Parábola

Plane curve: conic section

Parte de una parábola (azul), con diversas características (otros colores). La parábola completa no tiene extremos. En esta orientación, se extiende infinitamente hacia la izquierda, la derecha y hacia arriba.

La parábola es un miembro de la familia de secciones cónicas .

En matemáticas , una parábola es una curva plana con simetría especular y con forma aproximada de U. Se ajusta a varias descripciones matemáticas superficialmente diferentes , que pueden demostrar que definen exactamente las mismas curvas.

Una descripción de una parábola implica un punto (el foco ) y una línea (la directriz ). El foco no se encuentra en la directriz. La parábola es el lugar geométrico de los puntos en ese plano que son equidistantes de la directriz y el foco. Otra descripción de una parábola es como una sección cónica , creada a partir de la intersección de una superficie cónica circular recta y un plano paralelo a otro plano que es tangente a la superficie cónica. ^[a]

La gráfica de una función cuadrática (con ) es una parábola cuyo eje es paralelo al eje y . A la inversa, cada parábola de este tipo es la gráfica de una función cuadrática. ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

La línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco (es decir, la línea que divide la parábola por la mitad) se llama "eje de simetría". El punto donde la parábola interseca su eje de simetría se llama " vértice " y es el punto donde la parábola está más curvada. La distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de simetría, es la "distancia focal". El " latus rectum " es la cuerda de la parábola que es paralela a la directriz y pasa por el foco. Las parábolas pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha o en alguna otra dirección arbitraria. Cualquier parábola se puede reposicionar y reescalar para que encaje exactamente en cualquier otra parábola, es decir, todas las parábolas son geométricamente similares .

Las parábolas tienen la propiedad de que, si están hechas de un material que refleja la luz , entonces la luz que viaja paralela al eje de simetría de una parábola e incide en su lado cóncavo se refleja en su foco, independientemente de en qué parte de la parábola se produzca la reflexión. Por el contrario, la luz que se origina en una fuente puntual en el foco se refleja en un haz paralelo (" colimado "), dejando la parábola paralela al eje de simetría. Los mismos efectos ocurren con el sonido y otras ondas . Esta propiedad reflectante es la base de muchos usos prácticos de las parábolas.

La parábola tiene muchas aplicaciones importantes, desde una antena parabólica o un micrófono parabólico hasta reflectores de faros de automóviles y el diseño de misiles balísticos . Se utiliza con frecuencia en física , ingeniería y muchas otras áreas.

Historia

Brújula parabólica diseñada por Leonardo da Vinci

El trabajo más antiguo conocido sobre secciones cónicas fue realizado por Menecmo en el siglo IV a. C. Descubrió una forma de resolver el problema de doblar el cubo usando parábolas. (La solución, sin embargo, no cumple con los requisitos de la construcción con regla y compás ). El área encerrada por una parábola y un segmento de línea, el llamado "segmento de parábola", fue calculada por Arquímedes por el método de exhaución en el siglo III a. C., en su Cuadratura de la parábola . El nombre "parábola" se debe a Apolonio , quien descubrió muchas propiedades de las secciones cónicas. Significa "aplicación", refiriéndose al concepto de "aplicación de áreas", que tiene una conexión con esta curva, como Apolonio había demostrado. ^[1] La propiedad foco-directriz de la parábola y otras secciones cónicas se debe a Pappus .

Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil sigue una parábola, consecuencia de la aceleración uniforme debida a la gravedad.

La idea de que un reflector parabólico podía producir una imagen ya era bien conocida antes de la invención del telescopio reflector . ^{[2] Muchos} matemáticos propusieron diseños a principios y mediados del siglo XVII , entre ellos René Descartes , Marin Mersenne , ^[3] y James Gregory . ^[4] Cuando Isaac Newton construyó el primer telescopio reflector en 1668, omitió el uso de un espejo parabólico debido a la dificultad de fabricación, optando por un espejo esférico . Los espejos parabólicos se utilizan en la mayoría de los telescopios reflectores modernos y en antenas parabólicas y receptores de radar . ^[5]

Definición como lugar geométrico de puntos

Una parábola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar geométrico de puntos ) en el plano euclidiano:

Una parábola es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto la distancia a un punto fijo , el foco , es igual a la distancia a una recta fija , la directriz : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF|}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |Pl|}$ ${\displaystyle l}$ $${\displaystyle \{P:|PF|=|Pl|\}.}$$

El punto medio de la perpendicular desde el foco hasta la directriz se llama vértice y la línea es el eje de simetría de la parábola. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle FV}$

En un sistema de coordenadas cartesianas

Eje de simetría paralelo a layeje

Parábola con eje paralelo al eje y ; p es el semilato recto

Si se introducen coordenadas cartesianas , tales que y la directriz tiene la ecuación , se obtiene para un punto de la ecuación . Resolviendo para se obtiene ${\displaystyle F=(0,f),\ f>0,}$ ${\displaystyle y=-f}$ ${\displaystyle P=(x,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=|Pl|^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$$

Esta parábola tiene forma de U ( se abre hacia arriba ).

La cuerda horizontal que pasa por el foco (ver la imagen en la sección inicial) se llama lado recto ; una mitad de ella es el semilato recto . El lado recto es paralelo a la directriz. El semilato recto se designa con la letra . De la imagen se obtiene ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p=2f.}$$

El lado recto se define de manera similar para las otras dos cónicas: la elipse y la hipérbola. El lado recto es la línea trazada a través de un foco de una sección cónica paralela a la directriz y terminada en ambos sentidos por la curva. Para cualquier caso, es el radio del círculo osculador en el vértice. Para una parábola, el semilado recto, , es la distancia del foco a la directriz. Usando el parámetro , la ecuación de la parábola puede reescribirse como ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle x^{2}=2py.}$$

De manera más general, si el vértice es , el foco y la directriz , se obtiene la ecuación ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$ ${\displaystyle y=v_{2}-f}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$$

Observaciones :

1. En el caso de la parábola tiene una apertura hacia abajo. ${\displaystyle f<0}$
2. La presunción de que el eje es paralelo al eje y permite considerar una parábola como el gráfico de un polinomio de grado 2, y viceversa: el gráfico de un polinomio arbitrario de grado 2 es una parábola (véase la siguiente sección).
3. Si se intercambian y , se obtienen ecuaciones de la forma . Estas parábolas abren hacia la izquierda (si ) o hacia la derecha (si ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=2px}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle p>0}$

Posición general

Parábola: posición general

Si el foco es , y la directriz , entonces se obtiene la ecuación ${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$ ${\displaystyle ax+by+c=0}$ $${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$$

(el lado izquierdo de la ecuación utiliza la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ). ${\displaystyle |Pl|}$

Para una ecuación paramétrica de una parábola en posición general, véase § Como imagen afín de la parábola unitaria.

La ecuación implícita de una parábola está definida por un polinomio irreducible de grado dos: tal que o, equivalentemente, tal que es el cuadrado de un polinomio lineal . $${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$$ ${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$ ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

Como gráfico de una función

Parábolas ${\displaystyle y=ax^{2}}$

La sección anterior muestra que cualquier parábola con el origen como vértice y el eje y como eje de simetría puede considerarse como la gráfica de una función. $${\displaystyle f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.}$$

Las parábolas se abren hacia arriba y las parábolas se abren hacia abajo (ver figura). De la sección anterior se obtiene: ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$

• El enfoque es , ${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{4a}}\right)}$
• La distancia focal , el semi-lato recto es , ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• El vértice es , ${\displaystyle (0,0)}$
• La directriz tiene la ecuación , ${\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}$
• La tangente en el punto tiene la ecuación . ${\displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$ ${\displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$

La parábola es la parábola unitaria de ecuación . Su foco es , el semilato recto , y la directriz tiene ecuación . ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}}$

La función general de grado 2 es Completar el cuadrado da como resultado la ecuación de una parábola con $${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.}$$ $${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},}$$

• el eje (paralelo al eje y ), ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
• la distancia focal , el semi-lato recto , ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• el vértice , ${\displaystyle V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$
• El foco , ${\displaystyle F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)}$
• la directriz , ${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}}$
• el punto de la parábola que interseca el eje y tiene coordenadas , ${\displaystyle (0,c)}$
• La tangente en un punto del eje y tiene la ecuación . ${\displaystyle y=bx+c}$

Similitud con la parábola unitaria

Cuando la parábola se escala uniformemente por el factor 2, el resultado es la parábola ${\displaystyle \color {blue}{y=2x^{2}}}$ ${\displaystyle \color {red}{y=x^{2}}}$

Dos objetos en el plano euclidiano son semejantes si uno puede transformarse en el otro mediante una semejanza , es decir, una composición arbitraria de movimientos rígidos ( traslaciones y rotaciones ) y escalas uniformes .

Una parábola con vértice puede transformarse mediante la traslación en una que tenga el origen como vértice. Una rotación adecuada alrededor del origen puede transformar la parábola en una que tenga el eje y como eje de simetría. Por lo tanto, la parábola puede transformarse mediante un movimiento rígido en una parábola con una ecuación . Dicha parábola puede transformarse luego mediante el escalado uniforme en la parábola unitaria con ecuación . Por lo tanto, cualquier parábola puede mapearse a la parábola unitaria por una semejanza. ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle (x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle y=ax^{2},\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x,y)\to (ax,ay)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$

También se puede utilizar un enfoque sintético , utilizando triángulos similares, para establecer este resultado. ^[7]

El resultado general es que dos secciones cónicas (necesariamente del mismo tipo) son similares si y solo si tienen la misma excentricidad. ^[6] Por lo tanto, solo los círculos (todos con excentricidad 0) comparten esta propiedad con las parábolas (todas con excentricidad 1), mientras que las elipses generales y las hipérbolas no.

Existen otras transformaciones afines simples que asignan la parábola a la parábola unitaria, como . Pero esta asignación no es una semejanza, y solo muestra que todas las parábolas son afínmente equivalentes (véase § Como la imagen afín de la parábola unitaria). ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)}$

Como sección cónica especial

Lápiz de cónicas con un vértice común

El lápiz de secciones cónicas con eje x como eje de simetría, un vértice en el origen (0, 0) y el mismo semilato recto se puede representar mediante la ecuación con excentricidad . ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,}$$ ${\displaystyle e}$

• Porque la cónica es un círculo (círculo osculador del lápiz), ${\displaystyle e=0}$
• para una elipse , ${\displaystyle 0<e<1}$
• para la parábola con ecuación ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle y^{2}=2px,}$
• para una hipérbola (ver imagen). ${\displaystyle e>1}$

En coordenadas polares

Lápiz de cónicas con foco común

Si p > 0 , la parábola con ecuación (apertura hacia la derecha) tiene la representación polar donde . ${\displaystyle y^{2}=2px}$ $${\displaystyle r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}$$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi }$

Su vértice es y su foco es . ${\displaystyle V=(0,0)}$ ${\displaystyle F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)}$

Si se desplaza el origen hacia el foco, es decir, , se obtiene la ecuación ${\displaystyle F=(0,0)}$ $${\displaystyle r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.}$$

Observación 1: Invertir esta forma polar muestra que una parábola es la inversa de un cardioide .

Observación 2: La segunda forma polar es un caso especial de un lápiz de cónicas con foco (ver imagen): ( es la excentricidad). ${\displaystyle F=(0,0)}$ $${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}}$$ ${\displaystyle e}$

Sección cónica y forma cuadrática

Diagrama, descripción y definiciones

Cono con secciones transversales

El diagrama representa un cono cuyo eje es AV . El punto A es su vértice . Una sección transversal inclinada del cono, que se muestra en rosa, está inclinada respecto del eje en el mismo ángulo θ que el lado del cono. Según la definición de parábola como sección cónica, el límite de esta sección transversal rosa EPD es una parábola.

Por el vértice P de la parábola pasa una sección transversal perpendicular al eje del cono. Esta sección transversal es circular, pero vista oblicuamente parece elíptica , como se muestra en el diagrama. Su centro es V y PK es un diámetro. Llamaremos a su radio  r .

Otra sección transversal circular del cono, perpendicular al eje, está más alejada del vértice A que la que acabamos de describir. Tiene una cuerda DE que une los puntos en los que la parábola corta al círculo. Otra cuerda BC es la mediatriz de DE y, en consecuencia, un diámetro del círculo. Estas dos cuerdas y el eje de simetría de la parábola PM se cortan en el punto M.

Todos los puntos marcados, excepto D y E, son coplanares . Están en el plano de simetría de toda la figura. Esto incluye el punto F, que no se menciona arriba. Se define y analiza más adelante, en § Posición del foco.

Llamemos x a la longitud de DM y de EM , y y a la longitud de PM . 

Derivación de la ecuación cuadrática

Las longitudes de BM y CM son:

• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}=2y\cos \theta }$ (el triángulo BPM es isósceles , porque ${\displaystyle {\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {CM} }}=2r}$ (PMCK es un paralelogramo ).

Utilizando el teorema de las cuerdas que se intersectan en las cuerdas BC y DE , obtenemos $${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.}$$

Sustituyendo: $${\displaystyle 4ry\cos \theta =x^{2}.}$$

Reorganizando: $${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.}$$

Para cualquier cono y parábola dados, r y θ son constantes, pero x e y son variables que dependen de la altura arbitraria a la que se realiza la sección transversal horizontal BECD. Esta última ecuación muestra la relación entre estas variables. Pueden interpretarse como coordenadas cartesianas de los puntos D y E, en un sistema en el plano rosa con P como origen. Como x está elevado al cuadrado en la ecuación, el hecho de que D y E estén en lados opuestos del eje y no es importante. Si la sección transversal horizontal se mueve hacia arriba o hacia abajo, acercándose o alejándose del vértice del cono, D y E se mueven a lo largo de la parábola, manteniendo siempre la relación entre x e y mostrada en la ecuación. La curva parabólica es, por lo tanto, el lugar geométrico de los puntos donde se satisface la ecuación, lo que la convierte en un gráfico cartesiano de la función cuadrática en la ecuación.

Longitud focal

Se demuestra en una sección anterior que si una parábola tiene su vértice en el origen y se abre en la dirección y positiva, entonces su ecuación es y = ⁠x2^​/4f​⁠ , donde f es su longitud focal. ^[b] Comparando esto con la última ecuación anterior se muestra que la longitud focal de la parábola en el cono es r sen θ .

Posición del foco

En el diagrama anterior, el punto V es el pie de la perpendicular desde el vértice de la parábola hasta el eje del cono. El punto F es el pie de la perpendicular desde el punto V hasta el plano de la parábola. ^[c] Por simetría, F está en el eje de simetría de la parábola. El ángulo VPF es complementario de θ , y el ángulo PVF es complementario del ángulo VPF, por lo tanto, el ángulo PVF es θ . Como la longitud de PV es r , la distancia de F desde el vértice de la parábola es r sen θ . Se muestra arriba que esta distancia es igual a la longitud focal de la parábola, que es la distancia desde el vértice hasta el foco. El foco y el punto F están, por lo tanto, igualmente distantes del vértice, a lo largo de la misma línea, lo que implica que son el mismo punto. Por lo tanto, el punto F, definido arriba, es el foco de la parábola .

Esta discusión comenzó con la definición de una parábola como una sección cónica, pero ahora ha conducido a una descripción como un gráfico de una función cuadrática. Esto demuestra que estas dos descripciones son equivalentes. Ambas definen curvas con exactamente la misma forma.

Prueba alternativa con esferas de Dandelin

Parábola (roja): vista en proyección lateral y vista en proyección superior de un cono con una esfera de Dandelin

Se puede hacer una prueba alternativa utilizando esferas de Dandelin . Funciona sin cálculos y utiliza únicamente consideraciones geométricas elementales (ver la derivación a continuación).

La intersección de un cono vertical con un plano , cuya inclinación respecto de la vertical es la misma que la generatriz (también conocida como línea generadora, una línea que contiene el vértice y un punto en la superficie del cono) del cono, es una parábola (curva roja en el diagrama). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}}$

Esta generatriz es la única generatriz del cono que es paralela al plano . De lo contrario, si hay dos generatrices paralelas al plano de intersección, la curva de intersección será una hipérbola (o hipérbola degenerada , si las dos generatrices están en el plano de intersección). Si no hay ninguna generatriz paralela al plano de intersección, la curva de intersección será una elipse o un círculo (o un punto ). ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$

Sea plano el plano que contiene el eje vertical del cono y la recta . La inclinación del plano respecto de la vertical es la misma que la de la recta, lo que significa que, viéndolo de lado (es decir, el plano es perpendicular al plano ), . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$

Para demostrar la propiedad directriz de una parábola (ver § Definición como lugar geométrico de puntos arriba), se utiliza una esfera de Dandelin , que es una esfera que toca al cono a lo largo de un círculo y un plano en el punto . El plano que contiene al círculo interseca al plano en la línea . Existe una simetría especular en el sistema que consta del plano , la esfera de Dandelin y el cono (el plano de simetría es ). ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma }$

Como el plano que contiene el círculo es perpendicular al plano , y , su línea de intersección también debe ser perpendicular al plano . Como la línea está en el plano , . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi \perp \sigma }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle l\perp m_{0}}$

Resulta que es el foco de la parábola, y es la directriz de la parábola. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$

1. Sea un punto arbitrario de la curva de intersección. ${\displaystyle P}$
2. La generatriz del cono que contiene interseca al círculo en el punto . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$
3. Los segmentos de línea y son tangentes a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud. ${\displaystyle {\overline {PF}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ${\displaystyle d}$
4. La generatriz interseca el círculo en el punto . Los segmentos de línea y son tangentes a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud. ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {ZD}}}$ ${\displaystyle {\overline {ZA}}}$ ${\displaystyle d}$
5. Sea recta la recta paralela al punto y que pasa por él . Como y el punto está en el plano , la recta debe estar en el plano . Como , también lo sabemos . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}\perp l}$ ${\displaystyle q\perp l}$
6. Sea punto el pie de la perpendicular del punto a la recta , es decir, es un segmento de recta , y por tanto . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}}$
7. Del teorema de intersección y sabemos que . Como , sabemos que , lo que significa que la distancia desde al foco es igual a la distancia desde a la directriz . ${\displaystyle {\overline {ZD}}={\overline {ZA}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PF}}}$ ${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PB}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l}$

Prueba de la propiedad reflexiva

Propiedad reflexiva de una parábola

La propiedad de reflexión establece que si una parábola puede reflejar la luz, entonces la luz que entra en ella viajando paralela al eje de simetría se refleja hacia el foco. Esto se deriva de la óptica geométrica , basada en el supuesto de que la luz viaja en rayos.

Considere la parábola y = x ² . Como todas las parábolas son similares, este caso simple representa a todas las demás.

Construcción y definiciones

El punto E es un punto arbitrario de la parábola. El foco es F, el vértice es A (el origen) y la línea FA es el eje de simetría. La línea EC es paralela al eje de simetría, interseca el eje x en D e interseca la directriz en C. El punto B es el punto medio del segmento FC .

Deducciones

El vértice A es equidistante del foco F y de la directriz. Como C está sobre la directriz, las coordenadas y de F y C son iguales en valor absoluto y opuestas en signo. B es el punto medio de FC . Su coordenada x es la mitad de la de D, es decir, x /2 . La pendiente de la recta BE es el cociente de las longitudes de ED y BD , que es ⁠x2^​/x /2⁠ = 2 x . Pero 2 x es también la pendiente (primera derivada) de la parábola en E. Por lo tanto, la línea BE es la tangente a la parábola en E.

Las distancias EF y EC son iguales porque E está en la parábola, F es el foco y C está en la directriz. Por lo tanto, como B es el punto medio de FC , los triángulos △FEB y △CEB son congruentes (tres lados), lo que implica que los ángulos marcados con α son congruentes. (El ángulo sobre E es el ángulo verticalmente opuesto ∠BEC). Esto significa que un rayo de luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralelo al eje de simetría será reflejado por la línea BE, por lo que viaja a lo largo de la línea EF , como se muestra en rojo en el diagrama (asumiendo que las líneas pueden reflejar la luz de alguna manera). Como BE es la tangente a la parábola en E, la misma reflexión será realizada por un arco infinitesimal de la parábola en E. Por lo tanto, la luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralela al eje de simetría de la parábola es reflejada por la parábola hacia su foco.

Esta conclusión sobre la luz reflejada se aplica a todos los puntos de la parábola, como se muestra en el lado izquierdo del diagrama. Esta es la propiedad de reflexión.

Otras consecuencias

Hay otros teoremas que pueden deducirse simplemente del argumento anterior.

Propiedad de bisección de la tangente

La prueba anterior y el diagrama que la acompaña muestran que la tangente BE biseca el ángulo ∠FEC. En otras palabras, la tangente a la parábola en cualquier punto biseca el ángulo entre las líneas que unen el punto con el foco y perpendicularmente a la directriz.

Intersección de una tangente y una perpendicular desde el foco

Perpendicular desde el foco hasta la tangente

Como los triángulos △FBE y △CBE son congruentes, FB es perpendicular a la tangente BE . Como B está en el eje x , que es la tangente a la parábola en su vértice, se deduce que el punto de intersección entre cualquier tangente a una parábola y la perpendicular desde el foco a esa tangente se encuentra en la línea que es tangente a la parábola en su vértice. Véase el diagrama animado ^[8] y la curva pedal .

Reflexión de la luz que incide en el lado convexo

Si la luz viaja a lo largo de la línea CE , se mueve paralela al eje de simetría y golpea el lado convexo de la parábola en E. Del diagrama anterior se desprende claramente que esta luz se reflejará directamente lejos del foco, a lo largo de una extensión del segmento FE .

Pruebas alternativas

Parábola y tangente

Las demostraciones anteriores de las propiedades de reflexión y bisección tangente utilizan una línea de cálculo. Aquí se presenta una demostración geométrica.

En este diagrama, F es el foco de la parábola, y T y U se encuentran en su directriz. P es un punto arbitrario en la parábola. PT es perpendicular a la directriz, y la línea MP biseca el ángulo ∠FPT. Q es otro punto en la parábola, con QU perpendicular a la directriz. Sabemos que FP  =  PT y FQ  =  QU . Claramente, QT  >  QU , por lo que QT  >  FQ . Todos los puntos en la bisectriz MP son equidistantes de F y T, pero Q está más cerca de F que de T. Esto significa que Q está a la izquierda de MP , es decir, en el mismo lado que el foco. Lo mismo sería cierto si Q estuviera ubicado en cualquier otro lugar de la parábola (excepto en el punto P), por lo que toda la parábola, excepto el punto P, está en el lado del foco de MP . Por lo tanto, MP es la tangente a la parábola en P. Dado que biseca el ángulo ∠FPT, esto demuestra la propiedad de bisección de la tangente.

La lógica del último párrafo se puede aplicar para modificar la prueba anterior de la propiedad reflexiva. Demuestra efectivamente que la línea BE es la tangente a la parábola en E si los ángulos α son iguales. La propiedad reflexiva se deduce como se mostró anteriormente.

Construcción con clavijas y cuerdas

Parábola: construcción con cuerda de pasador

La definición de una parábola por su foco y directriz se puede utilizar para dibujarla con ayuda de alfileres y cuerdas: ^[9]

1. Elige el foco y la directriz de la parábola. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$
2. Tome un triángulo de una escuadra y prepare una cuerda con la longitud (ver diagrama). ${\displaystyle |AB|}$
3. Sujete un extremo de la cuerda en el punto del triángulo y el otro en el foco . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$
4. Coloque el triángulo de manera que el segundo borde del ángulo recto pueda deslizarse libremente a lo largo de la directriz.
5. Tome un bolígrafo y sujete la cuerda firmemente contra el triángulo.
6. Al mover el triángulo a lo largo de la directriz, el lápiz dibuja un arco de parábola, debido a (ver definición de parábola). ${\displaystyle |PF|=|PB|}$

Propiedades relacionadas con el teorema de Pascal

Una parábola puede considerarse como la parte afín de una cónica proyectiva no degenerada con un punto en la línea del infinito , que es la tangente en . Las degeneraciones de 5, 4 y 3 puntos del teorema de Pascal son propiedades de una cónica que trata con al menos una tangente. Si se considera esta tangente como la línea en el infinito y su punto de contacto como el punto en el infinito del eje y , se obtienen tres afirmaciones para una parábola. ${\displaystyle Y_{\infty }}$ ${\displaystyle g_{\infty }}$ ${\displaystyle Y_{\infty }}$

Las siguientes propiedades de una parábola se refieren únicamente a los términos conexos , intersecantes y paralelos , que son invariantes de semejanzas . Por lo tanto, es suficiente demostrar cualquier propiedad para la parábola unitaria con ecuación . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Propiedad de 4 puntos

Propiedad de los 4 puntos de una parábola

Cualquier parábola puede describirse en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . ${\displaystyle y=ax^{2}}$

Sean cuatro puntos de la parábola , y la intersección de la recta secante con la recta y sea la intersección de la recta secante con la recta (ver figura). Entonces la recta secante es paralela a la recta . (Las rectas y son paralelas al eje de la parábola). ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{4}}$ ${\displaystyle x=x_{2},}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}P_{3}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}P_{4}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Demostración: cálculo sencillo para la parábola unitaria . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Aplicación: La propiedad de los 4 puntos de una parábola se puede utilizar para la construcción del punto , mientras que y se dan. ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$

Observación: la propiedad de 4 puntos de una parábola es una versión afín de la degeneración de 5 puntos del teorema de Pascal.

Propiedad de 3 puntos y 1 tangente

Propiedad de 3 puntos y 1 tangente

Sean tres puntos de la parábola con ecuación y la intersección de la recta secante con la recta y la intersección de la recta secante con la recta (ver figura). Entonces la tangente en el punto es paralela a la recta . (Las rectas y son paralelas al eje de la parábola). ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{0}P_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Demostración: se puede realizar para la parábola unitaria . Un cálculo breve muestra: la pendiente de la recta es la pendiente de la tangente en el punto . ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle 2x_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

Aplicación: La propiedad 3-puntos-1-tangente de una parábola se puede utilizar para la construcción de la tangente en el punto , mientras se dan. ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$

Observación: La propiedad de tangente de 3 puntos y 1 de una parábola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal.

Propiedad de 2 puntos y 2 tangentes

Propiedad de 2 puntos y 2 tangentes

Sean dos puntos de la parábola con ecuación , y la intersección de la tangente en el punto con la recta , y la intersección de la tangente en el punto con la recta (ver figura). Entonces la secante es paralela a la recta . (Las rectas y son paralelas al eje de la parábola). ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Demostración: cálculo sencillo para la parábola unitaria . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Aplicación: La propiedad 2-puntos-2-tangentes se puede utilizar para la construcción de la tangente de una parábola en el punto , si y la tangente en están dadas. ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

Observación 1: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes de una parábola es una versión afín de la degeneración de 3 puntos del teorema de Pascal.

Observación 2: La propiedad de 2 puntos y 2 tangentes no debe confundirse con la siguiente propiedad de una parábola, que también trata con 2 puntos y 2 tangentes, pero no está relacionada con el teorema de Pascal.

Dirección del eje

Construcción de la dirección del eje

Las afirmaciones anteriores presuponen el conocimiento de la dirección del eje de la parábola para construir los puntos . La siguiente propiedad determina los puntos a partir de dos puntos dados y sus tangentes únicamente, y el resultado es que la línea es paralela al eje de la parábola. ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$

Dejar

1. ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$sean dos puntos de la parábola , y sean sus tangentes; ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
2. ${\displaystyle Q_{1}}$sea ​​la intersección de las tangentes , ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
3. ${\displaystyle Q_{2}}$sea ​​la intersección de la línea paralela a través con la línea paralela a través (ver imagen). ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

Entonces la recta es paralela al eje de la parábola y tiene la ecuación ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

Demostración: se puede hacer (como las propiedades anteriores) para la parábola unitaria . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Aplicación: Esta propiedad se puede utilizar para determinar la dirección del eje de una parábola, si se dan dos puntos y sus tangentes. Una forma alternativa es determinar los puntos medios de dos cuerdas paralelas, consulte la sección sobre cuerdas paralelas.

Observación: Esta propiedad es una versión afín del teorema de dos triángulos en perspectiva de una cónica no degenerada. ^[10]

Generación Steiner

Parábola

Generación de Steiner de una parábola

Steiner estableció el siguiente procedimiento para la construcción de una cónica no degenerada (ver cónica de Steiner ):

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y respectivamente) y una aplicación proyectiva pero no perspectiva de sobre , los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Este procedimiento se puede utilizar para una construcción simple de puntos en la parábola : ${\displaystyle y=ax^{2}}$

• Considere el lápiz en el vértice y el conjunto de líneas que son paralelas al eje y . ${\displaystyle S(0,0)}$ ${\displaystyle \Pi _{y}}$
  1. Sea un punto en la parábola, y , . ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle A=(0,y_{0})}$ ${\displaystyle B=(x_{0},0)}$
  2. El segmento de recta se divide en n segmentos igualmente espaciados, y esta división se proyecta (en la dirección ) sobre el segmento de recta (ver figura). Esta proyección da lugar a una aplicación proyectiva del lápiz sobre el lápiz . ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Pi _{y}}$
  3. La intersección de la línea y el i -ésimo paralelo al eje y es un punto en la parábola. ${\displaystyle SB_{i}}$

Prueba: cálculo sencillo.

Observación: La generación de Steiner también está disponible para elipses e hipérbolas .

Parábola dual

Parábola dual y curva de Bézier de grado 2 (derecha: punto de curva y puntos de división para el parámetro ) ${\displaystyle Q_{0},Q_{1}}$ ${\displaystyle t=0.4}$

Una parábola dual consiste en el conjunto de tangentes de una parábola ordinaria.

La generación de Steiner de una cónica se puede aplicar a la generación de una cónica dual cambiando los significados de los puntos y las líneas:

Sean dos conjuntos de puntos en dos líneas , y una función proyectiva pero no perspectiva entre estos conjuntos de puntos, entonces las líneas de conexión de los puntos correspondientes forman una cónica dual no degenerada. ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle \pi }$

Para generar elementos de una parábola dual, se comienza con

1. tres puntos que no están en una línea, ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$
2. divide las secciones de línea y cada una en segmentos de línea igualmente espaciados y suma números como se muestra en la imagen. ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle n}$
3. Entonces las líneas son tangentes de una parábola, y por lo tanto elementos de una parábola dual. ${\displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc }$
4. La parábola es una curva de Bézier de grado 2 con puntos de control . ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$

La prueba es una consecuencia del algoritmo de Casteljau para una curva de Bézier de grado 2.

Ángulos inscritos y la forma de 3 puntos

Ángulos inscritos de una parábola

Una parábola con ecuación está determinada de forma única por tres puntos con coordenadas x diferentes . El procedimiento habitual para determinar los coeficientes es insertar las coordenadas de los puntos en la ecuación. El resultado es un sistema lineal de tres ecuaciones, que se puede resolver mediante la eliminación gaussiana o la regla de Cramer , por ejemplo. Una forma alternativa utiliza el teorema del ángulo inscrito para las parábolas. ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c}$

A continuación, se medirá el ángulo de dos rectas por la diferencia de las pendientes de la recta respecto a la directriz de la parábola. Es decir, para una parábola de ecuación el ángulo entre dos rectas de ecuaciones se mide por ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$ ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}-m_{2}.}$

De manera análoga al teorema del ángulo inscrito para círculos, se tiene el teorema del ángulo inscrito para parábolas : ^{[11] [12]}

Cuatro puntos con coordenadas x diferentes (ver figura) están en una parábola con ecuación si y solo si los ángulos en y tienen la misma medida, como se definió anteriormente. Es decir, ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$

(Demostración: cálculo sencillo: si los puntos están en una parábola, se pueden traducir las coordenadas para tener la ecuación , entonces se tiene si los puntos están en la parábola). ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}}$

Una consecuencia es que la ecuación (en ) de la parábola determinada por 3 puntos con diferentes coordenadas x es (si dos coordenadas x son iguales, no existe parábola con directriz paralela al eje x , que pase por los puntos) Multiplicando por los denominadores que dependen de uno se obtiene la forma más estándar ${\displaystyle {\color {green}x},{\color {red}y}}$ ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,}$ $${\displaystyle {\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$ ${\displaystyle {\color {green}x},}$ $${\displaystyle (x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.}$$

Relación polo-polar

Parábola: relación polo-polar

En un sistema de coordenadas adecuado, cualquier parábola puede describirse mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto es Se obtiene la función sobre el conjunto de puntos de la parábola sobre el conjunto de tangentes. ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}}$ $${\displaystyle y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.}$$ $${\displaystyle (x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}}$$

Obviamente, esta función se puede extender al conjunto de todos los puntos de hasta una biyección entre los puntos de y las rectas con ecuaciones . La aplicación inversa es Esta relación se llama relación polo-polar de la parábola , donde el punto es el polo y la recta correspondiente su polar . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).}$$

Mediante el cálculo se comprueban las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la parábola:

• Para un punto (polo) de la parábola, la polar es la tangente en ese punto (ver imagen: ). ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• Para un polo exterior a la parábola los puntos de intersección de su polar con la parábola son los puntos de contacto de las dos tangentes que pasan por ella (ver figura: ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\ p_{2}}$
• Para un punto dentro de la parábola, el polar no tiene ningún punto en común con la parábola (ver imagen: y ). ${\displaystyle P_{3},\ p_{3}}$ ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$
• El punto de intersección de dos líneas polares (por ejemplo, ) es el polo de la línea de conexión de sus polos (en el ejemplo: ). ${\displaystyle p_{3},p_{4}}$ ${\displaystyle P_{3},P_{4}}$
• El foco y la directriz de la parábola son un par polo-polar.

Observación: También existen relaciones polo-polar para elipses e hipérbolas.

Propiedades de la tangente

Dos propiedades tangentes relacionadas con el lado recto

Sea la línea de simetría la que interseca la parábola en el punto Q, y denotemos el foco como punto F y su distancia al punto Q como f . Sea la perpendicular a la línea de simetría, que pasa por el foco, la que interseca la parábola en un punto T. Entonces (1) la distancia de F a T es 2 f , y (2) una tangente a la parábola en el punto T interseca la línea de simetría en un ángulo de 45°. ^{[13] : 26}

Las tangentes perpendiculares se intersecan en la directriz

Propiedad ortóptica

Si dos tangentes a una parábola son perpendiculares entre sí, entonces se cortan en la directriz. A la inversa, dos tangentes que se cortan en la directriz son perpendiculares. En otras palabras, en cualquier punto de la directriz toda la parábola subtiende un ángulo recto.

Teorema de Lambert

Supongamos que tres tangentes a una parábola forman un triángulo. Entonces, el teorema de Lambert establece que el foco de la parábola se encuentra en la circunferencia circunscrita al triángulo. ^{[14] [8] : Corolario 20}

El recíproco de Tsukerman al teorema de Lambert establece que, dadas tres líneas que delimitan un triángulo, si dos de las líneas son tangentes a una parábola cuyo foco se encuentra en el círculo circunscrito del triángulo, entonces la tercera línea también es tangente a la parábola. ^[15]

Datos relacionados con las cuerdas y los arcos

Distancia focal calculada a partir de parámetros de una cuerda

Supongamos que una cuerda corta una parábola perpendicular a su eje de simetría. Sea c la longitud de la cuerda entre los puntos donde corta la parábola y d la distancia desde el vértice de la parábola hasta la cuerda, medida a lo largo del eje de simetría . La distancia focal, f , de la parábola está dada por $${\displaystyle f={\frac {c^{2}}{16d}}.}$$

Prueba

Supongamos que se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas de modo que el vértice de la parábola está en el origen y el eje de simetría es el eje y . La parábola se abre hacia arriba. En otra parte de este artículo se muestra que la ecuación de la parábola es 4 fy = x ² , donde f es la distancia focal. En el extremo x positivo de la cuerda, x = ⁠do/2⁠ y y = d . Como este punto está en la parábola, estas coordenadas deben satisfacer la ecuación anterior. Por lo tanto, por sustitución,. De esto,. ${\displaystyle 4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle f={\tfrac {c^{2}}{16d}}}$

Área encerrada entre una parábola y una cuerda

Parábola (magenta) y línea (azul claro inferior) que incluye una cuerda (azul). El área encerrada entre ellas está en rosa. La cuerda misma termina en los puntos donde la línea interseca la parábola.

El área encerrada entre una parábola y una cuerda (ver diagrama) es dos tercios del área de un paralelogramo que la rodea. Un lado del paralelogramo es la cuerda y el lado opuesto es una tangente a la parábola. ^{[16] [17]} La ​​pendiente de los otros lados paralelos es irrelevante para el área. A menudo, como aquí, se dibujan paralelos al eje de simetría de la parábola, pero esto es arbitrario.

En el siglo III a. C., Arquímedes dedujo un teorema equivalente a éste, pero diferente en detalles . Utilizó las áreas de los triángulos, en lugar de las del paralelogramo. ^[d] Véase La cuadratura de la parábola .

Si la cuerda tiene una longitud b y es perpendicular al eje de simetría de la parábola, y si la distancia perpendicular desde el vértice de la parábola hasta la cuerda es h , el paralelogramo es un rectángulo, con lados b y h . El área A del segmento parabólico encerrado por la parábola y la cuerda es, por lo tanto, $${\displaystyle A={\frac {2}{3}}bh.}$$

Esta fórmula se puede comparar con el área de un triángulo :1/2⁠ bh .

En general, el área encerrada se puede calcular de la siguiente manera. Primero, localiza el punto en la parábola donde su pendiente es igual a la de la cuerda. Esto se puede hacer con cálculo, o usando una línea que sea paralela al eje de simetría de la parábola y pase por el punto medio de la cuerda. El punto requerido es donde esta línea interseca la parábola. ^[e] Luego, usando la fórmula dada en Distancia de un punto a una línea , calcula la distancia perpendicular desde este punto a la cuerda. Multiplica esto por la longitud de la cuerda para obtener el área del paralelogramo, luego por 2/3 para obtener el área encerrada requerida.

Corolario sobre los puntos medios y finales de las cuerdas

Puntos medios de cuerdas paralelas

Un corolario de la discusión anterior es que si una parábola tiene varias cuerdas paralelas, sus puntos medios se encuentran todos en una línea paralela al eje de simetría. Si se trazan tangentes a la parábola a través de los puntos finales de cualquiera de estas cuerdas, las dos tangentes se intersecan en esta misma línea paralela al eje de simetría (ver Dirección del eje de una parábola). ^[f]

Longitud del arco

Si un punto X está situado en una parábola con longitud focal f , y si p es la distancia perpendicular de X al eje de simetría de la parábola, entonces las longitudes de los arcos de la parábola que terminan en X se pueden calcular a partir de f y p de la siguiente manera, asumiendo que todos están expresados ​​en las mismas unidades. ^[g] $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$$

Esta cantidad s es la longitud del arco entre X y el vértice de la parábola.

La longitud del arco entre X y el punto simétricamente opuesto en el otro lado de la parábola es 2 s .

La distancia perpendicular p puede tener un signo positivo o negativo para indicar en qué lado del eje de simetría se encuentra X. Al invertir el signo de p se invierten los signos de h y s sin cambiar sus valores absolutos. Si estas cantidades tienen signo, la longitud del arco entre dos puntos cualesquiera de la parábola siempre se muestra por la diferencia entre sus valores de s . El cálculo se puede simplificar utilizando las propiedades de los logaritmos: $${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$$

Esto puede ser útil, por ejemplo, para calcular el tamaño del material necesario para fabricar un reflector parabólico o un canal parabólico .

Este cálculo se puede utilizar para una parábola en cualquier orientación. No se limita a la situación en la que el eje de simetría es paralelo al eje y .

Una construcción geométrica para encontrar el área de un sector

S es el foco y V es el vértice principal de la parábola VG. Dibuje VX perpendicular a SV.

Tomar cualquier punto B en VG y trazar una perpendicular BQ desde B hasta VX. Trazar la perpendicular ST que interseca a BQ, prolongada si es necesario, en T. En B trazar la perpendicular BJ, que interseca a VX en J.

Para la parábola, el segmento VBV, el área encerrada por la cuerda VB y el arco VB, es igual a ∆VBQ / 3, también . ${\displaystyle BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}}$

El área del sector parabólico . ${\displaystyle SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}}$

Como los triángulos TSB y QBJ son similares, $${\displaystyle VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.}$$

Por lo tanto, el área del sector parabólico y se puede encontrar a partir de la longitud de VJ, como se encontró arriba. ${\displaystyle SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}}$

Un círculo que pasa por S, V y B también pasa por J.

Por el contrario, si se busca un punto B en la parábola VG de modo que el área del sector SVB sea igual a un valor especificado, se determina el punto J en VX y se construye un círculo a través de S, V y J. Como SJ es el diámetro, el centro del círculo está en su punto medio y se encuentra en la bisectriz perpendicular de SV, a una distancia de la mitad de VJ de SV. El punto B buscado es donde este círculo interseca la parábola.

Si un cuerpo sigue la trayectoria de la parábola debido a una fuerza inversa del cuadrado dirigida hacia S, el área SVB aumenta a una velocidad constante a medida que el punto B se mueve hacia adelante. De ello se deduce que J se mueve a velocidad constante a lo largo de VX a medida que B se mueve a lo largo de la parábola.

Si la velocidad del cuerpo en el vértice donde se mueve perpendicularmente a SV es v , entonces la velocidad de J es igual a 3 v /4 .

La construcción se puede extender simplemente para incluir el caso en el que ninguno de los radios coincide con el eje SV de la siguiente manera. Sea A un punto fijo en VG entre V y B, y el punto H la intersección en VX con la perpendicular a SA en A. De lo anterior, el área del sector parabólico . ${\displaystyle SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}}$

Por el contrario, si se requiere encontrar el punto B para un área particular SAB, se encuentra el punto J desde HJ y el punto B como antes. Según el Libro 1, Proposición 16, Corolario 6 de los Principia de Newton , la velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de una parábola con una fuerza dirigida hacia el foco es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio. Si la velocidad en A es v , entonces en el vértice V es , y el punto J se mueve a una velocidad constante de . ${\displaystyle {\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v}$ ${\displaystyle {\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}}$

La construcción anterior fue ideada por Isaac Newton y se puede encontrar en el Libro 1 de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica como Proposición 30.

Distancia focal y radio de curvatura en el vértice

La distancia focal de una parábola es la mitad de su radio de curvatura en su vértice.

Prueba

• 
  La imagen está invertida. AB es el eje x . C es el origen. O es el centro. A es ( x , y ) . OA = OC = R . PA = x . CP = y . OP = ( R − y ) . Otros puntos y líneas son irrelevantes para este propósito.
• 
  El radio de curvatura en el vértice es el doble de la distancia focal. Las medidas que se muestran en el diagrama anterior están en unidades del lado recto, que es cuatro veces la distancia focal.
• 

Consideremos un punto ( x , y ) en un círculo de radio R y con centro en el punto (0, R ) . El círculo pasa por el origen. Si el punto está cerca del origen, el teorema de Pitágoras demuestra que $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}}$$

But if (x, y) is extremely close to the origin, since the x axis is a tangent to the circle, y is very small compared with x, so y² is negligible compared with the other terms. Therefore, extremely close to the origin

Compare this with the parabola

which has its vertex at the origin, opens upward, and has focal length f (see preceding sections of this article).

Equations (1) and (2) are equivalent if R = 2f. Therefore, this is the condition for the circle and parabola to coincide at and extremely close to the origin. The radius of curvature at the origin, which is the vertex of the parabola, is twice the focal length.

Corollary

A concave mirror that is a small segment of a sphere behaves approximately like a parabolic mirror, focusing parallel light to a point midway between the centre and the surface of the sphere.

As the affine image of the unit parabola

Parabola as an affine image of the unit parabola

Another definition of a parabola uses affine transformations:

Any parabola is the affine image of the unit parabola with equation ${\displaystyle y=x^{2}}$.

Parametric representation

An affine transformation of the Euclidean plane has the form ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$, where ${\displaystyle A}$ is a regular matrix (determinant is not 0), and ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ is an arbitrary vector. If ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ are the column vectors of the matrix ${\displaystyle A}$, the unit parabola ${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$ is mapped onto the parabola $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$$where

• ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ is a point of the parabola,
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$ is a tangent vector at point ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$,
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$ is parallel to the axis of the parabola (axis of symmetry through the vertex).

Vertex

In general, the two vectors ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ are not perpendicular, and ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ is not the vertex, unless the affine transformation is a similarity.

The tangent vector at the point ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ is ${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}}$. At the vertex the tangent vector is orthogonal to ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$. Hence the parameter ${\displaystyle t_{0}}$ of the vertex is the solution of the equation $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,}$$which is $${\displaystyle t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},}$$and the vertex is $${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

Focal length and focus

The focal length can be determined by a suitable parameter transformation (which does not change the geometric shape of the parabola). The focal length is $${\displaystyle f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.}$$Hence the focus of the parabola is $${\displaystyle F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

Implicit representation

Solving the parametric representation for ${\displaystyle \;t,t^{2}\;}$ by Cramer's rule and using ${\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;}$, one gets the implicit representation $${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.}$$

Parabola in space

The definition of a parabola in this section gives a parametric representation of an arbitrary parabola, even in space, if one allows ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$ to be vectors in space.

As quadratic Bézier curve

Quadratic Bézier curve and its control points

A quadratic Bézier curve is a curve ${\displaystyle {\vec {c}}(t)}$ defined by three points ${\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}}$ and ${\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}}$, called its control points: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}}$$

This curve is an arc of a parabola (see § As the affine image of the unit parabola).

Numerical integration

Simpson's rule: the graph of a function is replaced by an arc of a parabola

In one method of numerical integration one replaces the graph of a function by arcs of parabolas and integrates the parabola arcs. A parabola is determined by three points. The formula for one arc is $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).}$$

The method is called Simpson's rule.

As plane section of quadric

The following quadrics contain parabolas as plane sections:

• elliptical cone,
• parabolic cylinder,
• elliptical paraboloid,
• hyperbolic paraboloid,
• hyperboloid of one sheet,
• hyperboloid of two sheets.

• 
  Elliptic cone
• 
  Parabolic cylinder
• 
  Elliptic paraboloid
• 
  Hyperbolic paraboloid
• 
  Hyperboloid of one sheet
• 
  Hyperboloid of two sheets

As trisectrix

Angle trisection with a parabola

A parabola can be used as a trisectrix, that is it allows the exact trisection of an arbitrary angle with straightedge and compass. This is not in contradiction to the impossibility of an angle trisection with compass-and-straightedge constructions alone, as the use of parabolas is not allowed in the classic rules for compass-and-straightedge constructions.

To trisect ${\displaystyle \angle AOB}$, place its leg ${\displaystyle OB}$ on the x axis such that the vertex ${\displaystyle O}$ is in the coordinate system's origin. The coordinate system also contains the parabola ${\displaystyle y=2x^{2}}$. The unit circle with radius 1 around the origin intersects the angle's other leg ${\displaystyle OA}$, and from this point of intersection draw the perpendicular onto the y axis. The parallel to y axis through the midpoint of that perpendicular and the tangent on the unit circle in ${\displaystyle (0,1)}$ intersect in ${\displaystyle C}$. The circle around ${\displaystyle C}$ with radius ${\displaystyle OC}$ intersects the parabola at ${\displaystyle P_{1}}$. The perpendicular from ${\displaystyle P_{1}}$ onto the x axis intersects the unit circle at ${\displaystyle P_{2}}$, and ${\displaystyle \angle P_{2}OB}$ is exactly one third of ${\displaystyle \angle AOB}$.

The correctness of this construction can be seen by showing that the x coordinate of ${\displaystyle P_{1}}$ is ${\displaystyle \cos(\alpha )}$. Solving the equation system given by the circle around ${\displaystyle C}$ and the parabola leads to the cubic equation ${\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0}$. The triple-angle formula ${\displaystyle \cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )}$ then shows that ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ is indeed a solution of that cubic equation.

This trisection goes back to René Descartes, who described it in his book La Géométrie (1637).^[18]

Generalizations

If one replaces the real numbers by an arbitrary field, many geometric properties of the parabola ${\displaystyle y=x^{2}}$ are still valid:

1. A line intersects in at most two points.
2. At any point ${\displaystyle (x_{0},x_{0}^{2})}$ the line ${\displaystyle y=2x_{0}x-x_{0}^{2}}$ is the tangent.

Essentially new phenomena arise, if the field has characteristic 2 (that is, ${\displaystyle 1+1=0}$): the tangents are all parallel.

In algebraic geometry, the parabola is generalized by the rational normal curves, which have coordinates (x, x², x³, ..., xⁿ); the standard parabola is the case n = 2, and the case n = 3 is known as the twisted cubic. A further generalization is given by the Veronese variety, when there is more than one input variable.

In the theory of quadratic forms, the parabola is the graph of the quadratic form x² (or other scalings), while the elliptic paraboloid is the graph of the positive-definite quadratic form x² + y² (or scalings), and the hyperbolic paraboloid is the graph of the indefinite quadratic form x² − y². Generalizations to more variables yield further such objects.

The curves y = x^p for other values of p are traditionally referred to as the higher parabolas and were originally treated implicitly, in the form x^p = ky^q for p and q both positive integers, in which form they are seen to be algebraic curves. These correspond to the explicit formula y = x^p/q for a positive fractional power of x. Negative fractional powers correspond to the implicit equation x^p y^q = k and are traditionally referred to as higher hyperbolas. Analytically, x can also be raised to an irrational power (for positive values of x); the analytic properties are analogous to when x is raised to rational powers, but the resulting curve is no longer algebraic and cannot be analyzed by algebraic geometry.

In the physical world

In nature, approximations of parabolas and paraboloids are found in many diverse situations. The best-known instance of the parabola in the history of physics is the trajectory of a particle or body in motion under the influence of a uniform gravitational field without air resistance (for instance, a ball flying through the air, neglecting air friction).

The parabolic trajectory of projectiles was discovered experimentally in the early 17th century by Galileo, who performed experiments with balls rolling on inclined planes. He also later proved this mathematically in his book Dialogue Concerning Two New Sciences.^[19][h] For objects extended in space, such as a diver jumping from a diving board, the object itself follows a complex motion as it rotates, but the center of mass of the object nevertheless moves along a parabola. As in all cases in the physical world, the trajectory is always an approximation of a parabola. The presence of air resistance, for example, always distorts the shape, although at low speeds, the shape is a good approximation of a parabola. At higher speeds, such as in ballistics, the shape is highly distorted and does not resemble a parabola.

Another hypothetical situation in which parabolas might arise, according to the theories of physics described in the 17th and 18th centuries by Sir Isaac Newton, is in two-body orbits, for example, the path of a small planetoid or other object under the influence of the gravitation of the Sun. Parabolic orbits do not occur in nature; simple orbits most commonly resemble hyperbolas or ellipses. The parabolic orbit is the degenerate intermediate case between those two types of ideal orbit. An object following a parabolic orbit would travel at the exact escape velocity of the object it orbits; objects in elliptical or hyperbolic orbits travel at less or greater than escape velocity, respectively. Long-period comets travel close to the Sun's escape velocity while they are moving through the inner Solar system, so their paths are nearly parabolic.

Approximations of parabolas are also found in the shape of the main cables on a simple suspension bridge. The curve of the chains of a suspension bridge is always an intermediate curve between a parabola and a catenary, but in practice the curve is generally nearer to a parabola due to the weight of the load (i.e. the road) being much larger than the cables themselves, and in calculations the second-degree polynomial formula of a parabola is used.^[20][21] Under the influence of a uniform load (such as a horizontal suspended deck), the otherwise catenary-shaped cable is deformed toward a parabola (see Catenary § Suspension bridge curve). Unlike an inelastic chain, a freely hanging spring of zero unstressed length takes the shape of a parabola. Suspension-bridge cables are, ideally, purely in tension, without having to carry other forces, for example, bending. Similarly, the structures of parabolic arches are purely in compression.

Paraboloids arise in several physical situations as well. The best-known instance is the parabolic reflector, which is a mirror or similar reflective device that concentrates light or other forms of electromagnetic radiation to a common focal point, or conversely, collimates light from a point source at the focus into a parallel beam. The principle of the parabolic reflector may have been discovered in the 3rd century BC by the geometer Archimedes, who, according to a dubious legend,^[22] constructed parabolic mirrors to defend Syracuse against the Roman fleet, by concentrating the sun's rays to set fire to the decks of the Roman ships. The principle was applied to telescopes in the 17th century. Today, paraboloid reflectors can be commonly observed throughout much of the world in microwave and satellite-dish receiving and transmitting antennas.

In parabolic microphones, a parabolic reflector is used to focus sound onto a microphone, giving it highly directional performance.

Paraboloids are also observed in the surface of a liquid confined to a container and rotated around the central axis. In this case, the centrifugal force causes the liquid to climb the walls of the container, forming a parabolic surface. This is the principle behind the liquid-mirror telescope.

Aircraft used to create a weightless state for purposes of experimentation, such as NASA's "Vomit Comet", follow a vertically parabolic trajectory for brief periods in order to trace the course of an object in free fall, which produces the same effect as zero gravity for most purposes.

Gallery

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  A bouncing ball captured with a stroboscopic flash at 25 images per second. The ball becomes significantly non-spherical after each bounce, especially after the first. That, along with spin and air resistance, causes the curve swept out to deviate slightly from the expected perfect parabola.
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  Parabolic trajectories of water in a fountain.
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  The path (in red) of Comet Kohoutek as it passed through the inner Solar system, showing its nearly parabolic shape. The blue orbit is the Earth's.
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  The supporting cables of suspension bridges follow a curve that is intermediate between a parabola and a catenary.
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  The Rainbow Bridge across the Niagara River, connecting Canada (left) to the United States (right). The parabolic arch is in compression and carries the weight of the road.
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  Parabolic arches used in architecture
• Parabolic shape formed by a liquid surface under rotation. Two liquids of different densities completely fill a narrow space between two sheets of transparent plastic. The gap between the sheets is closed at the bottom, sides and top. The whole assembly is rotating around a vertical axis passing through the centre. (See Rotating furnace)
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  Solar cooker with parabolic reflector
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  Parabolic antenna
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  Parabolic microphone with optically transparent plastic reflector used at an American college football game.
• Array of parabolic troughs to collect solar energy
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  Edison's searchlight, mounted on a cart. The light had a parabolic reflector.
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  Physicist Stephen Hawking in an aircraft flying a parabolic trajectory to simulate zero gravity

See also

• Degenerate conic
• Dome § Paraboloid dome
• Parabolic partial differential equation
• Quadratic equation
• Quadratic function
• Universal parabolic constant
• Confocal conic sections § Confocal parabolas

Footnotes

1. The tangential plane just touches the conical surface along a line, which passes through the apex of the cone.
2. As stated above in the lead, the focal length of a parabola is the distance between its vertex and focus.
3. The point V is the centre of the smaller circular cross-section of the cone. The point F is in the (pink) plane of the parabola, and the line VF is perpendicular to the plane of the parabola.
4. Archimedes proved that the area of the enclosed parabolic segment was 4/3 as large as that of a triangle that he inscribed within the enclosed segment. It can easily be shown that the parallelogram has twice the area of the triangle, so Archimedes' proof also proves the theorem with the parallelogram.
5. This method can be easily proved correct by calculus. It was also known and used by Archimedes, although he lived nearly 2000 years before calculus was invented.
6. A proof of this sentence can be inferred from the proof of the orthoptic property, above. It is shown there that the tangents to the parabola y = x² at (p, p²) and (q, q²) intersect at a point whose x coordinate is the mean of p and q. Thus if there is a chord between these two points, the intersection point of the tangents has the same x coordinate as the midpoint of the chord.
7. In this calculation, the square root q must be positive. The quantity ln a is the natural logarithm of a.
8. However, this parabolic shape, as Newton recognized, is only an approximation of the actual elliptical shape of the trajectory and is obtained by assuming that the gravitational force is constant (not pointing toward the center of the Earth) in the area of interest. Often, this difference is negligible and leads to a simpler formula for tracking motion.

References

1. "Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Deriving the Symptom of the Parabola – Mathematical Association of America". Retrieved 30 September 2016.
2. Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development (2 ed.). Springer. p. 3. ISBN 3-540-40106-7. Extract of page 3.
3. Stargazer, p. 115.
4. Stargazer, pp. 123, 132.
5. Fitzpatrick, Richard (July 14, 2007). "Spherical Mirrors". Electromagnetism and Optics, lectures. University of Texas at Austin. Paraxial Optics. Retrieved October 5, 2011.
6. Kumpel, P. G. (1975), "Do similar figures always have the same shape?", The Mathematics Teacher, 68 (8): 626–628, doi:10.5951/MT.68.8.0626, ISSN 0025-5769.
7. Shriki, Atara; David, Hamatal (2011), "Similarity of Parabolas – A Geometrical Perspective", Learning and Teaching Mathematics, 11: 29–34.
8. Tsukerman, Emmanuel (2013). "On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas" (PDF). Forum Geometricorum. 13: 197–208.
9. Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, Leyden, 1659, p. 334.
10. Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski-planes, p. 36.
11. E. Hartmann, Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes, p. 72.
12. W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973).
13. Downs, J. W. (2003). Practical Conic Sections. Dover Publishing.^{[ISBN missing]}
14. Sondow, Jonathan (2013). "The parbelos, a parabolic analog of the arbelos". American Mathematical Monthly. 120 (10): 929–935. arXiv:1210.2279. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID 33402874.
15. Tsukerman, Emmanuel (2014). "Solution of Sondow's problem: a synthetic proof of the tangency property of the parbelos". American Mathematical Monthly. 121 (5): 438–443. arXiv:1210.5580. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.05.438. S2CID 21141837.
16. "Sovrn Container". Mathwarehouse.com. Retrieved 2016-09-30.
17. "Parabola". Mysite.du.edu. Retrieved 2016-09-30.
18. Yates, Robert C. (1941). "The Trisection Problem". National Mathematics Magazine. 15 (4): 191–202. doi:10.2307/3028133. JSTOR 3028133.
19. Dialogue Concerning Two New Sciences (1638) (The Motion of Projectiles: Theorem 1).
20. Troyano, Leonardo Fernández (2003). Bridge engineering: a global perspective. Thomas Telford. p. 536. ISBN 0-7277-3215-3.
21. Drewry, Charles Stewart (1832). A memoir of suspension bridges. Oxford University. p. 159.
22. Middleton, W. E. Knowles (December 1961). "Archimedes, Kircher, Buffon, and the Burning-Mirrors". Isis. 52 (4). Published by: The University of Chicago Press on behalf of The History of Science Society: 533–543. doi:10.1086/349498. JSTOR 228646. S2CID 145385010.

Further reading

• Lockwood, E. H. (1961). A Book of Curves. Cambridge University Press.

External links

• "Parábola", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Parábola". MundoMatemático .
• Enfoque de arrastre de parábola interactivo, ver eje de simetría, directriz, formas estándar y vértice
• Triángulo de Arquímedes y cuadratura de la parábola en el punto de corte del nudo
• Dos tangentes a la parábola en el momento del corte del nudo
• Parábola como envolvente de líneas rectas en el momento del corte del nudo
• Espejo parabólico en el corte del nudo
• Tres tangentes de parábola en el punto de corte del nudo
• Propiedades focales de la parábola en el momento del corte del nudo
• Parábola como envolvente II en el corte del nudo
• La similitud de la parábola en Dynamic Geometry Sketches, boceto de geometría dinámica interactivo.
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659