Fuerzas ficticias" . Consultado el 3 de septiembre de 2007 .
12. Las conferencias Feynman sobre física vol. Yo cap. 12-5: Pseudofuerzas
13. Foro de Física, "Inercia y tercera ley de Newton". 3 de marzo de 2021.
14. Intercambio de pilas de física, "sobre la tercera ley de Newton".
15. El término fuerza d'Alembert a menudo se limita a este caso. Véase Lanczos, por ejemplo.
16. María Antonieta Tonnelat (2002). Los principios de la teoría electromagnética y la relatividad. Saltador. pag. 113.ISBN​ 90-277-0107-5.
17. Gilson, James G. (1 de septiembre de 2004), Principio de Mach II, p.1, p.9 , arXiv : física/0409010 , Bibcode :2004physics...9010G
18. Vladimir Igorevich Arnold (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica. Berlín: Springer. págs. §27 págs. 129 y siguientes. ISBN 0-387-96890-3.
19. Como parte del requisito de simplicidad, al ser un marco inercial, en todos los demás marcos que difieren sólo por una velocidad de traducción uniforme, la descripción debe tener la misma forma. Sin embargo, en el sistema newtoniano la transformación de Galileo conecta estos marcos y en la teoría especial de la relatividad los conecta la transformación de Lorentz . Las dos transformaciones coinciden para velocidades de traslación mucho menores que la velocidad de la luz .
20. Ciencia de las cosas cotidianas, "fuerza centrípeta, págs. 48-49".
21. La fuerza en este ejemplo se conoce como reacción del suelo y podría existir incluso sin fricción, por ejemplo, un trineo corriendo por una curva de una pista de trineo.
22. Daniel Kleppner; Robert J. Kolenkow (1973). Introducción a la mecánica. McGraw-Hill. pag. 363.ISBN​ 0-07-035048-5.
23. Fritz Rohrlich (2007). Fuerzas ficticias y campos gravitacionales aparentes. Singapur: World Scientific. pag. 40.ISBN​ 978-981-270-004-9.
24. Hans Stéphani (2004). Introducción a la Relatividad Especial y General - desviación geodésica p. 104-105. Cambridge Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 105.ISBN​ 0-521-01069-1.
25. Se encuentra experimentalmente que la masa gravitacional y la masa inercial son iguales entre sí dentro del error experimental.
26. Motz y Weaver, Motz, Lloyd; Weaver, Jefferson Hane (11 de noviembre de 2013). Ejemplo de tren y gravedad, p. 101. Springer. ISBN 9781489963338.
27. Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler (2000) Explorando los agujeros negros (Addison Wesley Longman, Nueva York) ISBN 0-201-38423-X 
28. Alberto Isidori; Lorenzo Marconi; Andrea Serrani (2003). Orientación autónoma sólida: un enfoque de modelo interno. Saltador. pag. 61.ISBN​ 1-85233-695-1.
29. Shuh-Jing Ying (1997). Dinámica avanzada . Reston VA: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. pag. 172.ISBN​ 1-56347-224-4. sistema de coordenadas orbitales.
30. Philip J. Bryant; Kjell Johnsen (1993). Los principios de los aceleradores circulares y los anillos de almacenamiento. Cambridge Reino Unido: Cambridge University Press. pag. xvii. ISBN 0-521-35578-8.
31. Alexander L. Fetter; John D Walecka (2003). Mecánica Teórica de Partículas y Continua. Publicaciones de Courier Dover. págs. 33–39. ISBN 0-486-43261-0.
32. Yung Kuo Lim; Yuan-qi Qiang (2001). Problemas y soluciones en mecánica: Ph.D. de las principales universidades estadounidenses. Preguntas y soluciones de calificación. Singapur: World Scientific. pag. 183.ISBN​ 981-02-1298-4.
33. John Robert Taylor (2004). Mecanica clasica. Sausalito CA: Libros de ciencias universitarias. págs. 343–344. ISBN 1-891389-22-X.
34. Kleppner páginas 62–63
35. Véase, por ejemplo, JL Synge; BA Griffith (1949). Principios de la mecánica (2ª ed.). McGraw-Hill. págs. 348–349.
36. R. Douglas Gregory (2006). Mecánica clásica: un texto de pregrado. Cambridge Reino Unido: Cambridge University Press. págs. (17.16), pág. 475.ISBN​ 0-521-82678-0.
37. Georg Joos; Ira M. Freeman (1986). Física teórica. Nueva York: Publicaciones Courier Dover. pag. 233.ISBN​ 0-486-65227-0.
38. Percey F. Smith y William Raymond Longley (1910). Mecánica Teórica. Boston: ginebra. pag. 118. fuerza centrífuga teórica.
39. Cornelio Lanczos (1986). Los principios variacionales de la mecánica. Nueva York: Publicaciones Courier Dover. pag. 103.ISBN​ 0-486-65067-7.
40. Jerold E. Marsden; Tudor.S. Ratio (1999). Introducción a la mecánica y la simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos: textos de matemáticas aplicadas, 17 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 251.ISBN​ 0-387-98643-X.
41. Sin embargo, el sistema Tierra-Luna gira alrededor de su baricentro , no del centro de la Tierra; véase Simon Newcomb (2007). Astronomía Popular. Leer libros. pag. 307.ISBN​ 978-1-4067-4574-0.
42. Bea K Lalmahomed; Sara Springman; Bhawani Singh (2002). Modelado constitutivo y centrífugo: dos extremos. Taylor y Francisco. pag. 82.ISBN​ 90-5809-361-1.
43. Raymond Nen (1986). Consolidación de suelos: ensayo y evaluación: un simposio. ASTM Internacional. pag. 590.ISBN​ 0-8031-0446-4.
44. D Appleton (1877). La revista mensual de divulgación científica. pag. 276.
45. Para un ejemplo similar, consulte Ron Schmitt (2002). Manual de electrónica inalámbrica/RF, EMC y de alta velocidad, parte de la serie EDN para ingenieros de diseño. Newnes. págs. 60–61. ISBN 0-7506-7403-2.y Douglas C. Giancoli (2007). Física para científicos e ingenieros con física moderna. Pearson Prentice-Hall. pag. 301.ISBN​ 978-0-13-149508-1.
46. Nota : Aquí hay una sutileza: la distancia R es la distancia instantánea desde el eje de rotación del carrusel . Sin embargo, no es el radio de curvatura de la trayectoria del caminante visto por el observador inercial, y el vector unitario u _R no es perpendicular a la trayectoria. Por tanto, la designación "aceleración centrípeta" es un uso aproximado de este término. Véase, por ejemplo, Howard D. Curtis (2005). Mecánica Orbital para Estudiantes de Ingeniería . Butterworth-Heinemann. pag. 5.ISBN​ 0-7506-6169-0.y SY Lee (2004). Física de aceleradores (2ª ed.). Hackensack Nueva Jersey: World Scientific. pag. 37.ISBN​ 981-256-182-X.
47. Un círculo alrededor del eje de rotación no es el círculo osculador de la trayectoria del caminante, por lo que "centrífugo" y "Coriolis" son usos aproximados de estos términos. Ver nota.
48. En este sentido, cabe señalar que un cambio en el sistema de coordenadas, por ejemplo, de cartesiano a polar, si se implementa sin ningún cambio en el movimiento relativo, no provoca la aparición de fuerzas rotacionales ficticias, a pesar de que la forma de las leyes del movimiento varía de un tipo de sistema de coordenadas curvilíneo a otro, dependiendo de la delta-curvatura (puramente espacial): , donde son los componentes contravariantes de la fuerza por unidad de masa, y son los símbolos de Christoffel del segundo tipo, véase, por ejemplo: David, Kay, Tensor Calculus (1988) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-033484-6 , Sección 11.4; o: Adler, R., Bazin, M. y Schiffer, M. Introducción a la relatividad general (Nueva York, 1965). Este podría ser el primer indicio de la crisis de la física no relativista: en marcos "no inerciales" que utilizan métricas no euclidianas y no planas, las fuerzas ficticias se transforman en fuerzas intercambiadas con "objetos" que no siguen la trayectoria geodésica ( simplemente con una velocidad relativa respetarla). En cualquier caso, esta "segunda ley de Newton" generalizada debe esperar a que la relatividad general obtenga una curvatura en el espacio-tiempo de acuerdo con el tensor de tensión-energía mediante las ecuaciones de campo de Einstein y una forma de espacio-tiempo que utiliza el tensor de densidad de cuatro fuerzas que se deriva de la divergencia covariante. del tensor energía-momento. ${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+\Gamma ^{j}{}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}}$ ${\displaystyle F^{j}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{j}{}_{lk}}$ 

Otras lecturas

• Lev D. Landau y EM Lifshitz (1976). Mecánica. Curso de Física Teórica . vol. 1 (3ª ed.). Butterworth-Heinenan. págs. 128-130. ISBN 0-7506-2896-0.
• Keith Symon (1971). Mecánica (3ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Jerry B. Marion (1970). Dinámica clásica de partículas y sistemas. Prensa académica. ISBN 0-12-472252-0.
• Marcel J. Sidi (1997). Dinámica y control de naves espaciales: un enfoque práctico de ingeniería. Prensa de la Universidad de Cambridge. Capítulo 4.8. ISBN 0-521-78780-7.

enlaces externos

• Preguntas y respuestas de Richard C. Brill, Honolulu Community College
• David Stern de la NASA: Planes de lecciones para maestros n.° 23 sobre fuerzas de inercia
• Fuerza Coriolis
• Movimiento sobre una superficie plana fislet de Java de Brian Fiedler que ilustra fuerzas ficticias. El fislet muestra tanto la perspectiva vista desde un punto de vista giratorio como no giratorio.
• Movimiento sobre un fislet de Java de superficie parabólica de Brian Fiedler que ilustra fuerzas ficticias. El fislet muestra tanto la perspectiva vista desde un punto de vista giratorio como visto desde un punto de vista no giratorio.