En geometría , un octaedro ( pl.: octaedros u octaedros ) es un poliedro de ocho caras. Un octaedro puede considerarse como una bipirámide cuadrada. Cuando los bordes de una bipirámide cuadrada tienen todos la misma longitud, se produce un octaedro regular , un sólido platónico compuesto por ocho triángulos equiláteros , cuatro de los cuales se encuentran en cada vértice. También es un ejemplo de deltaedro . Un octaedro es el caso tridimensional del concepto más general de politopo cruzado .
El octaedro puede considerarse como una bipirámide cuadrada . [1] Una bipirámide cuadrada es una bipirámide construida uniendo dos pirámides cuadradas rectas base con base. Estas pirámides cubren sus bases cuadradas, por lo que el poliedro resultante tiene ocho caras triangulares. [2]
Si las aristas de una bipirámide cuadrada tienen todas la misma longitud, entonces la bipirámide cuadrada es el octaedro regular . Es uno de los ocho deltaedros convexos porque todas las caras son triángulos equiláteros . [2] Se puede construir de manera similar, uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras . Su poliedro dual es el cubo , y tienen los mismos grupos de simetría tridimensional , la simetría octaédrica . [3]
El área de superficie de un octaedro regular se puede determinar sumando sus ocho triángulos equiláteros, mientras que su volumen es el doble del volumen de una pirámide cuadrada; si la longitud del borde es , [4] El radio de una esfera circunscrita (una que toca el octaedro en todos los vértices), el radio de una esfera inscrita (una que es tangente a cada una de las caras del octaedro) y el radio de una esfera media (uno que toca el centro de cada borde), son: [5]
El ángulo diédrico de un octaedro regular entre dos caras triangulares adyacentes es 109,47°. Esto se puede obtener a partir del ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera: su ángulo diédrico entre dos caras triangulares adyacentes es el ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera entre dos caras triangulares adyacentes, y su ángulo diédrico entre dos caras triangulares adyacentes en el borde en al que se unen dos pirámides cuadradas equiláteras es el doble del ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera entre su cara triangular y su base cuadrada. [6]
Un octaedro con longitud de arista se puede colocar con su centro en el origen y sus vértices en los ejes de coordenadas; las coordenadas cartesianas de los vértices son: En el espacio tridimensional , el octaedro con coordenadas de centro y radio es el conjunto de todos los puntos tales que .
El octaedro regular es uno de los sólidos platónicos , un conjunto de poliedros cuyas caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice se juntan el mismo número de caras. [7] Este antiguo conjunto de poliedros recibió su nombre de Platón quien, en su diálogo Timeo , relacionó estos sólidos con la naturaleza. Uno de ellos, el octaedro regular, representaba el elemento clásico del viento . [8]
Siguiendo su atribución con la naturaleza por parte de Platón, Johannes Kepler en sus Armonices Mundi esbozó cada uno de los sólidos platónicos. [8] En su Mysterium Cosmographicum , Kepler también propuso el Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos insertados en otro y separándolos con seis esferas que se asemejan a los seis planetas. Los sólidos ordenados comenzaban desde el más interno hacia el más externo: octaedro regular, icosaedro regular , dodecaedro regular , tetraedro regular y cubo . [9]
El esqueleto de un octaedro regular se puede representar como un gráfico según el teorema de Steinitz , siempre que el gráfico sea plano (sus aristas de un gráfico están conectadas a cada vértice sin cruzar otras aristas) y un gráfico triplemente conexo (sus aristas permanecen conectadas siempre que dos de más se eliminan tres vértices de un gráfico. [10] [11] Su gráfico se llama gráfico octaédrico , un gráfico platónico . [7]
El gráfico octaédrico puede considerarse como un gráfico tripartito completo , un gráfico dividido en tres conjuntos independientes, cada uno de los cuales consta de dos vértices opuestos. [12] De manera más general, es un gráfico de Turán .
El gráfico octaédrico tiene 4 conexiones , lo que significa que es necesario eliminar cuatro vértices para desconectar los vértices restantes. Es uno de los cuatro poliedros bien cubiertos simpliciales de 4 conectados , lo que significa que todos los conjuntos independientes máximos de sus vértices tienen el mismo tamaño. Los otros tres poliedros con esta propiedad son la bipirámide pentagonal , el diefenoides chato y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares. [13]
El interior del compuesto de dos tetraedros duales es un octaedro, y este compuesto, llamado stella octangula , es su primera y única estelación . En consecuencia, un octaedro regular es el resultado de cortar de un tetraedro regular cuatro tetraedros regulares de la mitad del tamaño lineal (es decir, rectificar el tetraedro). Los vértices del octaedro se encuentran en los puntos medios de las aristas del tetraedro, y en este sentido se relaciona con el tetraedro de la misma manera que el cuboctaedro y el icosidodecaedro se relacionan con los otros sólidos platónicos.
También se pueden dividir las aristas de un octaedro en la proporción de la media áurea para definir los vértices de un icosaedro regular . Esto se hace colocando primero vectores a lo largo de los bordes del octaedro de manera que cada cara esté delimitada por un ciclo, luego dividiendo de manera similar cada borde en la media áurea a lo largo de la dirección de su vector. Cinco octaedros definen cualquier icosaedro dado de esta manera, y juntos definen un compuesto regular . Un icosaedro regular producido de esta manera se llama octaedro chato. [14]
El octaedro regular puede considerarse como el antiprisma , un poliedro parecido a un prisma en el que las caras laterales se reemplazan por triángulos equiláteros alternos. También se le llama antiprisma trigonal . [15] Por lo tanto, tiene la propiedad de cuasiregular , un poliedro en el que dos caras poligonales diferentes se alternan y se encuentran en un vértice. [dieciséis]
Los octaedros y tetraedros se pueden alternar para formar un mosaico del espacio con vértices, aristas y caras uniformes . Este y el mosaico regular de cubos son los únicos panales uniformes en el espacio tridimensional.
El tetrahemihexaedro uniforme es una faceta de simetría tetraédrica del octaedro regular, que comparte la disposición de aristas y vértices . Tiene cuatro de las caras triangulares y 3 cuadrados centrales.
Un octaedro regular es una bola de 3 en la métrica de Manhattan ( ℓ 1 ) .
Como todos los politopos convexos regulares, el octaedro se puede diseccionar en un número entero de ortoesquemas disjuntos , todos de la misma forma característica del politopo. El ortosquema característico de un politopo es una propiedad fundamental porque el politopo se genera por reflejos en las facetas de su ortosquema. El ortosquema se presenta en dos formas quirales que son imágenes especulares entre sí. El ortoesquema característico de un poliedro regular es un tetraedro irregular cuadrirrectangular .
Las caras del tetraedro característico del octaedro se encuentran en los planos de simetría especulares del octaedro . El octaedro es único entre los sólidos platónicos por tener un número par de caras que se encuentran en cada vértice. En consecuencia, es el único miembro de ese grupo que posee, entre sus planos especulares, algunos que no pasan por ninguna de sus caras. El grupo de simetría del octaedro se denota como B 3 . El octaedro y su politopo dual , el cubo , tienen el mismo grupo de simetría pero tetraedros característicos diferentes.
El tetraedro característico del octaedro regular se puede encontrar mediante una disección canónica [17] del octaedro regular.
que lo subdivide en 48 de estos ortoesquemas característicosrodeando el centro del octaedro. Tres ortoesquemas zurdos y tres ortoesquemas diestros se encuentran en cada una de las ocho caras del octaedro, formando los seis ortoesquemas colectivamente un tetraedro trirectangular : una pirámide triangular con la cara del octaedro como base equilátera y su vértice con esquinas cúbicas en el centro. del octaedro. [18]
Si el octaedro tiene una longitud de arista 𝒍 = 2, las seis aristas características de su tetraedro tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior del triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, , 𝟁), [a] más , , (aristas que son los radios característicos del octaedro). El camino de 3 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , primero desde un vértice de octaedro hasta el centro de una arista de octaedro, luego gira 90° hasta el centro de una cara de octaedro y luego gira 90° hasta el centro del octaedro. El ortosquema tiene cuatro caras de triángulos rectángulos diferentes. La cara exterior es un triángulo 90-60-30 que es un sexto de la cara de un octaedro. Las tres caras interiores al octaedro son: un triángulo 45-90-45 con aristas , , , un triángulo rectángulo con aristas , , , y un triángulo rectángulo con aristas , , .
Hay 3 colores uniformes del octaedro, nombrados por los colores de las caras triangulares que rodean cada vértice: 1212, 1112, 1111.
El grupo de simetría del octaedro es Oh , de orden 48, el grupo hiperoctaédrico tridimensional . Los subgrupos de este grupo incluyen D 3d (orden 12), el grupo de simetría de un antiprisma triangular ; D 4h (orden 16), el grupo de simetría de una bipirámide cuadrada ; y T d (orden 24), el grupo de simetría de un tetraedro rectificado. Estas simetrías se pueden enfatizar mediante diferentes colores de las caras.
Un octaedro puede ser cualquier poliedro de ocho caras. En un ejemplo anterior, el octaedro regular tiene 6 vértices y 12 aristas, el mínimo para un octaedro; Los octaedros irregulares pueden tener hasta 12 vértices y 18 aristas. [20] Hay 257 octaedros convexos topológicamente distintos , excluyendo las imágenes especulares. Más específicamente hay 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 para octaedros con 6 a 12 vértices respectivamente. [21] [22] (Dos poliedros son "topológicamente distintos" si tienen disposiciones intrínsecamente diferentes de caras y vértices, de modo que es imposible distorsionar uno en otro simplemente cambiando las longitudes de las aristas o los ángulos entre aristas o caras. .) Algunos de los poliedros tienen ocho caras además de ser bipirámides cuadradas en los siguientes:
Los siguientes son los otros poliedros que son combinatoriamente equivalentes al octaedro regular. Todos tienen seis vértices, ocho caras triangulares y doce aristas que se corresponden uno a uno con sus características:
Buckminster Fuller inventó en la década de 1950 un marco espacial de tetraedros y semioctaedros alternos derivados del panal tetraédrico-octaédrico . Se considera comúnmente como la estructura de construcción más fuerte para resistir tensiones en voladizo .
Un octaedro regular se puede convertir en un tetraedro agregando 4 tetraedros en caras alternas. Agregar tetraedros a las 8 caras crea el octaedro estrellado .
El octaedro pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo.
También es uno de los ejemplos más simples de hipersímplejo , un politopo formado por ciertas intersecciones de un hipercubo con un hiperplano .
El octaedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con símbolos de Schläfli {3, n }, que continúan en el plano hiperbólico .
El octaedro regular también puede considerarse un tetraedro rectificado , y puede denominarse tetraedro . Esto se puede demostrar con un modelo de cara de 2 colores. Con esta coloración, el octaedro tiene simetría tetraédrica .
Compare esta secuencia de truncamiento entre un tetraedro y su dual:
Las formas anteriores también se pueden realizar como cortes ortogonales a la diagonal larga de un teseracto . Si esta diagonal está orientada verticalmente con una altura de 1, entonces los primeros cinco cortes anteriores ocurren en alturas r , 3/8 , 1/2 , 5/8 , y s , donde r es cualquier número en el rango 0 < r ≤ 1/4 , y s es cualquier número en el rango 3/4 ≤ s < 1 .
El octaedro como tetraedro existe en una secuencia de simetrías de poliedros cuasiregulares y mosaicos con configuraciones de vértice (3. n ) 2 , progresando desde mosaicos de la esfera al plano euclidiano y al plano hiperbólico. Con simetría de notación orbifold de * n 32, todos estos mosaicos son construcciones de Wythoff dentro de un dominio de simetría fundamental, con puntos generadores en la esquina del ángulo recto del dominio. [24] [25]
Como antiprisma trigonal , el octaedro está relacionado con la familia de simetría diédrica hexagonal.
El truncamiento de dos vértices opuestos da como resultado un bifrutum cuadrado .
El octaedro se puede generar como el caso de un superelipsoide 3D con todos los valores de exponente establecidos en 1.
