Mecánica del movimiento de partículas planas.

La mecánica del movimiento plano de partículas ^[1] es el análisis del movimiento de partículas atraídas gravitacionalmente entre sí observado desde sistemas de referencia no inerciales ^{[2] [3] [4]} y la generalización de este problema al movimiento planetario . ^[5] Este tipo de análisis está estrechamente relacionado con la fuerza centrífuga , el problema de los dos cuerpos , la órbita y las leyes del movimiento planetario de Kepler . La mecánica del movimiento plano de partículas se incluye en el campo general de la dinámica analítica y ayuda a determinar las órbitas a partir de las leyes de fuerza dadas. ^[6] Este artículo se centra más en las cuestiones cinemáticas que rodean el movimiento plano, que son la determinación de las fuerzas necesarias para dar como resultado una determinada trayectoria dada la trayectoria de la partícula.

Los resultados generales presentados en fuerzas ficticias se aplican a observaciones de una partícula en movimiento vista desde varios marcos no inerciales específicos. Por ejemplo, un marco local (uno vinculado a la partícula en movimiento para que parezca estacionario) y un marco co-rotativo (uno con un eje ubicado arbitrariamente pero fijo y una velocidad de rotación que hace que la partícula parezca tener solo movimiento radial y movimiento azimutal cero ). Con esto se introduce el enfoque lagrangiano de las fuerzas ficticias.

A diferencia de las fuerzas reales como las electromagnéticas , las fuerzas ficticias no se originan a partir de interacciones físicas entre objetos.

Análisis utilizando fuerzas ficticias.

La aparición de fuerzas ficticias normalmente se asocia con el uso de un sistema de referencia no inercial , y su ausencia con el uso de un sistema de referencia inercial . La conexión entre marcos inerciales y fuerzas ficticias (también llamadas fuerzas inerciales o pseudofuerzas ), la expresa Arnol'd: ^[7]

Las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial difieren de las ecuaciones en un sistema inercial por términos adicionales llamados fuerzas inerciales. Esto nos permite detectar experimentalmente la naturaleza no inercial de un sistema.

—  VI Arnol'd: Métodos matemáticos de la mecánica clásica Segunda edición, p. 129

Iro ofrece una visión ligeramente diferente del tema: ^[8]

Una fuerza adicional debida al movimiento relativo no uniforme de dos sistemas de referencia se llama pseudofuerza .

—  H Iro en Un enfoque moderno de la mecánica clásica pag. 180

Las fuerzas ficticias no aparecen en las ecuaciones de movimiento en un sistema de referencia inercial . En un sistema inercial, el movimiento de un objeto se explica por las fuerzas reales impresas. Sin embargo, en un sistema no inercial, como un sistema giratorio, la primera y la segunda ley de Newton aún se pueden utilizar para hacer predicciones físicas precisas, siempre que se incluyan fuerzas ficticias junto con las fuerzas reales. Para resolver problemas de mecánica en sistemas de referencia no inerciales, trate las fuerzas ficticias como fuerzas reales y suponga que se encuentra en un sistema inercial. ^{[9] [10]}

Trate las fuerzas ficticias como fuerzas reales y pretenda que está en un marco inercial.

—  Louis N. Hand, Janet D. Finch Mecánica analítica , pág. 267

Cabe mencionar que "tratar las fuerzas ficticias como fuerzas reales" significa que las fuerzas ficticias, vistas en un marco no inercial particular, se transforman como vectores bajo transformaciones de coordenadas realizadas dentro de ese marco, como fuerzas reales.

Objetos en movimiento y marcos de referencia de observación.

A continuación, se observa que las coordenadas variables en el tiempo se utilizan tanto en marcos de referencia inerciales como no inerciales, por lo que el uso de coordenadas variables en el tiempo no debe confundirse con un cambio de observador, y son sólo un cambio en la elección de descripción del observador. .

Marco de referencia y sistema de coordenadas.

El término marco de referencia se utiliza a menudo en un sentido muy amplio, pero en la presente discusión su significado se limita a referirse al estado de movimiento de un observador , es decir, a un marco de referencia inercial o a un marco de referencia no inercial. .

El término sistema de coordenadas se utiliza para diferenciar entre diferentes opciones posibles para un conjunto de variables para describir el movimiento, opciones disponibles para cualquier observador, independientemente de su estado de movimiento. Algunos ejemplos son las coordenadas cartesianas , las coordenadas polares y (más generalmente) las coordenadas curvilíneas .

Aquí hay dos citas relacionadas con el "estado de movimiento" y el "sistema de coordenadas": ^{[11] [12]}

Primero introducimos la noción de marco de referencia , a su vez relacionada con la idea de observador : el marco de referencia es, en cierto sentido, el "espacio euclidiano transportado por el observador". Demos una definición más matemática:… el sistema de referencia es… el conjunto de todos los puntos en el espacio euclidiano con el movimiento del cuerpo rígido del observador. Se dice que el marco, denotado , se mueve con el observador... Las posiciones espaciales de las partículas se etiquetan en relación con un marco estableciendo un sistema de coordenadas R con origen O. Se puede considerar que el conjunto correspondiente de ejes, que comparten el movimiento del cuerpo rígido del marco , proporciona una realización física de . En un marco , las coordenadas se cambian de R a R ' ^{[ es necesario aclarar ]} realizando, en cada instante, la misma transformación de coordenadas en los componentes de objetos intrínsecos (vectores y tensores) introducidos para representar cantidades físicas en este marco . ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

—  Jean Salençon, Stephen Lyle. (2001). Manual de mecánica continua: conceptos generales, termoelasticidad p. 9

En los desarrollos tradicionales de la relatividad especial y general ha sido costumbre no distinguir entre dos ideas bastante distintas. La primera es la noción de sistema de coordenadas, entendido simplemente como la asignación suave e invertible de cuatro números a eventos en vecindades del espacio-tiempo. El segundo, el marco de referencia, se refiere a un sistema idealizado utilizado para asignar tales números... Para evitar restricciones innecesarias, podemos separar este arreglo de las nociones métricas. ... De especial importancia para nuestros propósitos es que cada sistema de referencia tiene un estado de movimiento definido en cada evento del espacio-tiempo... Dentro del contexto de la relatividad especial y mientras nos limitemos a marcos de referencia en movimiento inercial, entonces poco de La importancia depende de la diferencia entre un marco de referencia inercial y el sistema de coordenadas inercial que induce. Esta cómoda circunstancia cesa inmediatamente una vez que comenzamos a considerar marcos de referencia en movimientos no uniformes, incluso dentro de la relatividad especial... la noción de marco de referencia ha reaparecido como una estructura distinta de un sistema de coordenadas.

—  John D. Norton: Covarianza general y los fundamentos de la relatividad general: ocho décadas de disputa , Rep. Prog. Física. , 56 , págs. 835-7.

Sistemas de coordenadas variables en el tiempo

En un sistema de coordenadas general, los vectores base de las coordenadas pueden variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición en momentos fijos, o ambas. Cabe señalar que los sistemas de coordenadas adjuntos tanto a marcos inerciales como a marcos no inerciales pueden tener vectores base que varían en el tiempo, el espacio o ambos. Por ejemplo, la descripción de una trayectoria en coordenadas polares vista desde un sistema inercial ^[13] o vista desde un sistema giratorio. ^{[14] Una} descripción de las observaciones dependiente del tiempo no cambia el marco de referencia en el que se realizan y registran las observaciones.

Fuerzas ficticias en un sistema de coordenadas local.

Figura 1: Sistema de coordenadas local para movimiento plano en una curva. Se muestran dos posiciones diferentes para las distancias S y S + ds a lo largo de la curva. En cada posición S , el vector unitario u _n apunta a lo largo de la normal hacia afuera de la curva y el vector unitario u _t es tangencial a la trayectoria. El radio de curvatura de la trayectoria es ρ calculado a partir de la velocidad de rotación de la tangente a la curva con respecto a la longitud del arco, y es el radio del círculo osculador en la posición S. El círculo unitario de la izquierda muestra la rotación de los vectores unitarios con S.

Al analizar una partícula que se mueve en una órbita circular, ^[15] en un marco de referencia inercial, se pueden identificar las fuerzas centrípetas y tangenciales. Algunas fuerzas ficticias, comúnmente llamadas fuerza centrífuga y de Euler , subrayan este cambio de vocabulario, y es un cambio de marco de referencia de observación desde el marco inercial, donde las fuerzas centrípetas y tangenciales tienen sentido, a un marco de referencia giratorio donde la partícula parece inmóvil y centrífuga ficticia y hay que poner en juego fuerzas de Euler.

Una pregunta que se plantea comúnmente en los libros de texto es una variación de "Si uno se sentara sobre una partícula en movimiento plano general (no solo en una órbita circular), ¿qué análisis subyace a un cambio de sombreros para introducir fuerzas centrífugas y de Euler ficticias?"

Para explorar esa cuestión, comience en un marco de referencia inercial. Al utilizar un sistema de coordenadas comúnmente utilizado en el movimiento plano, el llamado sistema de coordenadas local , ^[16] como se muestra en la Figura 1, resulta fácil identificar fórmulas para la fuerza centrípeta hacia adentro normal a la trayectoria (en dirección opuesta a u _n en la Figura 1), y la fuerza tangencial paralela a la trayectoria (en dirección u _t ), como se muestra a continuación.

Para introducir los vectores unitarios del sistema de coordenadas local que se muestra en la Figura 1, un enfoque consiste en comenzar en coordenadas cartesianas en un marco inercial y describir las coordenadas locales en términos de estas coordenadas cartesianas. En la Figura 1, la longitud del arco s es la distancia que la partícula ha recorrido a lo largo de su trayectoria en el tiempo t . La trayectoria r ( t ) con componentes x ( t ), y ( t ) en coordenadas cartesianas se describe utilizando la longitud de arco s ( t ) como: ^[17]

$${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right].}$$

La longitud del arco s(t) mide la distancia a lo largo del rastro del Skywriter. Imagen de la NASA ASRS

Una forma de ver el uso de s es pensar que la trayectoria de la partícula se encuentra en el espacio, como el rastro dejado por un escritor del cielo , independientemente del tiempo. Cualquier posición en este camino se describe indicando su distancia s desde algún punto de partida en el camino. Entonces un desplazamiento incremental a lo largo del camino ds se describe mediante:

$${\displaystyle d\mathbf {r} (s)=\left[dx(s),\ dy(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]ds\,,}$$

sds^[18]

Este desplazamiento es necesariamente tangente a la curva en s , lo que muestra que el vector unitario tangente a la curva es:

$${\displaystyle \mathbf {u} _{t}(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right],}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{n}(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right],}$$

producto escalarla ecuación. 1

Además, observe que el uso de vectores unitarios que no están alineados a lo largo de los ejes cartesianos xy no significa que uno ya no esté en un marco inercial. Todo lo que significa es que dicha persona está usando vectores unitarios que varían con s para describir el camino, pero aún observa el movimiento desde el marco inercial.

Usando el vector tangente, el ángulo de la tangente a la curva, digamos θ, viene dado por:

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;}$$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {d\theta }{ds}}\ .}$$

$${\displaystyle {\frac {d\sin \theta }{ds}}=\cos \theta {\frac {d\theta }{ds}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .}$$

$${\displaystyle {\frac {d\sin \theta }{ds}}={\frac {d}{ds}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$$

$${\displaystyle {\frac {d\theta }{ds}}={\frac {1}{\rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s)\ ={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'(s)}}\ ,}$$

$${\displaystyle x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0\ .}$$

stst

Usando los resultados anteriores para las propiedades de la trayectoria en términos de s , la aceleración en el sistema de referencia inercial como se describe en términos de las componentes normal y tangencial a la trayectoria de la partícula se puede encontrar en términos de la función s ( t ) y su varias derivadas temporales (como antes, los números primos indican diferenciación con respecto a s ) con:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (s)&={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} (s)={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {ds}{dt}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\\&=\left({\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}\right)\mathbf {u} _{t}(s)+\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}\left(x''(s),\ y''(s)\right)\\&=\left({\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}\right)\mathbf {u} _{t}(s)-\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{n}(s)\ ,\end{aligned}}}$$

u _t ( s )u _n ( s )

A continuación, hay que cambiar los marcos de observación. Sentado sobre la partícula, se debe adoptar un marco no inercial donde la partícula está en reposo (velocidad cero). Este marco tiene un origen que cambia continuamente, que en el momento t es el centro de curvatura (el centro del círculo osculador en la Figura 1) de la trayectoria en el momento t , y cuya velocidad de rotación es la velocidad angular de movimiento de la partícula alrededor de ese origen en el tiempo t . Este marco no inercial también emplea vectores unitarios normales a la trayectoria y paralelos a ella.

La velocidad angular de este marco es la velocidad angular de la partícula alrededor del centro de curvatura en el tiempo t . La fuerza centrípeta del sistema inercial se interpreta en el sistema no inercial donde el cuerpo está en reposo como una fuerza necesaria para vencer la fuerza centrífuga. Asimismo, la fuerza que causa cualquier aceleración de la velocidad a lo largo de la trayectoria vista en el marco inercial se convierte en la fuerza necesaria para superar la fuerza de Euler en el marco no inercial donde la partícula está en reposo. Hay fuerza de Coriolis cero en el marco porque la partícula tiene velocidad cero en este marco. Para un piloto de avión, por ejemplo, estas fuerzas ficticias son una cuestión de experiencia directa. ^[19] Sin embargo, estas fuerzas ficticias no pueden relacionarse con un simple marco de referencia de observación que no sea la propia partícula, a menos que esté en una trayectoria particularmente simple, como un círculo.

Dicho esto, desde un punto de vista cualitativo, la trayectoria de un avión se puede aproximar mediante un arco de círculo durante un tiempo limitado, y durante el tiempo limitado que se aplica un radio de curvatura particular, las fuerzas centrífugas y de Euler se pueden analizar sobre la base de movimiento circular con ese radio (ver artículo sobre cómo girar un avión ).

A continuación se analizan con más detalle los sistemas de referencia que giran alrededor de un eje fijo.

Fuerzas ficticias en coordenadas polares.

La descripción del movimiento de partículas suele ser más sencilla en sistemas de coordenadas no cartesianos, por ejemplo, en coordenadas polares. Cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en términos de cualquier sistema de coordenadas curvilíneo, aparecen términos adicionales que representan cómo cambian los vectores base a medida que cambian las coordenadas. Estos términos surgen automáticamente al transformarse a coordenadas polares (o cilíndricas) y, por lo tanto, no son fuerzas ficticias , sino que simplemente son términos agregados en la aceleración en coordenadas polares. ^[20]

Dos terminologías

En un tratamiento puramente matemático, independientemente del sistema al que esté asociado el sistema de coordenadas (inercial o no inercial), aparecen términos adicionales en la aceleración de una partícula observada cuando se utilizan coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, en coordenadas polares la aceleración viene dada por (ver más abajo para más detalles):

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$

términospropiedades de transformación^[21][22]estado de movimiento del observador^[23]

Suponiendo que esté claro que "estado de movimiento" y "sistema de coordenadas" son diferentes , se deduce que la dependencia de la fuerza centrífuga (como en este artículo) del "estado de movimiento" y su independencia del "sistema de coordenadas", que contrasta con la versión "coordinada" con dependencias exactamente opuestas, indica que la terminología "fuerza ficticia" hace referencia a dos ideas diferentes. El presente artículo enfatiza una de estas dos ideas ("estado de movimiento"), aunque también se describe la otra.

A continuación, se presentan las coordenadas polares para su uso en (primero) un marco de referencia inercial y luego (segundo) en un marco de referencia giratorio. Se señalan los dos usos diferentes del término "fuerza ficticia". Sin embargo, primero sigue una breve digresión para explicar con más detalle cómo surgió la terminología "coordinada" para fuerza ficticia.

Enfoque lagrangiano

Para motivar la introducción de fuerzas inerciales "coordinadas" por algo más que una referencia a la "conveniencia matemática", lo que sigue es una digresión para mostrar que estas fuerzas corresponden a lo que algunos autores llaman fuerzas ficticias "generalizadas" o "fuerzas de inercia generalizada". ^{[24] [25] [26] [27]} Estas fuerzas se introducen a través del enfoque de la mecánica lagrangiana a la mecánica basada en la descripción de un sistema mediante coordenadas generalizadas generalmente denotadas como { q _k }. El único requisito sobre estas coordenadas es que sean necesarias y suficientes para caracterizar de forma única el estado del sistema: no necesitan ser (aunque podrían ser) las coordenadas de las partículas del sistema. En cambio, podrían ser los ángulos y las extensiones de los eslabones de un brazo robótico, por ejemplo. Si un sistema mecánico consta de N partículas y se imponen m condiciones cinemáticas independientes, es posible caracterizar el sistema únicamente por n = 3 N - m coordenadas generalizadas independientes { q _k }. ^[28]

En mecánica clásica, el lagrangiano se define como la energía cinética , , del sistema menos su energía potencial , . ^[29] En símbolos, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle L=T-U.}$$

En las condiciones dadas en la mecánica lagrangiana , si se conoce el lagrangiano de un sistema, entonces las ecuaciones de movimiento del sistema pueden obtenerse mediante una sustitución directa de la expresión del lagrangiano en la ecuación de Euler-Lagrange , una familia particular de ecuaciones diferenciales parciales .

Aquí hay algunas definiciones: ^[30]

Definición :

$${\displaystyle L({\boldsymbol {q}},\ {\boldsymbol {\dot {q}}},\ t)=T-U}$$

es la función de Lagrange o Lagrangiana , q _i son las coordenadas generalizadas , son velocidades generalizadas , ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}}$

• ${\displaystyle \partial L/\partial {\dot {q_{i}}}}$   son momentos generalizados ,
• ${\displaystyle \partial L/\partial q_{i}}$   son fuerzas generalizadas ,
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$   son las ecuaciones de Lagrange .

No es el propósito aquí describir cómo funciona la mecánica lagrangiana. El lector interesado puede consultar otros artículos que explican este enfoque. Por el momento, el objetivo es simplemente mostrar que el enfoque lagrangiano puede conducir a "fuerzas ficticias generalizadas" que no desaparecen en marcos inerciales . Lo que es pertinente aquí es que en el caso de una sola partícula, el enfoque lagrangiano puede organizarse para capturar exactamente las fuerzas ficticias "coordinadas" que acabamos de introducir.

Para continuar, considere una sola partícula e introduzca las coordenadas generalizadas como { q _k } = ( r, θ ). Entonces Hildebrand ^[22] muestra en coordenadas polares con q _k = (r, θ) los "momentos generalizados" son:

$${\displaystyle p_{r}=m{\dot {r}}\ ,\ p_{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}\ ,}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}p_{r}=Q_{r}+mr{\dot {\theta }}^{2}\ ,}$$

Q _rdel sistema de coordenadas elegidoq _klas aceleracionesCoriolis ${\displaystyle mr{\dot {\theta }}^{2}\ .}$

En resumen, el énfasis de algunos autores en las coordenadas y sus derivadas y su introducción de fuerzas ficticias (generalizadas) que no desaparecen en los marcos de referencia inerciales es una consecuencia del uso de coordenadas generalizadas en la mecánica lagrangiana . Por ejemplo, véase McQuarrie ^[31] Hildebrand, ^[22] y von Schwerin. ^[32] A continuación se muestra un ejemplo de este uso empleado en el diseño de manipuladores robóticos: ^{[33] [34] [35]}

En las ecuaciones [Lagrange-Euler] anteriores, hay tres tipos de términos. El primero implica la segunda derivada de las coordenadas generalizadas. El segundo es cuadrático en el que los coeficientes pueden depender de . Estos se clasifican además en dos tipos. Los términos que involucran un producto del tipo se llaman fuerzas centrífugas mientras que aquellos que involucran un producto del tipo para i ≠ j se llaman fuerzas de Coriolis . El tercer tipo son funciones de únicamente y se llaman fuerzas gravitacionales . ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle {{\dot {q}}_{i}}^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

—  Shuzhi S. Ge, Tong Heng Lee y Christopher John Harris: Control adaptativo de redes neuronales de manipuladores robóticos , págs.

Para un robot manipulador, las ecuaciones se pueden escribir en una forma que utilice los símbolos de Christoffel Γ _ijk (que se analizan más adelante) como: ^{[36] [37]}

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ M_{ij}({\boldsymbol {q}}){\ddot {q}}_{j}+\sum _{j,k=1}^{n}\Gamma _{ijk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=\Upsilon _{i}\ ;i=1,\dots ,n\ ,}$$

MVi ${\displaystyle \Upsilon _{i}}$

La introducción de fuerzas ficticias generalizadas a menudo se realiza sin notificación y sin especificar la palabra "generalizada". Este uso de terminología puede generar confusión porque las fuerzas ficticias generalizadas , a diferencia de las fuerzas ficticias estándar de "estado de movimiento", no desaparecen en marcos de referencia inerciales.

Coordenadas polares en un sistema de referencia inercial.

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. La configuración no se limita al espacio 2D, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

A continuación, la aceleración de una partícula se deriva como se ve en un marco inercial usando coordenadas polares. Por definición, no existen fuerzas ficticias de "estado de movimiento" en un sistema inercial. Después de esa presentación, se presenta y critica la terminología contrastante de fuerzas ficticias "coordinadas" sobre la base del comportamiento de transformación no vectorial de estas "fuerzas".

En un sistema inercial, sea el vector de posición de una partícula en movimiento. Sus componentes cartesianas ( x , y ) son: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )\ ,}$$

rθt

Los vectores unitarios se definen en dirección radialmente hacia afuera : ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}=(\cos \theta ,\ \sin \theta )}$$

${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}={\frac {\partial ^{2}{\mathbf {r} }}{\partial r\,\partial \theta }}=(-\sin \theta \ ,\cos \theta )\ .}$$

Estos vectores unitarios varían en dirección con el tiempo:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {r}}}=(-\sin \theta ,\ \cos \theta ){\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}=(-\cos \theta ,\ -\sin \theta ){\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\boldsymbol {r}}}.}$$

Usando estas derivadas, las derivadas primera y segunda de posición son:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+m(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$

F

Sin embargo, desde un punto de vista matemático, a veces resulta útil poner sólo las derivadas de segundo orden en el lado derecho de esta ecuación; es decir, escribimos la ecuación anterior reordenando los términos como:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}+mr{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}-m2{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}=m{\tilde {\boldsymbol {a}}}=m{\ddot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+mr{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$

$${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {a}}}={\ddot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,}$$

radicionales

Estas "fuerzas" recientemente definidas son distintas de cero en un marco inercial y, por lo tanto, ciertamente no son las mismas que las fuerzas ficticias previamente identificadas que son cero en un marco inercial y distintas de cero sólo en un marco no inercial. ^[38] En este artículo, estas fuerzas recién definidas se denominan fuerza centrífuga "coordinada" y fuerza de Coriolis "coordinada" para separarlas de las fuerzas de "estado de movimiento".

Figura 2: Dos sistemas de coordenadas que se diferencian por un desplazamiento de origen. El movimiento radial con velocidad constante v en un cuadro no es radial en el otro cuadro. tasa angular , pero ${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}'\neq 0\ .}$

Cambio de origen

La Figura 2 muestra que el "término centrífugo" no se transforma en una fuerza verdadera. Supongamos que en el marco S una partícula se aleja radialmente del origen a una velocidad constante. Vea la Figura 2. La fuerza sobre la partícula es cero según la primera ley de Newton. Ahora miramos lo mismo desde el cuadro S' , que es el mismo, pero desplazado en origen. En S' la partícula todavía está en movimiento rectilíneo con rapidez constante, por lo que nuevamente la fuerza es cero. ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$

¿Qué pasaría si se usaran coordenadas polares en los dos cuadros? En el cuadro S el movimiento radial es constante y no hay movimiento angular. Por tanto, la aceleración es:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\boldsymbol {r}}}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=0\ ,}$$

S.S' ${\displaystyle {\dot {\theta }}=0,\ {\ddot {\theta }}=0}$ ${\displaystyle {\ddot {r}}=0\ }$ ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}'=\left({\ddot {r}}'-r'{\dot {\theta }}'^{2}\right){\hat {\boldsymbol {r}}}'+\left(r'{\ddot {\theta }}'+2{\dot {r}}'{\dot {\theta }}'\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}'.\ }$$

$${\displaystyle {\ddot {r}}'=r'{\dot {\theta }}'^{2}\ .}$$

${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}'}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}'}$ ${\displaystyle {\ddot {r}}'}$

A pesar de los hechos anteriores, supongamos que uno adoptara coordenadas polares y quisiera decir que es "fuerza centrífuga" y reinterpretarlas como "aceleración" (sin insistir en ninguna posible justificación). ¿Cómo resulta esta decisión cuando se considera que una formulación adecuada de la física es independiente de la geometría y las coordenadas? Consulte el artículo sobre covarianza general . ^[39] Para intentar formar una expresión covariante, esta llamada "fuerza" centrífuga se puede poner en notación vectorial como: ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ ${\displaystyle {\ddot {r}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F_{\dot {\theta }}}}=-{\boldsymbol {\omega \times }}\left({\boldsymbol {\omega \times r}}\right)\ ,}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {k}}}\ ,}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {{\hat {k}},}}}$$

${\displaystyle {\dot {\theta }}}$

¿Cómo puede una fuerza física (ya sea ficticia o real) ser cero en un cuadro S , pero distinta de cero en otro cuadro S' idéntico, pero a unos metros de distancia? Incluso para exactamente el mismo comportamiento de partículas la expresión es diferente en cada marco de referencia, incluso para distinciones muy triviales entre marcos. En definitiva, si la tomamos como "fuerza centrífuga", no tiene un significado universal: no es física . ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$

Más allá de este problema, la fuerza neta real impresa es cero. (No existe una fuerza impresa real en el movimiento rectilíneo a velocidad constante). Si uno adoptara coordenadas polares y quisiera decir que es "fuerza centrífuga" y reinterpretarla como "aceleración", la rareza resulta en el cuadro S' de que el movimiento en línea recta a velocidad constante requiere una fuerza neta en coordenadas polares, pero no en coordenadas cartesianas. Además, esta perplejidad se aplica en el marco S ' ^{[ se necesita aclaración ]} , pero no en el marco S. ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ ${\displaystyle {\ddot {r}}}$

El comportamiento de indica que hay que decir que no se trata de fuerza centrífuga , sino simplemente uno de los dos términos de la aceleración. Esta visión, de que la aceleración se compone de dos términos, es independiente del marco: hay fuerza centrífuga cero en todos y cada uno de los marcos inerciales. También es independiente del sistema de coordenadas, lo que significa que se pueden utilizar sistemas cartesianos, polares o cualquier otro sistema curvilíneo porque todos producen cero. ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$ ${\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}$

Aparte de los argumentos físicos anteriores, por supuesto, la derivación anterior, basada en la aplicación de las reglas matemáticas de diferenciación, muestra que la aceleración radial en realidad consta de los dos términos . ${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}}$

Dicho esto, la siguiente subsección muestra que existe una conexión entre estos términos centrífugos y de Coriolis y las fuerzas ficticias que pertenecen a un marco de referencia giratorio particular (a diferencia de un marco inercial).

Figura 3: Marco de referencia inercial S y marco de referencia co-rotativo instantáneo no inercial S' . El marco co-rotativo gira a una velocidad angular Ω igual a la velocidad de rotación de la partícula alrededor del origen de S' en el momento particular t . La partícula está ubicada en la posición del vector r (t) y los vectores unitarios se muestran en la dirección radial a la partícula desde el origen, y también en la dirección del ángulo creciente θ normal a la dirección radial. Estos vectores unitarios no necesitan estar relacionados con la tangente y normal a la trayectoria. Además, la distancia radial r no necesita estar relacionada con el radio de curvatura del camino.

Marco co-rotativo

En el caso del movimiento plano de una partícula, se puede demostrar que los términos centrífugo "coordinado" y de aceleración de Coriolis que se encontraron arriba son distintos de cero en un marco inercial como los negativos de los términos centrífugo y de Coriolis del "estado de movimiento". que aparecen en un marco co-rotativo no inercial muy particular (ver la siguiente subsección). ^[40] Véase la Figura 3. Para definir un marco co-rotativo, primero se selecciona un origen a partir del cual se define la distancia r(t) a la partícula. Se establece un eje de rotación que es perpendicular al plano de movimiento de la partícula y pasa por este origen. Luego, en el momento seleccionado t , la velocidad de rotación del marco co-rotativo Ω se hace para que coincida con la velocidad de rotación de la partícula alrededor de este eje, dθ/dt . El marco co-rotativo se aplica sólo por un momento y debe ser reseleccionado continuamente a medida que la partícula se mueve. Para más detalle, consulte Coordenadas polares, términos centrífugos y de Coriolis .

Coordenadas polares en un sistema de referencia giratorio.

A continuación, se utiliza el mismo enfoque para encontrar las fuerzas ficticias de un marco giratorio (no inercial). Por ejemplo, si se adopta un sistema de coordenadas polares giratorias para su uso en un marco de observación giratorio, ambos girando a la misma velocidad constante en sentido antihorario Ω, se pueden encontrar las ecuaciones de movimiento en este marco de la siguiente manera: la coordenada radial en el marco giratorio se toma como r , pero el ángulo θ' en el marco giratorio cambia con el tiempo:

$${\displaystyle \theta '=\theta -\Omega t\ .}$$

$${\displaystyle {\dot {\theta }}'={\dot {\theta }}-\Omega \ .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}&=\left[{\ddot {r}}-r\left({\dot {\theta }}'+\Omega \right)^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}'+2{\dot {r}}\left({\dot {\theta }}'+\Omega \right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}'^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}'+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}'){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-\left(2r\Omega {\dot {\theta }}'+r\Omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ .\end{aligned}}}$$

no^[41]

$${\displaystyle -\left(2r\Omega {\dot {\theta }}'+r\Omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$$

² razimutalmedirrotación de esferas idénticassinmarco de referencia inercial ${\displaystyle 2r\Omega {\dot {\theta }}'}$ ${\displaystyle r{\dot {\theta }}'}$ ${\displaystyle -\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Estos "términos adicionales" en la aceleración de la partícula son las fuerzas ficticias del "estado de movimiento" para este marco giratorio, las fuerzas introducidas por la rotación del marco a una velocidad angular Ω. ^[42]

En este marco giratorio, ¿cuáles son las fuerzas ficticias "coordinadas"? Como antes, supongamos que elegimos poner sólo las derivadas del tiempo de segundo orden en el lado derecho de la ley de Newton:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}+mr{\dot {\theta }}'^{2}{\hat {\mathbf {r} }}-m2{\dot {r}}{\dot {\theta }}'{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(2r\Omega {\dot {\theta }}'+r\Omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}-m\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=m{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+mr{\ddot {\theta }}'\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=m{\tilde {{\boldsymbol {a}}.}}}$$

Si uno optara, por conveniencia, por tratarlo como "aceleración", entonces los términos se agregarían a la llamada "fuerza ficticia", que no son fuerzas ficticias de "estado de movimiento", sino que en realidad son componentes de la fuerza. que persisten incluso cuando Ω=0, es decir, las fuentes ficticias persisten incluso en un marco de referencia inercial. Debido a que se agregan estos términos adicionales, la fuerza ficticia "coordinada" no es lo mismo que la fuerza ficticia en "estado de movimiento". Debido a estos términos adicionales, la fuerza ficticia "coordinada" no es cero ni siquiera en un marco de referencia inercial. ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {a}}}}$ ${\displaystyle (mr{\dot {\theta }}'^{2}{\hat {\mathbf {r} }}-m2{\dot {r}}{\dot {\theta }}'{\hat {\boldsymbol {\theta }}})}$

Más sobre el marco co-rotativo

Sin embargo, el caso de un sistema giratorio que tiene la misma velocidad angular que la partícula, de modo que Ω = dθ/dt en algún momento particular (es decir, las coordenadas polares se establecen en la coordenada instantánea y no inercial) marco giratorio de la Figura 3). En este caso, en este momento, dθ'/dt = 0 . En este marco no inercial co-rotativo en este momento las fuerzas ficticias "coordinadas" son sólo aquellas debidas al movimiento del marco, es decir, son las mismas que las fuerzas ficticias del "estado de movimiento", como se discutió en los comentarios sobre el marco co-rotativo de la Figura 3 en la sección anterior.

Fuerzas ficticias en coordenadas curvilíneas.

Figura 4: Superficies de coordenadas, líneas de coordenadas y ejes de coordenadas de coordenadas curvilíneas generales.

Para citar a Bullo y Lewis: "Sólo en circunstancias excepcionales se puede describir la configuración del sistema lagrangiano mediante un vector en un espacio vectorial. En el entorno matemático natural, el espacio de configuración del sistema se describe vagamente como un espacio curvo, o más exactamente como un variedad diferenciable ." ^[43]

En lugar de coordenadas cartesianas , cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en un sistema de coordenadas curvilíneo , aparecen símbolos de Christoffel en la aceleración de una partícula expresada en este sistema de coordenadas, como se describe a continuación con más detalle. Considere la descripción del movimiento de una partícula desde el punto de vista de un sistema de referencia inercial en coordenadas curvilíneas. Supongamos que la posición de un punto P en coordenadas cartesianas es ( x , y , z ) y en coordenadas curvilíneas es ( q ₁ , q _2. q ₃ ). Entonces existen funciones que relacionan estas descripciones:

$${\displaystyle x=x(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})\ ;}$$

$${\displaystyle \ q_{1}=q_{1}(x,\ y,\ z)\ ,}$$

de coordenadas ortogonalds

$${\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\right)^{2}\left(dq_{k}\right)^{2}\ ,}$$

h _kfactores de escala^[44]dq _kq _kh _k dq _kq _kPe _kq _krtP

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\sum _{k=1}^{d}q_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}},\,}$$

q _kproducto escalarre _kvPP

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}&=\sum _{k=1}^{d}v_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}\,&={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}q_{k}\ {\dot {\boldsymbol {e_{k}}}},\,\end{aligned}}}$$

v _kproducto escalarve _k

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q_{2}}}{\boldsymbol {e_{1}}}=-{\boldsymbol {e}}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial h_{1}}{\partial q_{2}}}-{\boldsymbol {e}}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial h_{1}}{\partial q_{3}}}\ ,}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {e_{j}}}}{\partial q_{k}}}=\sum _{n=1}^{d}{\Gamma ^{n}}_{kj}{\boldsymbol {e_{n}}}\ ,}$$

símbolos de Christoffel^{[45] [46]}

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ii}={\begin{Bmatrix}\,i\,\\i\,\,i\end{Bmatrix}}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q_{i}}}\!\ ;\ }$$

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ij}=\ {\begin{Bmatrix}\,i\,\\i\,\,j\end{Bmatrix}}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q_{j}}}={\begin{Bmatrix}\,i\,\\j\,\,i\end{Bmatrix}}\!\ ;\ }$$

$${\displaystyle {\Gamma ^{j}}_{ii}={\begin{Bmatrix}\,j\,\\i\,\,i\end{Bmatrix}}=-{\frac {h_{i}}{{h_{j}}^{2}}}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q_{j}}}\ ,}$$

no forman los componentes de un tensor^[47]

Usando relaciones como ésta, ^[48]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {e_{j}}}}=\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}{\boldsymbol {e_{j}}}{\dot {q}}_{k}\\&=\sum _{k=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}{\boldsymbol {e_{k}}}\ ,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}&={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}q_{k}\ {\dot {\boldsymbol {e_{k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{j=1}^{d}q_{j}\ {\dot {\boldsymbol {e_{j}}}},\\&=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}q_{j}\ {\Gamma ^{k}}_{ij}{\boldsymbol {e_{k}}}{\dot {q}}_{i}\\&=\sum _{k=1}^{d}\left({\dot {q}}_{k}\ +\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}q_{j}\ {\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}\right){\boldsymbol {e_{k}}}\ ,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {v}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {v}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}v_{k}\ {\dot {\boldsymbol {e_{k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{d}\left({\dot {v}}_{k}\ +\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}v_{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}\right){\boldsymbol {e_{k}}}\ .\end{aligned}}}$$

^[49]

Fuerzas ficticias de "estado de movimiento" versus "coordinadas"

Anteriormente en este artículo se introdujo una distinción entre dos terminologías: las fuerzas ficticias que desaparecen en un marco de referencia inercial se denominan en este artículo fuerzas ficticias de "estado de movimiento" y aquellas que se originan a partir de la diferenciación en un sistema de coordenadas particular se denominan llamadas fuerzas ficticias "coordinadas". Usando la expresión anterior para la aceleración, la ley de movimiento de Newton en el marco de referencia inercial se convierte en:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}=m\sum _{k=1}^{d}\left({\dot {v}}_{k}\ +\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}v_{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}\right){\boldsymbol {e_{k}}}\ ,}$$

F

El enfoque "coordenado" de la ley de Newton anterior es retener las derivadas temporales de segundo orden de las coordenadas { q _k } como los únicos términos en el lado derecho de esta ecuación, motivado más por conveniencia matemática que por física. Para ello, se puede reescribir la ley de la fuerza, llevando la segunda suma al lado de la fuerza de la ecuación como:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}-m\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}v_{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}{\boldsymbol {e_{k}}}=m{\tilde {\boldsymbol {a}}}\ ,}$$

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {a}}}}$

$${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {a}}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {v}}_{k}{\boldsymbol {e_{k}}}\ .}$$

vectoresmismos nombresincluso en un marco de referencia inercial^[50]

Si el sistema no es inercial, por ejemplo, en un sistema de referencia giratorio, las fuerzas ficticias del "estado de movimiento" se incluyen en la expresión de fuerza ficticia "coordinada" anterior. ^[51] Además, si la "aceleración" expresada en términos de derivadas temporales de primer orden de la velocidad resulta en términos que no son simplemente derivadas de segundo orden de las coordenadas { q _k } en el tiempo, entonces estos términos que son Las fuerzas que no son de segundo orden también se llevan al lado de las fuerzas de la ecuación y se incluyen con las fuerzas ficticias. Desde el punto de vista de una formulación lagrangiana, pueden denominarse fuerzas ficticias generalizadas . Véase Hildebrand, ^[22] por ejemplo.

La formulación de la dinámica en términos de símbolos de Christoffel y la versión "coordinada" de fuerzas ficticias se utiliza a menudo en el diseño de robots en relación con una formulación lagrangiana de las ecuaciones de movimiento. ^{[35] [52]}

notas y referencias

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2. Las fuerzas ficticias (también conocidas como pseudofuerzas , fuerzas inerciales o fuerzas de d'Alembert ) existen para los observadores en un marco de referencia no inercial. Véase, por ejemplo, Max Born y Günther Leibfried (1962). La Teoría de la Relatividad de Einstein . Nueva York: Publicaciones Courier Dover. págs. 76–78. ISBN 0-486-60769-0. fuerzas de inercia., NASA: Marcos de referencia acelerados: fuerzas inerciales, ciencia Joy Wagon: fuerza centrífuga: la fuerza falsa Archivado el 4 de agosto de 2018 en Wayback Machine.
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13. Véase Moore y Stommel, Capítulo 2, p. 26, que trata de coordenadas polares en un marco de referencia inercial (lo que estos autores llaman un "marco de referencia newtoniano"), Henry Stommel y Dennis W. Moore (1989). Introducción a la fuerza Coriolis . Prensa de la Universidad de Columbia. pag. 26.ISBN​ 0-231-06636-8. Coriolis Stommel.
14. Por ejemplo, Moore y Stommel señalan que en un sistema de coordenadas polares giratorio , los términos de aceleración incluyen una referencia a la velocidad de rotación del marco giratorio . Henry Stommel y Dennis W. Moore (1989). Introducción a la fuerza Coriolis. pag. 55.ISBN​ 9780231066365.
15. El término partícula se utiliza en mecánica para describir un objeto sin hacer referencia a su orientación. El término cuerpo rígido se utiliza cuando la orientación también es un factor. Por tanto, el centro de masa de un cuerpo rígido es una "partícula".
16. Los marcos de referencia de observación y los sistemas de coordenadas son ideas independientes. Un marco de referencia es una noción física relacionada con el estado de movimiento del observador. Un sistema de coordenadas es una descripción matemática, que puede elegirse para adaptarse a las observaciones. Un cambio en un sistema de coordenadas que se mueve en el tiempo afecta la descripción del movimiento de las partículas, pero no cambia el estado de movimiento del observador. Para obtener más información, consulte Marco de referencia.
17. El artículo sobre curvatura trata un caso más general en el que la curva está parametrizada por una variable arbitraria (denotada por t ), en lugar de por la longitud del arco s .
18. Ahmed A. Shabana; Khaled E. Zaazaa; Hiroyuki Sugiyama (2007). Dinámica de vehículos ferroviarios: un enfoque computacional. Prensa CRC. pag. 91.ISBN​ 978-1-4200-4581-9.
19. Sin embargo, el piloto también experimentará la fuerza de Coriolis, porque el piloto no es una partícula . Cuando la cabeza del piloto se mueve, por ejemplo, la cabeza tiene una velocidad en el marco no inercial y queda sujeta a la fuerza de Coriolis. Esta fuerza provoca la desorientación del piloto en un giro. Véase Efecto Coriolis (percepción) , Arnauld E. Nicogossian (1996). Biología y medicina espacial. Reston, Virginia: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, Inc. p. 337.ISBN​ 1-56347-180-9.y Gilles Clément (2003). Fundamentos de la Medicina Espacial. Saltador. pag. 41.ISBN​ 1-4020-1598-4..
20. Hugo A. Jakobsen (2007). Modelado de reactores químicos. Saltador. pag. 724.ISBN​ 978-3-540-25197-2.
21. Ramamurti Shankar (1994). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). Saltador. pag. 81.ISBN​ 0-306-44790-8.
22. Francis Begnaud Hildebrand (1992). Métodos de Matemática Aplicada (Reimpresión de la 2.ª edición de 1965 ed.). Publicaciones de Courier Dover. pag. 156.ISBN​ 0-486-67002-3.
23. Aunque se utilizan en este artículo, estos nombres no son de uso común. Los nombres alternativos que a veces se encuentran son "fuerza ficticia newtoniana" en lugar de fuerza ficticia de "estado de movimiento", y "fuerza ficticia generalizada" en lugar de "fuerza ficticia coordinada". Este último término se origina en la formulación lagrangiana para la mecánica que utiliza coordenadas generalizadas. Véase Francis Bégnaud Hildebrand (1992). Métodos de Matemática Aplicada (Reimpresión de la 2.ª edición de 1965 ed.). Publicaciones de Courier Dover. pag. 156.ISBN​ 0-486-67002-3.
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38. Para un tratamiento que utiliza estos términos como fuerzas ficticias, consulte Henry Stommel; Dennis W. Moore (1989). Introducción a la fuerza Coriolis . Prensa de la Universidad de Columbia. pag. 36.ISBN​ 0-231-06636-8. términos de aceleración de la derecha.
39. Para una discusión bastante abstracta pero completa, consulte Harald Atmanspacher y Hans Primas (2008). Reformulación de la realidad: las ideas filosóficas y la ciencia contemporánea de Wolfgang Pauli. Saltador. pag. §2.2, pág. 42 y sigs . ISBN 978-3-540-85197-4.
40. Para la siguiente discusión, consulte John R Taylor (2005). Mecanica clasica. Libros de ciencias universitarias. pag. §9.10, págs. 358 y 359. ISBN 1-891389-22-X. En el instante elegido t ₀ , el marco S' y la partícula están girando a la misma velocidad.... En el marco inercial, las fuerzas son más simples (no hay fuerzas "ficticias") pero las aceleraciones son más complicadas.; en el marco giratorio ocurre al revés.
41. Henry Stommel y Dennis W. Moore (1989). Introducción a la fuerza Coriolis . Prensa de la Universidad de Columbia. pag. 55.ISBN​ 0-231-06636-8. una fuerza centrífuga adicional.
42. Esta derivación se puede encontrar en Henry Stommel; Dennis W. Moore (1989). Introducción a la fuerza Coriolis. pag. Capítulo III, págs. 54 y siguientes . ISBN 9780231066365.
43. Francisco Bullo; Andrew D. Lewis (2005). Control Geométrico de Sistemas Mecánicos. Saltador. pag. 3.ISBN​ 0-387-22195-6.
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49. Para la aplicación del formalismo de los símbolos de Christoffel a un sistema de coordenadas giratorio, consulte Ludwik Silberstein (1922). La teoría de la relatividad general y la gravitación. D. Van Nostrand. págs. 30–32. Centrífuga CHristoffel.
50. Para una crítica más amplia a la agrupación de los dos tipos de fuerza ficticia, véase Ludwik Silberstein (1922). La teoría de la relatividad general y la gravitación. D. Van Nostrand. pag. 29. Centrífuga CHristoffel.
51. Ver Silberstein.
52. Véase R. Kelly; V. Santibáñez; Antonio Loría (2005). Control de manipuladores de robots en el espacio articular. Saltador. pag. 72.ISBN​ 1-85233-994-2.

Otras lecturas

• Descripción de Newton en Principia
• Fuerza de reacción centrífuga - Enciclopedia electrónica de Columbia
• M. Alonso y EJ Finn, Física universitaria fundamental , Addison-Wesley
• Fuerza centrípeta versus fuerza centrífuga: de un tutorial de física en línea del examen Regents realizado por el distrito escolar de la ciudad de Oswego
• La fuerza centrífuga actúa hacia el interior cerca de un agujero negro
• Fuerza centrífuga en el sitio de conceptos de HyperPhysics
• Una lista de enlaces interesantes Archivado el 1 de febrero de 2009 en Wayback Machine.
• Kenneth Franklin Riley; Michael Paul Hobson; Stephen John Bence (2002). "Derivadas de vectores base y símbolos de Christoffel". Métodos matemáticos para física e ingeniería: una guía completa (2 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 814 y siguientes . ISBN 0-521-89067-5.

enlaces externos

• Movimiento sobre una superficie plana fislet de Java por Brian Fiedler (de la Facultad de Meteorología de la Universidad de Oklahoma) que ilustra fuerzas ficticias. El fislet muestra tanto la perspectiva vista desde un punto de vista giratorio como no giratorio.
• Movimiento sobre un fislet de Java de superficie parabólica por Brian Fiedler (de la Facultad de Meteorología de la Universidad de Oklahoma) que ilustra fuerzas ficticias. El fislet muestra tanto la perspectiva vista desde un punto de vista giratorio como visto desde un punto de vista no giratorio.
• Clip de animación que muestra escenas vistas desde un marco inercial y un marco de referencia giratorio, visualizando las fuerzas de Coriolis y centrífugas.
• Fuerzas centrípetas y centrífugas en MathPages
• Fuerza centrífuga en h2g2
• John Baez: ¿La fuerza centrífuga sostiene a la Luna en alto?

Ver también

• Calcular la fuerza centrífuga relativa
• Movimiento circular
• fuerza Coriolis
• Efecto Coriolis (percepción)
• Principio de equivalencia
• Argumento del cubo
• Marco de referencia
• Marco de referencia inercial
• Movimiento rotacional
• Fuerza de Euler : una fuerza que aparece cuando varía la velocidad de rotación angular del marco.
• Fuerza centrípeta
• Fuerza centrífuga reactiva : una fuerza que se produce como reacción debido a una fuerza centrípeta.
  • Fuerza centrífuga
• Fuerza ficticia : una fuerza que puede desaparecer cambiando el marco de referencia.
• fuerza G
• Coordenadas ortogonales
• círculo osculador
• Fórmulas de Frenet-Serret
• estática
• Cinética (física)
• Cinemática
• Mecánica Aplicada
• Mecánica analítica
• Dinámica (física)
• Mecanica clasica
• El principio de D'Alembert
• Centrífugo