Parábola

Curva plana: sección cónica

Parte de una parábola (azul), con varias características (otros colores). La parábola completa no tiene puntos finales. En esta orientación, se extiende infinitamente hacia la izquierda, hacia la derecha y hacia arriba.

La parábola es miembro de la familia de las secciones cónicas .

En matemáticas , una parábola es una curva plana que es simétrica como espejo y tiene aproximadamente forma de U. Se ajusta a varias descripciones matemáticas superficialmente diferentes , de las cuales se puede demostrar que definen exactamente las mismas curvas.

Una descripción de una parábola involucra un punto (el foco ) y una línea (la directriz ). El foco no está en la directriz. La parábola es el lugar geométrico de los puntos de ese plano que equidistan de la directriz y del foco. Otra descripción de una parábola es como una sección cónica , creada a partir de la intersección de una superficie cónica circular recta y un plano paralelo a otro plano que es tangencial a la superficie cónica. ^[a]

La gráfica de una función cuadrática es una parábola si y, a la inversa, una parábola es la gráfica de una función cuadrática si su eje es paralelo al eje y . ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle a\neq 0,}$

La línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco (es decir, la línea que divide la parábola por la mitad) se llama "eje de simetría". El punto donde la parábola intersecta su eje de simetría se llama " vértice " y es el punto donde la parábola tiene una curvatura más pronunciada. La distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de simetría, es la "distancia focal". El " latus rectum " es la cuerda de la parábola que es paralela a la directriz y pasa por el foco. Las parábolas pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha o en alguna otra dirección arbitraria. Cualquier parábola se puede reposicionar y cambiar de escala para que encaje exactamente en cualquier otra parábola; es decir, todas las parábolas son geométricamente similares .

Las parábolas tienen la propiedad de que, si están hechas de material que refleja la luz , entonces la luz que viaja paralela al eje de simetría de una parábola e incide en su lado cóncavo se refleja hacia su foco, independientemente de en qué parte de la parábola se produzca la reflexión. Por el contrario, la luz que se origina desde una fuente puntual en el foco se refleja en un haz paralelo (" colimado "), dejando la parábola paralela al eje de simetría. Los mismos efectos ocurren con el sonido y otras ondas . Esta propiedad reflectante es la base de muchos usos prácticos de las parábolas.

La parábola tiene muchas aplicaciones importantes, desde una antena parabólica o un micrófono parabólico hasta reflectores de faros de automóviles y el diseño de misiles balísticos . Se utiliza con frecuencia en física , ingeniería y muchas otras áreas.

Historia

Brújula parabólica diseñada por Leonardo da Vinci

El trabajo más antiguo conocido sobre secciones cónicas fue el de Menecmo en el siglo IV a.C. Descubrió una manera de resolver el problema de duplicar el cubo usando parábolas. (La solución, sin embargo, no cumple con los requisitos de la construcción con compás y regla .) Arquímedes calculó el área encerrada por una parábola y un segmento de recta, el llamado "segmento de parábola", mediante el método de agotamiento en el siglo III a.C., en su La cuadratura de la parábola . El nombre de "parábola" se debe a Apolonio , quien descubrió muchas propiedades de las secciones cónicas. Significa "aplicación", refiriéndose al concepto de "aplicación de áreas", que tiene una conexión con esta curva, como lo había demostrado Apolonio. ^[1] La propiedad foco-directriz de la parábola y otras secciones cónicas se debe a Pappus .

Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil sigue una parábola, consecuencia de la aceleración uniforme debida a la gravedad.

La idea de que un reflector parabólico pudiera producir una imagen ya era bien conocida antes de la invención del telescopio reflector . ^[2] Los diseños fueron propuestos desde principios hasta mediados del siglo XVII por muchos matemáticos , incluidos René Descartes , Marin Mersenne , ^[3] y James Gregory . ^[4] Cuando Isaac Newton construyó el primer telescopio reflector en 1668, se saltó el uso de un espejo parabólico debido a la dificultad de fabricación, optando por un espejo esférico . Los espejos parabólicos se utilizan en la mayoría de los telescopios reflectores modernos y en antenas parabólicas y receptores de radar . ^[5]

Definición como lugar geométrico de puntos.

Una parábola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar geométrico de puntos ) en el plano euclidiano:

Una parábola es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto la distancia a un punto fijo , el foco , es igual a la distancia a una recta fija , la directriz : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF|}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |Pl|}$ ${\displaystyle l}$

$${\displaystyle \{P:|PF|=|Pl|\}.}$$

El punto medio de la perpendicular desde el foco a la directriz se llama vértice y la recta es el eje de simetría de la parábola. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle FV}$

En un sistema de coordenadas cartesiano

Eje de simetría paralelo al eje y

Parábola con eje paralelo al eje y ; p es el recto semilatus

Si se introducen coordenadas cartesianas , tales que y la directriz tiene la ecuación , se obtiene un punto de la ecuación . Resolviendo para los rendimientos ${\displaystyle F=(0,f),\ f>0,}$ ${\displaystyle y=-f}$ ${\displaystyle P=(x,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=|Pl|^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$$

Esta parábola tiene forma de U ( que se abre hacia arriba ).

La cuerda horizontal que pasa por el foco (ver imagen en la sección inicial) se llama lado recto ; la mitad es el recto semilatus . El lado recto es paralelo a la directriz. El recto semilatus se designa con la letra . De la imagen se obtiene ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p=2f.}$$

El latus recto se define de manera similar para las otras dos cónicas: la elipse y la hipérbola. El latus recto es la línea trazada a través de un foco de una sección cónica paralela a la directriz y terminada en ambos sentidos por la curva. Para cualquier caso, es el radio del círculo osculador en el vértice. Para una parábola, el recto semi-latus, es la distancia del foco a la directriz. Usando el parámetro , la ecuación de la parábola se puede reescribir como ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle x^{2}=2py.}$$

De manera más general, si el vértice es , el foco y la directriz , se obtiene la ecuación ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$ ${\displaystyle y=v_{2}-f}$

$${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$$

Observaciones :

1. En el caso de la parábola tiene una apertura hacia abajo. ${\displaystyle f<0}$
2. La presunción de que el eje es paralelo al eje y permite considerar una parábola como la gráfica de un polinomio de grado 2 y, a la inversa: la gráfica de un polinomio arbitrario de grado 2 es una parábola (ver la siguiente sección).
3. Si se intercambia y , se obtienen ecuaciones de la forma . Estas parábolas se abren hacia la izquierda (si ) o hacia la derecha (si ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=2px}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle p>0}$

Posición general

Parábola: posición general

Si el foco es , y la directriz , entonces se obtiene la ecuación ${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$ ${\displaystyle ax+by+c=0}$

$${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$$

(El lado izquierdo de la ecuación usa la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ). ${\displaystyle |Pl|}$

Para obtener una ecuación paramétrica de una parábola en posición general, consulte § Como imagen afín de la parábola unitaria.

La ecuación implícita de una parábola está definida por un polinomio irreducible de grado dos:

$${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$$

polinomio lineal ${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$ ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

Como gráfica de una función.

Parábolas ${\displaystyle y=ax^{2}}$

La sección anterior muestra que cualquier parábola con el origen como vértice y el eje y como eje de simetría puede considerarse como la gráfica de una función.

$${\displaystyle f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.}$$

Porque las parábolas se abren hacia arriba y para las parábolas se abren hacia abajo (ver imagen). De la sección anterior se obtiene: ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$

• El enfoque es , ${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{4a}}\right)}$
• la distancia focal , el recto semi-latus es , ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• el vértice es , ${\displaystyle (0,0)}$
• la directriz tiene la ecuación , ${\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}$
• la tangente en el punto tiene la ecuación . ${\displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$ ${\displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$

Para la parábola es la parábola unitaria con ecuación . Su foco es el recto semilatus y la directriz tiene la ecuación . ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}}$

La función general de grado 2 es

$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.}$$

Completar el cuadrado

$${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},}$$

• el eje (paralelo al eje y ), ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
• la distancia focal , el recto semilatus , ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• el vértice , ${\displaystyle V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$
• el foco , ${\displaystyle F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)}$
• la directriz , ${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}}$
• el punto de la parábola que corta al eje y tiene coordenadas , ${\displaystyle (0,c)}$
• la tangente en un punto del eje y tiene la ecuación . ${\displaystyle y=bx+c}$

Similitud con la parábola unitaria

Cuando la parábola se escala uniformemente por el factor 2, el resultado es la parábola ${\displaystyle \color {blue}{y=2x^{2}}}$ ${\displaystyle \color {red}{y=x^{2}}}$

Dos objetos en el plano euclidiano son similares si uno puede transformarse en el otro mediante una similitud , es decir, una composición arbitraria de movimientos rígidos ( traslaciones y rotaciones ) y escalamientos uniformes .

Una parábola con vértice se puede transformar mediante la traducción a una con el origen como vértice. Una rotación adecuada alrededor del origen puede transformar la parábola en una que tenga el eje y como eje de simetría. Por tanto, la parábola se puede transformar mediante un movimiento rígido en una parábola con una ecuación . Una parábola de este tipo puede luego transformarse mediante el escalado uniforme en una parábola unitaria con ecuación . Por tanto, cualquier parábola se puede asignar a la parábola unitaria mediante una similitud. ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle (x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle y=ax^{2},\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x,y)\to (ax,ay)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$

También se puede utilizar un enfoque sintético , utilizando triángulos similares, para establecer este resultado. ^[7]

El resultado general es que dos secciones cónicas (necesariamente del mismo tipo) son similares si y sólo si tienen la misma excentricidad. ^[6] Por lo tanto, solo los círculos (todos con excentricidad 0) comparten esta propiedad con las parábolas (todas con excentricidad 1), mientras que las elipses e hipérbolas generales no.

Hay otras transformaciones afines simples que asignan la parábola a la parábola unitaria, como . Pero este mapeo no es una similitud y solo muestra que todas las parábolas son afines equivalentes (ver § Como imagen afín de la parábola unitaria). ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)}$

Como sección cónica especial

Lápiz de cónicas con vértice común

El lápiz de secciones cónicas con el eje x como eje de simetría, un vértice en el origen (0, 0) y el mismo recto semilato se puede representar mediante la ecuación ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,}$$

excentricidad ${\displaystyle e}$

• Porque la cónica es un círculo (círculo osculador del lápiz), ${\displaystyle e=0}$
• para una elipse , ${\displaystyle 0<e<1}$
• para la parábola con ecuación ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle y^{2}=2px,}$
• para una hipérbola (ver imagen). ${\displaystyle e>1}$

En coordenadas polares

Lápiz de cónicas con un foco común.

Si p > 0 , la parábola con ecuación (que se abre hacia la derecha) tiene la representación polar ${\displaystyle y^{2}=2px}$

$${\displaystyle r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}$$

${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi }$

Su vértice es y su foco es . ${\displaystyle V=(0,0)}$ ${\displaystyle F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)}$

Si se desplaza el origen al foco, es decir, se obtiene la ecuación ${\displaystyle F=(0,0)}$

$${\displaystyle r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.}$$

Observación 1: Invertir esta forma polar muestra que una parábola es la inversa de una cardioide .

Observación 2: La segunda forma polar es un caso especial de un lápiz de cónicas con foco (ver imagen): ${\displaystyle F=(0,0)}$

$${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}}$$

${\displaystyle e}$

Sección cónica y forma cuadrática.

Diagrama, descripción y definiciones.

Cono con secciones transversales

El diagrama representa un cono con su eje AV . El punto A es su vértice . Una sección transversal inclinada del cono, que se muestra en rosa, está inclinada respecto del eje en el mismo ángulo θ que el lado del cono. Según la definición de parábola como sección cónica, el límite de esta sección transversal rosa EPD es una parábola.

Una sección transversal perpendicular al eje del cono pasa por el vértice P de la parábola. Esta sección transversal es circular, pero parece elíptica cuando se ve oblicuamente, como se muestra en el diagrama. Su centro es V y PK es un diámetro. A su radio lo llamaremos  r .

Otra sección transversal circular perpendicular al eje del cono está más alejada del vértice A que la que se acaba de describir. Tiene una cuerda DE , que une los puntos donde la parábola corta al círculo. Otra cuerda BC es la bisectriz perpendicular de DE y, en consecuencia, es un diámetro del círculo. Estas dos cuerdas y el eje de simetría PM de la parábola se cruzan en el punto M.

Todos los puntos etiquetados, excepto D y E, son coplanares . Están en el plano de simetría de toda la figura. Esto incluye el punto F, que no se menciona anteriormente. Se define y comenta a continuación, en el § Posición del foco.

Llamemos x a la longitud de DM y de EM , y a la longitud de PM y . 

Derivación de ecuación cuadrática

Las longitudes de BM y CM son:

• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}=2y\sin \theta }$ (el triángulo BPM es isósceles , porque ), ${\displaystyle {\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {CM} }}=2r}$ (PMCK es un paralelogramo ).

Usando el teorema de las cuerdas que se cruzan en las cuerdas BC y DE , obtenemos

$${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.}$$

Sustituyendo:

$${\displaystyle 4ry\sin \theta =x^{2}.}$$

Reorganizar:

$${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4r\sin \theta }}.}$$

Para cualquier cono y parábola dados, r y θ son constantes, pero x e y son variables que dependen de la altura arbitraria a la que se forma la sección transversal horizontal BECD. Esta última ecuación muestra la relación entre estas variables. Se pueden interpretar como coordenadas cartesianas de los puntos D y E, en un sistema en el plano rosa con P como origen. Dado que x está al cuadrado en la ecuación, el hecho de que D y E estén en lados opuestos del eje y no es importante. Si la sección transversal horizontal se mueve hacia arriba o hacia abajo, acercándose o alejándose del vértice del cono, D y E se mueven a lo largo de la parábola, manteniendo siempre la relación entre xey que se muestra en la ecuación. Por lo tanto, la curva parabólica es el lugar geométrico de los puntos donde se satisface la ecuación, lo que la convierte en una gráfica cartesiana de la función cuadrática de la ecuación.

Longitud focal

En una sección anterior se demuestra que si una parábola tiene su vértice en el origen y se abre en la dirección y positiva , entonces su ecuación es y =x2 ^_/4f _, donde f es su distancia focal. ^[b] Comparando esto con la última ecuación anterior se muestra que la distancia focal de la parábola en el cono es r sen θ .

Posición del foco

En el diagrama de arriba, el punto V es el pie de la perpendicular desde el vértice de la parábola al eje del cono. El punto F es el pie de la perpendicular desde el punto V al plano de la parábola. ^[c] Por simetría, F está en el eje de simetría de la parábola. El ángulo VPF es complementario a θ , y el ángulo PVF es complementario al ángulo VPF, por lo tanto el ángulo PVF es θ . Dado que la longitud de PV es r , la distancia de F desde el vértice de la parábola es r sen θ . Arriba se muestra que esta distancia es igual a la distancia focal de la parábola, que es la distancia desde el vértice al foco. El foco y el punto F están por tanto a la misma distancia del vértice, en la misma recta, lo que implica que son el mismo punto. Por tanto, el punto F, definido anteriormente, es el foco de la parábola .

Esta discusión comenzó con la definición de parábola como sección cónica, pero ahora ha conducido a una descripción como gráfica de una función cuadrática. Esto muestra que estas dos descripciones son equivalentes. Ambos definen curvas de exactamente la misma forma.

Prueba alternativa con esferas de Dandelin

Parábola (roja): vista de proyección lateral y vista de proyección superior de un cono con una esfera de diente de león

Se puede hacer una prueba alternativa utilizando esferas de Dandelin . Funciona sin cálculos y utiliza únicamente consideraciones geométricas elementales (consulte la derivación a continuación).

La intersección de un cono vertical por un plano , cuya inclinación desde la vertical es la misma que la generatriz (también conocida como línea generadora, una línea que contiene el vértice y un punto en la superficie del cono) del cono, es una parábola (curva roja en el diagrama). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}}$

Esta generatriz es la única generatriz del cono que es paralela al plano . En caso contrario, si hay dos generatrices paralelas al plano que se cruza, la curva de intersección será una hipérbola (o hipérbola degenerada , si las dos generatrices están en el plano que se cruza). Si no existe una generatriz paralela al plano de intersección, la curva de intersección será una elipse o un círculo (o un punto ). ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$

Sea plano el plano que contiene el eje vertical del cono y la recta . La inclinación del plano desde la vertical es la misma que la de la línea, lo que significa que, visto desde un lado (es decir, el plano es perpendicular al plano ), . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$

Para probar la propiedad directriz de una parábola (ver § Definición como lugar geométrico de puntos arriba), se usa una esfera Dandelin , que es una esfera que toca el cono a lo largo de un círculo y un plano en el punto . El plano que contiene el círculo se cruza con el plano en la recta . Hay una simetría especular en el sistema que consta del plano , la esfera de Dandelin y el cono (el plano de simetría es ). ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma }$

Dado que el plano que contiene el círculo es perpendicular al plano y , su línea de intersección también debe ser perpendicular al plano . Como la recta está en el plano , . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi \perp \sigma }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle l\perp m_{0}}$

Resulta que es el foco de la parábola y es la directriz de la parábola. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$

1. Sea un punto arbitrario de la curva de intersección. ${\displaystyle P}$
2. La generatriz del cono que contiene se cruza con el círculo en el punto . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$
3. Los segmentos de recta y son tangenciales a la esfera y, por tanto, tienen la misma longitud. ${\displaystyle {\overline {PF}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ${\displaystyle d}$
4. Generatrix corta el círculo en el punto . Los segmentos de recta y son tangenciales a la esfera y, por tanto, tienen la misma longitud. ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {ZD}}}$ ${\displaystyle {\overline {ZA}}}$ ${\displaystyle d}$
5. Sea la recta la recta paralela al punto y que pasa por él . Dado que y el punto está en el plano , la línea debe estar en el plano . Desde entonces , eso también lo sabemos . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}\perp l}$ ${\displaystyle q\perp l}$
6. Sea el punto el pie de la perpendicular del punto a la recta , es decir, es un segmento de recta , y por tanto . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}}$
7. Por el teorema de la intersección y lo sabemos . Dado que sabemos eso , lo que significa que la distancia desde el foco es igual a la distancia desde la directriz . ${\displaystyle {\overline {ZD}}={\overline {ZA}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PF}}}$ ${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PB}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l}$

Prueba de la propiedad reflectante.

Propiedad reflectante de una parábola.

La propiedad reflectante establece que si una parábola puede reflejar la luz, entonces la luz que entra en ella y viaja paralela al eje de simetría se refleja hacia el foco. Esto se deriva de la óptica geométrica , basada en el supuesto de que la luz viaja en rayos.

Considere la parábola y = x ² . Como todas las parábolas son similares, este caso simple representa a todos los demás.

Construcción y definiciones.

El punto E es un punto arbitrario de la parábola. El foco es F, el vértice es A (el origen) y la recta FA es el eje de simetría. La recta EC es paralela al eje de simetría, corta el eje x en D y corta la directriz en C. El punto B es el punto medio del segmento de recta FC .

Deducciones

El vértice A equidista del foco F y de la directriz. Como C está en la directriz, las coordenadas y de F y C son iguales en valor absoluto y opuestas en signo. B es el punto medio de FC . Su coordenada x es la mitad que la de D, es decir, x /2 . La pendiente de la recta BE es el cociente de las longitudes de ED y BD , que esx2 ^_/x /2= 2 x . Pero 2 x también es la pendiente (primera derivada) de la parábola en E. Por lo tanto, la recta BE es la tangente a la parábola en E.

Las distancias EF y EC son iguales porque E está en la parábola, F es el foco y C está en la directriz. Por lo tanto, como B es el punto medio de FC , los triángulos △FEB y △CEB son congruentes (tres lados), lo que implica que los ángulos marcados con α son congruentes. (El ángulo sobre E es un ángulo verticalmente opuesto ∠BEC.) Esto significa que un rayo de luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralelo al eje de simetría será reflejado por la línea BE por lo que viaja a lo largo de la línea EF . como se muestra en rojo en el diagrama (suponiendo que las líneas puedan reflejar la luz de alguna manera). Dado que BE es la tangente a la parábola en E, la misma reflexión se realizará mediante un arco infinitesimal de la parábola en E. Por lo tanto, la luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralela al eje de simetría de la parábola se refleja por la parábola hacia su foco.

Esta conclusión sobre la luz reflejada se aplica a todos los puntos de la parábola, como se muestra en el lado izquierdo del diagrama. Ésta es la propiedad reflectante.

Otras consecuencias

Hay otros teoremas que pueden deducirse simplemente del argumento anterior.

Propiedad de bisección tangente

La prueba anterior y el diagrama adjunto muestran que la tangente BE biseca el ángulo ∠FEC. En otras palabras, la tangente a la parábola en cualquier punto biseca el ángulo entre las líneas que unen el punto con el foco y perpendicularmente a la directriz.

Intersección de una tangente y una perpendicular desde el foco.

Perpendicular del foco a la tangente

Como los triángulos △FBE y △CBE son congruentes, FB es perpendicular a la tangente BE . Dado que B está en el eje x , que es la tangente a la parábola en su vértice, se deduce que el punto de intersección entre cualquier tangente a una parábola y la perpendicular desde el foco a esa tangente se encuentra en la línea que es tangencial a la parábola. parábola en su vértice. Ver diagrama animado ^[8] y curva del pedal .

Reflejo de la luz que incide en el lado convexo.

Si la luz viaja a lo largo de la línea CE , se mueve paralela al eje de simetría e incide en el lado convexo de la parábola en E. Del diagrama anterior se desprende claramente que esta luz se reflejará directamente lejos del foco, a lo largo de una extensión de el segmento FE .

Pruebas alternativas

Parábola y tangente

Las pruebas anteriores de las propiedades de bisección tangente y reflexiva utilizan una línea de cálculo. Aquí se presenta una prueba geométrica.

En este diagrama, F es el foco de la parábola y T y U se encuentran en su directriz. P es un punto arbitrario de la parábola. PT es perpendicular a la directriz y la línea MP biseca el ángulo ∠FPT. Q es otro punto de la parábola, con QU perpendicular a la directriz. Sabemos que FP  =  PT y FQ  =  QU . Claramente, QT  >  QU , entonces QT  >  FQ . Todos los puntos de la bisectriz MP son equidistantes de F y T, pero Q está más cerca de F que de T. Esto significa que Q está a la izquierda de MP , es decir, en el mismo lado que el foco. Lo mismo sería cierto si Q estuviera ubicado en cualquier otro lugar de la parábola (excepto en el punto P), por lo que toda la parábola, excepto el punto P, está en el lado focal de MP . Por lo tanto, MP es la tangente a la parábola en P. Dado que biseca el ángulo ∠FPT, esto demuestra la propiedad de bisección tangente.

La lógica del último párrafo se puede aplicar para modificar la prueba anterior de la propiedad reflectante. Esto demuestra efectivamente que la recta BE es tangente a la parábola en E si los ángulos α son iguales. La propiedad reflectante sigue como se muestra anteriormente.

Construcción de pasadores y cuerdas

Parábola: construcción de cuerdas de alfileres

La definición de parábola por su foco y directriz se puede utilizar para dibujarla con ayuda de alfileres y cuerdas: ^[9]

1. Elige el foco y la directriz de la parábola. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$
2. Tome un triángulo de una escuadra y prepare una cuerda con longitud (ver diagrama). ${\displaystyle |AB|}$
3. Sujeta un extremo de la cuerda al punto del triángulo y el otro al foco . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$
4. Coloque el triángulo de manera que el segundo borde del ángulo recto pueda deslizarse libremente a lo largo de la directriz.
5. Toma un bolígrafo y sujeta la cuerda firmemente al triángulo.
6. Mientras mueve el triángulo a lo largo de la directriz, el bolígrafo dibuja un arco de parábola, debido a (ver definición de parábola). ${\displaystyle |PF|=|PB|}$

Propiedades relacionadas con el teorema de Pascal

Una parábola puede considerarse como la parte afín de una cónica proyectiva no degenerada con un punto en la línea del infinito , que es la tangente en . Las degeneraciones de 5, 4 y 3 puntos del teorema de Pascal son propiedades de una cónica que trata al menos con una tangente. Si se considera esta tangente como la recta en el infinito y su punto de contacto como el punto en el infinito del eje y , se obtienen tres enunciados para una parábola. ${\displaystyle Y_{\infty }}$ ${\displaystyle g_{\infty }}$ ${\displaystyle Y_{\infty }}$

Las siguientes propiedades de una parábola tratan sólo de términos conectar , intersecar y paralelo , que son invariantes de similitudes . Entonces, es suficiente demostrar cualquier propiedad de la parábola unitaria con ecuación . ${\displaystyle y=x^{2}}$

propiedad de 4 puntos

Propiedad de 4 puntos de una parábola

Cualquier parábola se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . ${\displaystyle y=ax^{2}}$

Sean cuatro puntos de la parábola y la intersección de la recta secante con la recta y sea la intersección de la recta secante con la recta (ver imagen). Entonces la recta secante es paralela a la recta . (Las rectas y son paralelas al eje de la parábola). ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{4}}$ ${\displaystyle x=x_{2},}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}P_{3}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}P_{4}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Prueba: cálculo sencillo de la parábola unitaria . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Aplicación: La propiedad de los 4 puntos de una parábola se puede utilizar para la construcción del punto , mientras que y están dados. ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$

Observación: la propiedad de los 4 puntos de una parábola es una versión afín de la degeneración de los 5 puntos del teorema de Pascal.

Propiedad de 3 puntos y 1 tangente

Propiedad de 3 puntos y 1 tangente

Sean tres puntos de la parábola con ecuación y la intersección de la recta secante con la recta y la intersección de la recta secante con la recta (ver imagen). Entonces la tangente en el punto es paralela a la recta . (Las rectas y son paralelas al eje de la parábola). ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{0}P_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Prueba: se puede realizar para la parábola unitaria . Un breve cálculo muestra: la línea tiene pendiente , que es la pendiente de la tangente en el punto . ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle 2x_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

Aplicación: La propiedad de 3 puntos 1 tangente de una parábola se puede utilizar para la construcción de la tangente en el punto , mientras están dadas. ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$

Observación: La propiedad de 3 puntos 1 tangente de una parábola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal.

Propiedad de 2 puntos-2 tangentes

Propiedad de 2 puntos-2 tangentes

Sean dos puntos de la parábola con ecuación , y la intersección de la tangente en el punto con la recta , y la intersección de la tangente en el punto con la recta (ver imagen). Entonces la secante es paralela a la recta . (Las rectas y son paralelas al eje de la parábola). ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Prueba: cálculo sencillo de la parábola unitaria . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Aplicación: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes se puede utilizar para la construcción de la tangente de una parábola en el punto , si se dan y la tangente en . ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

Observación 1: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes de una parábola es una versión afín de la degeneración de 3 puntos del teorema de Pascal.

Observación 2: La propiedad de 2 puntos y 2 tangentes no debe confundirse con la siguiente propiedad de una parábola, que también trata con 2 puntos y 2 tangentes, pero no está relacionada con el teorema de Pascal.

Dirección del eje

Construcción de la dirección del eje.

Las afirmaciones anteriores suponen el conocimiento de la dirección del eje de la parábola, para poder construir los puntos . La siguiente propiedad determina los puntos por dos puntos dados y sus tangentes únicamente, y el resultado es que la recta es paralela al eje de la parábola. ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$

Dejar

1. ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ser dos puntos de la parábola , y ser sus tangentes; ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
2. ${\displaystyle Q_{1}}$ser la intersección de las tangentes , ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
3. ${\displaystyle Q_{2}}$ser la intersección de la línea paralela a través con la línea paralela a través (ver imagen). ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

Entonces la recta es paralela al eje de la parábola y tiene la ecuación ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

Prueba: se puede hacer (como las propiedades anteriores) para la parábola unitaria . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Aplicación: Esta propiedad se puede utilizar para determinar la dirección del eje de una parábola, si se dan dos puntos y sus tangentes. Una forma alternativa es determinar los puntos medios de dos cuerdas paralelas, consulte la sección sobre cuerdas paralelas.

Observación: Esta propiedad es una versión afín del teorema de dos triángulos en perspectiva de una cónica no degenerada. ^[10]

generación steiner

Parábola

Generación Steiner de una parábola

Steiner estableció el siguiente procedimiento para la construcción de una cónica no degenerada (ver Cónica de Steiner ):

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no en perspectiva de sobre , los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Este procedimiento se puede utilizar para una construcción simple de puntos en la parábola : ${\displaystyle y=ax^{2}}$

• Considere el lápiz en el vértice y el conjunto de rectas paralelas al eje y . ${\displaystyle S(0,0)}$ ${\displaystyle \Pi _{y}}$
  1. Sea un punto de la parábola, y , . ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle A=(0,y_{0})}$ ${\displaystyle B=(x_{0},0)}$
  2. El segmento de línea se divide en n segmentos equidistantes, y esta división se proyecta (en la dirección ) sobre el segmento de línea (ver figura). Esta proyección da lugar a un mapeo proyectivo de lápiz sobre lápiz . ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Pi _{y}}$
  3. La intersección de la recta y el i -ésimo paralelo al eje y es un punto de la parábola. ${\displaystyle SB_{i}}$

Prueba: cálculo sencillo.

Observación: La generación de Steiner también está disponible para elipses e hipérbolas .

Parábola doble

Parábola dual y curva de Bézier de grado 2 (derecha: punto de curva y puntos de división para el parámetro ) ${\displaystyle Q_{0},Q_{1}}$ ${\displaystyle t=0.4}$

Una parábola dual está formada por el conjunto de tangentes de una parábola ordinaria.

La generación Steiner de una cónica se puede aplicar a la generación de una cónica dual cambiando los significados de puntos y líneas:

Si se dan dos conjuntos de puntos en dos líneas , y un mapeo proyectivo pero no en perspectiva entre estos conjuntos de puntos, entonces las líneas de conexión de los puntos correspondientes forman una cónica dual no degenerada. ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle \pi }$

Para generar elementos de una parábola dual, se comienza con

1. tres puntos que no están en una línea, ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$
2. divide las secciones de línea y cada una en segmentos de línea igualmente espaciados y agrega números como se muestra en la imagen. ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle n}$
3. Entonces las rectas son tangentes de una parábola, por tanto, elementos de una parábola dual. ${\displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc }$
4. La parábola es una curva de Bézier de grado 2 con los puntos de control . ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$

La prueba es consecuencia del algoritmo de Casteljau para una curva de Bézier de grado 2.

Ángulos inscritos y la forma de 3 puntos.

Ángulos inscritos de una parábola.

Una parábola con ecuación está determinada únicamente por tres puntos con diferentes coordenadas x . El procedimiento habitual para determinar los coeficientes es insertar las coordenadas de los puntos en la ecuación. El resultado es un sistema lineal de tres ecuaciones, que puede resolverse mediante eliminación de Gauss o la regla de Cramer , por ejemplo. Una forma alternativa utiliza el teorema del ángulo inscrito para parábolas. ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c}$

En lo sucesivo, el ángulo de dos rectas se medirá por la diferencia de las pendientes de la recta con respecto a la directriz de la parábola. Es decir, para una parábola de ecuación, el ángulo entre dos líneas de ecuaciones se mide por ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$ ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}-m_{2}.}$

De manera análoga al teorema del ángulo inscrito para círculos, se tiene el teorema del ángulo inscrito para parábolas : ^{[11] [12]}

Cuatro puntos con diferentes coordenadas x (ver imagen) están en una parábola con ecuación si y solo si los ángulos en y tienen la misma medida, como se definió anteriormente. Eso es, ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

$${\displaystyle {\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$

(Prueba: cálculo sencillo: si los puntos están en una parábola, se pueden traducir las coordenadas para tener la ecuación , luego se tiene si los puntos están en la parábola). ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}}$

Una consecuencia es que la ecuación (in ) de la parábola determinada por 3 puntos con diferentes coordenadas x es (si dos coordenadas x son iguales, no existe ninguna parábola con directriz paralela al eje x , que pase por los puntos) ${\displaystyle {\color {green}x},{\color {red}y}}$ ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,}$

$${\displaystyle {\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$

${\displaystyle {\color {green}x},}$

$${\displaystyle (x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.}$$

Relación polo-polar

Parábola: relación polo-polar

En un sistema de coordenadas adecuado, cualquier parábola puede describirse mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto es ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}}$

$${\displaystyle y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.}$$

$${\displaystyle (x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}}$$

Obviamente, esta función se puede extender al conjunto de todos los puntos de a una biyección entre los puntos de y las rectas con ecuaciones . El mapeo inverso es ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).}$$

relación polo-polar de la parábolapolopolar

Mediante cálculo se comprueban las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la parábola:

• Para un punto (polo) de la parábola, la polar es la tangente en este punto (ver imagen: ). ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• Para un polo fuera de la parábola, los puntos de intersección de su polar con la parábola son los puntos de contacto de las dos tangentes que pasan (ver imagen: ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\ p_{2}}$
• Para un punto dentro de la parábola, el polar no tiene ningún punto en común con la parábola (ver imagen: y ). ${\displaystyle P_{3},\ p_{3}}$ ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$
• El punto de intersección de dos líneas polares (por ejemplo, ) es el polo de la línea que conecta sus polos (por ejemplo: ). ${\displaystyle p_{3},p_{4}}$ ${\displaystyle P_{3},P_{4}}$
• El foco y la directriz de la parábola son un par polo-polar.

Observación: Las relaciones polo-polar también existen para elipses e hipérbolas.

Propiedades tangentes

Dos propiedades tangentes relacionadas con el latus recto

Sea el eje de simetría la intersección de la parábola en el punto Q y denotemos el foco como el punto F y su distancia al punto Q como f . Deje que la perpendicular al eje de simetría, que pasa por el foco, corte la parábola en un punto T. Entonces (1) la distancia de F a T es 2 f y (2) una tangente a la parábola en el punto T corta la línea de simetría en un ángulo de 45°. ^{[13] : 26}

Las tangentes perpendiculares se cortan en la directriz.

propiedad ortóptica

Si dos tangentes a una parábola son perpendiculares entre sí, entonces se cortan en la directriz. Por el contrario, dos tangentes que se cortan en la directriz son perpendiculares. En otras palabras, en cualquier punto de la directriz toda la parábola subtiende un ángulo recto.

teorema de lambert

Sean tres tangentes a una parábola formando un triángulo. Entonces, el teorema de Lambert establece que el foco de la parábola se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo. ^{[14] [8] : Corolario 20}

La inversa de Tsukerman al teorema de Lambert establece que, dadas tres rectas que unen un triángulo, si dos de las rectas son tangentes a una parábola cuyo foco se encuentra en la circunferencia circunstante del triángulo, entonces la tercera recta también es tangente a la parábola. ^[15]

Hechos relacionados con cuerdas y arcos.

Distancia focal calculada a partir de parámetros de una cuerda.

Supongamos que una cuerda cruza una parábola perpendicular a su eje de simetría. Sea c la longitud de la cuerda entre los puntos donde intersecta la parábola y sea d la distancia desde el vértice de la parábola a la cuerda, medida a lo largo del eje de simetría . La distancia focal, f , de la parábola está dada por

$${\displaystyle f={\frac {c^{2}}{16d}}.}$$

Prueba

Supongamos que se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas tal que el vértice de la parábola está en el origen y el eje de simetría es el eje y . La parábola se abre hacia arriba. En otra parte de este artículo se muestra que la ecuación de la parábola es 4 fy = x ² , donde f es la distancia focal. En el extremo x positivo de la cuerda, x =C/2y y = d . Como este punto está en la parábola, estas coordenadas deben satisfacer la ecuación anterior. Por lo tanto, por sustitución, . De esto, . ${\displaystyle 4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle f={\tfrac {c^{2}}{16d}}}$

Área encerrada entre una parábola y una cuerda.

Parábola (magenta) y línea (azul claro inferior) que incluye una cuerda (azul). El área delimitada entre ellos está en rosa. La cuerda misma termina en los puntos donde la línea corta la parábola.

El área encerrada entre una parábola y una cuerda (ver diagrama) es dos tercios del área de un paralelogramo que la rodea. Un lado del paralelogramo es la cuerda y el lado opuesto es una tangente a la parábola. ^{[16] [17]} La ​​pendiente de los otros lados paralelos es irrelevante para el área. A menudo, como aquí, se dibujan paralelos al eje de simetría de la parábola, pero esto es arbitrario.

Arquímedes derivó un teorema equivalente a éste, pero diferente en detalles, en el siglo III a.C. Usó las áreas de triángulos, en lugar de las del paralelogramo. ^[d] Véase La cuadratura de la parábola .

Si la cuerda tiene longitud b y es perpendicular al eje de simetría de la parábola, y si la distancia perpendicular desde el vértice de la parábola a la cuerda es h , el paralelogramo es un rectángulo, con lados b y h . Por lo tanto, el área A del segmento parabólico encerrado por la parábola y la cuerda es

$${\displaystyle A={\frac {2}{3}}bh.}$$

Esta fórmula se puede comparar con el área de un triángulo:1/2bh .

En general, el área cerrada se puede calcular de la siguiente manera. Primero, localiza el punto de la parábola donde su pendiente es igual a la de la cuerda. Esto se puede hacer con cálculo o usando una línea paralela al eje de simetría de la parábola y que pase por el punto medio de la cuerda. El punto requerido es donde esta línea cruza la parábola. ^[e] Luego, usando la fórmula dada en Distancia de un punto a una recta , calcule la distancia perpendicular desde este punto a la cuerda. Multiplica esto por la longitud de la cuerda para obtener el área del paralelogramo, luego por 2/3 para obtener el área encerrada requerida.

Corolario sobre los puntos medios y finales de las cuerdas

Puntos medios de cuerdas paralelas

Un corolario de la discusión anterior es que si una parábola tiene varias cuerdas paralelas, todos sus puntos medios se encuentran en una línea paralela al eje de simetría. Si se trazan tangentes a la parábola a través de los puntos finales de cualquiera de estas cuerdas, las dos tangentes se cruzan en esta misma línea paralela al eje de simetría (ver Eje-dirección de una parábola). ^[F]

Longitud de arco

Si un punto X está ubicado en una parábola con distancia focal f , y si p es la distancia perpendicular de X al eje de simetría de la parábola, entonces las longitudes de los arcos de la parábola que terminan en X se pueden calcular a partir de f y p como sigue, suponiendo que todos estén expresados ​​en las mismas unidades. ^[gramo]

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$$

Esta cantidad s es la longitud del arco entre X y el vértice de la parábola.

La longitud del arco entre X y el punto simétricamente opuesto al otro lado de la parábola es 2 s .

A la distancia perpendicular p se le puede dar un signo positivo o negativo para indicar en qué lado del eje de simetría X está situado. Al invertir el signo de p se invierten los signos de h y s sin cambiar sus valores absolutos. Si estas cantidades tienen signo, la longitud del arco entre dos puntos cualesquiera de la parábola siempre se muestra por la diferencia entre sus valores de s . El cálculo se puede simplificar utilizando las propiedades de los logaritmos:

$${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$$

Esto puede resultar útil, por ejemplo, para calcular el tamaño del material necesario para fabricar un reflector parabólico o un cilindro-parabólico .

Este cálculo se puede utilizar para una parábola en cualquier orientación. No se limita a la situación en la que el eje de simetría es paralelo al eje y .

Una construcción geométrica para encontrar un área de sector.

S es el foco y V es el vértice principal de la parábola VG. Dibuja VX perpendicular a SV.

Tome cualquier punto B en VG y suelte un BQ perpendicular desde B a VX. Dibuje la perpendicular ST que interseca a BQ, extendida si es necesario, en T. En B, dibuje la perpendicular BJ, que interseca a VX en J.

Para la parábola, el segmento VBV, el área encerrada por la cuerda VB y el arco VB, es igual a ∆VBQ/3, también . ${\displaystyle BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}}$

El área del sector parabólico . ${\displaystyle SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}}$

Como los triángulos TSB y QBJ son semejantes,

$${\displaystyle VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.}$$

Por lo tanto, el área del sector parabólico y se puede encontrar a partir de la longitud de VJ, como se encontró arriba. ${\displaystyle SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}}$

Un círculo que pasa por S, V y B también pasa por J.

Por el contrario, si se debe encontrar un punto B en la parábola VG de modo que el área del sector SVB sea igual a un valor específico, determine el punto J en VX y construya un círculo que pase por S, V y J. Dado que SJ es el diámetro, el centro del círculo está en su punto medio y se encuentra en la bisectriz perpendicular de SV, a una distancia de la mitad VJ de SV. El punto B requerido es donde este círculo corta la parábola.

Si un cuerpo sigue la trayectoria de la parábola debido a una fuerza inversa del cuadrado dirigida hacia S, el área SVB aumenta a una velocidad constante a medida que el punto B avanza. De ello se deduce que J se mueve con rapidez constante a lo largo de VX mientras B se mueve a lo largo de la parábola.

Si la velocidad del cuerpo en el vértice donde se mueve perpendicularmente a SV es v , entonces la velocidad de J es igual a 3 v /4 .

La construcción se puede ampliar simplemente para incluir el caso en el que ninguno de los radios coincide con el eje SV de la siguiente manera. Sea A un punto fijo en VG entre V y B, y el punto H sea la intersección en VX con la perpendicular a SA en A. De lo anterior, el área del sector parabólico . ${\displaystyle SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}}$

Por el contrario, si se requiere encontrar el punto B para un área SAB particular, encuentre el punto J a partir de HJ y el punto B como antes. Según el Libro 1, Proposición 16, Corolario 6 de los Principia de Newton , la velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de una parábola con una fuerza dirigida hacia el foco es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio. Si la velocidad en A es v , entonces en el vértice V lo es , y el punto J se mueve a una velocidad constante de . ${\displaystyle {\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v}$ ${\displaystyle {\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}}$

La construcción anterior fue ideada por Isaac Newton y se puede encontrar en el Libro 1 de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica como Proposición 30.

Longitud focal y radio de curvatura en el vértice.

La distancia focal de una parábola es la mitad de su radio de curvatura en su vértice.

Prueba

• 
  La imagen está invertida. AB es el eje x . C es origen. O es el centro. A es ( x , y ) . OA = OC = R . PA = x . PC = y . OP = ( R − y ) . Otros puntos y líneas son irrelevantes para este propósito.
• 
  El radio de curvatura en el vértice es el doble de la distancia focal. Las medidas que se muestran en el diagrama anterior están en unidades del lado recto, que es cuatro veces la distancia focal.
• 

Considere un punto ( x , y ) en una circunferencia de radio R y con centro en el punto (0, R ) . La circunferencia pasa por el origen. Si el punto está cerca del origen, el teorema de Pitágoras muestra que

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}}$$

Pero si ( x , y ) está extremadamente cerca del origen, dado que el eje x es tangente al círculo, y es muy pequeño en comparación con x , por lo que y ² es insignificante en comparación con los otros términos. Por lo tanto, muy cerca del origen.

Compara esto con la parábola.

que tiene su vértice en el origen, se abre hacia arriba y tiene una distancia focal f (ver secciones anteriores de este artículo).

Las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes si R = 2 f . Por lo tanto, esta es la condición para que el círculo y la parábola coincidan en el origen y muy cerca de él. El radio de curvatura en el origen, que es el vértice de la parábola, es el doble de la distancia focal.

Corolario

Un espejo cóncavo que es un pequeño segmento de una esfera se comporta aproximadamente como un espejo parabólico, enfocando la luz paralela a un punto intermedio entre el centro y la superficie de la esfera.

Como imagen afín de la parábola unitaria

La parábola como imagen afín de la parábola unitaria

Otra definición de parábola utiliza transformaciones afines :

Cualquier parábola es la imagen afín de la parábola unitaria con ecuación . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular ( el determinante no es 0) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , la parábola unitaria se asigna a la parábola ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$$

• ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$es un punto de la parábola,
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$es un vector tangente en el punto , ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$es paralelo al eje de la parábola (eje de simetría que pasa por el vértice).

Vértice

En general, los dos vectores no son perpendiculares, y no es el vértice, a menos que la transformación afín sea una semejanza . ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$

El vector tangente en el punto es . En el vértice el vector tangente es ortogonal a . Por tanto el parámetro del vértice es la solución de la ecuación. ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle t_{0}}$

$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,}$$

$${\displaystyle t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},}$$

vértice

$${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

Distancia focal y enfoque

La distancia focal se puede determinar mediante una transformación de parámetros adecuada (que no cambia la forma geométrica de la parábola). La distancia focal es

$${\displaystyle f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.}$$

foco

$${\displaystyle F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

Representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica por la regla de Cramer y usando , se obtiene la representación implícita ${\displaystyle \;t,t^{2}\;}$ ${\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;}$

$${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.}$$

parábola en el espacio

La definición de parábola en esta sección da una representación paramétrica de una parábola arbitraria, incluso en el espacio, si se permite que sean vectores en el espacio. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Como curva de Bézier cuadrática

Curva cuadrática de Bézier y sus puntos de control.

Una curva de Bézier cuadrática es una curva definida por tres puntos y , llamados puntos de control : ${\displaystyle {\vec {c}}(t)}$ ${\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}}$$

Esta curva es un arco de una parábola (ver § Como imagen afín de la parábola unitaria).

Integracion numerica

Regla de Simpson: la gráfica de una función se reemplaza por un arco de parábola

En un método de integración numérica se reemplaza la gráfica de una función por arcos de parábolas e integra los arcos de parábola. Una parábola está determinada por tres puntos. La fórmula para un arco es

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).}$$

El método se llama regla de Simpson .

Como sección plana de cuádrica

Las siguientes cuádricas contienen parábolas como secciones planas:

• cono elíptico ,
• cilindro parabólico ,
• paraboloide elíptico ,
• paraboloide hiperbólico,
• hiperboloide de una hoja,
• Hiperboloide de dos hojas.

• 
  Cono elíptico
• 
  Cilindro parabólico
• 
  paraboloide elíptico
• 
  paraboloide hiperbólico
• 
  Hiperboloide de una hoja.
• 
  Hiperboloide de dos hojas.

Como trisectriz

Trisección de ángulos con parábola.

Una parábola se puede utilizar como trisectriz , es decir, permite la trisección exacta de un ángulo arbitrario con regla y compás. Esto no contradice la imposibilidad de una trisección de ángulos solo con construcciones con compás y regla , ya que el uso de parábolas no está permitido en las reglas clásicas para construcciones con compás y regla.

Para trisecar , coloque su cateto en el eje x de modo que el vértice esté en el origen del sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas también contiene la parábola . El círculo unitario con radio 1 alrededor del origen intersecta el otro cateto del ángulo y desde este punto de intersección traza la perpendicular al eje y . El paralelo al eje y que pasa por el punto medio de esa perpendicular y la tangente al círculo unitario en se cruzan en . El círculo alrededor con radio corta la parábola en . La perpendicular desde el eje x interseca el círculo unitario en y es exactamente un tercio de . ${\displaystyle \angle AOB}$ ${\displaystyle OB}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle y=2x^{2}}$ ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle OC}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \angle P_{2}OB}$ ${\displaystyle \angle AOB}$

La exactitud de esta construcción se puede ver mostrando que la coordenada x de es . Resolver el sistema de ecuaciones dado por el círculo alrededor y la parábola conduce a la ecuación cúbica . La fórmula del triple ángulo muestra que, de hecho, es una solución de esa ecuación cúbica. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0}$ ${\displaystyle \cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$

Esta trisección se remonta a René Descartes , quien la describió en su libro La Géométrie (1637). ^[18]

Generalizaciones

Si se reemplazan los números reales por un campo arbitrario , muchas propiedades geométricas de la parábola siguen siendo válidas: ${\displaystyle y=x^{2}}$

1. Una recta corta como máximo en dos puntos.
2. En cualquier punto la recta es la tangente. ${\displaystyle (x_{0},x_{0}^{2})}$ ${\displaystyle y=2x_{0}x-x_{0}^{2}}$

Surgen fenómenos esencialmente nuevos si el campo tiene la característica 2 (es decir, ): todas las tangentes son paralelas. ${\displaystyle 1+1=0}$

En geometría algebraica , la parábola se generaliza mediante las curvas normales racionales , que tienen coordenadas ( x , x ² , x ³ ,..., x ⁿ ) ; la parábola estándar es el caso n = 2 , y el caso n = 3 se conoce como cúbica torcida . Una generalización adicional la da la variedad Veronese , cuando hay más de una variable de entrada.

En la teoría de formas cuadráticas , la parábola es la gráfica de la forma cuadrática x ² (u otras escalas), mientras que el paraboloide elíptico es la gráfica de la forma cuadrática definida positiva x ² + y ² (o escalas), y la el paraboloide hiperbólico es la gráfica de la forma cuadrática indefinida x ² − y ² . Las generalizaciones a más variables producen más objetos de este tipo.

Las curvas y = x ^p para otros valores de p se conocen tradicionalmente como parábolas superiores y originalmente se trataron implícitamente, en la forma x ^p = ky ^q para p y q , ambos enteros positivos, en cuya forma se consideran algebraicas. curvas. Estos corresponden a la fórmula explícita y = x ^{p / q} para una potencia fraccionaria positiva de x . Las potencias fraccionarias negativas corresponden a la ecuación implícita x ^p y ^q = k y tradicionalmente se denominan hipérbolas superiores . Analíticamente, x también se puede elevar a una potencia irracional (para valores positivos de x ); las propiedades analíticas son análogas a cuando x se eleva a potencias racionales, pero la curva resultante ya no es algebraica y no puede analizarse mediante geometría algebraica.

en el mundo fisico

En la naturaleza, las aproximaciones de parábolas y paraboloides se encuentran en situaciones muy diversas. El ejemplo más conocido de parábola en la historia de la física es la trayectoria de una partícula o cuerpo en movimiento bajo la influencia de un campo gravitacional uniforme sin resistencia del aire (por ejemplo, una pelota que vuela por el aire, sin tener en cuenta la fricción del aire ).

La trayectoria parabólica de los proyectiles fue descubierta experimentalmente a principios del siglo XVII por Galileo , quien realizó experimentos con bolas que rodaban sobre planos inclinados. Más tarde también lo demostró matemáticamente en su libro Diálogo sobre dos nuevas ciencias . ^{[19] [h]} Para objetos extendidos en el espacio, como un buzo que salta desde un trampolín, el objeto en sí sigue un movimiento complejo a medida que gira, pero el centro de masa del objeto, no obstante, se mueve a lo largo de una parábola. Como en todos los casos del mundo físico, la trayectoria es siempre una aproximación de una parábola. La presencia de resistencia del aire, por ejemplo, siempre distorsiona la forma, aunque a bajas velocidades la forma es una buena aproximación a una parábola. A velocidades más altas, como en balística, la forma está muy distorsionada y no se parece a una parábola.

Otra situación hipotética en la que podrían surgir parábolas, según las teorías de la física descritas en los siglos XVII y XVIII por Sir Isaac Newton , es en órbitas de dos cuerpos , por ejemplo, la trayectoria de un pequeño planetoide u otro objeto bajo la influencia de la gravitación del Sol . Las órbitas parabólicas no existen en la naturaleza; Las órbitas simples suelen parecerse a hipérbolas o elipses . La órbita parabólica es el caso intermedio degenerado entre esos dos tipos de órbita ideal. Un objeto que siguiera una órbita parabólica viajaría a la velocidad de escape exacta del objeto que orbita; Los objetos en órbitas elípticas o hiperbólicas viajan a una velocidad menor o mayor que la velocidad de escape, respectivamente. Los cometas de período largo viajan cerca de la velocidad de escape del Sol mientras se mueven a través del sistema solar interior, por lo que sus trayectorias son casi parabólicas.

También se encuentran aproximaciones de parábolas en la forma de los cables principales de un puente colgante simple . La curva de las cadenas de un puente colgante es siempre una curva intermedia entre una parábola y una catenaria , pero en la práctica la curva generalmente se acerca más a una parábola debido a que el peso de la carga (es decir, la carretera) es mucho mayor que el de los cables. ellos mismos, y en los cálculos se utiliza la fórmula polinómica de segundo grado de una parábola. ^{[20] [21]} Bajo la influencia de una carga uniforme (como una plataforma suspendida horizontal), el cable que de otro modo tendría forma de catenaria se deforma hacia una parábola (ver Catenaria § Curva del puente colgante ). A diferencia de una cadena inelástica, un resorte que cuelga libremente y de longitud cero sin tensión toma la forma de una parábola. Lo ideal es que los cables de los puentes colgantes estén puramente tensados, sin tener que soportar otras fuerzas, como por ejemplo flexiones. De manera similar, las estructuras de los arcos parabólicos están puramente en compresión.

Los paraboloides también surgen en varias situaciones físicas. El ejemplo más conocido es el reflector parabólico , que es un espejo o dispositivo reflectante similar que concentra la luz u otras formas de radiación electromagnética en un punto focal común o, por el contrario, colima la luz de una fuente puntual en el foco en un haz paralelo. El principio del reflector parabólico pudo haber sido descubierto en el siglo III a. C. por el geómetra Arquímedes , quien, según una leyenda dudosa, ^[22] construyó espejos parabólicos para defender Siracusa contra la flota romana , concentrando los rayos del sol para prender fuego. a las cubiertas de los barcos romanos. El principio se aplicó a los telescopios en el siglo XVII. Hoy en día, los reflectores paraboloides se pueden observar comúnmente en gran parte del mundo en antenas receptoras y transmisoras de microondas y antenas parabólicas.

En los micrófonos parabólicos , se utiliza un reflector parabólico para enfocar el sonido en un micrófono, dándole un rendimiento altamente direccional.

También se observan paraboloides en la superficie de un líquido confinado en un recipiente y que gira alrededor del eje central. En este caso, la fuerza centrífuga hace que el líquido suba por las paredes del recipiente formando una superficie parabólica. Este es el principio detrás del telescopio de espejo líquido .

Los aviones utilizados para crear un estado de ingravidez con fines de experimentación, como el " Vomit Comet " de la NASA , siguen una trayectoria verticalmente parabólica durante breves períodos para seguir el curso de un objeto en caída libre , lo que produce el mismo efecto que el cero. gravedad para la mayoría de los propósitos.

Galería

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  Una pelota que rebota capturada con un flash estroboscópico a 25 imágenes por segundo. La pelota se vuelve significativamente no esférica después de cada rebote, especialmente después del primero. Eso, junto con el giro y la resistencia del aire , hace que la curva barrida se desvíe ligeramente de la parábola perfecta esperada.
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  Trayectorias parabólicas del agua en una fuente.
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  La trayectoria (en rojo) del cometa Kohoutek a su paso por el interior del Sistema Solar, mostrando su forma casi parabólica. La órbita azul es la de la Tierra.
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  Los cables de soporte de los puentes colgantes siguen una curva intermedia entre una parábola y una catenaria .
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  El Puente Arcoíris sobre el río Niágara , que conecta Canadá (izquierda) con Estados Unidos (derecha). El arco parabólico está comprimido y soporta el peso de la carretera.
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  Arcos parabólicos utilizados en arquitectura.
• Forma parabólica formada por una superficie líquida en rotación. Dos líquidos de diferentes densidades llenan completamente un espacio estrecho entre dos láminas de plástico transparente. El espacio entre las hojas se cierra en la parte inferior, los lados y la parte superior. Todo el conjunto gira alrededor de un eje vertical que pasa por el centro. (Ver Horno giratorio )
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  Cocina solar con reflector parabólico.
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  antena parabólica
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  Micrófono parabólico con reflector de plástico ópticamente transparente utilizado en un partido de fútbol americano universitario.
• Conjunto de cilindros parabólicos para recolectar energía solar
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  Reflector de Edison , montado en un carro. La luz tenía un reflector parabólico.
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  El físico Stephen Hawking en un avión que sigue una trayectoria parabólica para simular la gravedad cero.

Ver también

• cónica degenerada
• Cúpula § Cúpula paraboloide
• Ecuación diferencial parcial parabólica
• Ecuación cuadrática
• Función cuadrática
• Constante parabólica universal
• Secciones cónicas confocales § Parábolas confocales

Notas a pie de página

1. El plano tangencial apenas toca la superficie cónica a lo largo de una línea que pasa por el vértice del cono.
2. Como se indicó anteriormente, la distancia focal de una parábola es la distancia entre su vértice y su foco.
3. El punto V es el centro de la sección transversal circular más pequeña del cono. El punto F está en el plano (rosa) de la parábola y la línea VF es perpendicular al plano de la parábola.
4. Arquímedes demostró que el área del segmento parabólico encerrado era 4/3 del tamaño de un triángulo que inscribió dentro del segmento encerrado. Se puede demostrar fácilmente que el paralelogramo tiene el doble de área que el triángulo, por lo que la demostración de Arquímedes también demuestra el teorema con el paralelogramo.
5. Se puede demostrar fácilmente que este método es correcto mediante cálculo. También fue conocido y utilizado por Arquímedes, aunque vivió casi 2000 años antes de que se inventara el cálculo.
6. Se puede inferir una prueba de esta oración a partir de la prueba de la propiedad ortóptica, arriba. Allí se muestra que las tangentes a la parábola y = x ² en ( p , p ² ) y ( q , q ² ) se cortan en un punto cuya coordenada x es la media de p y q . Por tanto, si hay una cuerda entre estos dos puntos, el punto de intersección de las tangentes tiene la misma coordenada x que el punto medio de la cuerda.
7. En este cálculo, la raíz cuadrada q debe ser positiva. La cantidad en a es el logaritmo natural de  a .
8. Sin embargo, esta forma parabólica, como reconoció Newton, es sólo una aproximación de la forma elíptica real de la trayectoria y se obtiene asumiendo que la fuerza gravitacional es constante (sin apuntar hacia el centro de la Tierra) en el área de interés. A menudo, esta diferencia es insignificante y conduce a una fórmula más sencilla para seguir el movimiento.

Referencias

1. "¿Se pueden realmente derivar fórmulas cónicas a partir de un cono? - Derivación del síntoma de la parábola - Asociación Matemática de América" . Consultado el 30 de septiembre de 2016 .
2. Wilson, Ray N. (2004). Óptica del telescopio reflector: teoría básica del diseño y su desarrollo histórico (2 ed.). Saltador. pag. 3.ISBN _ 3-540-40106-7.Extracto de la página 3.
3. Astrónomo , pag. 115.
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5. Fitzpatrick, Richard (14 de julio de 2007). "Espejos esféricos". Electromagnetismo y Óptica, conferencias . Universidad de Texas en Austin . Óptica Paraxial . Consultado el 5 de octubre de 2011 .
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11. E. Hartmann, Nota de conferencia Geometrías de círculos planos, introducción a los planos de Möbius, Laguerre y Minkowski, p. 72.
12. W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973).
13. Downs, JW (2003). Secciones Cónicas Prácticas . Publicación de Dover.^{[ Falta el ISBN ]}
14. Sondow, Jonathan (2013). "Los parbelos, un análogo parabólico de los arbelos". Mensual Matemático Estadounidense . 120 (10): 929–935. arXiv : 1210.2279 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID  33402874.
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16. "Contenedor Sovrn". Mathwarehouse.com . Consultado el 30 de septiembre de 2016 .
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18. Yates, Robert C. (1941). "El problema de la trisección". Revista Nacional de Matemáticas . 15 (4): 191-202. doi :10.2307/3028133. JSTOR  3028133.
19. Diálogo sobre dos nuevas ciencias (1638) (El movimiento de los proyectiles: teorema 1).
20. Troyano, Leonardo Fernández (2003). Ingeniería de puentes: una perspectiva global. Tomás Telford. pag. 536.ISBN _ 0-7277-3215-3.
21. Drewry, Charles Stewart (1832). Una memoria de puentes colgantes. Universidad de Oxford. pag. 159.
22. Middleton, WE Knowles (diciembre de 1961). "Arquímedes, Kircher, Buffon y los espejos ardientes". Isis . Publicado por: The University of Chicago Press en nombre de The History of Science Society. 52 (4): 533–543. doi :10.1086/349498. JSTOR  228646. S2CID  145385010.

Otras lecturas

• Lockwood, EH (1961). Un libro de curvas . Prensa de la Universidad de Cambridge.

enlaces externos

• "Parábola", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Parábola". MundoMatemático .
• Enfoque interactivo de arrastre de parábola, vea eje de simetría, directriz, formas estándar y de vértice
• Triángulo de Arquímedes y cuadratura de la parábola al cortar el nudo
• Dos tangentes a la parábola al cortar el nudo
• Parábola como envolvente de líneas rectas al cortar el nudo
• Espejo parabólico en cut-the-knot
• Tres tangentes de parábola en el corte del nudo
• Propiedades focales de la parábola al cortar el nudo
• Parábola como envolvente II al cortar el nudo
• La similitud de la parábola en los bocetos de geometría dinámica, boceto interactivo de geometría dinámica.
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659