Concepto en mecánica lagrangiana
En mecánica analítica (particularmente en mecánica lagrangiana ), las fuerzas generalizadas se conjugan con coordenadas generalizadas . Se obtienen a partir de las fuerzas aplicadas F i , i = 1,…, n , que actúan sobre un sistema que tiene su configuración definida en términos de coordenadas generalizadas. En la formulación del trabajo virtual , cada fuerza generalizada es el coeficiente de variación de una coordenada generalizada.
Trabajo virtual
Las fuerzas generalizadas se pueden obtener calculando el trabajo virtual , δW , de las fuerzas aplicadas. [1] : 265
El trabajo virtual de las fuerzas, F i , que actúan sobre las partículas P i , i = 1, ..., n , viene dado por
![{\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde δ r i es el desplazamiento virtual de la partícula P i .
Coordenadas generalizadas
Sean los vectores de posición de cada una de las partículas, r i , una función de las coordenadas generalizadas, q j , j = 1, ..., m . Entonces los desplazamientos virtuales δ r i están dados por
![{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j} }}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde δq j es el desplazamiento virtual de la coordenada generalizada q j .
El trabajo virtual para el sistema de partículas se convierte en
![{\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_ {j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _ {n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recoja los coeficientes de δq j de modo que
![{\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_ {1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _ {i}}{\parcial q_{m}}}\delta q_{m}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fuerzas generalizadas
El trabajo virtual de un sistema de partículas se puede escribir en la forma
![{\displaystyle \delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![{\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se llaman fuerzas generalizadas asociadas con las coordenadas generalizadas q j , j = 1, ..., m .
Formulación de velocidad
En la aplicación del principio de trabajo virtual suele ser conveniente obtener desplazamientos virtuales a partir de las velocidades del sistema. Para el sistema de n partículas, sea la velocidad de cada partícula P i V i , entonces el desplazamiento virtual δ r i también se puede escribir en la forma [2]
![{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot { q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots,n.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto significa que la fuerza generalizada, Q j , también se puede determinar como
![{\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots,m.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El principio de D'Alembert
D'Alembert formuló la dinámica de una partícula como el equilibrio de las fuerzas aplicadas con una fuerza de inercia ( fuerza aparente ), llamado principio de D'Alembert . La fuerza de inercia de una partícula, Pi , de masa m i es
![{\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde Ai es la aceleración de la partícula.
Si la configuración del sistema de partículas depende de las coordenadas generalizadas q j , j = 1, ..., m , entonces la fuerza de inercia generalizada viene dada por
![{\displaystyle Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual produce
![{\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_ {metro}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ Torby, Bruce (1984). "Métodos energéticos". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en Ingeniería Mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
- ^ TR Kane y DA Levinson, Dinámica, teoría y aplicaciones, McGraw-Hill, Nueva York, 2005.
Ver también