Cónica degenerada

Curva plana de segundo grado que es reducible

En geometría , una cónica degenerada es una cónica (una curva plana de segundo grado , definida por una ecuación polinómica de grado dos) que no es una curva irreducible . Esto significa que la ecuación que la define es factorizable sobre los números complejos (o, de manera más general, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado ) como el producto de dos polinomios lineales.

Utilizando la definición alternativa de la cónica como la intersección en el espacio tridimensional de un plano y un cono doble , una cónica es degenerada si el plano pasa por el vértice de los conos.

En el plano real, una cónica degenerada puede ser dos rectas paralelas o no, una única recta (ya sea dos rectas coincidentes o la unión de una recta y la recta en el infinito ), un único punto (de hecho, dos rectas conjugadas complejas ), o el conjunto nulo (el doble de la recta en el infinito o dos rectas conjugadas complejas paralelas).

Todas estas cónicas degeneradas pueden darse en lápices de cónicas. Es decir, si dos cónicas reales no degeneradas se definen mediante ecuaciones polinómicas cuadráticas f = 0 y g = 0 , las cónicas de ecuaciones af + bg = 0 forman un lápiz, que contiene una o tres cónicas degeneradas. Para cualquier cónica degenerada en el plano real, se pueden elegir f y g de modo que la cónica degenerada dada pertenezca al lápiz que determinan.

Ejemplos

Lápices de círculos: en el lápiz de círculos rojos, la única cónica degenerada es el eje horizontal; el lápiz de círculos azules tiene tres cónicas degeneradas, el eje vertical y dos círculos de radio cero.

La sección cónica con ecuación es degenerada ya que su ecuación puede escribirse como , y corresponde a dos rectas que se cortan formando una "X". Esta cónica degenerada se presenta como el caso límite en el lápiz de hipérbolas de ecuaciones El caso límite es un ejemplo de una cónica degenerada que consiste en el doble de la recta en el infinito. ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$ ${\displaystyle (x-y)(x+y)=0}$ ${\displaystyle a=1,b=0}$ ${\displaystyle a(x^{2}-y^{2})-b=0.}$ ${\displaystyle a=0,b=1}$

De manera similar, la sección cónica con ecuación , que tiene un solo punto real, es degenerada, ya que es factorizable como sobre los números complejos . La cónica consiste entonces en dos rectas conjugadas complejas que se cortan en el único punto real, , de la cónica. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle (x+iy)(x-iy)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

El lápiz de elipses de ecuaciones degenera, para , en dos rectas paralelas y, para , en una recta doble. ${\displaystyle ax^{2}+b(y^{2}-1)=0}$ ${\displaystyle a=0,b=1}$ ${\displaystyle a=1,b=0}$

El lápiz de círculos de ecuaciones se degenera en dos rectas, la recta en el infinito y la recta de ecuación . ${\displaystyle a(x^{2}+y^{2}-1)-bx=0}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle x=0}$

Clasificación

En el plano proyectivo complejo sólo existen dos tipos de cónicas degeneradas: dos rectas distintas que necesariamente se cortan en un punto, o una recta doble. Cualquier cónica degenerada puede transformarse mediante una transformación proyectiva en cualquier otra cónica degenerada del mismo tipo.

Sobre el plano afín real la situación es más complicada. Una cónica real degenerada puede ser:

• Dos líneas que se cruzan, como por ejemplo ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=0}$
• Dos líneas paralelas, como ${\displaystyle x^{2}-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0}$
• Una línea doble (multiplicidad 2), como ${\displaystyle x^{2}=0}$
• Dos líneas conjugadas complejas que se intersecan (solo un punto real), como ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0\Leftrightarrow (x+iy)(x-iy)=0}$
• Dos líneas conjugadas complejas paralelas (sin punto real), como ${\displaystyle x^{2}+1=0\Leftrightarrow (x+i)(x-i)=0}$
• Una sola línea y la línea en el infinito.
• El doble de la línea en el infinito (no hay ningún punto real en el plano afín )

Para dos cónicas degeneradas de la misma clase, existen transformaciones afines que asignan la primera cónica a la segunda.

Discriminante

La hipérbola degenerada que se factoriza como es la unión de los lugares rojo y azul. ${\displaystyle 3x^{2}-2xy-y^{2}-6x+10y-9=0,}$ ${\displaystyle (x-y+1)(3x+y-9)=0,}$

La parábola degenerada que se factoriza como es la unión de los lugares rojo y azul. ${\displaystyle 9x^{2}+12xy+4y^{2}-54x-36y+72}$ ${\displaystyle =0,}$ ${\displaystyle (3x+2y-6)(3x+2y-12)=0,}$

Las cónicas reales no degeneradas se pueden clasificar como elipses, parábolas o hipérbolas por el discriminante de la forma no homogénea , que es el determinante de la matriz. ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\\\end{bmatrix}},}$

la matriz de la forma cuadrática en . Este determinante es positivo, cero o negativo según sea la cónica, respectivamente, una elipse, una parábola o una hipérbola. ${\displaystyle (x,y)}$

De manera análoga, una cónica puede clasificarse como no degenerada o degenerada según el discriminante de la forma cuadrática homogénea en . ^{[1] [2] : p.16} Aquí la forma afín se homogeneiza a ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2};}$

El discriminante de esta forma es el determinante de la matriz.

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\\\end{bmatrix}}.}$

La cónica es degenerada si y sólo si el determinante de esta matriz es igual a cero. En este caso, tenemos las siguientes posibilidades:

• Dos rectas que se intersectan (una hipérbola degenerada en sus dos asíntotas) si y sólo si (ver el primer diagrama). ${\displaystyle \det M<0}$
• Dos rectas paralelas (parábola degenerada) si y solo si . Estas rectas son distintas y reales si (ver segundo diagrama), coincidentes si , e inexistentes en el plano real si . ${\displaystyle \det M=0}$ ${\displaystyle D^{2}+E^{2}>(A+C)F}$ ${\displaystyle D^{2}+E^{2}=(A+C)F}$ ${\displaystyle D^{2}+E^{2}<(A+C)F}$
• Un solo punto (una elipse degenerada) si y sólo si . ${\displaystyle \det M>0}$
• Una sola recta (y la recta en el infinito) si y solo si y no son ambas cero. Este caso siempre se da como una cónica degenerada en un haz de círculos . Sin embargo, en otros contextos no se considera como una cónica degenerada, ya que su ecuación no es de grado 2. ${\displaystyle A=B=C=0,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$

El caso de rectas coincidentes se da si y sólo si el rango de la matriz 3×3 es 1; en todos los demás casos degenerados su rango es 2. ^{[3] : p.108} ${\displaystyle Q}$

Relación con la intersección de un plano y un cono

Las cónicas, también conocidas como secciones cónicas para enfatizar su geometría tridimensional, surgen como la intersección de un plano con un cono . La degeneración ocurre cuando el plano contiene el vértice del cono o cuando el cono degenera en un cilindro y el plano es paralelo al eje del cilindro. Consulte Sección cónica#Casos degenerados para obtener más detalles.

Aplicaciones

Las cónicas degeneradas, al igual que las variedades algebraicas degeneradas en general, surgen como límites de cónicas no degeneradas y son importantes en la compactificación de espacios de módulos de curvas .

Por ejemplo, el lápiz de curvas (sistema lineal unidimensional de cónicas ) definido por no es degenerado para pero es degenerado para concretamente, es una elipse para dos líneas paralelas para y una hipérbola con – en todo momento, un eje tiene longitud 2 y el otro tiene longitud que es infinita para ${\displaystyle x^{2}+ay^{2}=1}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a=0;}$ ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle a=0,}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {|a|}},}$ ${\displaystyle a=0.}$

Estas familias surgen de forma natural: dados cuatro puntos en posición lineal general (no hay tres en una línea), existe un lápiz de cónicas que los atraviesa ( cinco puntos determinan una cónica , cuatro puntos dejan un parámetro libre), de las cuales tres son degeneradas, cada una de las cuales consta de un par de líneas, correspondientes a las formas de elegir 2 pares de puntos a partir de 4 puntos (contando a través del coeficiente multinomial ). ${\displaystyle \textstyle {{\binom {4}{2,2}}=3}}$

Por ejemplo, dados los cuatro puntos, el lápiz de cónicas que pasa por ellos se puede parametrizar para obtener el siguiente lápiz; en todos los casos el centro está en el origen: ^{[nota 1]} ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$ ${\displaystyle (1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,}$

• ${\displaystyle a>1:}$hipérbolas que se abren hacia la izquierda y la derecha;
• ${\displaystyle a=1:}$Las líneas verticales paralelas ${\displaystyle x=-1,\ x=1;}$
• ${\displaystyle 0<a<1:}$ elipses con eje mayor vertical;
• ${\displaystyle a=0:}$un círculo (con radio ); ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle -1<a<0:}$elipses con eje mayor horizontal;
• ${\displaystyle a=-1:}$Las líneas horizontales paralelas ${\displaystyle y=-1,\ y=1;}$
• ${\displaystyle a<-1:}$hipérbolas que se abren hacia arriba y hacia abajo,
• ${\displaystyle a=\infty :}$Las líneas diagonales ${\displaystyle y=x,\ y=-x;}$

(dividiendo por y tomando el límite como dato ) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\to \infty }$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$

• Esto luego se repite ya que los lápices son una línea proyectiva . ${\displaystyle a>1,}$

Nótese que esta parametrización tiene una simetría, donde invertir el signo de a invierte x e y . En la terminología de (Levy 1964), este es un sistema lineal de cónicas de tipo I, y está animado en el video vinculado.

Una aplicación sorprendente de dicha familia se encuentra en (Faucette 1996) que da una solución geométrica a una ecuación cuártica considerando el lápiz de cónicas a través de las cuatro raíces de la cuártica e identificando las tres cónicas degeneradas con las tres raíces de la cúbica resolvente .

El teorema del hexágono de Pappus es el caso especial del teorema de Pascal , cuando una cónica degenera en dos líneas.

Degeneración

En el plano proyectivo complejo, todas las cónicas son equivalentes y pueden degenerar en dos líneas diferentes o en una línea doble.

En el plano afín real:

• Las hipérbolas pueden degenerar en dos líneas que se intersectan (las asíntotas), como en o en dos líneas paralelas: o en la línea doble cuando a tiende a 0. ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=a^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=1,}$ ${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2},}$
• Las parábolas pueden degenerar en dos líneas paralelas: o la línea doble cuando a tiende a 0; pero, debido a que las parábolas tienen un punto doble en el infinito, no pueden degenerar en dos líneas que se intersecan. ${\displaystyle x^{2}-ay-1=0}$ ${\displaystyle x^{2}-ay=0,}$
• Las elipses pueden degenerar en dos líneas paralelas: o la línea doble cuando a tiende a 0; pero, debido a que tienen puntos complejos conjugados en el infinito que se convierten en un punto doble al degenerar, no pueden degenerar en dos líneas que se intersecan. ${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-1=0}$ ${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}=0,}$

Las cónicas degeneradas pueden degenerarse aún más en cónicas degeneradas más especiales, como lo indican las dimensiones de los espacios y los puntos en el infinito.

• Dos líneas que se intersecan pueden degenerar en dos líneas paralelas, al rotar hasta que sean paralelas, como en o en una línea doble al rotar una dentro de la otra alrededor de un punto, como en en cada caso cuando a tiende a 0. ${\displaystyle x^{2}-ay^{2}-1=0,}$ ${\displaystyle x^{2}-ay^{2}=0,}$
• Dos líneas paralelas pueden degenerar en una línea doble al moverse una hacia la otra, como cuando a tiende a 0, pero no pueden degenerar en líneas no paralelas. ${\displaystyle x^{2}-a^{2}=0}$
• Una línea doble no puede degenerar en los otros tipos.
• Otro tipo de degeneración ocurre en una elipse cuando la suma de las distancias a los focos debe ser igual a la distancia interfocal; por lo tanto, tiene un semieje menor igual a cero y una excentricidad igual a uno. El resultado es un segmento de línea (degenerado porque la elipse no es diferenciable en los puntos finales) con sus focos en los puntos finales. Como órbita , se trata de una trayectoria elíptica radial .

Puntos a definir

Una cónica general se define por cinco puntos : dados cinco puntos en posición general , hay una cónica única que pasa por ellos. Si tres de estos puntos se encuentran en una línea, entonces la cónica es reducible y puede ser única o no. Si no hay cuatro puntos colineales, entonces cinco puntos definen una cónica única (degenerada si tres puntos son colineales, pero los otros dos puntos determinan la otra línea única). Sin embargo, si cuatro puntos son colineales, entonces no hay una cónica única que pase por ellos: una línea pasa por los cuatro puntos y la línea restante pasa por el otro punto, pero el ángulo no está definido, lo que deja 1 parámetro libre. Si los cinco puntos son colineales, entonces la línea restante es libre, lo que deja 2 parámetros libres.

Dados cuatro puntos en posición lineal general (no hay tres colineales; en particular, no hay dos coincidentes), hay exactamente tres pares de líneas (cónicas degeneradas) que pasan por ellos, que en general serán intersecantes, a menos que los puntos formen un trapezoide (un par es paralelo) o un paralelogramo (dos pares son paralelos).

Dados tres puntos, si no son colineales, hay tres pares de líneas paralelas que pasan por ellos: elija dos para definir una línea y el tercero para la línea paralela que pasa por ellos, mediante el postulado de las paralelas .

Dados dos puntos distintos, existe una única línea doble que los pasa.

Notas

1. Se da una parametrización más simple mediante las cuales son las combinaciones afines de las ecuaciones y las líneas verticales paralelas y las líneas horizontales correspondientes, y da como resultado las cónicas degeneradas que caen en los puntos estándar de ${\displaystyle ax^{2}+(1-a)y^{2}=1,}$ ${\displaystyle x^{2}=1}$ ${\displaystyle y^{2}=1,}$ ${\displaystyle 0,1,\infty .}$

Referencias

1. (Lasley, Jr. 1957)
2. (España 2007)
3. (Pettofrezzo 1978)

• Coffman, Adam, Linear Systems of Conics, archivado desde el original el 2018-07-02 , consultado el 2013-07-03
• Faucette, William Mark (enero de 1996), "Una interpretación geométrica de la solución del polinomio cuártico general", The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX  10.1.1.111.5574 , JSTOR  2975214
• Lasley, Jr., JW (mayo de 1957), "Sobre las cónicas degeneradas", The American Mathematical Monthly , 64 (5), Mathematical Association of America : 362–364, JSTOR  2309606
• Levy, Harry (1964), Geometrías proyectivas y relacionadas , Nueva York: The Macmillan Co., págs. x+405
• Milne, JJ (enero de 1926), "Nota sobre cónicas degeneradas", The Mathematical Gazette , 13 (180), The Mathematical Association: 7–9, JSTOR  3602237
• Pettofrezzo, Anthony (1978) [1966], Matrices y transformaciones , Dover, ISBN 978-0-486-63634-4
• España, Barry (2007) [1957], Cónicas analíticas , Dover, ISBN 0-486-45773-7
• "7.2 La ecuación cuadrática general", Tablas y fórmulas matemáticas estándar del CRC (30.ª ed.)