Traducción de ejes

Transformación de coordenadas que mueve el origen.

En matemáticas , una traslación de ejes en dos dimensiones es un mapeo de un sistema de coordenadas cartesiano xy a un sistema de coordenadas cartesiano x'y' en el que el eje x' es paralelo al eje x y a k unidades de distancia, y el eje y El eje ' es paralelo al eje y y está a h unidades de distancia. Esto significa que el origen O' del nuevo sistema de coordenadas tiene coordenadas ( h , k ) en el sistema original. Las direcciones x' e y' positivas se consideran iguales que las direcciones x e y positivas . Un punto P tiene coordenadas ( x , y ) con respecto al sistema original y coordenadas ( x' , y' ) con respecto al nuevo sistema, donde

o equivalente

En el nuevo sistema de coordenadas, el punto P parecerá haber sido trasladado en la dirección opuesta. Por ejemplo, si el sistema xy se traslada una distancia h hacia la derecha y una distancia k hacia arriba, entonces P parecerá haber sido trasladado una distancia h hacia la izquierda y una distancia k hacia abajo en el sistema x'y' . Una traslación de ejes en más de dos dimensiones se define de manera similar. ^[3] Una traslación de ejes es una transformación rígida , pero no una aplicación lineal . (Ver Transformación afín ).

Motivación

Los sistemas de coordenadas son esenciales para estudiar las ecuaciones de curvas utilizando los métodos de la geometría analítica . Para utilizar el método de geometría de coordenadas, los ejes se colocan en una posición conveniente con respecto a la curva considerada. Por ejemplo, para estudiar las ecuaciones de elipses e hipérbolas , los focos suelen situarse sobre uno de los ejes y se sitúan simétricamente respecto al origen. Si la curva (hipérbola, parábola , elipse, etc.) no está situada convenientemente con respecto a los ejes, se debe cambiar el sistema de coordenadas para colocar la curva en una ubicación y orientación conveniente y familiar. El proceso de realizar este cambio se llama transformación de coordenadas . ^[4]

Las soluciones a muchos problemas se pueden simplificar trasladando los ejes de coordenadas para obtener nuevos ejes paralelos a los originales. ^[5]

Traducción de secciones cónicas

Mediante un cambio de coordenadas, la ecuación de una sección cónica se puede convertir en una forma estándar , con la que suele ser más fácil trabajar. Para la ecuación más general de segundo grado, que toma la forma

Siempre es posible realizar una rotación de ejes de tal manera que en el nuevo sistema la ecuación tome la forma.

es decir, eliminando el término xy . ^[6] A continuación, una traslación de ejes puede reducir una ecuación de la forma ( 3 ) a una ecuación de la misma forma pero con nuevas variables ( x' , y' ) como coordenadas, y con D y E iguales a cero ( con ciertas excepciones (por ejemplo, parábolas). La herramienta principal en este proceso es "completar el cuadrado". ^[7] En los ejemplos siguientes, se supone que ya se ha realizado una rotación de ejes.

Ejemplo 1

Dada la ecuación

${\displaystyle 9x^{2}+25y^{2}+18x-100y-116=0,}$

Utilizando una traslación de ejes, determine si el lugar geométrico de la ecuación es una parábola, una elipse o una hipérbola. Determinar focos (o foco), vértices (o vértice) y excentricidad .

Solución: Para completar el cuadrado en x e y , escribe la ecuación en la forma

${\displaystyle 9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=116.}$

Completa los cuadrados y obtén

${\displaystyle 9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=116+9+100}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.}$

Definir

${\displaystyle x'=x+1}$     y     ${\displaystyle y'=y-2.}$

Es decir, la traslación en las ecuaciones ( 2 ) se realiza con La ecuación en el nuevo sistema de coordenadas es ${\displaystyle h=-1,k=2.}$

Divida la ecuación ( 5 ) por 225 para obtener

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{25}}+{\frac {y'^{2}}{9}}=1,}$

que es reconocible como una elipse con En el sistema x'y' , tenemos: centro ; vértices ; focos ${\displaystyle a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=4,e={\tfrac {4}{5}}.}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (\pm 5,0)}$ ${\displaystyle (\pm 4,0).}$

En el sistema xy , utilice las relaciones para obtener: centro ; vértices ; focos ; excentricidad ^[8] ${\displaystyle x=x'-1,y=y'+2}$ ${\displaystyle (-1,2)}$ ${\displaystyle (4,2),(-6,2)}$ ${\displaystyle (3,2),(-5,2)}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{5}}.}$

Generalización a varias dimensiones.

Para un sistema de coordenadas cartesiano xyz en tres dimensiones, supongamos que se introduce un segundo sistema de coordenadas cartesiano, con los ejes x' , y' y z' ubicados de manera que el eje x' sea paralelo al eje x y h unidades de él, el eje y' es paralelo al eje y y a k unidades de él, y el eje z' es paralelo al eje z y a l unidades de él. Un punto P en el espacio tendrá coordenadas en ambos sistemas. Si sus coordenadas son ( x , y , z ) en el sistema original y ( x' , y' , z' ) en el segundo sistema, las ecuaciones

sostener. ^[9] Las ecuaciones ( 6 ) definen una traslación de ejes en tres dimensiones donde ( h , k , l ) son las coordenadas xyz del nuevo origen. ^[10] Una traslación de ejes en cualquier número finito de dimensiones se define de manera similar.

Traducción de superficies cuádricas

En tres espacios, la ecuación más general de segundo grado en x , y y z tiene la forma

donde las cantidades son números positivos o negativos o cero. Todos los puntos en el espacio que satisfacen dicha ecuación se encuentran en una superficie . Cualquier ecuación de segundo grado que no se reduzca a un cilindro, plano, recta o punto corresponde a una superficie que se llama cuádrica. ^[11] ${\displaystyle A,B,C,\ldots ,J}$

Como en el caso de la geometría analítica plana, el método de traslación de ejes puede utilizarse para simplificar ecuaciones de segundo grado, haciendo evidente así la naturaleza de ciertas superficies cuádricas. La herramienta principal en este proceso es "completar el cuadrado". ^[12]

Ejemplo 2

Utilice una traducción de coordenadas para identificar la superficie cuádrica

${\displaystyle x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10.}$

Solución: Escribe la ecuación en la forma.

${\displaystyle x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.}$

Completa el cuadrado para obtener

${\displaystyle (x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{\tfrac {27}{4}}.}$

Introducir la traducción de coordenadas.

${\displaystyle x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qquad z'=z+{\tfrac {3}{2}}.}$

La ecuación de la superficie toma la forma.

${\displaystyle x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},}$

que es reconocible como la ecuación de un elipsoide . ^[13]

Ver también

• Traducción (geometría)

Notas

1. Antón (1987, pág.107)
2. Protter y Morrey (1970, pág.315)
3. Protter y Morrey (1970, págs. 585–588)
4. Protter y Morrey (1970, págs. 314-315)
5. Antón (1987, pág.107)
6. Protter y Morrey (1970, pág.322)
7. Protter y Morrey (1970, pág.316)
8. Protter y Morrey (1970, págs. 316-317)
9. Protter y Morrey (1970, págs. 585–586)
10. Antón (1987, pág.107)
11. Protter y Morrey (1970, pág.579)
12. Protter y Morrey (1970, pág. 586)
13. Protter y Morrey (1970, pág. 586)

Referencias

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN  76087042