Sistema lineal de cónicas

En geometría algebraica , las secciones cónicas en el plano proyectivo forman un sistema lineal de dimensión cinco, como se ve al contar las constantes en las ecuaciones de grado dos . La condición de pasar por un punto dado P impone una única condición lineal, de modo que las cónicas C a P forman un sistema lineal de dimensión 4. Otros tipos de condiciones que son de interés incluyen la tangencia a una recta dada  L.

En los tratamientos más elementales aparece un sistema lineal en forma de ecuaciones

${\displaystyle \lambda C+\mu C'=0\ }$

con λ y μ como escalares desconocidos, no ambos cero. Aquí C y C′ son cónicas dadas. De manera abstracta podemos decir que ésta es una línea proyectiva en el espacio de todas las cónicas, en la que tomamos

${\displaystyle [\lambda :\mu ]\ }$

como coordenadas homogéneas . Geométricamente observamos que cualquier punto Q común a C y C′ también está en cada una de las cónicas del sistema lineal. Según el teorema de Bézout , C y C′ se intersectarán en cuatro puntos (si se cuentan correctamente). Suponiendo que estos están en la posición general , es decir, cuatro intersecciones distintas, obtenemos otra interpretación del sistema lineal como las cónicas que pasan por los cuatro puntos dados (nótese que la codimensión cuatro aquí coincide con la dimensión, uno, en el espacio de cinco dimensiones de las cónicas). Nótese que de estas cónicas, exactamente tres son degeneradas , cada una consistente en un par de líneas, correspondientes a las formas de elegir 2 pares de puntos de 4 puntos (contando a través del coeficiente multinomial , y explicando el sobreconteo por un factor de 2 que hace cuando está interesado en contar pares de pares en lugar de solo selecciones de tamaño 2). ${\displaystyle \textstyle {{\binom {4}{2,2}}/2=3}}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$

Aplicaciones

Una aplicación sorprendente de dicha familia se encuentra en (Faucette 1996) que da una solución geométrica a una ecuación cuártica considerando el lápiz de cónicas a través de las cuatro raíces de la cuártica e identificando las tres cónicas degeneradas con las tres raíces de la cúbica resolvente .

Ejemplo

Por ejemplo, dados los cuatro puntos, el lápiz de cónicas que los atraviesa puede parametrizarse como que son las combinaciones afines de las ecuaciones y correspondientes a las líneas verticales paralelas y las líneas horizontales; esto produce cónicas degeneradas en los puntos estándar de Una parametrización menos elegante pero más simétrica viene dada por en cuyo caso invertir a ( ) intercambia x e y , produciendo el siguiente lápiz; en todos los casos el centro está en el origen: ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$ ${\displaystyle ax^{2}+(1-a)y^{2}=1,}$ ${\displaystyle x^{2}=1}$ ${\displaystyle y^{2}=1,}$ ${\displaystyle 0,1,\infty .}$ ${\displaystyle (1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,}$ ${\displaystyle a\mapsto -a}$

• ${\displaystyle a>1:}$hipérbolas que se abren hacia la izquierda y la derecha;
• ${\displaystyle a=1:}$Las líneas verticales paralelas ${\displaystyle x=-1,x=1;}$

(punto de intersección en [1:0:0])

• ${\displaystyle 0<a<1:}$ elipses con eje mayor vertical;
• ${\displaystyle a=0:}$un círculo (con radio ); ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle -1<a<0:}$elipses con eje mayor horizontal;
• ${\displaystyle a=-1:}$Las líneas horizontales paralelas ${\displaystyle y=-1,y=1;}$

(punto de intersección en [0:1:0])

• ${\displaystyle a<-1:}$hipérbolas que se abren hacia arriba y hacia abajo,
• ${\displaystyle a=\infty :}$Las líneas diagonales ${\displaystyle y=x,y=-x;}$

(dividiendo por y tomando el límite como dato ) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\to \infty }$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$

(punto de intersección en [0:0:1])

• Esto luego se repite ya que los lápices son una línea proyectiva . ${\displaystyle a>1,}$

En la terminología de (Levy 1964), este es un sistema lineal de cónicas tipo I, y está animado en el video vinculado.

Clasificación

Hay 8 tipos de sistemas lineales de cónicas sobre los números complejos, dependiendo de la multiplicidad de intersección en los puntos base, que se dividen en 13 tipos sobre los números reales, dependiendo de si los puntos base son reales o imaginarios; esto se analiza en (Levy 1964) y se ilustra en (Coffman).

Referencias

• Coffman, Adam, Sistemas lineales de cónicas , consultado el 8 de agosto de 2020
• Faucette, William Mark (enero de 1996), "Una interpretación geométrica de la solución del polinomio cuártico general", The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX  10.1.1.111.5574 , JSTOR  2975214
• Levy, Harry (1964), Geometrías proyectivas y relacionadas , Nueva York: The Macmillan Co., págs. x+405