Proceso de puntos de Poisson

Tipo de objeto matemático aleatorio

Una representación visual de un proceso puntual de Poisson que comienza

En teoría de probabilidad , estadística y campos relacionados, un proceso de puntos de Poisson (también conocido como: medida aleatoria de Poisson , campo de puntos aleatorios de Poisson y campo de puntos de Poisson ) es un tipo de objeto matemático que consiste en puntos ubicados aleatoriamente en un espacio matemático con la característica esencial de que los puntos ocurren independientemente unos de otros. ^[1] El nombre del proceso deriva del hecho de que el número de puntos en cualquier región finita dada sigue una distribución de Poisson . El proceso y la distribución reciben su nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson . El proceso en sí fue descubierto de forma independiente y repetida en varios entornos, incluidos experimentos sobre desintegración radiactiva , llegadas de llamadas telefónicas y ciencia actuarial . ^{[2] [3]}

Este proceso puntual se utiliza como modelo matemático para procesos aparentemente aleatorios en numerosas disciplinas, incluidas la astronomía , ^[4] la biología , ^[5] la ecología , ^[6] la geología , ^[7] la sismología , ^[8] la física , ^[9] la economía , ^[10] el procesamiento de imágenes , ^{[11] [12]} y las telecomunicaciones . ^{[13] [14]}

El proceso puntual de Poisson se define a menudo en la línea de números reales, donde puede considerarse un proceso estocástico . Se utiliza, por ejemplo, en la teoría de colas ^[15] para modelar eventos aleatorios distribuidos en el tiempo, como la llegada de clientes a una tienda, llamadas telefónicas en una central o la ocurrencia de terremotos. En el plano , el proceso puntual, también conocido como proceso de Poisson espacial , ^[16] puede representar las ubicaciones de objetos dispersos como transmisores en una red inalámbrica , ^{[13] [17] [18] [19]} partículas que chocan contra un detector o árboles en un bosque. ^[20] El proceso se utiliza a menudo en modelos matemáticos y en los campos relacionados de los procesos puntuales espaciales, ^[21] geometría estocástica , ^[1] estadística espacial ^{[21] [22]} y teoría de percolación continua . ^[23]

El proceso puntual de Poisson se puede definir en espacios más abstractos . Más allá de las aplicaciones, el proceso puntual de Poisson es un objeto de estudio matemático por derecho propio. ^[24] El proceso puntual de Poisson tiene la propiedad de que cada punto es estocásticamente independiente de todos los demás puntos del proceso, por lo que a veces se lo denomina proceso puramente o completamente aleatorio. ^[25] Modelar un sistema como un proceso de Poisson es insuficiente cuando las interacciones punto a punto son demasiado fuertes (es decir, los puntos no son estocásticamente independientes). Un sistema de este tipo se puede modelar mejor con un proceso puntual diferente. ^[26]

El proceso puntual depende de un único objeto matemático, que, dependiendo del contexto, puede ser una constante , una función localmente integrable o, en configuraciones más generales, una medida de Radon . ^[27] En el primer caso, la constante, conocida como tasa o intensidad , es la densidad media de los puntos en el proceso de Poisson ubicados en alguna región del espacio. El proceso puntual resultante se denomina proceso puntual de Poisson homogéneo o estacionario . ^[28] En el segundo caso, el proceso puntual se denomina proceso puntual de Poisson no homogéneo o no homogéneo , y la densidad media de puntos depende de la ubicación del espacio subyacente del proceso puntual de Poisson. ^[29] La palabra punto a menudo se omite, ^[24] pero existen otros procesos de Poisson de objetos que, en lugar de puntos, consisten en objetos matemáticos más complicados como líneas y polígonos , y dichos procesos pueden basarse en el proceso puntual de Poisson. ^[30] Tanto los procesos puntuales de Poisson homogéneos como los no homogéneos son casos particulares del proceso de renovación generalizado .

Resumen de definiciones

Dependiendo del contexto, el proceso tiene varias definiciones equivalentes ^[31] así como definiciones de generalidad variable debido a sus muchas aplicaciones y caracterizaciones. ^[32] El proceso puntual de Poisson se puede definir, estudiar y utilizar en una dimensión, por ejemplo, en la línea real, donde se puede interpretar como un proceso de conteo o parte de un modelo de colas; ^{[33] [34]} en dimensiones superiores como el plano donde juega un papel en la geometría estocástica ^[1] y las estadísticas espaciales ; ^[35] o en espacios matemáticos más generales. ^[36] En consecuencia, la notación, la terminología y el nivel de rigor matemático utilizados para definir y estudiar el proceso puntual de Poisson y los procesos puntuales en general varían según el contexto. ^[37]

A pesar de todo esto, el proceso puntual de Poisson tiene dos propiedades clave (la propiedad de Poisson y la propiedad de independencia) que desempeñan un papel esencial en todos los entornos en los que se utiliza el proceso puntual de Poisson. ^{[ 27] [38]} Las dos propiedades no son lógicamente independientes; de hecho, la distribución de Poisson de los recuentos de puntos implica la propiedad de independencia, [a] mientras que en la dirección inversa se requieren los supuestos de que: (i) el proceso puntual es simple, (ii) no tiene átomos fijos y (iii) es igualmente finito. ^[39]

Distribución de Poisson de recuentos de puntos

Un proceso puntual de Poisson se caracteriza por la distribución de Poisson . La distribución de Poisson es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria (llamada variable aleatoria de Poisson ) tal que la probabilidad de que sea igual a está dada por: ${\textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }}$

donde denota factorial y el parámetro determina la forma de la distribución. (De hecho, es igual al valor esperado de ). ${\textstyle n!}$ ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle N}$

Por definición, un proceso puntual de Poisson tiene la propiedad de que el número de puntos en una región acotada del espacio subyacente del proceso es una variable aleatoria distribuida según Poisson. ^[38]

Independencia completa

Consideremos una colección de subregiones disjuntas y acotadas del espacio subyacente. Por definición, la cantidad de puntos de un proceso puntual de Poisson en cada subregión acotada será completamente independiente de todas las demás.

Esta propiedad se conoce con varios nombres como aleatoriedad completa , independencia completa [ ^40] o dispersión independiente ^{[41] [42]} y es común a todos los procesos puntuales de Poisson. En otras palabras, existe una falta de interacción entre las diferentes regiones y los puntos en general ^[43] , lo que motiva que el proceso de Poisson sea llamado a veces un proceso puramente o completamente aleatorio. ^[40]

Proceso de puntos de Poisson homogéneo

Si un proceso puntual de Poisson tiene un parámetro de la forma , donde es la medida de Lebesgue (es decir, asigna longitud, área o volumen a conjuntos) y es una constante, entonces el proceso puntual se denomina proceso puntual de Poisson homogéneo o estacionario. El parámetro, llamado tasa o intensidad , está relacionado con el número esperado (o promedio) de puntos de Poisson existentes en alguna región acotada, ^{[44] [45]} donde tasa se utiliza habitualmente cuando el espacio subyacente tiene una dimensión. ^[44] El parámetro puede interpretarse como el número medio de puntos por alguna unidad de extensión como longitud , área, volumen o tiempo, dependiendo del espacio matemático subyacente, y también se denomina densidad media o tasa media ; ^[46] véase Terminología. ${\textstyle \Lambda =\nu \lambda }$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda }$

Interpretado como un proceso de conteo

El proceso de punto de Poisson homogéneo, cuando se considera en la semirrecta positiva, se puede definir como un proceso de conteo , un tipo de proceso estocástico, que se puede denotar como . ^{[31] [34]} Un proceso de conteo representa el número total de ocurrencias o eventos que han sucedido hasta el tiempo inclusive . Un proceso de conteo es un proceso de conteo de Poisson homogéneo con tasa si tiene las siguientes tres propiedades: ^{[31] [34]} ${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle \lambda >0}$

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• tiene incrementos independientes ; y
• El número de eventos (o puntos) en cualquier intervalo de longitud es una variable aleatoria de Poisson con parámetro (o media) . ${\textstyle t}$ ${\textstyle \lambda t}$

La última propiedad implica:

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

En otras palabras, la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a viene dada por: ${\textstyle N(t)}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

El proceso de conteo de Poisson también se puede definir afirmando que las diferencias de tiempo entre eventos del proceso de conteo son variables exponenciales con media . ^[47] Las diferencias de tiempo entre los eventos o llegadas se conocen como tiempos entre llegadas ^[48] o entre ocurrencias . ^[47] ${\textstyle 1/\lambda }$

Interpretado como un proceso puntual sobre la recta real

Interpretado como un proceso puntual , un proceso puntual de Poisson puede definirse en la línea real considerando el número de puntos del proceso en el intervalo . Para el proceso puntual de Poisson homogéneo en la línea real con parámetro , la probabilidad de que este número aleatorio de puntos, escrito aquí como , sea igual a algún número de conteo viene dada por: ^[49] ${\textstyle (a,b]}$ ${\textstyle \lambda >0}$ ${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},}$

Para algún entero positivo , el proceso puntual de Poisson homogéneo tiene la distribución de dimensión finita dada por: ^[49] ${\textstyle k}$

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

donde están los números reales . ${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$

En otras palabras, es una variable aleatoria de Poisson con media , donde . Además, el número de puntos en dos intervalos disjuntos, digamos, y son independientes entre sí, y esto se extiende a cualquier número finito de intervalos disjuntos. ^[49] En el contexto de la teoría de colas, se puede considerar un punto existente (en un intervalo) como un evento , pero esto es diferente a la palabra evento en el sentido de la teoría de la probabilidad. ^[b] De ello se deduce que es el número esperado de llegadas que ocurren por unidad de tiempo. ^[34] ${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle \lambda (b-a)}$ ${\textstyle a\leq b}$ ${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$ ${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$ ${\textstyle \lambda }$

Propiedades clave

La definición anterior tiene dos características importantes compartidas por los procesos puntuales de Poisson en general: ^{[49] [27]}

• el número de llegadas en cada intervalo finito tiene una distribución de Poisson;
• El número de llegadas en intervalos disjuntos son variables aleatorias independientes.

Además, tiene una tercera característica relacionada únicamente con el proceso de punto de Poisson homogéneo: ^[50]

• La distribución de Poisson del número de llegadas en cada intervalo solo depende de la longitud del intervalo . ${\textstyle (a+t,b+t]}$ ${\textstyle b-a}$

En otras palabras, para cualquier , la variable aleatoria es independiente de , por lo que también se denomina proceso de Poisson estacionario. ^[49] ${\textstyle t>0}$ ${\textstyle N(a+t,b+t]}$ ${\textstyle t}$

Ley de los grandes números

La cantidad se puede interpretar como el número esperado o promedio de puntos que ocurren en el intervalo , es decir: ${\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$ ${\textstyle (a_{i},b_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(a_{i},b_{i}]]=\lambda (b_{i}-a_{i}),}$

donde denota el operador de expectativa . En otras palabras, el parámetro del proceso de Poisson coincide con la densidad de puntos. Además, el proceso de puntos de Poisson homogéneo se adhiere a su propia forma de la ley (fuerte) de los grandes números. ^[51] Más específicamente, con probabilidad uno: ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,}$

donde denota el límite de una función y es el número esperado de llegadas ocurridas por unidad de tiempo. ${\textstyle \lim }$ ${\displaystyle \lambda }$

Propiedad sin memoria

La distancia entre dos puntos consecutivos de un proceso puntual sobre la recta real será una variable aleatoria exponencial con parámetro (o equivalentemente, media ). Esto implica que los puntos tienen la propiedad de no tener memoria : la existencia de un punto en un intervalo finito no afecta la probabilidad (distribución) de la existencia de otros puntos, ^{[52] [53]} pero esta propiedad no tiene equivalencia natural cuando el proceso de Poisson se define sobre un espacio con dimensiones mayores. ^[54] ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle 1/\lambda }$

Orden y sencillez

A veces se dice que un proceso puntual con incrementos estacionarios es ordenado ^[55] o regular si: ^[56]

${\displaystyle \Pr\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),}$

donde se utiliza la notación o minúscula . Un proceso puntual se denomina proceso puntual simple cuando la probabilidad de que cualquiera de sus dos puntos coincida en la misma posición, en el espacio subyacente, es cero. Para los procesos puntuales en general en la línea real, la propiedad de orden implica que el proceso es simple, ^[57] lo que es el caso del proceso puntual homogéneo de Poisson. ^[58]

Caracterización de la martingala

En la línea real, el proceso puntual homogéneo de Poisson tiene una conexión con la teoría de martingalas a través de la siguiente caracterización: un proceso puntual es el proceso puntual homogéneo de Poisson si y solo si

${\displaystyle N(-\infty ,t]-\lambda t,}$

es una martingala. ^{[59] [60]}

Relación con otros procesos

En la línea real, el proceso de Poisson es un tipo de proceso de Markov de tiempo continuo conocido como proceso de nacimiento , un caso especial del proceso de nacimiento-muerte (con solo nacimientos y cero muertes). ^{[61] [62]} Se han definido procesos más complicados con la propiedad de Markov , como los procesos de llegada de Markov , donde el proceso de Poisson es un caso especial. ^[47]

Restringido a la media línea

Si el proceso homogéneo de Poisson se considera solo en la semirrecta , lo que puede ser el caso cuando representa el tiempo ^[31], entonces el proceso resultante no es verdaderamente invariante bajo la traslación. ^[54] En ese caso, el proceso de Poisson ya no es estacionario, según algunas definiciones de estacionariedad. ^[28] ${\textstyle [0,\infty )}$ ${\textstyle t}$

Aplicaciones

Se han realizado muchas aplicaciones del proceso homogéneo de Poisson en la línea real en un intento de modelar eventos aparentemente aleatorios e independientes que ocurren. Tiene un papel fundamental en la teoría de colas , que es el campo de probabilidad para desarrollar modelos estocásticos adecuados para representar la llegada y salida aleatoria de ciertos fenómenos. ^{[15] [47]} Por ejemplo, los clientes que llegan y son atendidos o las llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica se pueden estudiar con técnicas de la teoría de colas.

Generalizaciones

El proceso homogéneo de Poisson en la línea real se considera uno de los procesos estocásticos más simples para contar números aleatorios de puntos. ^{[63] [64]} Este proceso se puede generalizar de varias maneras. Una posible generalización es extender la distribución de tiempos entre llegadas de la distribución exponencial a otras distribuciones, lo que introduce el proceso estocástico conocido como proceso de renovación . Otra generalización es definir el proceso de puntos de Poisson en espacios de dimensiones superiores, como el plano. ^[65]

Proceso de puntos de Poisson espacial

Un proceso de Poisson espacial es un proceso puntual de Poisson definido en el plano . ^{[59] [66]} Para su definición matemática, primero se considera una región acotada, abierta o cerrada (o más precisamente, medible por Borel ) del plano. El número de puntos de un proceso puntual existente en esta región es una variable aleatoria, denotada por . Si los puntos pertenecen a un proceso de Poisson homogéneo con parámetro , entonces la probabilidad de que existan puntos en está dada por: ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B)}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

donde denota el área de . ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

Para algún entero finito , podemos dar la distribución finito-dimensional del proceso puntual de Poisson homogéneo considerando primero una colección de conjuntos de Borel (medibles) disjuntos y acotados . La cantidad de puntos del proceso puntual existente en se puede escribir como . Entonces, el proceso puntual de Poisson homogéneo con parámetro tiene la distribución finito-dimensional: ^[67] ${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Aplicaciones

Según un estudio estadístico, las posiciones de las estaciones base de telefonía celular o móvil en la ciudad australiana de Sydney , en la imagen de arriba, se asemejan a la realización de un proceso puntual de Poisson homogéneo, mientras que en muchas otras ciudades del mundo no es así y se requieren otros procesos puntuales. ^[68]

El proceso puntual de Poisson espacial ocupa un lugar destacado en las estadísticas espaciales , ^{[21] [22]} la geometría estocástica y la teoría de la percolación continua . ^[23] Este proceso puntual se aplica en varias ciencias físicas, como un modelo desarrollado para la detección de partículas alfa. En los últimos años, se ha utilizado con frecuencia para modelar configuraciones espaciales aparentemente desordenadas de ciertas redes de comunicación inalámbrica. ^{[17] [18] [19]} Por ejemplo, se han desarrollado modelos para redes de telefonía celular o móvil en los que se supone que los transmisores de la red telefónica, conocidos como estaciones base, están posicionados de acuerdo con un proceso puntual de Poisson homogéneo.

Definido en dimensiones superiores

El proceso de puntos homogéneo de Poisson anterior se extiende inmediatamente a dimensiones superiores al reemplazar la noción de área por volumen (de alta dimensión). Para alguna región acotada del espacio euclidiano , si los puntos forman un proceso de Poisson homogéneo con parámetro , entonces la probabilidad de que existan puntos en está dada por: ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

donde ahora denota el volumen -dimensional de . Además, para una colección de conjuntos de Borel disjuntos y acotados , sea , denote el número de puntos de existentes en . Entonces, el proceso puntual de Poisson homogéneo correspondiente con parámetro tiene la distribución finito-dimensional: ^[69] ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Los procesos puntuales homogéneos de Poisson no dependen de la posición del espacio subyacente a través de su parámetro , lo que implica que es tanto un proceso estacionario (invariante a la traslación) como un proceso estocástico isotrópico (invariante a la rotación). ^[28] De manera similar al caso unidimensional, el proceso puntual homogéneo está restringido a un subconjunto acotado de , luego, dependiendo de algunas definiciones de estacionariedad, el proceso ya no es estacionario. ^{[28] [54]} ${\displaystyle \textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

Los puntos se distribuyen uniformemente

Si el proceso de punto homogéneo se define en la línea real como un modelo matemático para ocurrencias de algún fenómeno, entonces tiene la característica de que las posiciones de estas ocurrencias o eventos en la línea real (a menudo interpretada como tiempo) estarán distribuidas uniformemente. Más específicamente, si un evento ocurre (según este proceso) en un intervalo donde , entonces su ubicación será una variable aleatoria uniforme definida en ese intervalo. ^[67] Además, el proceso de punto homogéneo a veces se denomina proceso de punto de Poisson uniforme (ver Terminología). Esta propiedad de uniformidad se extiende a dimensiones superiores en la coordenada cartesiana, pero no en, por ejemplo, las coordenadas polares. ^{[70] [71]} ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$

Proceso puntual de Poisson no homogéneo

Gráfica de un proceso puntual de Poisson no homogéneo en la línea real. Los eventos están marcados con cruces negras, la tasa dependiente del tiempo está dada por la función marcada en rojo. ${\displaystyle \lambda (t)}$

El proceso puntual de Poisson no homogéneo o no homogéneo (véase Terminología) es un proceso puntual de Poisson con un parámetro de Poisson establecido como alguna función dependiente de la ubicación en el espacio subyacente en el que se define el proceso de Poisson. Para el espacio euclidiano , esto se logra introduciendo una función positiva localmente integrable , de modo que para cada región acotada la integral de volumen (-dimensional) de sobre la región sea finita. En otras palabras, si esta integral, denotada por , es: ^[45] ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} ^{d}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,}$

donde es un elemento de volumen (-dimensional), ^[c] entonces para cada colección de conjuntos medibles de Borel disjuntos y acotados , un proceso de Poisson no homogéneo con función (intensidad) tiene la distribución de dimensión finita: ^[69] ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} x}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.}$

Además, tiene la interpretación de ser el número esperado de puntos del proceso de Poisson ubicados en la región acotada , es decir ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Definido en la recta real

En la línea real, el proceso puntual de Poisson no homogéneo o no homogéneo tiene una medida media dada por una integral unidimensional. Para dos números reales y , donde , denota por el número de puntos de un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad que ocurren en el intervalo . La probabilidad de que existan puntos en el intervalo anterior está dada por: ${\displaystyle \textstyle a}$ ${\displaystyle \textstyle b}$ ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$ ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$ ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

donde la media o medida de intensidad es:

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

lo que significa que la variable aleatoria es una variable aleatoria de Poisson con media . ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$

Una característica del entorno unidimensional es que un proceso de Poisson no homogéneo se puede transformar en uno homogéneo mediante una transformación o mapeo monótono , lo que se logra con la inversa de . ^{[72] [73]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Interpretación del proceso de conteo

El proceso puntual de Poisson no homogéneo, cuando se considera en la semirrecta positiva, también se define a veces como un proceso de conteo. Con esta interpretación, el proceso, que a veces se escribe como , representa el número total de ocurrencias o eventos que han sucedido hasta el tiempo inclusive . Se dice que un proceso de conteo es un proceso de conteo de Poisson no homogéneo si tiene las cuatro propiedades: ^{[34] [74]} ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$ ${\displaystyle \textstyle t}$

• ${\displaystyle \textstyle N(0)=0;}$
• tiene incrementos independientes ;
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h);}$y
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),}$

donde es la notación asintótica o little-o para as . En el caso de procesos puntuales con refractariedad (por ejemplo, trenes de picos neuronales) se aplica una versión más fuerte de la propiedad 4: ^[75] . ${\displaystyle \textstyle o(h)}$ ${\displaystyle \textstyle o(h)/h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \textstyle h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h^{2})}$

Las propiedades anteriores implican que es una variable aleatoria de Poisson con el parámetro (o media) ${\displaystyle \textstyle N(t+h)-N(t)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,}$

Lo que implica

${\displaystyle \operatorname {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\lambda (s)\,ds.}$

Proceso de Poisson espacial

Un proceso de Poisson no homogéneo definido en el plano se denomina proceso de Poisson espacial ^[16]. Se define con una función de intensidad y su medida de intensidad se obtiene realizando una integral de superficie de su función de intensidad sobre alguna región. ^{[20] [76]} Por ejemplo, su función de intensidad (como una función de coordenadas cartesianas y ) puede ser ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle y}$

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

Por lo tanto, la medida de intensidad correspondiente viene dada por la integral de superficie.

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

donde es alguna región limitada en el plano . ${\textstyle B}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

En dimensiones superiores

En el plano, corresponde a una integral de superficie mientras que en la integral se convierte en una integral de volumen (-dimensional). ${\textstyle \Lambda (B)}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\textstyle d}$

Aplicaciones

Cuando la línea real se interpreta como tiempo, el proceso no homogéneo se utiliza en los campos de los procesos de conteo y en la teoría de colas. ^{[74] [77]} Algunos ejemplos de fenómenos que han sido representados o aparecen como un proceso puntual de Poisson no homogéneo incluyen:

• Goles marcados en un partido de fútbol. ^[78]
• Defectos en una placa de circuito ^[79]

En el plano, el proceso puntual de Poisson es importante en las disciplinas relacionadas con la geometría estocástica ^{[1] [35]} y la estadística espacial. ^{[21] [22]} La medida de intensidad de este proceso puntual depende de la ubicación del espacio subyacente, lo que significa que se puede utilizar para modelar fenómenos con una densidad que varía en alguna región. En otras palabras, los fenómenos se pueden representar como puntos que tienen una densidad dependiente de la ubicación. ^[20] Este proceso se ha utilizado en varias disciplinas y sus usos incluyen el estudio del salmón y los piojos de mar en los océanos, ^[80] la silvicultura ^[6] y los problemas de búsqueda. ^[81]

Interpretación de la función de intensidad

La función de intensidad de Poisson tiene una interpretación, considerada intuitiva, ^[20] con el elemento de volumen en sentido infinitesimal: es la probabilidad infinitesimal de que un punto de un proceso puntual de Poisson exista en una región del espacio con volumen situado en . ^[20] ${\textstyle \lambda (x)}$ ${\textstyle \mathrm {d} x}$ ${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$ ${\textstyle \mathrm {d} x}$ ${\textstyle x}$

Por ejemplo, dado un proceso puntual de Poisson homogéneo en la línea real, la probabilidad de encontrar un único punto del proceso en un pequeño intervalo de ancho es aproximadamente . De hecho, esta intuición es la forma en que a veces se introduce el proceso puntual de Poisson y se deriva su distribución. ^{[82] [43] [83]} ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle \lambda \delta }$

Proceso de puntos simple

Si un proceso puntual de Poisson tiene una medida de intensidad que es localmente finita y difusa (o no atómica), entonces es un proceso puntual simple . Para un proceso puntual simple, la probabilidad de que un punto exista en un único punto o ubicación en el espacio (de estados) subyacente es cero o uno. Esto implica que, con probabilidad uno, no hay dos (o más) puntos de un proceso puntual de Poisson que coincidan en ubicación en el espacio subyacente. ^{[84] [18] [85]}

Simulación

La simulación de un proceso puntual de Poisson en una computadora se realiza generalmente en una región limitada del espacio, conocida como ventana de simulación , y requiere dos pasos: crear adecuadamente una cantidad aleatoria de puntos y luego colocar adecuadamente los puntos de manera aleatoria. Ambos pasos dependen del proceso puntual de Poisson específico que se esté simulando. ^{[86] [87]}

Paso 1: Número de puntos

Es necesario simular el número de puntos en la ventana, indicado aquí por , lo que se hace utilizando una función generadora de números (pseudo) aleatorios capaz de simular variables aleatorias de Poisson. ${\textstyle N}$ ${\textstyle W}$

Caso homogéneo

Para el caso homogéneo con la constante , la media de la variable aleatoria de Poisson se establece en donde es la longitud, el área o el volumen (-dimensional) de . ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle \lambda |W|}$ ${\textstyle |W|}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle W}$

Caso no homogéneo

Para el caso no homogéneo, se reemplaza con la integral de volumen ( -dimensional) ${\textstyle \lambda |W|}$ ${\textstyle d}$

${\displaystyle \Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x}$

Paso 2: Posicionamiento de puntos

La segunda etapa requiere colocar aleatoriamente los puntos en la ventana . ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle W}$

Caso homogéneo

Para el caso homogéneo en una dimensión, todos los puntos se colocan de manera uniforme e independiente en la ventana o intervalo . Para dimensiones superiores en un sistema de coordenadas cartesianas, cada coordenada se coloca de manera uniforme e independiente en la ventana . Si la ventana no es un subespacio del espacio cartesiano (por ejemplo, dentro de una esfera unitaria o en la superficie de una esfera unitaria), entonces los puntos no se colocarán de manera uniforme en , y se necesitará un cambio adecuado de coordenadas (de cartesianas). ^[86] ${\displaystyle \textstyle W}$ ${\displaystyle \textstyle W}$ ${\displaystyle \textstyle W}$

Caso no homogéneo

Para el caso no homogéneo, se pueden utilizar un par de métodos diferentes dependiendo de la naturaleza de la función de intensidad . ^[86] Si la función de intensidad es suficientemente simple, entonces se pueden generar coordenadas independientes y aleatorias no uniformes (cartesianas u otras) de los puntos. Por ejemplo, se puede simular un proceso de puntos de Poisson en una ventana circular para una función de intensidad isótropa (en coordenadas polares y ), lo que implica que es rotacionalmente variante o independiente de pero dependiente de , por un cambio de variable en si la función de intensidad es suficientemente simple. ^[86] ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle r}$

Para funciones de intensidad más complicadas, se puede utilizar un método de aceptación-rechazo , que consiste en utilizar (o 'aceptar') sólo ciertos puntos aleatorios y no utilizar (o 'rechazar') los otros puntos, basándose en la relación:. ^[88]

${\displaystyle {\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x.}}}$

¿Dónde está el punto en consideración para la aceptación o el rechazo? ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$

Es decir, se selecciona de manera aleatoria uniforme una ubicación para su consideración, luego, para determinar si se debe colocar una muestra en esa ubicación, se compara un número extraído de manera aleatoria uniforme con la función de densidad de probabilidad , aceptándose si es menor que la función de densidad de probabilidad, y repitiéndose hasta que se haya extraído la cantidad de muestras elegida previamente. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\frac {\lambda (x)}{\Lambda (W)}}}$

Proceso general de puntos de Poisson

En la teoría de la medida , el proceso puntual de Poisson se puede generalizar aún más a lo que a veces se conoce como el proceso puntual general de Poisson ^{[20] [89]} o el proceso general de Poisson ^[76] mediante el uso de una medida de Radon , que es una medida localmente finita . En general, esta medida de Radon puede ser atómica, lo que significa que pueden existir múltiples puntos del proceso puntual de Poisson en la misma ubicación del espacio subyacente. En esta situación, el número de puntos en es una variable aleatoria de Poisson con media . ^[89] Pero a veces se supone lo inverso, por lo que la medida de Radon es difusa o no atómica. ^[20] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda ({x})}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Un proceso puntual es un proceso puntual de Poisson general con intensidad si tiene las dos propiedades siguientes: ^[20] ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

• El número de puntos en un conjunto de Borel acotado es una variable aleatoria de Poisson con media . En otras palabras, denotamos el número total de puntos ubicados en por , entonces la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a está dada por: ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}}$

• El número de puntos en conjuntos de Borel disjuntos forma variables aleatorias independientes. ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

La medida del radón mantiene su interpretación anterior de ser el número esperado de puntos ubicados en la región delimitada , es decir ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Además, si es absolutamente continua tal que tiene una densidad (que es la densidad de Radon-Nikodym o derivada) con respecto a la medida de Lebesgue, entonces para todos los conjuntos de Borel se puede escribir como: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x,}$

donde la densidad se conoce, entre otros términos, como función de intensidad. ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

Historia

Distribución de Poisson

A pesar de su nombre, el proceso puntual de Poisson no fue descubierto ni estudiado por su homónimo. Se cita como un ejemplo de la ley de epónimo de Stigler . ^{[2] [3]} El nombre surge de la relación inherente del proceso con la distribución de Poisson, derivada por Poisson como un caso límite de la distribución binomial . ^[90] Describe la probabilidad de la suma de ensayos de Bernoulli con probabilidad , a menudo comparada con el número de caras (o cruces) después de lanzamientos de moneda sesgados con la probabilidad de que ocurra una cara (o cruce) siendo . Para alguna constante positiva , a medida que aumenta hacia el infinito y disminuye hacia cero de modo que el producto es fijo, la distribución de Poisson se aproxima más a la del binomial. ^[91] ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$

Poisson derivó la distribución de Poisson, publicada en 1841, examinando la distribución binomial en el límite de (hasta cero) y (hasta el infinito). Solo aparece una vez en todo el trabajo de Poisson, ^[92] y el resultado no era muy conocido durante su época. En los años siguientes otros utilizaron la distribución sin citar a Poisson, incluidos Philipp Ludwig von Seidel y Ernst Abbe . ^{[93] [2]} A finales del siglo XIX, Ladislaus Bortkiewicz estudió la distribución, citando a Poisson, utilizando datos reales sobre el número de muertes por patadas de caballos en el ejército prusiano . ^{[90] [94]} ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

Descubrimiento

Existen varias afirmaciones sobre usos o descubrimientos tempranos del proceso de puntos de Poisson. ^{[2] [3]} Por ejemplo, John Michell en 1767, una década antes de que naciera Poisson, estaba interesado en la probabilidad de que una estrella estuviera dentro de una cierta región de otra estrella bajo la suposición errónea de que las estrellas estaban "dispersadas por mera casualidad", y estudió un ejemplo que consistía en las seis estrellas más brillantes de las Pléyades , sin derivar la distribución de Poisson. Este trabajo inspiró a Simon Newcomb a estudiar el problema y calcular la distribución de Poisson como una aproximación para la distribución binomial en 1860. ^[3]

A principios del siglo XX el proceso de Poisson (en una dimensión) surgiría de forma independiente en diferentes situaciones. ^{[2] [3]} En Suecia en 1903, Filip Lundberg publicó una tesis que contenía un trabajo, ahora considerado fundamental y pionero, donde proponía modelar las reclamaciones de seguros con un proceso de Poisson homogéneo. ^{[95] [96]}

En Dinamarca, A.K. Erlang derivó la distribución de Poisson en 1909 cuando desarrolló un modelo matemático para el número de llamadas telefónicas entrantes en un intervalo de tiempo finito. Erlang desconocía el trabajo anterior de Poisson y supuso que el número de llamadas telefónicas que llegaban en cada intervalo de tiempo eran independientes entre sí. Luego encontró el caso límite, que en realidad reformula la distribución de Poisson como un límite de la distribución binomial. ^[2]

En 1910, Ernest Rutherford y Hans Geiger publicaron resultados experimentales sobre el conteo de partículas alfa. Su trabajo experimental contó con contribuciones matemáticas de Harry Bateman , quien derivó las probabilidades de Poisson como solución a una familia de ecuaciones diferenciales, aunque la solución se había derivado antes, lo que resultó en el descubrimiento independiente del proceso de Poisson. ^[2] Después de esta época, hubo muchos estudios y aplicaciones del proceso de Poisson, pero su historia temprana es complicada, lo que se ha explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos, ecologistas, ingenieros y varios científicos físicos. ^[2]

Aplicaciones tempranas

Los años posteriores a 1909 dieron lugar a una serie de estudios y aplicaciones del proceso puntual de Poisson, sin embargo, su historia temprana es compleja, lo que se ha explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos , ecólogos, ingenieros y otros que trabajan en las ciencias físicas . Los primeros resultados se publicaron en diferentes idiomas y en diferentes entornos, sin que se utilizara una terminología y notación estándar. ^[2] Por ejemplo, en 1922, el químico sueco y premio Nobel Theodor Svedberg propuso un modelo en el que un proceso puntual de Poisson espacial es el proceso subyacente para estudiar cómo se distribuyen las plantas en las comunidades vegetales. ^[97] Varios matemáticos comenzaron a estudiar el proceso a principios de la década de 1930, y Andrey Kolmogorov , William Feller y Aleksandr Khinchin , ^[2] entre otros, hicieron importantes contribuciones. ^[98] En el campo de la ingeniería de teletráfico , los matemáticos y estadísticos estudiaron y utilizaron Poisson y otros procesos puntuales. ^[99]

Historia de los términos

El sueco Conny Palm, en su tesis doctoral de 1943 , estudió los procesos de Poisson y otros procesos puntuales en un entorno unidimensional, examinándolos en términos de la dependencia estadística o estocástica entre los puntos en el tiempo. ^{[100] [99]} En su obra existe el primer uso registrado conocido del término procesos puntuales como Punktprozesse en alemán. ^{[100] [3]}

Se cree ^[2] que William Feller fue el primero en referirse a él como el proceso de Poisson en un artículo de 1940. Aunque el sueco Ove Lundberg utilizó el término proceso de Poisson en su tesis doctoral de 1940, ^[3] en la que se reconoció a Feller como influencia, ^[101] se ha afirmado que Feller acuñó el término antes de 1940. ^[91] Se ha señalado que tanto Feller como Lundberg utilizaron el término como si fuera bien conocido, lo que implica que ya se usaba oralmente en ese entonces. ^[3] Feller trabajó de 1936 a 1939 junto a Harald Cramér en la Universidad de Estocolmo , donde Lundberg era estudiante de doctorado bajo la dirección de Cramér, quien no utilizó el término proceso de Poisson en un libro suyo, terminado en 1936, pero sí en ediciones posteriores, lo que ha llevado a la especulación de que el término proceso de Poisson fue acuñado en algún momento entre 1936 y 1939 en la Universidad de Estocolmo. ^[3]

Terminología

La terminología de la teoría de procesos puntuales en general ha sido criticada por ser demasiado variada. ^[3] Además de que la palabra punto a menudo se omite, ^{[65] [24]} el proceso de Poisson (puntual) homogéneo también se denomina proceso de Poisson (puntual) estacionario , ^[49] así como proceso de Poisson (puntual) uniforme . ^[44] El proceso de Poisson puntual no homogéneo, además de llamarse no homogéneo , ^[49] también se conoce como proceso de Poisson no estacionario . ^{[74] [102]}

El término proceso puntual ha sido criticado, ya que el término proceso puede sugerir en el tiempo y el espacio, un campo de puntos aleatorios , ^[103] lo que resulta en que también se utilicen los términos campo de puntos aleatorios de Poisson o campo de puntos de Poisson . ^[104] Un proceso puntual se considera, y a veces se denomina, una medida de conteo aleatorio, ^[105] por lo tanto, el proceso puntual de Poisson también se conoce como una medida aleatoria de Poisson , ^[106] un término utilizado en el estudio de los procesos de Lévy, ^{[106] [107]} pero algunos eligen usar los dos términos para los procesos puntuales de Poisson definidos en dos espacios subyacentes diferentes. ^[108]

El espacio matemático subyacente del proceso puntual de Poisson se denomina espacio portador , ^{[109] [110]} o espacio de estados , aunque este último término tiene un significado diferente en el contexto de los procesos estocásticos. En el contexto de los procesos puntuales, el término "espacio de estados" puede significar el espacio en el que se define el proceso puntual, como la línea real, ^{[111] [112]} que corresponde al conjunto de índices ^[113] o al conjunto de parámetros ^[114] en la terminología de los procesos estocásticos.

La medida se denomina medida de intensidad , ^[115] medida media , ^[38] o medida de parámetro , ^[69] ya que no hay términos estándar. ^[38] Si tiene una derivada o densidad, denotada por , se denomina función de intensidad del proceso puntual de Poisson. ^[20] Para el proceso puntual de Poisson homogéneo, la derivada de la medida de intensidad es simplemente una constante , a la que se puede hacer referencia como la tasa , generalmente cuando el espacio subyacente es la línea real, o la intensidad . ^[44] También se denomina tasa media o densidad media ^[116] o tasa . ^[34] Para , el proceso correspondiente a veces se denomina proceso (puntual) de Poisson estándar . ^{[45] [59] [117]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda =1}$

La extensión del proceso puntual de Poisson a veces se denomina exposición . ^{[118] [119]}

Notación

La notación del proceso puntual de Poisson depende de su configuración y del campo en el que se aplica. Por ejemplo, en la línea real, el proceso de Poisson, tanto homogéneo como no homogéneo, a veces se interpreta como un proceso de conteo y la notación se utiliza para representar el proceso de Poisson. ^{[31] [34]} ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$

Otra razón para variar la notación se debe a la teoría de procesos puntuales, que tiene un par de interpretaciones matemáticas. Por ejemplo, un proceso puntual de Poisson simple puede considerarse como un conjunto aleatorio, lo que sugiere la notación , lo que implica que es un punto aleatorio que pertenece o es un elemento del proceso puntual de Poisson . Otra interpretación, más general, es considerar un proceso puntual de Poisson o cualquier otro como una medida de conteo aleatoria, por lo que se puede escribir el número de puntos de un proceso puntual de Poisson que se encuentran o se ubican en alguna región (medible por Borel) como , que es una variable aleatoria. Estas diferentes interpretaciones dan como resultado que se utilice notación de campos matemáticos como la teoría de la medida y la teoría de conjuntos. ^[120] ${\displaystyle \textstyle x\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle N(B)}$

Para los procesos puntuales generales, a veces se incluye un subíndice en el símbolo del punto, por ejemplo , de modo que se escribe (con notación de conjunto) en lugar de , y se puede usar para la variable ligada en expresiones integrales como el teorema de Campbell, en lugar de denotar puntos aleatorios. ^[18] A veces, una letra mayúscula denota el proceso puntual, mientras que una minúscula denota un punto del proceso, de modo que, por ejemplo, el punto o pertenece a o es un punto del proceso puntual , y se puede escribir con notación de conjunto como o . ^[112] ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle x\in X}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}\in X}$

Además, la teoría de conjuntos y la notación de la teoría integral o de la medida se pueden utilizar indistintamente. Por ejemplo, para un proceso puntual definido en el espacio de estados euclidiano y una función (medible) en , la expresión ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathbb {R} ^{d}}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),}$

demuestra dos formas diferentes de escribir una suma sobre un proceso puntual (véase también el teorema de Campbell (probabilidad) ). Más específicamente, la notación integral en el lado izquierdo interpreta el proceso puntual como una medida de conteo aleatoria, mientras que la suma en el lado derecho sugiere una interpretación de conjunto aleatorio. ^[120]

Funcionales y medidas de momento

En la teoría de la probabilidad, las operaciones se aplican a variables aleatorias con diferentes propósitos. A veces, estas operaciones son expectativas regulares que producen el promedio o la varianza de una variable aleatoria. Otras, como las funciones características (o transformadas de Laplace) de una variable aleatoria, se pueden utilizar para identificar o caracterizar de forma única las variables aleatorias y demostrar resultados como el teorema del límite central. ^[121] En la teoría de procesos puntuales existen herramientas matemáticas análogas que suelen presentarse en forma de medidas y funcionales en lugar de momentos y funciones respectivamente. ^{[122] [123]}

Funcionales de Laplace

Para un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad en algún espacio , la funcional de Laplace viene dada por: ^[18] ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

Una versión del teorema de Campbell involucra la funcional de Laplace del proceso puntual de Poisson.

Funcionales generadores de probabilidad

La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria de valor entero no negativo hace que la función generadora de probabilidad se defina de manera análoga con respecto a cualquier función acotada no negativa en tal que . Para un proceso puntual, la función generadora de probabilidad se define como: ^[124] ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

donde el producto se realiza para todos los puntos en . Si la medida de intensidad de es localmente finita, entonces está bien definida para cualquier función medible en . Para un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad, la función generadora está dada por: ${\textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\textstyle G}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

que en el caso homogéneo se reduce a

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

Medida de momento

Para un proceso puntual de Poisson general con medida de intensidad, la primera medida del momento es su medida de intensidad: ^{[18] [19]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

lo que para un proceso puntual de Poisson homogéneo con intensidad constante significa: ${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

donde es la longitud, el área o el volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de . ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

La ecuación de Mecke

La ecuación de Mecke caracteriza el proceso puntual de Poisson. Sea el espacio de todas las medidas -finitas en algún espacio general . Un proceso puntual con intensidad en es un proceso puntual de Poisson si y solo si para todas las funciones mensurables se cumple lo siguiente ${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \Pr \left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \Pr \left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

Para más detalles véase. ^[125]

Medida del momento factorial

Para un proceso puntual de Poisson general con medida de intensidad, la medida del momento factorial -ésimo se da mediante la expresión: ^[126] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

donde es la medida de intensidad o medida del primer momento de , que para algún conjunto de Borel está dada por ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Para un proceso puntual de Poisson homogéneo la medida del momento factorial -ésimo es simplemente: ^{[18] [19]} ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

donde es la longitud, área o volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de . Además, la densidad de momento factorial -ésima es: ^[126] ${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

Función de evitación

La función de evitación ^[71] o probabilidad nula ^[120] de un proceso puntual se define en relación con algún conjunto , que es un subconjunto del espacio subyacente , como la probabilidad de que no existan puntos en . Más precisamente, ^[127] para un conjunto de prueba , la función de evitación viene dada por: ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle v(B)=\Pr\{N(B)=0\}.}$

Para un proceso puntual de Poisson general con medida de intensidad , su función de evitación viene dada por: ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle v(B)=e^{-\Lambda (B)}}$

Teorema de Rényi

Los procesos puntuales simples se caracterizan completamente por sus probabilidades nulas. ^[128] En otras palabras, la información completa de un proceso puntual simple se captura completamente en sus probabilidades nulas, y dos procesos puntuales simples tienen las mismas probabilidades nulas si y solo si son los mismos procesos puntuales. El caso del proceso de Poisson a veces se conoce como el teorema de Rényi , que lleva el nombre de Alfréd Rényi, quien descubrió el resultado para el caso de un proceso puntual homogéneo en una dimensión. ^[129]

En una forma, ^[129] el teorema de Rényi dice para una medida de Radon difusa (o no atómica) en y un conjunto es una unión finita de rectángulos (por lo que no Borel ^[d] ) que si es un subconjunto contable de tal que: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$

entonces es un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad . ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Operaciones de proceso de puntos

Se pueden realizar operaciones matemáticas sobre procesos puntuales para obtener nuevos procesos puntuales y desarrollar nuevos modelos matemáticos para las ubicaciones de ciertos objetos. Un ejemplo de operación es el conocido como adelgazamiento, que implica eliminar o quitar los puntos de algún proceso puntual según una regla, creando un nuevo proceso con los puntos restantes (los puntos eliminados también forman un proceso puntual). ^[131]

Adelgazamiento

Para el proceso de Poisson, las operaciones de adelgazamiento independientes dan como resultado otro proceso puntual de Poisson. Más específicamente, una operación de adelgazamiento aplicada a un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad da como resultado un proceso puntual de puntos eliminados que también es un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad , que para un conjunto de Borel acotado viene dado por: ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

Este resultado de adelgazamiento del proceso puntual de Poisson se conoce a veces como teorema de Prekopa . ^[132] Además, después de adelgazar aleatoriamente un proceso puntual de Poisson, los puntos mantenidos o restantes también forman un proceso puntual de Poisson, que tiene la medida de intensidad

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

Los dos procesos puntuales de Poisson separados formados respectivamente a partir de los puntos eliminados y mantenidos son estocásticamente independientes entre sí. ^[131] En otras palabras, si se sabe que una región contiene puntos mantenidos (del proceso puntual de Poisson original), esto no tendrá influencia en el número aleatorio de puntos eliminados en la misma región. Esta capacidad de crear aleatoriamente dos procesos puntuales de Poisson independientes a partir de uno a veces se conoce como división ^{[133] [134]} del proceso puntual de Poisson. ${\displaystyle \textstyle n}$

Superposición

Si existe una colección contable de procesos puntuales , entonces su superposición, o, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, su unión, que es ^[135] ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

También forma un proceso puntual. En otras palabras, cualquier punto ubicado en cualquiera de los procesos puntuales también estará ubicado en la superposición de estos procesos puntuales . ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

Teorema de superposición

El teorema de superposición del proceso puntual de Poisson dice que la superposición de procesos puntuales de Poisson independientes con medidas medias también será un proceso puntual de Poisson con medidas medias ^{[136] [91]} ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$

${\displaystyle \Lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.}$

En otras palabras, la unión de dos (o más) procesos de Poisson es otro proceso de Poisson. Si se toma un punto de una unión contable de procesos de Poisson, entonces la probabilidad de que el punto pertenezca al proceso de Poisson está dada por: ${\textstyle x}$ ${\textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle N_{j}}$

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\Lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\Lambda _{i}}}.}$

Para dos procesos de Poisson homogéneos con intensidades , las dos expresiones anteriores se reducen a ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2}\dots }$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i},}$

y

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}.}$

Agrupamiento

La operación de agrupamiento se realiza cuando cada punto de un proceso puntual se reemplaza por otro proceso puntual (posiblemente diferente). Si el proceso original es un proceso puntual de Poisson, entonces el proceso resultante se denomina proceso puntual de agrupamiento de Poisson. ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$

Desplazamiento aleatorio

Un modelo matemático puede requerir mover aleatoriamente puntos de un proceso puntual a otras ubicaciones en el espacio matemático subyacente, lo que da lugar a una operación de proceso puntual conocida como desplazamiento ^[137] o traslación. ^[138] El proceso puntual de Poisson se ha utilizado para modelar, por ejemplo, el movimiento de plantas entre generaciones, debido al teorema de desplazamiento, ^[137] que dice vagamente que el desplazamiento independiente aleatorio de puntos de un proceso puntual de Poisson (en el mismo espacio subyacente) forma otro proceso puntual de Poisson.

Teorema de desplazamiento

Una versión del teorema de desplazamiento ^[137] implica un proceso puntual de Poisson en con función de intensidad . Luego se supone que los puntos de están desplazados aleatoriamente en algún otro lugar en de modo que el desplazamiento de cada punto es independiente y que el desplazamiento de un punto anteriormente en es un vector aleatorio con una densidad de probabilidad . ^[e] Entonces el nuevo proceso puntual es también un proceso puntual de Poisson con función de intensidad ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \rho (x,\cdot )}$ ${\displaystyle \textstyle N_{D}}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\lambda (x)\rho (x,y)\,\mathrm {d} x.}$

Si el proceso de Poisson es homogéneo con y si es una función de , entonces ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)=\lambda >0}$ ${\displaystyle \rho (x,y)}$ ${\displaystyle y-x}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\lambda .}$

En otras palabras, después de cada desplazamiento aleatorio e independiente de puntos, el proceso puntual de Poisson original todavía existe.

El teorema de desplazamiento se puede extender de modo que los puntos de Poisson se desplacen aleatoriamente de un espacio euclidiano a otro espacio euclidiano , donde no es necesariamente igual a . ^[18] ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d'}}$ ${\displaystyle \textstyle d'\geq 1}$ ${\displaystyle \textstyle d}$

Cartografía

Otra propiedad que se considera útil es la capacidad de mapear un proceso puntual de Poisson desde un espacio subyacente a otro espacio. ^[139]

Teorema de mapeo

Si la aplicación (o transformación) se adhiere a algunas condiciones, entonces la colección de puntos resultantes aplicada (o transformada) también forma un proceso puntual de Poisson, y este resultado a veces se conoce como el teorema de aplicación . ^{[139] [140]} El teorema involucra algún proceso puntual de Poisson con medida media en algún espacio subyacente. Si las ubicaciones de los puntos se asignan (es decir, el proceso puntual se transforma) de acuerdo con alguna función a otro espacio subyacente, entonces el proceso puntual resultante también es un proceso puntual de Poisson pero con una medida media diferente . ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

Más específicamente, se puede considerar una función (medible según Borel) que mapea un proceso puntual con una medida de intensidad de un espacio a otro espacio de tal manera que el nuevo proceso puntual tenga la medida de intensidad: ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle S}$ ${\displaystyle \textstyle T}$ ${\displaystyle \textstyle {N}'}$

${\displaystyle \Lambda (B)'=\Lambda (f^{-1}(B))}$

sin átomos, donde es un conjunto de Borel y denota la inversa de la función . Si es un proceso puntual de Poisson, entonces el nuevo proceso también es un proceso puntual de Poisson con la medida de intensidad . ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}'}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

Aproximaciones con procesos puntuales de Poisson

La manejabilidad del proceso de Poisson significa que a veces es conveniente aproximar un proceso puntual no Poisson con un proceso Poisson. El objetivo general es aproximar tanto el número de puntos de algún proceso puntual como la ubicación de cada punto mediante un proceso puntual Poisson. ^[141] Hay varios métodos que se pueden utilizar para justificar, de manera informal o rigurosa, la aproximación de la ocurrencia de eventos o fenómenos aleatorios con procesos puntuales Poisson adecuados. Los métodos más rigurosos implican la derivación de límites superiores en las métricas de probabilidad entre los procesos puntuales Poisson y no Poisson, mientras que otros métodos se pueden justificar mediante heurísticas menos formales. ^[142]

Heurística de agrupamiento

Un método para aproximar eventos o fenómenos aleatorios con procesos de Poisson se llama heurística de agrupamiento . ^[143] La heurística o principio general implica el uso del proceso puntual de Poisson (o distribución de Poisson) para aproximar eventos, que se consideran raros o improbables, de algún proceso estocástico. En algunos casos, estos eventos raros están cerca de ser independientes, por lo tanto, se puede utilizar un proceso puntual de Poisson. Cuando los eventos no son independientes, sino que tienden a ocurrir en grupos o agrupaciones , entonces si estas agrupaciones se definen adecuadamente de modo que sean aproximadamente independientes entre sí, entonces el número de agrupaciones que ocurren será cercano a una variable aleatoria de Poisson ^[142] y las ubicaciones de las agrupaciones serán cercanas a un proceso de Poisson. ^[143]

El método de Stein

El método de Stein es una técnica matemática desarrollada originalmente para aproximar variables aleatorias como las variables gaussianas y de Poisson, que también se ha aplicado a procesos puntuales. El método de Stein se puede utilizar para derivar límites superiores en métricas de probabilidad , que permiten cuantificar cómo varían estocásticamente dos objetos matemáticos aleatorios diferentes. ^{[141] [144]} Se han derivado límites superiores en métricas de probabilidad como la variación total y la distancia de Wasserstein . ^[141]

Los investigadores han aplicado el método de Stein a los procesos puntuales de Poisson de varias maneras, ^[141] como por ejemplo utilizando el cálculo de Palm . ^[110] Se han desarrollado técnicas basadas en el método de Stein para factorizar en los límites superiores los efectos de ciertas operaciones de procesos puntuales como el adelgazamiento y la superposición. ^{[145] [146]} El método de Stein también se ha utilizado para derivar límites superiores en métricas de Poisson y otros procesos como el proceso puntual de Cox , que es un proceso de Poisson con una medida de intensidad aleatoria. ^[141]

Convergencia a un proceso puntual de Poisson

En general, cuando se aplica una operación a un proceso puntual general, el proceso resultante no suele ser un proceso puntual de Poisson. Por ejemplo, si un proceso puntual, distinto de Poisson, tiene sus puntos desplazados aleatoriamente e independientemente, entonces el proceso no necesariamente será un proceso puntual de Poisson. Sin embargo, bajo ciertas condiciones matemáticas tanto para el proceso puntual original como para el desplazamiento aleatorio, se ha demostrado mediante teoremas límite que si los puntos de un proceso puntual se desplazan repetidamente de manera aleatoria e independiente, entonces la distribución finita del proceso puntual convergerá (débilmente) a la de un proceso puntual de Poisson. ^[147]

Se han desarrollado resultados de convergencia similares para operaciones de adelgazamiento y superposición ^[147] que muestran que tales operaciones repetidas en procesos puntuales pueden, bajo ciertas condiciones, dar como resultado que el proceso converja a un proceso puntual de Poisson, siempre que se realice un reescalado adecuado de la medida de intensidad (de lo contrario, los valores de la medida de intensidad de los procesos puntuales resultantes se acercarían a cero o al infinito). Este trabajo de convergencia está directamente relacionado con los resultados conocidos como ecuaciones de Palm-Khinchin ^[f] , que tienen su origen en el trabajo de Conny Palm y Aleksandr Khinchin [ ^148] y ayudan a explicar por qué el proceso de Poisson a menudo se puede utilizar como modelo matemático de varios fenómenos aleatorios. ^[147]

Generalizaciones de los procesos puntuales de Poisson

El proceso puntual de Poisson se puede generalizar, por ejemplo, modificando su medida de intensidad o definiéndolo en espacios matemáticos más generales. Estas generalizaciones se pueden estudiar matemáticamente y también se pueden utilizar para modelar o representar matemáticamente fenómenos físicos.

Medidas aleatorias de tipo Poisson

Las medidas aleatorias de tipo Poisson (PT) son una familia de tres medidas de conteo aleatorias que están cerradas bajo restricción a un subespacio, es decir, cerradas bajo la operación de proceso de punto#Thinning . Estas medidas aleatorias son ejemplos del proceso binomial mixto y comparten la propiedad de autosimilitud distribucional de la medida aleatoria de Poisson . Son los únicos miembros de la familia de distribuciones de series de potencias no negativas canónicas que poseen esta propiedad e incluyen la distribución de Poisson , la distribución binomial negativa y la distribución binomial . La medida aleatoria de Poisson es independiente de subespacios disjuntos, mientras que las otras medidas aleatorias PT (binomial negativa y binomial) tienen covarianzas positivas y negativas. Las medidas aleatorias PT se discuten ^[149] e incluyen la medida aleatoria de Poisson , la medida aleatoria binomial negativa y la medida aleatoria binomial.

Procesos puntuales de Poisson en espacios más generales

Para los modelos matemáticos, el proceso puntual de Poisson se define a menudo en el espacio euclidiano, ^{[1] [38]} pero se ha generalizado a espacios más abstractos y juega un papel fundamental en el estudio de medidas aleatorias, ^{[150] [151]} lo que requiere una comprensión de campos matemáticos como la teoría de la probabilidad, la teoría de la medida y la topología. ^[152]

En general, el concepto de distancia es de interés práctico para las aplicaciones, mientras que la estructura topológica es necesaria para las distribuciones de Palm, lo que significa que los procesos puntuales suelen definirse en espacios matemáticos con métricas. ^[153] Además, una realización de un proceso puntual puede considerarse como una medida de conteo, por lo que los procesos puntuales son tipos de medidas aleatorias conocidas como medidas de conteo aleatorias. ^[117] En este contexto, los procesos de Poisson y otros procesos puntuales se han estudiado en un segundo espacio de Hausdorff contable localmente compacto. ^[154]

Proceso de puntos de Cox

Un proceso puntual de Cox , proceso de Cox o proceso de Poisson doblemente estocástico es una generalización del proceso puntual de Poisson al permitir que su medida de intensidad también sea aleatoria e independiente del proceso de Poisson subyacente. El proceso recibe su nombre de David Cox , quien lo introdujo en 1955, aunque Lucien Le Cam y Maurice Quenouille habían introducido anteriormente de forma independiente otros procesos de Poisson con intensidades aleatorias. ^[3] La medida de intensidad puede ser una realización de una variable aleatoria o un campo aleatorio. Por ejemplo, si el logaritmo de la medida de intensidad es un campo aleatorio gaussiano , entonces el proceso resultante se conoce como proceso de Cox log gaussiano . ^[155] De manera más general, las medidas de intensidad son una realización de una medida aleatoria localmente finita no negativa. Los procesos puntuales de Cox exhiben una agrupación de puntos, que se puede demostrar matemáticamente que es mayor que la de los procesos puntuales de Poisson. La generalidad y manejabilidad de los procesos de Cox ha dado lugar a que se utilicen como modelos en campos como la estadística espacial ^[156] y las redes inalámbricas. ^[19] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Proceso de puntos de Poisson marcados

Ilustración de un proceso de punto marcado, donde el proceso de punto no marcado se define en la línea real positiva, que a menudo representa el tiempo. Las marcas aleatorias toman valores en el espacio de estados conocido como espacio de marcas . Cualquier proceso de punto marcado de este tipo se puede interpretar como un proceso de punto no marcado en el espacio . El teorema de marcado dice que si el proceso de punto no marcado original es un proceso de punto de Poisson y las marcas son estocásticamente independientes, entonces el proceso de punto marcado también es un proceso de punto de Poisson en . Si el proceso de punto de Poisson es homogéneo, entonces los espacios en el diagrama se dibujan a partir de una distribución exponencial. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [0,\infty ]\times S}$ ${\displaystyle [0,\infty ]\times S}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$

Para un proceso puntual dado, cada punto aleatorio de un proceso puntual puede tener un objeto matemático aleatorio, conocido como marca , asignado aleatoriamente a él. Estas marcas pueden ser tan diversas como números enteros, números reales, líneas, objetos geométricos u otros procesos puntuales. ^{[157] [158]} El par que consiste en un punto del proceso puntual y su marca correspondiente se denomina punto marcado, y todos los puntos marcados forman un proceso puntual marcado . ^[159] A menudo se supone que las marcas aleatorias son independientes entre sí y se distribuyen de manera idéntica, pero la marca de un punto aún puede depender de la ubicación de su punto correspondiente en el espacio (de estados) subyacente. ^[160] Si el proceso puntual subyacente es un proceso puntual de Poisson, entonces el proceso puntual resultante es un proceso puntual de Poisson marcado . ^[161]

Teorema de marcado

Si se define un proceso puntual general en algún espacio matemático y las marcas aleatorias se definen en otro espacio matemático, entonces el proceso puntual marcado se define en el producto cartesiano de estos dos espacios. Para un proceso puntual de Poisson marcado con marcas independientes e idénticamente distribuidas, el teorema de marcado ^{[160] [162]} establece que este proceso puntual marcado es también un proceso puntual de Poisson (no marcado) definido en el producto cartesiano mencionado anteriormente de los dos espacios matemáticos, lo que no es cierto para los procesos puntuales generales.

Proceso de puntos de Poisson compuesto

El proceso de puntos de Poisson compuesto o proceso de Poisson compuesto se forma añadiendo valores aleatorios o pesos a cada punto del proceso de puntos de Poisson definido en algún espacio subyacente, por lo que el proceso se construye a partir de un proceso de puntos de Poisson marcado, donde las marcas forman una colección de variables aleatorias no negativas independientes e idénticamente distribuidas . En otras palabras, para cada punto del proceso de Poisson original, hay una variable aleatoria no negativa independiente e idénticamente distribuida, y luego el proceso de Poisson compuesto se forma a partir de la suma de todas las variables aleatorias correspondientes a puntos del proceso de Poisson ubicados en alguna región del espacio matemático subyacente. ^[163]

Si hay un proceso puntual de Poisson marcado formado a partir de un proceso puntual de Poisson (definido en, por ejemplo, ) y una colección de marcas no negativas independientes e idénticamente distribuidas tales que para cada punto del proceso de Poisson hay una variable aleatoria no negativa , el proceso de Poisson compuesto resultante es entonces: ^[164] ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle M_{i}}$

${\displaystyle C(B)=\sum _{i=1}^{N(B)}M_{i},}$

donde es un conjunto medible de Borel. ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

Si las variables aleatorias generales toman valores en, por ejemplo, el espacio euclidiano de dimensión , el proceso de Poisson compuesto resultante es un ejemplo de un proceso de Lévy siempre que se forme a partir de un proceso puntual homogéneo definido en los números no negativos . ^[165] ${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle [0,\infty )}$

Proceso de falla con suavizado exponencial de funciones de intensidad

El proceso de falla con suavizado exponencial de funciones de intensidad (FP-ESI) es una extensión del proceso de Poisson no homogéneo. La función de intensidad de un FP-ESI es una función de suavizado exponencial de las funciones de intensidad en los últimos puntos temporales de ocurrencia de eventos y supera a otros nueve procesos estocásticos en 8 conjuntos de datos de falla del mundo real cuando los modelos se utilizan para ajustar los conjuntos de datos, ^[166] donde el desempeño del modelo se mide en términos de AIC ( criterio de información de Akaike ) y BIC ( criterio de información bayesiano ).

Véase también

• Modelo booleano (teoría de la probabilidad)
• Teoría de la percolación continua
• Proceso de Poisson compuesto
• Proceso de Cox
• Proceso de puntos
• Geometría estocástica
• Modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas
• Procesos de llegada markovianos

Notas

1. Véase la Sección 2.3.2 de Chiu, Stoyan, Kendall, Mecke ^[1] o la Sección 1.3 de Kingman. ^[24]
2. Por ejemplo, es posible que un evento que no sucede en el sentido de la teoría de colas sea un evento en el sentido de la teoría de la probabilidad.
3. En lugar de y , se podría escribir, por ejemplo, en coordenadas polares (bidimensionales) y , donde y denotan las coordenadas radiales y angulares respectivamente, y por lo tanto sería un elemento de área en este ejemplo. ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} }x}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (r,\theta )}$ ${\textstyle r\,dr\,d\theta }$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} }x}$
4. Este conjunto está formado por un número finito de uniones, mientras que un conjunto de Borel está formado por un número contable de operaciones de conjunto. ^[130] ${\displaystyle \textstyle A}$
5. Kingman ^[137] llama a esto una densidad de probabilidad, pero en otros recursos esto se llama un núcleo de probabilidad . ^[18]
6. También se escribe Palm–Khintchine, por ejemplo, en Point Processes de Cox & Isham (1980, pág. 41)

Referencias

Específico

1. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-65825-3.
2. Stirzaker, David (2000). "Consejos para los erizos, o, Las constantes pueden variar". The Mathematical Gazette . 84 (500): 197–210. doi :10.2307/3621649. ISSN  0025-5572. JSTOR  3621649. S2CID  125163415.
3. Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "¿Qué pasó con el caos discreto, el proceso de Quenouille y la propiedad de Sharp Markov? Un poco de historia de los procesos puntuales estocásticos". Revista estadística internacional . 80 (2): 253–268. doi :10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN  0306-7734. S2CID  80836.
4. GJ Babu y ED Feigelson. Procesos puntuales espaciales en astronomía. Journal of statistical planning and inference , 50(3):311–326, 1996.
5. HG Othmer, SR Dunbar y W. Alt. Modelos de dispersión en sistemas biológicos. Journal of mathematics biology , 26(3):263–298, 1988.
6. H. Thompson. Procesos puntuales espaciales, con aplicaciones a la ecología. Biometrika , 42(1/2):102–115, 1955.
7. CB Connor y BE Hill. Tres modelos de Poisson no homogéneos para la probabilidad de vulcanismo basáltico: aplicación a la región montañosa de Yucca, Nevada. Journal of Geophysical Research: Solid Earth (1978–2012) , 100(B6):10107–10125, 1995.
8. Gardner, JK; Knopoff, L. (1974). "¿Es la secuencia de terremotos en el sur de California, sin réplicas, de tipo poissoniano?". Boletín de la Sociedad Sismológica de América . 64 (5): 1363–1367. Bibcode :1974BuSSA..64.1363G. doi :10.1785/BSSA0640051363. S2CID  131035597.
9. JD Scargle. Estudios en análisis de series temporales astronómicas. v. bloques bayesianos, un nuevo método para analizar la estructura en datos de conteo de fotones. The Astrophysical Journal , 504(1):405, 1998.
10. P. Aghion y P. Howitt. Un modelo de crecimiento a través de la destrucción creativa. Econometrica , 60(2). 323–351, 1992.
11. M. Bertero, P. Boccacci, G. Desidera y G. Vicidomini. Desenfoque de imágenes con datos de Poisson: de células a galaxias. Inverse Problems , 25(12):123006, 2009.
12. "El color del ruido".
13. F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, volumen II: aplicaciones , volumen 4, n.º 1-2 de Fundamentos y tendencias en redes . NoW Publishers, 2009.
14. M. Haenggi, J. Andrews, F. Baccelli, O. Dousse y M. Franceschetti. Geometría estocástica y gráficos aleatorios para el análisis y diseño de redes inalámbricas. IEEE JSAC , 27(7):1029–1046, septiembre de 2009.
15. Leonard Kleinrock (1976). Sistemas de colas: teoría . Wiley. ISBN 978-0-471-49110-1.
16. A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 de octubre de 2006). Geometría estocástica: conferencias dictadas en la Escuela de verano del CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004. Springer. p. 10. ISBN 978-3-540-38175-4.
17. JG Andrews, RK Ganti, M. Haenggi, N. Jindal y S. Weber. Introducción al modelado y análisis espacial en redes inalámbricas. Revista de comunicaciones, IEEE , 48(11):156–163, 2010.
18. F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, volumen I – Teoría , volumen 3, n.º 3-4 de Fundamentos y tendencias en redes . NoW Publishers, 2009.
19. Martin Haenggi (2013). Geometría estocástica para redes inalámbricas. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01469-5.
20. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 51–52. ISBN 978-1-118-65825-3.
21. A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 de octubre de 2006). Geometría estocástica: conferencias dictadas en la Escuela de verano del CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004. Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
22. Jesper Moller; Rasmus Plenge Waagepetersen (25 de septiembre de 2003). Inferencia estadística y simulación de procesos puntuales espaciales. Prensa CRC. ISBN 978-0-203-49693-0.
23. R. Meester y R. Roy. Percolación continua, volumen 119 de Cambridge Tracts in Mathematics, 1996.
24. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-159124-2.
25. Daley y Vere-Jones (2003), pág. 27.
26. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 35-36. ISBN 978-1-118-65825-3.
27. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 41 y 51. ISBN 978-1-118-65825-3.
28. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 41–42. ISBN 978-1-118-65825-3.
29. Daley y Vere-Jones (2003), pág. 22.
30. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pp. 73–76. ISBN 978-0-19-159124-2.
31. HC Tijms (18 de abril de 2003). Un primer curso sobre modelos estocásticos. John Wiley & Sons. págs. 1–2. ISBN 978-0-471-49880-3.
32. Daley y Vere-Jones (2003), págs. 26–37.
33. HC Tijms (18 de abril de 2003). Un primer curso sobre modelos estocásticos. John Wiley & Sons. págs. 1 y 9. ISBN 978-0-471-49880-3.
34. Sheldon M. Ross (1996). Procesos estocásticos. Wiley. págs. 59-60. ISBN 978-0-471-12062-9.
35. A. Baddeley. Un curso intensivo de geometría estocástica. Geometría estocástica: probabilidad y cálculo. Eds. OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, HNN van Lieshout (Londres: Chapman and Hall) , páginas 1–35, 1999.
36. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. Págs. 1–2. ISBN 978-0-387-21337-8.
37. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 110-111. ISBN 978-1-118-65825-3.
38. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. págs. 11-12. ISBN 978-0-19-159124-2.
39. Daley y Vere-Jones (2003), págs. 34-39.
40. Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura . Springer. pág. 26. ISBN. 978-0387213378.
41. Jesper Moller; Rasmus Plenge Waagepetersen (25 de septiembre de 2003). Inferencia estadística y simulación de procesos puntuales espaciales. Prensa CRC. págs. 15-16. ISBN 978-0-203-49693-0.
42. Roy L. Streit (15 de septiembre de 2010). Procesos puntuales de Poisson: obtención de imágenes, seguimiento y detección. Springer Science & Business Media. págs. 7-8. ISBN 978-1-4419-6923-1.
43. W. Feller. Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, vol. ii pod. 1974.
44. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pág. 13. ISBN 978-0-19-159124-2.
45. Jesper Moller; Rasmus Plenge Waagepetersen (25 de septiembre de 2003). Inferencia estadística y simulación de procesos puntuales espaciales. Prensa CRC. pag. 14.ISBN​ 978-0-203-49693-0.
46. Daley y Vere-Jones (2003), pág. 20.
47. HC Tijms (18 de abril de 2003). Un primer curso sobre modelos estocásticos. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49880-3.
48. Sheldon M. Ross (1996). Procesos estocásticos. Wiley. pág. 64. ISBN 978-0-471-12062-9.
49. Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura . Springer. pág. 19. ISBN. 978-0387213378.
50. Daley y Vere-Jones (2003), págs. 19-23.
51. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pág. 42. ISBN 978-0-19-159124-2.
52. Henk C. Tijms (6 de mayo de 2003). Un primer curso sobre modelos estocásticos. Wiley. pp. 2-3. ISBN 978-0-471-49881-0.
53. Sheldon M. Ross (1996). Procesos estocásticos. Wiley. Págs. 35-36. ISBN. 978-0-471-12062-9.
54. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. págs. 38-39. ISBN 978-0-19-159124-2.
55. Daley y Vere-Jones (2003), págs. 29-30.
56. Sheldon M. Ross (1996). Procesos estocásticos. Wiley. pág. 151. ISBN 978-0-471-12062-9.
57. Cox e Isham (1980), pág. 25.
58. Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura . Springer. pág. 29. ISBN. 978-0387213378.
59. E. Merzbach y D. Nualart. Una caracterización del proceso de Poisson espacial y el cambio de tiempo. The Annals of Probability , 14(4):1380–1390, 1986.
60. Feigin, Paul D. (1979). "Sobre la caracterización de procesos puntuales con la propiedad estadística del orden". Journal of Applied Probability . 16 (2): 297–304. doi :10.2307/3212898. JSTOR  3212898. S2CID  123904407.
61. Sheldon M. Ross (1996). Procesos estocásticos. Wiley. pág. 235. ISBN 978-0-471-12062-9.
62. A. Papoulis y SU Pillai. Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos . Tata McGraw-Hill Education, 2002.
63. Cox e Isham (1980), pág. 3.
64. D. Snyder y M. Miller. Procesos puntuales aleatorios en el tiempo y el espacio 2.ª edición, Springer-Verlag. Nueva York, NY , 1991.
65. Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura . Springer. ISBN 978-0387213378.
66. Lawson, AB (1993). "Un residuo de desviación para procesos de Poisson espaciales heterogéneos". Biometrics . 49 (3): 889–897. doi :10.2307/2532210. JSTOR  2532210.
67. Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura . Springer. Págs. 19-23. ISBN. 978-0387213378.
68. Lee, C.-H.; Shih, C.-Y.; Chen, Y.-S. (2012). "Modelos basados ​​en geometría estocástica para modelar redes celulares en áreas urbanas". Redes inalámbricas . 19 (6): 1063–1072. doi :10.1007/s11276-012-0518-0. S2CID  8409538.
69. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. pág. 31. ISBN 978-0-387-21337-8.
70. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 38-40 y 53-54. ISBN 978-1-118-65825-3.
71. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: volumen II: teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. pág. 25. ISBN 978-0-387-21337-8.
72. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. p. X. ISBN 978-0-19-159124-2.
73. Roy L. Streit (15 de septiembre de 2010). Procesos puntuales de Poisson: obtención de imágenes, seguimiento y detección. Springer Science & Business Media. pág. 6. ISBN 978-1-4419-6923-1.
74. HC Tijms (18 de abril de 2003). Un primer curso sobre modelos estocásticos. John Wiley & Sons. págs. 22-23. ISBN 978-0-471-49880-3.
75. L. Citi; D. Ba; EN Brown y R. Barbieri (2014). "Métodos de verosimilitud para procesos puntuales con refractariedad" (PDF) . Neural Computation . 26 (2): 237–263. doi :10.1162/NECO_a_00548. hdl : 1721.1/85015 . PMID  24206384. S2CID  1436173.
76. A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 de octubre de 2006). Geometría estocástica: conferencias dictadas en la Escuela de verano del CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004. Springer. p. 12. ISBN 978-3-540-38175-4.
77. Sheldon M. Ross (1996). Procesos estocásticos. Wiley. Págs. 78-81. ISBN. 978-0-471-12062-9.
78. A. Heuer, C. Mueller y O. Rubner. Fútbol: ¿Marcar goles es un proceso poissoniano predecible? EPL , 89(3):38007, 2010.
79. JY Hwang, W. Kuo y C. Ha. Modelado del rendimiento de circuitos integrados mediante un proceso de Poisson no homogéneo espacial. Semiconductor Manufacturing, IEEE Transactions on , 24(3):377–384, 2011.
80. M. Krko{\vs}ek, MA Lewis y JP Volpe. Dinámica de transmisión de piojos de mar parásitos desde el salmón de granja al salmón salvaje. Actas de la Royal Society B: Biological Sciences , 272(1564):689–696, 2005.
81. PA Lewis y GS Shedler. Simulación de procesos de Poisson no homogéneos mediante adelgazamiento. Naval Research Logistics Quarterly , 26(3):403–413, 1979.
82. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pág. 10. ISBN 978-0-19-159124-2.
83. Cox e Isham (1980), págs. 3-6.
84. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. pág. 44. ISBN 978-1-118-65825-3.
85. Martin Haenggi (2013). Geometría estocástica para redes inalámbricas. Cambridge University Press. pág. 11. ISBN 978-1-107-01469-5.
86. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 53–55. ISBN 978-1-118-65825-3.
87. Roy L. Streit (15 de septiembre de 2010). Procesos puntuales de Poisson: obtención de imágenes, seguimiento y detección. Springer Science & Business Media. págs. 13-14. ISBN 978-1-4419-6923-1.
88. Roy L. Streit (15 de septiembre de 2010). Procesos puntuales de Poisson: obtención de imágenes, seguimiento y detección. Springer Science & Business Media. págs. 14-16. ISBN 978-1-4419-6923-1.
89. Martin Haenggi (2013). Geometría estocástica para redes inalámbricas. Cambridge University Press. pp. 18-19. ISBN 978-1-107-01469-5.
90. Good, IJ (1986). "Algunas aplicaciones estadísticas del trabajo de Poisson". Ciencia estadística . 1 (2): 157–170. doi : 10.1214/ss/1177013690 . ISSN  0883-4237.
91. Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probabilidad y procesos aleatorios (3.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-857222-0.
92. Stigler, SM (1982). "Poisson en la distribución de Poisson". Statistics & Probability Letters . 1 (1): 33–35. doi :10.1016/0167-7152(82)90010-4.
93. Daley y Vere-Jones (2003), págs. 8-9.
94. Quine, M.; Seneta, E. (1987). "Los datos de Bortkiewicz y la ley de los números pequeños". Revista estadística internacional . 55 (2): 173–181. doi :10.2307/1403193. JSTOR  1403193.
95. Embrechts, Paul; Frey, Rüdiger; Furrer, Hansjörg (2001). "Procesos estocásticos en seguros y finanzas". Procesos estocásticos: teoría y métodos . Manual de estadística. Vol. 19. pág. 367. doi :10.1016/S0169-7161(01)19014-0. ISBN 9780444500144. ISSN  0169-7161.
96. Cramér, Harald (1969). "Revisión histórica de los trabajos de Filip Lundberg sobre la teoría del riesgo". Scandinavian Actuarial Journal . 1969 (sup3): 6–12. doi :10.1080/03461238.1969.10404602. ISSN  0346-1238.
97. Illian, J.; Penttinen, A.; Stoyan, H.; Stoyan, D. (2008). Análisis estadístico y modelado de patrones de puntos espaciales . Vol. 70. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-01491-2.
98. Kingman, J. (2009). "El primer siglo de Erlang y el próximo". Queueing Systems . 63 (1–4): 3–12. doi :10.1007/s11134-009-9147-4. S2CID  38588726.
99. Haugen, RB (1995). "La vida y obra de Conny Palm. Algunos comentarios y experiencias personales". Simposio VTT . 154 . Valtion teknillinen tutkimuskeskus: 207. ISSN  0357-9387.
100. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: volumen II: teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. págs. 13-14. ISBN 978-0-387-21337-8.
101. J. Grandell. Procesos mixtos de Poisson , volumen 77. CRC Press, 1997.
102. Cox e Isham (1980), pág. X.
103. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. pág. 109. ISBN 978-1-118-65825-3.
104. G. Mikhailov y T. Averina. Modelado estadístico de funciones aleatorias no homogéneas sobre la base de campos de puntos de Poisson. En Doklady Mathematics , volumen 82, páginas 701–704. Springer, 2010.
105. I. Molchanov. Teoría de conjuntos aleatorios . Springer Science & Business Media, 2006.
106. K. Sato. Procesos de Lévy y divisibilidad infinita, 1999.
107. V. Mandrekar y B. Rüdiger. Integración estocástica en espacios de Banach . Springer, 2015.
108. D. Applebaum. Procesos de Lévy y cálculo estocástico . Cambridge University Press, 2009.
109. EF Harding y R. Davidson. Geometría estocástica: un homenaje a la memoria de Rollo Davidson . Wiley, 1974.
110. LH Chen y A. Xia. Método de Stein, teoría de Palm y aproximación del proceso de Poisson. Anales de probabilidad , páginas 2545–2569, 2004.
111. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pág. 8. ISBN 978-0-19-159124-2.
112. Jesper Moller; Rasmus Plenge Waagepetersen (25 de septiembre de 2003). Inferencia estadística y simulación de procesos puntuales espaciales. Prensa CRC. pag. 7.ISBN​ 978-0-203-49693-0.
113. Emanuel Parzen (17 de junio de 2015). Procesos estocásticos. Courier Dover Publications. pp. 7-8 y 29-30. ISBN 978-0-486-79688-8.
114. John Lamperti (1977). Procesos estocásticos: un estudio de la teoría matemática. Springer-Verlag. pp. 1 y 10-11. ISBN 978-3-540-90275-1.
115. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. pág. 112. ISBN 978-1-118-65825-3.
116. Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura . Springer. pág. 20. ISBN. 978-0387213378.
117. J. Grandell. Procesos puntuales y medidas aleatorias. Advances in Applied Probability , páginas 502–526, 1977.
118. Algunos modelos de Poisson, Vose Software , consultado el 18 de enero de 2016
119. Helske, Jouni (25 de junio de 2015), "KFAS: Exponential Family State Space Models in R" (PDF) , Journal of Statistical Software , 78 (10), Comprehensive R Archive Network , arXiv : 1612.01907 , doi : 10.18637/jss.v078.i10 , S2CID  14379617 , consultado el 18 de enero de 2016
120. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. pág. 100. ISBN 978-1-118-65825-3.
121. A. Karr. Probabilidad . Serie Textos de Estadística de Springer. Springer-Verlag, 1993.
122. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 120–126. ISBN 978-1-118-65825-3.
123. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. Págs. 52–75. ISBN 978-0-387-21337-8.
124. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 125-126. ISBN 978-1-118-65825-3.
125. Günter Last; Mathew Penrose (8 de agosto de 2017). Lecciones sobre el proceso de Poisson (PDF) .
126. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. págs. 47–48. ISBN 978-1-118-65825-3.
127. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. pág. 42. ISBN 978-1-118-65825-3.
128. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. pág. 43. ISBN 978-1-118-65825-3.
129. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pág. 34. ISBN 978-0-19-159124-2.
130. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. pp. 384–385. ISBN 978-0-387-21337-8.
131. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. pág. 158. ISBN 978-1-118-65825-3.
132. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. pág. 160. ISBN 978-1-118-65825-3.
133. D. Bertsekas y J. Tsitsiklis . Introducción a la probabilidad, serie Optimización y computación científica de Athena. Athena Scientific , 2008.
134. JF Hayes. Modelado y análisis de redes de comunicaciones informáticas . Perseus Publishing, 1984.
135. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (27 de junio de 2013). Geometría estocástica y sus aplicaciones. John Wiley & Sons. pág. 165. ISBN 978-1-118-65825-3.
136. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pág. 16. ISBN 978-0-19-159124-2.
137. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pág. 61. ISBN 978-0-19-159124-2.
138. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. pp. 166–167. ISBN 978-0-387-21337-8.
139. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pág. 18. ISBN 978-0-19-159124-2.
140. Geoffrey Grimmett; David Stirzaker (31 de mayo de 2001). Probabilidad y procesos aleatorios. OUP Oxford. p. 284. ISBN 978-0-19-857222-0.
141. LH Chen, A. Röllin, et al. Aproximación de eventos raros dependientes. Bernoulli , 19(4):1243–1267, 2013.
142. R. Arratia, S. Tavare, et al. {Revisión: D. Aldous, Aproximaciones de probabilidad mediante la heurística de agrupamiento de Poisson; AD Barbour, L. Holst, S. Janson, Aproximación de Poisson}. The Annals of Probability , 21(4):2269–2279, 1993.
143. D. Aldous. Heurística de agrupamiento de Poisson . Biblioteca en línea Wiley, 1989.
144. AD Barbour y TC Brown. Método de Stein y aproximación de proceso puntual. Procesos estocásticos y sus aplicaciones , 43(1):9–31, 1992.
145. D. Schuhmacher. Estimaciones de distancia para superposiciones dependientes de procesos puntuales. Procesos estocásticos y sus aplicaciones , 115(11):1819–1837, 2005.
146. D. Schuhmacher. Estimaciones de distancia para aproximaciones del proceso de Poisson de adelgazamientos dependientes. Electronic Journal of Probability , 10:165–201, 2005.
147. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. págs. 131–132. ISBN 978-0-387-21337-8.
148. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. pág. 146. ISBN 978-0-387-21337-8.
149. Caleb Bastian, Gregory Rempala. Lanzar piedras y recolectar huesos: en busca de medidas aleatorias de tipo Poisson, Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas, 2020. doi:10.1002/mma.6224
150. Olav Kallenberg (1983). Medidas aleatorias. Akademie-Verlag. ISBN 978-0-12-394960-8.
151. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pp. 79–84. ISBN 978-0-19-159124-2.
152. DJ Daley; David Vere-Jones (12 de noviembre de 2007). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura. Springer Science & Business Media. pp. 368–413. ISBN 978-0-387-21337-8.
153. AE Gelfand, P. Diggle, P. Guttorp y M. Fuentes. Manual de estadística espacial , Capítulo 9. CRC Press, 2010.
154. O. Kallenberg. Medidas aleatorias . Academic Pr, 1983.
155. J. Møller, AR Syversveen y RP Waagepetersen. Registro de procesos gaussianos de Cox. Revista escandinava de estadística , 25(3):451–482, 1998.
156. J. Møller y RP Waagepetersen. Estadísticas modernas para procesos puntuales espaciales. Scandinavian Journal of Statistics , 34(4):643–684, 2007.
157. Jesper Moller; Rasmus Plenge Waagepetersen (25 de septiembre de 2003). Inferencia estadística y simulación de procesos puntuales espaciales. Prensa CRC. pag. 8.ISBN​ 978-0-203-49693-0.
158. Martin Haenggi (2013). Geometría estocástica para redes inalámbricas. Cambridge University Press. pp. 138-140. ISBN 978-1-107-01469-5.
159. A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 de octubre de 2006). Geometría estocástica: conferencias dictadas en la Escuela de verano del CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004. Springer. pp. 19-21. ISBN 978-3-540-38175-4.
160. JFC Kingman (17 de diciembre de 1992). Procesos de Poisson. Clarendon Press. pág. 55. ISBN 978-0-19-159124-2.
161. François Baccelli; Bartlomiej Blaszczyszyn (2009). Geometría estocástica y redes inalámbricas. Now Publishers Inc., págs. 291-293. ISBN 978-1-60198-264-3.
162. Roy L. Streit (15 de septiembre de 2010). Procesos puntuales de Poisson: obtención de imágenes, seguimiento y detección. Springer Science & Business Media. págs. 205-206. ISBN 978-1-4419-6923-1.
163. Daley y Vere-Jones (2003), págs. 198-199.
164. Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura . Springer. pág. 198. ISBN. 978-0387213378.
165. David Applebaum (5 de julio de 2004). Procesos de Lévy y cálculo estocástico. Cambridge University Press. pp. 46–47. ISBN 978-0-521-83263-2.
166. Wu, S. (2019). Un modelo de proceso de falla con suavizado exponencial de funciones de intensidad. Revista Europea de Investigación Operativa , 275(2), 502–513

General

Libros

• A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 de octubre de 2006). Geometría estocástica: conferencias dictadas en la Escuela de verano del CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004. Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Procesos puntuales . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2003). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen I: Teoría y métodos elementales . Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Introducción a la teoría de procesos puntuales: Volumen II: Teoría general y estructura . Springer. ISBN 978-0387213378.
• Kingman, John Frank (1992). Procesos de Poisson . Clarendon Press. ISBN 978-0198536932.
• Moller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Inferencia estadística y simulación para procesos puntuales espaciales . CRC Press. ISBN 978-1584882657.
• Ross, SM (1996). Procesos estocásticos . Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, DL; Miller, MI (1991). Procesos puntuales aleatorios en el tiempo y el espacio . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S.; Mecke, Joseph (1995). Geometría estocástica y sus aplicaciones . Wiley. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Procesos puntuales de Poisson: imágenes, seguimiento y detección . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224.
• HC Tijms (18 de abril de 2003). Un primer curso sobre modelos estocásticos. John Wiley & Sons. pp. 22-23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Artículos

• Stirzaker, David (2000). "Consejos para los erizos, o, las constantes pueden variar". The Mathematical Gazette .
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "¿Qué pasó con el caos discreto, el proceso de Quenouille y la propiedad aguda de Markov? Un poco de historia de los procesos puntuales estocásticos". International Statistical Review .