Esferas giratorias

El argumento de las esferas rotatorias de Isaac Newton intenta demostrar que el movimiento rotatorio verdadero puede definirse observando la tensión en la cuerda que une dos esferas idénticas. La base del argumento es que todos los observadores hacen dos observaciones: la tensión en la cuerda que une los cuerpos (que es la misma para todos los observadores) y la velocidad de rotación de las esferas (que es diferente para observadores con diferentes velocidades de rotación). Solo para el observador que realmente no rota, la tensión en la cuerda se explicará utilizando solo la velocidad de rotación observada. Para todos los demás observadores se requiere una "corrección" (una fuerza centrífuga) que explique por qué la tensión calculada es diferente de la esperada utilizando la velocidad de rotación observada. ^[1] Es uno de los cinco argumentos de las "propiedades, causas y efectos" del movimiento verdadero y el reposo que respaldan su afirmación de que, en general, el movimiento verdadero y el reposo no pueden definirse como instancias especiales de movimiento o reposo en relación con otros cuerpos, sino que solo pueden definirse por referencia al espacio absoluto . Alternativamente, estos experimentos proporcionan una definición operacional de lo que se entiende por " rotación absoluta ", y no pretenden abordar la cuestión de "¿rotación relativa a qué ?" ^[2] La relatividad general prescinde del espacio absoluto y de la física cuya causa es externa al sistema, con el concepto de geodésicas del espacio-tiempo . ^[3]

Fondo

Newton se interesó en abordar el problema de cómo es que podemos determinar experimentalmente los verdaderos movimientos de los cuerpos a la luz del hecho de que el espacio absoluto no es algo que pueda percibirse. Tal determinación, dice, puede lograrse observando las causas del movimiento (es decir, las fuerzas ) y no simplemente los movimientos aparentes de los cuerpos entre sí (como en el argumento del cubo ). Como ejemplo en el que se pueden observar las causas, si dos globos terráqueos , que flotan en el espacio , están conectados por una cuerda, medir la cantidad de tensión en la cuerda, sin otras pistas para evaluar la situación, es suficiente para indicar con qué velocidad giran los dos objetos alrededor del centro de masa común. (Este experimento implica la observación de una fuerza, la tensión). Además, el sentido de la rotación, ya sea en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario, puede descubrirse aplicando fuerzas a las caras opuestas de los globos y determinando si esto conduce a un aumento o una disminución de la tensión de la cuerda (también implicando una fuerza). Alternativamente, el sentido de la rotación se puede determinar midiendo el movimiento aparente de los globos con respecto a un sistema de fondo de cuerpos que, según los métodos precedentes, ya se ha establecido que no están en estado de rotación, como un ejemplo de la época de Newton, las estrellas fijas .

En la traducción de Andrew Motte de 1846 de las palabras de Newton: ^{[4] [5]}

Tenemos algunos argumentos que nos guían, en parte a partir de los movimientos aparentes, que son las diferencias de los movimientos verdaderos, y en parte a partir de las fuerzas, que son las causas y los efectos de los movimientos verdaderos. Por ejemplo, si dos globos, mantenidos a una distancia dada uno del otro, por medio de una cuerda que los conecta, giraran alrededor de su centro de gravedad común; podríamos, a partir de la tensión de la cuerda, descubrir el esfuerzo de los globos por alejarse del eje de su movimiento... Y así podríamos encontrar tanto la cantidad como la determinación de este movimiento circular, incluso en un vacío inmenso, donde no hubiera nada externo o sensible con lo que los globos pudieran compararse.

—  Isaac Newton, Principia , Libro 1, Escolio

Para resumir esta propuesta, he aquí una cita de Born: ^[6]

Si la Tierra estuviera en reposo y, en cambio, todo el sistema estelar girara en sentido opuesto una vez alrededor de la Tierra en veinticuatro horas, entonces, según Newton, las fuerzas centrífugas [actualmente atribuidas a la rotación de la Tierra] no se producirían.

—  Max Born: La teoría de la relatividad de Einstein , págs. 81-82

Mach no estuvo de acuerdo con este argumento, señalando que el experimento de la esfera giratoria nunca podría realizarse en un universo vacío , donde posiblemente las leyes de Newton no se apliquen, por lo que el experimento realmente solo muestra lo que sucede cuando las esferas giran en nuestro universo y, por lo tanto, por ejemplo, puede indicar solo una rotación relativa a toda la masa del universo. ^{[2] [7]}

Para mí sólo existen movimientos relativos… Cuando un cuerpo gira con respecto a las estrellas fijas, se producen fuerzas centrífugas; cuando gira con respecto a algún cuerpo diferente y no con respecto a las estrellas fijas, no se producen fuerzas centrífugas.

—  Ernst Mach; citado por Ciufolini y Wheeler : Gravitación e inercia , pág. 387

Una interpretación que evita este conflicto es decir que el experimento de las esferas giratorias no define realmente la rotación relativa a nada en particular (por ejemplo, el espacio absoluto o estrellas fijas); más bien, el experimento es una definición operacional de lo que se entiende por el movimiento llamado rotación absoluta . ^[2]

Figura 1: Dos esferas unidas con una cuerda y que giran a una velocidad angular ω. Debido a la rotación, la cuerda que une las esferas está bajo tensión.

Figura 2: Vista en explosión de esferas giratorias en un marco de referencia inercial que muestra las fuerzas centrípetas sobre las esferas proporcionadas por la tensión en la cuerda de amarre.

Formulación del argumento

Este ejemplo de esfera fue utilizado por el propio Newton para discutir la detección de la rotación relativa al espacio absoluto. ^[8] Comprobar la fuerza ficticia necesaria para explicar la tensión en la cuerda es una forma de que un observador decida si está rotando o no: si la fuerza ficticia es cero, no está rotando. ^[9] (Por supuesto, en un caso extremo como el de la atracción de gravitrones , no es necesario convencerse mucho de que está rotando, pero estando de pie sobre la superficie de la Tierra, el asunto es más sutil). A continuación, se presentan los detalles matemáticos detrás de esta observación.

La figura 1 muestra dos esferas idénticas que giran alrededor del centro de la cuerda que las une. El eje de rotación se muestra como un vector Ω con dirección dada por la regla de la mano derecha y magnitud igual a la velocidad de rotación: |Ω| = ω. La velocidad angular de rotación ω se supone independiente del tiempo ( movimiento circular uniforme ). Debido a la rotación, la cuerda está bajo tensión. (Véase fuerza centrífuga reactiva ). A continuación, se presenta la descripción de este sistema desde el punto de vista de un sistema inercial y desde un sistema de referencia giratorio.

Marco inercial

Adoptemos un sistema inercial centrado en el punto medio de la cuerda. Las bolas se mueven en un círculo alrededor del origen de nuestro sistema de coordenadas. Observemos primero una de las dos bolas. Para desplazarse en una trayectoria circular, que no es un movimiento uniforme con velocidad constante, sino un movimiento circular con rapidez constante, se requiere una fuerza que actúe sobre la bola de modo que cambie continuamente la dirección de su velocidad. Esta fuerza se dirige hacia adentro, a lo largo de la dirección de la cuerda, y se denomina fuerza centrípeta . La otra bola tiene el mismo requisito, pero al estar en el extremo opuesto de la cuerda, requiere una fuerza centrípeta del mismo tamaño, pero de dirección opuesta. Véase la Figura 2. Estas dos fuerzas las proporciona la cuerda, que pone la cuerda bajo tensión, como también se muestra en la Figura 2.

Marco giratorio

Supongamos que el marco rotatorio está en el punto medio de la cuerda. Supongamos que el marco rota a la misma velocidad angular que las bolas, de modo que las bolas parecen estacionarias en este marco rotatorio. Como las bolas no se mueven, los observadores dicen que están en reposo. Si ahora aplican la ley de inercia de Newton, dirían que no actúa ninguna fuerza sobre las bolas, de modo que la cuerda debería estar relajada. Sin embargo, ven claramente que la cuerda está bajo tensión. (Por ejemplo, podrían dividir la cuerda y poner un resorte en su centro, que se estiraría.) ^[10] Para explicar esta tensión, proponen que en su marco una fuerza centrífuga actúa sobre las dos bolas, separándolas. Esta fuerza no tiene origen en ninguna parte: es simplemente un "hecho de la vida" en este mundo rotatorio y actúa sobre todo lo que observan, no solo sobre estas esferas. Al resistir esta fuerza centrífuga omnipresente, la cuerda se coloca bajo tensión, lo que explica su observación, a pesar del hecho de que las esferas están en reposo. ^[11]

Fuerza de Coriolis

¿Qué sucede si las esferas no están girando en el marco inercial (la tensión de la cuerda es cero)? Entonces la tensión de la cuerda en el marco giratorio también es cero. Pero, ¿cómo puede ser eso? Las esferas en el marco giratorio ahora parecen estar girando y deberían requerir una fuerza interna para hacerlo. Según el análisis del movimiento circular uniforme : ^{[12] [13]}

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centripetal} }=-m\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times x_{B}} \right)\ }$

${\displaystyle =-m\omega ^{2}R\ \mathbf {u} _{R}\ ,}$

donde u _R es un vector unitario que apunta desde el eje de rotación a una de las esferas, y Ω es un vector que representa la rotación angular, con magnitud ω y dirección normal al plano de rotación dada por la regla de la mano derecha , m es la masa de la pelota, y R es la distancia desde el eje de rotación a las esferas (la magnitud del vector de desplazamiento, | x _B | = R , que ubica una u otra de las esferas). Según el observador rotatorio, ¿no debería ser la tensión en la cuerda el doble de grande que antes (la tensión de la fuerza centrífuga más la tensión adicional necesaria para proporcionar la fuerza centrípeta de rotación)? La razón por la que el observador rotatorio ve tensión cero se debe a otra fuerza ficticia en el mundo rotatorio, la fuerza de Coriolis , que depende de la velocidad de un objeto en movimiento. En este caso de tensión cero, según el observador rotatorio, las esferas ahora se están moviendo y se activa la fuerza de Coriolis (que depende de la velocidad). Según el artículo fuerza ficticia , la fuerza de Coriolis es: ^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ }$

${\displaystyle =-2m\omega \left(\omega R\right)\ \mathbf {u} _{R},}$

donde R es la distancia al objeto desde el centro de rotación, y v _B es la velocidad del objeto sujeto a la fuerza de Coriolis, | v _B | = ω R .

En la geometría de este ejemplo, esta fuerza de Coriolis tiene el doble de magnitud que la omnipresente fuerza centrífuga y es exactamente opuesta en dirección. Por lo tanto, anula la omnipresente fuerza centrífuga encontrada en el primer ejemplo y va un paso más allá para proporcionar exactamente la fuerza centrípeta que exige el movimiento circular uniforme, de modo que el observador que gira calcula que no es necesario que haya tensión en la cuerda: la fuerza de Coriolis se encarga de todo.

Caso general

¿Qué sucede si las esferas giran a una velocidad angular, digamos ω _I ( I = inercial), y el marco gira a una velocidad diferente ω _R ( R = rotacional)? Los observadores inerciales ven un movimiento circular y la tensión en la cuerda ejerce una fuerza centrípeta hacia adentro sobre las esferas de:

${\displaystyle \mathbf {T} =-m\omega _{I}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .}$

Esta fuerza también es la fuerza debida a la tensión vista por los observadores que giran. Los observadores que giran ven las esferas en movimiento circular con una velocidad angular ω _S = ω _I − ω _R ( S = esferas). Es decir, si el marco gira más lentamente que las esferas, ω _S > 0 y las esferas avanzan en sentido antihorario alrededor de un círculo, mientras que para un marco que se mueve más rápido, ω _S < 0 y las esferas parecen retroceder en el sentido de las agujas del reloj alrededor de un círculo. En cualquier caso, los observadores que giran ven un movimiento circular y requieren una fuerza centrípeta neta hacia adentro:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=-m\omega _{S}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .}$

Sin embargo, esta fuerza no es la tensión de la cuerda. Por lo tanto, los observadores rotacionales concluyen que existe una fuerza (que los observadores inerciales llaman fuerza ficticia) de modo que:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=\mathbf {T} +\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }\ ,}$

o,

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-m\left(\omega _{S}^{2}R-\omega _{I}^{2}R\right)\mathbf {u} _{R}\ .}$

La fuerza ficticia cambia de signo dependiendo de cuál de ω _I y ω _S sea mayor. La razón del cambio de signo es que cuando ω _I > ω _S , las esferas en realidad se mueven más rápido de lo que miden los observadores que giran, por lo que miden una tensión en la cuerda que en realidad es mayor de lo que esperan; por lo tanto, la fuerza ficticia debe aumentar la tensión (apuntar hacia afuera). Cuando ω _I < ω _S , las cosas se invierten, por lo que la fuerza ficticia tiene que disminuir la tensión y, por lo tanto, tiene el signo opuesto (apunta hacia adentro).

¿Es la fuerza ficticia?a propósito?

La introducción de F _Fict permite que los observadores rotacionales y los observadores inerciales estén de acuerdo sobre la tensión en la cuerda. Sin embargo, podríamos preguntarnos: "¿Esta solución se ajusta a la experiencia general con otras situaciones, o es simplemente una solución "inventada" ad hoc ?" Esa pregunta se responde al ver cómo este valor de F _Fict cuadra con el resultado general (derivado de Fuerza ficticia ): ^[14]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})}$  ${\displaystyle \ -m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ .}$

El subíndice B se refiere a las cantidades referidas al sistema de coordenadas no inerciales. Los detalles de notación completos se encuentran en Fuerza ficticia . Para una velocidad angular de rotación constante, el último término es cero. Para evaluar los otros términos, necesitamos la posición de una de las esferas:

${\displaystyle \mathbf {x} _{B}=R\mathbf {u} _{R}\ ,}$

y la velocidad de esta esfera como se ve en el marco giratorio:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\omega _{S}R\mathbf {u} _{\theta }\ ,}$

donde u _θ es un vector unitario perpendicular a u _R que apunta en la dirección del movimiento.

El marco gira a una velocidad ω _R , por lo que el vector de rotación es Ω = ω _R u _z ( u _z un vector unitario en la dirección z ), y Ω × u _R = ω _R ( u _z × u _R ) = ω _R u _θ  ; Ω × u _θ = −ω _R u _R . La fuerza centrífuga es entonces:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})=m\omega _{R}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ ,}$

que naturalmente depende únicamente de la velocidad de rotación del marco y siempre es hacia afuera. La fuerza de Coriolis es

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}=2m\omega _{S}\omega _{R}R\mathbf {u} _{R}}$

y tiene la capacidad de cambiar de signo, siendo hacia afuera cuando las esferas se mueven más rápido que el marco ( ω _S > 0 ) y hacia adentro cuando las esferas se mueven más lento que el marco ( ω _S < 0 ). ^[15] Combinando los términos: ^[16]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=\mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }}$  ${\displaystyle =\left(m\omega _{R}^{2}R+2m\omega _{S}\omega _{R}R\right)\mathbf {u} _{R}=m\omega _{R}\left(\omega _{R}+2\omega _{S}\right)R\mathbf {u} _{R}}$

${\displaystyle =m(\omega _{I}-\omega _{S})(\omega _{I}+\omega _{S})\ R\mathbf {u} _{R}=-m\left(\omega _{S}^{2}-\omega _{I}^{2}\right)\ R\mathbf {u} _{R}.}$

En consecuencia, la fuerza ficticia hallada anteriormente para este problema de esferas rotatorias es coherente con el resultado general y no es una solución ad hoc simplemente "inventada" para lograr un acuerdo para este único ejemplo. Además, es la fuerza de Coriolis la que hace posible que la fuerza ficticia cambie de signo dependiendo de cuál de ω _I , ω _S sea mayor, puesto que la contribución de la fuerza centrífuga siempre es hacia afuera.

Rotación y radiación cósmica de fondo

La isotropía de la radiación cósmica de fondo es otro indicador de que el universo no gira. ^[17]

Véase también

• Argumento del cubo
• Fuerza centrífuga (marco de referencia giratorio)
• Fuerza ficticia
• Principio de Mach
• Mecánica del movimiento de partículas planas
• Efecto Sagnac
• Sonda de anisotropía de microondas Wilkinson

Referencias y notas

1. Véase Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Mecánica analítica. Cambridge University Press. pág. 324. ISBN 0-521-57572-9.y yo, Bernard Cohen; George Edwin Smith (2002). El compañero de Cambridge para Newton. Cambridge University Press. pág. 43. ISBN 0-521-65696-6.
2. Robert Disalle (2002). I. Bernard Cohen; George E. Smith (eds.). The Cambridge Companion to Newton. Cambridge University Press. pág. 43. ISBN 0-521-65696-6.
3. Gilson, James G. (1 de septiembre de 2004), Principio de Mach II , arXiv : physics/0409010 , Bibcode :2004physics...9010G
4. Véase los Principia en línea en «Definiciones». Los Principia . Consultado el 13 de mayo de 2010 .
5. Max Born (1962). Teoría de la relatividad de Einstein . Courier Dover Publications. pág. 80. ISBN 0-486-60769-0. fuerzas inerciales.
6. Max Born (1962). Teoría de la relatividad de Einstein (edición ampliada y revisada). Courier Dover Publications. pág. 82. ISBN 0-486-60769-0. fuerzas inerciales.
7. Ignazio Ciufolini; John Archibald Wheeler (1995). Gravitación e inercia. Princeton University Press. pp. 386–387. ISBN 0-691-03323-4.
8. Max Born (1962). Teoría de la relatividad de Einstein . Courier Dover Publications. pág. Figura 43, pág. 79. ISBN 0-486-60769-0. fuerzas inerciales.
9. D. Lynden-Bell (1996). Igorʹ Dmitrievich Novikov; Bernard Jean Trefor Jones; Draza Marković (eds.). Astrofísica relativista. Cambridge University Press. pág. 167. ISBN 0-521-62113-5.
10. Barry Dainton (2001). Tiempo y espacio. McGill-Queen's Press. pág. 175. ISBN 0-7735-2306-5.
11. Jens M. Knudsen y Poul G. Hjorth (2000). Elementos de la Mecánica Newtoniana. Saltador. pag. 161.ISBN​ 3-540-67652-X.
12. Georg Joos e Ira M. Freeman (1986). Física teórica. Nueva York: Courier Dover Publications. pág. 233. ISBN 0-486-65227-0.
13. John Robert Taylor (2004). Mecánica clásica. Sausalito, California: University Science Books. Págs. 348-349. ISBN. 1-891389-22-X.
14. Fuerza ficticia se citan muchas fuentes . A continuación se citan dos más: PF Srivastava (2007). Mecánica. Nueva Delhi: New Age International Publishers. p. 43. ISBN 978-81-224-1905-4.y NC Rana y PS Joag (2004). Mecánica. Nueva Delhi: Tata McGraw-Hill. pág. 99 y siguientes. ISBN . 0-07-460315-9.
15. El caso ω _S < 0 se aplica al ejemplo anterior con esferas en reposo en el marco inercial.
16. Este resultado se puede comparar con la ecuación (3.3) de Stommel y Moore. Obtuvieron la ecuación donde y en su notación, y el lado izquierdo es la aceleración radial en coordenadas polares según los observadores rotatorios. En este ejemplo, su ecuación (3.4) para la aceleración azimutal es cero porque el radio es fijo y no hay aceleración angular. Véase Henry Stommel; Dennis W. Moore (1989). An Introduction to the Coriolis Force . Columbia University Press. p. 55. ISBN ${\displaystyle {\ddot {r}}-\omega _{S}^{2}r=2\omega _{S}\omega _{R}r+\omega _{R}^{2}r}$ ${\displaystyle \omega _{S}={\dot {\phi }}'}$ ${\displaystyle \omega _{R}=\Omega \ }$ 0-231-06636-8.coriolis stommel.
17. RB Partridge (1995). 3 K: La radiación cósmica de fondo de microondas. Cambridge University Press. págs. 279-280. ISBN 0-521-35254-1.^{[ enlace muerto permanente ]} , D. Lynden-Bell (1996). Astrofísica relativista (Igorʹ Dmitrievich Novikov, Bernard Jean Trefor Jones, Draza Marković (Editores) ed.). p. 167. ISBN 0-521-62113-5., y Ralph A. Alpher y Robert Herman (1975). Cosmología del big bang y radiación cósmica del cuerpo negro (en Proc. Am. Philos. Soc. vol. 119, núm. 5 (1975) ed.). pp. 325–348. ISBN 9781422371077. Henning Genz (2001). La nada. Da Capo Press. pág. 275. ISBN 0-7382-0610-5.^{[ enlace muerto permanente ]}