Constante de Euler

Diferencia entre series logarítmicas y armónicas

Valor constante utilizado en matemáticas

El área de la región azul converge a la constante de Euler.

La constante de Euler (a veces llamada constante de Euler-Mascheroni ) es una constante matemática , usualmente denotada por la letra griega minúscula gamma ( γ ), definida como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural , denotado aquí por log :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$$

Aquí, ⌊·⌋ representa la función de piso .

El valor numérico de la constante de Euler, con 50 decimales, es: ^[1]

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ... 

Historia

La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler , titulado De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler utilizó las notaciones C y O para la constante. En 1790, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni utilizó las notaciones A y a para la constante. La notación γ no aparece en ninguna parte de los escritos de Euler o Mascheroni, y fue elegida en un momento posterior, tal vez debido a la conexión de la constante con la función gamma . ^[2] Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider utilizó la notación γ en 1835, ^[3] y Augustus De Morgan la utilizó en un libro de texto publicado en partes desde 1836 hasta 1842. ^[4]

Apariciones

La constante de Euler aparece, entre otros lugares, en los siguientes (donde '*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita):

• Expresiones que involucran la integral exponencial *
• La transformada de Laplace * del logaritmo natural
• El primer término de la expansión de la serie de Laurent para la función zeta de Riemann *, donde es la primera de las constantes de Stieltjes *
• Cálculos de la función digamma
• Una fórmula de producto para la función gamma
• La expansión asintótica de la función gamma para argumentos pequeños.
• Una desigualdad para la función totiente de Euler
• La tasa de crecimiento de la función divisor
• Regularización dimensional de los diagramas de Feynman en la teoría cuántica de campos
• El cálculo de la constante de Meissel-Mertens.
• El tercero de los teoremas de Mertens *
• Solución de segundo tipo a la ecuación de Bessel
• En la regularización/ renormalización de la serie armónica como valor finito
• La media de la distribución de Gumbel
• La entropía de información de las distribuciones de Weibull y Lévy y, implícitamente, de la distribución chi-cuadrado para uno o dos grados de libertad.
• La respuesta al problema del coleccionista de cupones *
• En algunas formulaciones de la ley de Zipf
• Una definición de la integral del coseno *
• Límites inferiores de una brecha principal
• Un límite superior para la entropía de Shannon en la teoría de la información cuántica ^[5]
• Modelo de Fisher-Orr para la genética de la adaptación en biología evolutiva ^[6]
• Teoría de superconductividad de Bardeen-Cooper-Schrieffer ( teoría BCS ), donde aparece como prefactor en la ecuación BCS sobre la temperatura crítica. ${\displaystyle 2e^{\gamma }/\pi =1.134}$
• Una formulación de la hipótesis de Riemann . ^{[7] [8]}

Propiedades

Irracionalidad y trascendencia

No se ha demostrado que el número γ sea algebraico o trascendental . De hecho, ni siquiera se sabe si γ es irracional . La ubicuidad de γ revelada por la gran cantidad de ecuaciones que se presentan a continuación y el hecho de que γ haya sido considerada la tercera constante matemática más importante después de π y e ^{[9] [10]} hace que la irracionalidad de γ sea una cuestión abierta de gran importancia en matemáticas. ^{[11] [12] [13]}

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Es irracional la constante de Euler? Si es así, ¿es trascendental?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Sin embargo, se han logrado algunos avances. En 1959, Andrei Shidlovsky demostró que al menos una de las constantes de Euler γ y la constante de Gompertz δ es irracional; ^{[14] [7]} Tanguy Rivoal demostró en 2012 que al menos una de ellas es trascendental. ^[15] Kurt Mahler demostró en 1968 que el número es trascendental ( siendo y funciones de Bessel ). ^{[16] [2]} Se sabe que el grado de trascendencia del cuerpo es al menos dos. ^[2] En 2010, M. Ram Murty y N. Saradha demostraron que, como máximo, una de las constantes de Euler-Lehmer, ai, los números de la forma ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (e,\gamma ,\delta )}$

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)}$$

es algebraica, dado que q ≥ 2 y 1 ≤ a < q ; esta familia incluye el caso especial γ (2,4) = ⁠gamma/4⁠ . ^{[2] [17]} En 2013, M. Ram Murty y A. Zaytseva encontraron una familia diferente que contiene γ , que se basa en sumas de recíprocos de números enteros no divisibles por una lista fija de primos, con la misma propiedad. ^{[2] [18]}

Utilizando un análisis de fracciones continuas , Papanikolaou demostró en 1997 que si γ es racional , su denominador debe ser mayor que 10 ^{244663. [19] [20]} Si e γ ^es un número racional, entonces su denominador debe ser mayor que 10 ^{15000. [2} ]

Se conjetura que la constante de Euler no es un período algebraico , ^[2] pero los valores de sus primeros 10 ⁹ dígitos decimales parecen indicar que podría ser un número normal . ^[21]

Fracción continua

La expansión fraccionaria continua simple de la constante de Euler está dada por: ^[22]

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

que no tiene un patrón aparente . Se sabe que tiene al menos 16.695.000.000 términos, ^[22] y tiene infinitos términos si y solo si γ es irracional.

Los límites de Khinchin para (rojo), (azul) y (verde). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

La evidencia numérica sugiere que tanto la constante de Euler γ como la constante e ^γ se encuentran entre los números para los cuales la media geométrica de sus términos de fracción continua simple converge a la constante de Khinchin . De manera similar, cuando son los convergentes de sus respectivas fracciones continuas, el límite parece converger a la constante de Lévy en ambos casos. ^[23] Sin embargo, ninguno de estos límites ha sido probado. ^[24] ${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }q_{n}^{1/n}}$

También existe una fracción continua generalizada para la constante de Euler. ^[25]

Una buena aproximación simple de γ está dada por el recíproco de la raíz cuadrada de 3 o aproximadamente 0,57735: ^[26]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

con una diferencia de aproximadamente 1 en 7.429.

Fórmulas e identidades

Relación con la función gamma

γ está relacionada con la función digamma Ψ , y por lo tanto con la derivada de la función gamma Γ , cuando ambas funciones se evalúan en 1. Por lo tanto:

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$$

Esto es igual a los límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

Otros resultados límite son: ^[27]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Un límite relacionado con la función beta (expresado en términos de funciones gamma ) es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

Relación con la función zeta

γ también puede expresarse como una suma infinita cuyos términos involucran la función zeta de Riemann evaluada en números enteros positivos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$La constante también puede expresarse en términos de la suma de los recíprocos de ceros no triviales de la función zeta: ^[28] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2}$

Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

El término de error en la última ecuación es una función de n que disminuye rápidamente . Como resultado, la fórmula es adecuada para el cálculo eficiente de la constante con alta precisión.

Otros límites interesantes que son iguales a la constante de Euler son el límite antisimétrico: ^[29]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

y la siguiente fórmula, establecida en 1898 por de la Vallée-Poussin :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

donde ⌈ ⌉ son los soportes del techo . Esta fórmula indica que al tomar cualquier entero positivo n y dividirlo por cada entero positivo k menor que n , la fracción promedio por la cual el cociente n / k se queda corto respecto del siguiente entero tiende a γ (en lugar de 0,5) a medida que n tiende a infinito.

La expresión de la serie zeta racional está estrechamente relacionada con esto . Al tomar por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

donde ζ ( s , k ) es la función zeta de Hurwitz . La suma en esta ecuación involucra los números armónicos , H _n . Desarrollando algunos de los términos en la función zeta de Hurwitz se obtiene:

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$donde 0 < ε < ⁠1/252 número ⁶⁠ .

γ también se puede expresar de la siguiente manera, donde A es la constante de Glaisher-Kinkelin :

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

γ también se puede expresar de la siguiente manera, lo que se puede demostrar expresando la función zeta como una serie de Laurent :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$$

Relación con los números triangulares

Se han derivado numerosas formulaciones que expresan en términos de sumas y logaritmos de números triangulares . ^{[30] [31] [32] [33]} Una de las primeras de ellas es una fórmula ^{[34] [35]} para el ésimo número armónico atribuido a Srinivasa Ramanujan donde se relaciona con en una serie que considera las potencias de (una prueba anterior, menos generalizable ^{[36] [37]} de Ernesto Cesàro da los dos primeros términos de la serie, con un término de error): ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle \ln 2T_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\ln 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}}$

De la aproximación de Stirling ^{[30] [38]} se desprende una serie similar:

${\displaystyle \gamma =\ln 2\pi -\sum _{k=2}^{n}{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}}$

La serie de números triangulares inversos también aparece en el estudio del problema de Basilea ^{[39] [40]} planteado por Pietro Mengoli . Mengoli demostró que , un resultado que Jacob Bernoulli utilizó más tarde para estimar el valor de , ubicándolo entre y . Esta identidad aparece en una fórmula utilizada por Bernhard Riemann para calcular raíces de la función zeta , ^[41] donde se expresa en términos de la suma de raíces más la diferencia entre la expansión de Boya y la serie de fracciones unitarias exactas : ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1}$ ${\displaystyle \zeta (2)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle \gamma -\ln 2=\ln 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

Integrales

γ es igual al valor de un número de integrales definidas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\log {\frac {\pi }{4}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\cosh ^{2}x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}}$$donde H _x es el número armónico fraccionario , y es la parte fraccionaria de . ${\displaystyle \{1/x\}}$ ${\displaystyle 1/x}$

La tercera fórmula de la lista integral se puede demostrar de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

La integral en la segunda línea de la ecuación representa el valor de la función de Debye de +∞ , que es m ! ζ ( m + 1) .

Las integrales definidas en las que aparece γ incluyen: ^{[12] [42]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\\\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}\log x}{e^{x}+1}}\,dx&={\frac {1}{2}}\log ^{2}2-\gamma \end{aligned}}}$$

También tenemos la integral de Catalan de 1875 ^[43]

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

Se puede expresar γ utilizando un caso especial de la fórmula de Hadjicostas como una integral doble ^{[13] [44]} con series equivalentes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

Una comparación interesante de Sondow ^[44] es la serie doble integral y alternada

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Se muestra que el registro4/π⁠ puede considerarse como una "constante de Euler alterna".

Las dos constantes también están relacionadas por el par de series ^[45]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

donde N ₁ ( n ) y N ₀ ( n ) son el número de 1 y 0, respectivamente, en la expansión de base 2 de n .

Expansiones de la serie

En general,

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

para cualquier α > − n . Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de α . En particular, γ _n (1/2) exhibe una convergencia mucho más rápida que la expansión convencional γ _n (0) . ^{[46] [47]} Esto se debe a que

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

mientras

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

Aun así, existen otras expansiones en serie que convergen más rápidamente que ésta; algunas de ellas se analizan a continuación.

Euler demostró que la siguiente serie infinita tiende a γ : $${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

La serie para γ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897: ^{[27] [48]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada ^{[49] [50] [51] [52] [53] [27] [54]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

donde log ₂ es el logaritmo en base 2 y ⌊  ⌋ es la función piso .

Esto se puede generalizar a: ^[55]

$${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left\lfloor \log _{B}k\right\rfloor }{k}}\varepsilon (k)}$$dónde: $${\displaystyle \varepsilon (k)={\begin{cases}B-1,&{\text{if }}B\mid n\\-1,&{\text{if }}B\nmid n\end{cases}}}$$

En 1926 Vacca fundó una segunda serie:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

De la expansión de Malmsten - Kummer para el logaritmo de la función gamma ^[42] obtenemos:

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

Ramanujan, en su cuaderno perdido, dio una serie que se aproxima a γ ^[56] :

$${\displaystyle \gamma =\log 2-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k={\frac {3^{n-1}+1}{2}}}^{\frac {3^{n}-1}{2}}{\frac {2n}{(3k)^{3}-3k}}}$$

Una importante expansión de la constante de Euler se debe a Fontana y Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$donde G _n son los coeficientes de Gregory . ^{[27] [54] [57]} Esta serie es el caso especial k = 1 de las expansiones

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

convergente para k = 1, 2, ...

Una serie similar con los números de Cauchy del segundo tipo C _n es ^{[54] [58]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$

Blagouchine (2018) encontró una generalización interesante de la serie Fontana-Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$$

donde ψ _n ( a ) son los polinomios de Bernoulli de segundo tipo , que están definidos por la función generadora

$${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}$$

Para cualquier racional a, esta serie contiene solo términos racionales. Por ejemplo, en a = 1 , se convierte en ^{[59] [60]}

$${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$$Otras series con los mismos polinomios incluyen estos ejemplos:

$${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$

y

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$$

donde Γ( a ) es la función gamma . ^[57]

Una serie relacionada con el algoritmo Akiyama-Tanigawa es

$${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$$

donde G _n (2) son los coeficientes de Gregory de segundo orden. ^[57]

Como una serie de números primos :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$$

Expansiones asintóticas

γ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H _n es el n -ésimo número armónico ):

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$( Euler )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$( Negocio )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( Cesáro )

La tercera fórmula también se llama expansión de Ramanujan.

Alabdulmohsin derivó expresiones de forma cerrada para las sumas de errores de estas aproximaciones. ^[58] Demostró que (Teorema A.1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}$$

Exponencial

La constante e ^γ es importante en la teoría de números. Su valor numérico es: ^[61]

1.78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

e ^γ es igual al siguiente límite , donde p _n es el n- ésimo número primo :

$${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$$

Esto reafirma el tercero de los teoremas de Mertens . ^[62]

Además tenemos el siguiente producto que involucra las tres constantes e , π y γ : ^[63]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6e^{\gamma }}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}+1}}.}$$

Otros productos infinitos relacionados con e ^γ incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$$

Estos productos son resultado de la función G de Barnes .

Además,

$${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$$

donde el factor n- ésimo es la raíz ( n + 1) -ésima de

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$$

Este producto infinito, descubierto por primera vez por Ser en 1926, fue redescubierto por Sondow utilizando funciones hipergeométricas . ^[64]

También sostiene que ^[65]

$${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$$

Dígitos publicados

Euler calculó inicialmente el valor de la constante con 6 decimales. En 1781, lo calculó con 16 decimales. Mascheroni intentó calcular la constante con 32 decimales, pero cometió errores en los decimales 20.º, 22.º y 31.º y 32.º; a partir del dígito 20, calculó... 181 12090082 39 cuando el valor correcto es... 065 12090082 40 .

Generalizaciones

Constantes de Stieltjes

Constantes generalizadas de Euler abm( - ${\displaystyle \alpha }$ ) para α > 0 .

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right)}$$

para 0 < α < 1 , con γ como el caso especial α = 1 . ^[77] Extendiendo para α > 1 se obtiene:

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\zeta (\alpha )-{\frac {1}{\alpha -1}}}$$

con de nuevo el límite:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$$

Esto se puede generalizar aún más a

$${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$$

para alguna función decreciente arbitraria f . Ajuste

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$$

da lugar a las constantes de Stieltjes , que aparecen en la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann : ${\displaystyle \gamma _{n}}$

${\displaystyle \zeta (1+s)={\frac {1}{s}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}s^{n}.}$

con ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577\dots }$

Constantes de Euler-Lehmer

Las constantes de Euler-Lehmer se dan mediante la suma de las inversas de los números en una clase de módulo común: ^[17]

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$$

Las propiedades básicas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$$

y si el máximo común divisor mcd( a , q ) = d entonces

$${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$$

Constante de Masser-Gramain

Una generalización bidimensional de la constante de Euler es la constante de Masser-Gramain . Se define como la siguiente diferencia límite: ^[78]

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{\pi r_{k}^{2}}}\right)}$

donde es el radio más pequeño de un disco en el plano complejo que contiene al menos números enteros gaussianos . ${\displaystyle r_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Se han establecido los siguientes límites: . ^[79] ${\displaystyle 1.819776<\delta <1.819833}$

Véase también

• Serie armónica
• Función zeta de Riemann
• Constantes de Stieltjes
• Constante de Meissel-Mertens

Referencias

• Bretschneider, Carl Anton (1837) [1835]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Diario de Crelle (en latín). 17 : 257–285.
• Havil, Julian (2003). Gamma: exploración de la constante de Euler . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09983-5.
• Lagarias, Jeffrey C. (2013). "La constante de Euler: el trabajo de Euler y los desarrollos modernos". Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . doi :10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. S2CID  119612431.

Notas al pie

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001620 (Expansión decimal de la constante de Euler (o la constante de Euler-Mascheroni), gamma)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. Lagarias 2013.
3. Bretschneider 1837, " γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3... " en la p. 260.
4. De Morgan, Augustus (1836–1842). El cálculo diferencial e integral . Londres: Baldwin y Craddoc. " γ " en la pág. 578.
5. Caves, Carlton M. ; Fuchs, Christopher A. (1996). "Información cuántica: ¿Cuánta información hay en un vector de estado?". El dilema de Einstein, Podolsky y Rosen – 60 años después . Sociedad Física de Israel. arXiv : quant-ph/9601025 . Código Bibliográfico :1996quant.ph..1025C. ISBN 9780750303941.OCLC 36922834  .
6. Connallon, Tim; Hodgins, Kathryn A. (octubre de 2021). "Allen Orr y la genética de la adaptación". Evolución . 75 (11): 2624–2640. doi :10.1111/evo.14372. PMID  34606622. S2CID  238357410.
7. Waldschmidt, Michel (2023). "Sobre la constante de Euler" (PDF) . Universidad de la Sorbona, Instituto de Matemáticas de Jussieu, París.
8. Robin, chico (1984). "Grandes valores de la función de algunos divisores e hipótesis de Riemann" (PDF) . Journal de mathématiques pures et appliquées . 63 : 187–213.
9. "Constante de Euler". num.math.uni-goettingen.de . Consultado el 19 de octubre de 2024 .
10. Finch, Steven R. (18 de agosto de 2003). Constantes matemáticas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81805-6.
11. Waldschmidt, Michel (2023). "Algunos de los problemas abiertos más famosos en teoría de números" (PDF) .
12. Weisstein, Eric W. "Constante de Euler-Mascheroni". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de octubre de 2024 .
13. Véase también Sondow, Jonathan (2003). "Criterios para la irracionalidad de la constante de Euler". Actas de la American Mathematical Society . 131 (11): 3335–3344. arXiv : math.NT/0209070 . doi :10.1090/S0002-9939-03-07081-3. S2CID  91176597.
14. Aptekarev, AI (28 de febrero de 2009). "Sobre formas lineales que contienen la constante de Euler". arXiv : 0902.1768 [math.NT].
15. Rivoal, Tanguy (2012). "Sobre la naturaleza aritmética de los valores de la función gamma, la constante de Euler y la constante de Gompertz". Michigan Mathematical Journal . 61 (2): 239–254. doi : 10.1307/mmj/1339011525 . ISSN  0026-2285.
16. Mahler, Kurt; Mordell, Louis Joel (4 de junio de 1968). "Aplicaciones de un teorema de AB Shidlovski". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas . 305 (1481): 149–173. Bibcode :1968RSPSA.305..149M. doi :10.1098/rspa.1968.0111. S2CID  123486171.
17. Ram Murty, M.; Saradha, N. (2010). "Constantes de Euler-Lehmer y una conjetura de Erdos". Revista de teoría de números . 130 (12): 2671–2681. doi : 10.1016/j.jnt.2010.07.004 . ISSN  0022-314X.
18. Murty, M. Ram; Zaytseva, Anastasia (2013). "Trascendencia de las constantes de Euler generalizadas". The American Mathematical Monthly . 120 (1): 48–54. doi :10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. S2CID  20495981.
19. Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). "Evaluación rápida de series de números racionales mediante multiprecisión". En Buhler, Joe P. (ed.). Teoría algorítmica de números . Apuntes de clase en informática. Vol. 1423. Springer. págs. 338–350. doi :10.1007/bfb0054873. ISBN. 9783540691136.
20. Papanikolaou, T. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek für algoritmische Zahlentheorie (Tesis) (en alemán). Universität des Saarlandes.
21. Weisstein, Eric W. "Dígitos constantes de Euler-Mascheroni". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de octubre de 2024 .
22. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A002852 (Fracción continua para la constante de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
23. Brent, Richard P. (1977). "Cálculo de la fracción regular continua para la constante de Euler". Matemáticas de la computación . 31 (139): 771–777. doi :10.2307/2006010. ISSN  0025-5718.
24. Weisstein, Eric W. "Fracción continua constante de Euler-Mascheroni". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de septiembre de 2024 .
25. Pilehrood, Khodabakhsh Hessami; Pilehrood, Tatiana Hessami (2013-12-29), Sobre una expansión de fracción continua para la constante de Euler, doi :10.48550/arXiv.1010.1420 , consultado el 2024-10-27
26. Weisstein, Eric W. "Aproximaciones constantes de Euler-Mascheroni". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de octubre de 2024 .
27. Krämer, Stefan (2005). Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen (en alemán). Universidad de Gotinga.
28. Wolf, Marek (2019). "6+infinito: nuevas expresiones para la constante de Euler-Mascheroni". arXiv : 1904.09855 [math.NT]. La suma anterior es real y convergente cuando los ceros y el conjugado complejo se emparejan y se suman de acuerdo con valores absolutos crecientes de las partes imaginarias de . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho }$Véase la fórmula 11 en la página 3. Nótese el error tipográfico en el numerador de la suma de Wolf sobre ceros, que debería ser 2 en lugar de 1.
29. Sondow, Jonathan (1998). "Una fórmula antisimétrica para la constante de Euler". Revista de Matemáticas . 71 (3): 219–220. doi :10.1080/0025570X.1998.11996638. Archivado desde el original el 4 de junio de 2011 . Consultado el 29 de mayo de 2006 .
30. Boya, LJ (2008). "Otra relación entre π, e, γ y ζ(n)". Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas . 102 (2): 199–202. doi :10.1007/BF03191819. γ/2 en (10) refleja el residual (parte finita) de ζ(1)/2, por supuesto.Ver fórmulas 1 y 10.
31. Sondow, Jonathan (2005). "Integrales dobles para la constante de Euler y 4 π {\displaystyle \textstyle {\frac {4}{\pi }}} y un análogo de la fórmula de Hadjicostas". The American Mathematical Monthly . 112 (1): 61–65. doi :10.2307/30037385. JSTOR  30037385 . Consultado el 27 de abril de 2024 .
32. Chen, Chao-Ping (2018). «Fórmula de Ramanujan para el número armónico». Matemáticas Aplicadas y Computación . 317 : 121–128. doi :10.1016/j.amc.2017.08.053. ISSN  0096-3003 . Consultado el 27 de abril de 2024 .
33. Lodge, A. (1904). "Una expresión aproximada para el valor de 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/r". Messenger of Mathematics . 30 : 103–107.
34. Villarino, Mark B. (2007). "Expansión armónica de números de Ramanujan en potencias negativas de un número triangular". arXiv : 0707.3950 [math.CA]. También sería interesante desarrollar una expansión para n! en potencias de m, una nueva expansión de Stirling , por así decirlo.Ver fórmula 1.8 en la página 3.
35. Mortici, Cristinel (2010). "Sobre la expansión de Stirling en potencias negativas de un número triangular". Math. Commun . 15 : 359–364.
36. Cesàro, E. (1885). "Sur la série harmonique". Nouvelles annales de mathématiques: Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale (en francés). 4 . Carilian-Goeury y Vor Dalmont: 295–296.
37. Bromwich, Thomas John I'Anson (2005) [1908]. Introducción a la teoría de series infinitas (PDF) (3.ª ed.). Reino Unido: American Mathematical Society. pág. 460.Ver ejercicio 18.
38. Whittaker, E.; Watson, G. (2021) [1902]. Un curso de análisis moderno (5.ª ed.). págs. 271, 275. doi :10.1017/9781009004091. ISBN 9781316518939.Consulte los ejemplos 12.21 y 12.50 para ejercicios sobre la derivación de la forma integral de la serie . ${\displaystyle \textstyle \int _{-1}^{0}\ln \Gamma (z+1)\,dz}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\zeta (k)}{110_{k}}}=\ln({\sqrt {2\pi }})}$
39. Lagarias 2013, pág. 13.
40. Nelsen, RB (1991). "Demostración sin palabras: suma de recíprocos de números triangulares". Revista de Matemáticas . 64 (3): 167. doi :10.1080/0025570X.1991.11977600.
41. Edwards, HM (1974). Función zeta de Riemann . Matemáticas puras y aplicadas, vol. 58. Academic Press. págs. 67, 159.
42. Blagouchine, Iaroslav V. (1 de octubre de 2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". The Ramanujan Journal . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. ISSN  1572-9303.
43. Sondow, Jonathan; Zudilin, Wadim (2006). "Constante de Euler, logaritmos q y fórmulas de Ramanujan y Gosper". The Ramanujan Journal . 12 (2): 225–244. arXiv : math.NT/0304021 . doi :10.1007/s11139-006-0075-1. S2CID  1368088.
44. Sondow, Jonathan (2005). "Integrales dobles para la constante de Euler y un análogo de la fórmula de Hadjicostas". American Mathematical Monthly . 112 (1): 61–65. arXiv : math.CA/0211148 . doi :10.2307/30037385. JSTOR  30037385. ${\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}$
45. Sondow, Jonathan (1 de agosto de 2005a). Nueva serie racional de tipo Vacca para la constante de Euler y su análogo "alterno" . arXiv : math.NT/0508042 . ${\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}$
46. DeTemple, Duane W. (mayo de 1993). "Una convergencia más rápida hacia la constante de Euler". The American Mathematical Monthly . 100 (5): 468–470. doi :10.2307/2324300. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324300.
47. Havil 2003, págs. 75–8.
48. Blagouchine 2016.
49. Vacca, G. (1910). "Una nueva expresión analítica para el número π y algunas consideraciones históricas". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 16 : 368–369. doi : 10.1090/S0002-9904-1910-01919-4 .
50. Glaisher, James Whitbread Lee (1910). "Sobre la serie del Dr. Vacca para γ ". Aplicación pura QJ. Matemáticas . 41 : 365–368.
51. Hardy, GH (1912). "Nota sobre la serie del Dr. Vacca para γ ". QJ Pure Appl. Math . 43 : 215–216.
52. Vacca, G. (1926). "Nueva serie para la costante di Eulero, C = 0,577...". Rediconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche". Matematiche e Naturali (en italiano). 6 (3): 19-20.
53. Kluyver, JC (1927). "Sobre ciertas series del Sr. Hardy". QJ Pure Appl. Math . 50 : 185–192.
54. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansiones de las constantes de Euler generalizadas en las series de polinomios en π ⁻² y en las series envolventes formales con coeficientes racionales únicamente". J. Number Theory . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . doi :10.1016/j.jnt.2015.06.012.
55. Pilehrood, Khodabakhsh Hessami; Pilehrood, Tatiana Hessami (4 de agosto de 2008), Serie de tipo Vacca para valores de la función constante de Euler generalizada y su derivada, doi :10.48550/arXiv.0808.0410 , consultado el 8 de octubre de 2024
56. Berndt, Bruce C. (enero de 2008). "Un fragmento sobre la constante de Euler en el cuaderno perdido de Ramanujan". South East Asian J. Math. & Math. Sc . 6 (2): 17–22.
57. Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Tres notas sobre las representaciones de Ser y Hasse para las funciones zeta". INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory . 18A (#A3): 1–45. arXiv : 1606.02044 . Código Bibliográfico :2016arXiv160602044B.
58. Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018). Cálculo de sumabilidad. Una teoría integral de sumas finitas fraccionarias . Springer . Págs. 147-8. ISBN. 9783319746487.
59. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A302120 (Valor absoluto de los numeradores de una serie que converge a la constante de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
60. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A302121 (Denominadores de una serie que convergen a la constante de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
61. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A073004 (Expansión decimal de exp(gamma))". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
62. Ramaré, Olivier (2022). Excursiones en la teoría de números multiplicativos. Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks. Basilea: Birkhäuser/Springer. pág. 131. doi :10.1007/978-3-030-73169-4. ISBN 978-3-030-73168-7. Sr.  4400952. S2CID  247271545.
63. Weisstein, Eric W. "Teorema de Mertens". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de octubre de 2024 .
64. Sondow, Jonathan (2003). "Un producto infinito para e ^γ mediante fórmulas hipergeométricas para la constante de Euler, γ ". arXiv : math.CA/0306008 .
65. Choi, Junesang; Srivastava, HM (1 de septiembre de 2010). "Representaciones integrales para la constante γ de Euler–Mascheroni ". Transformadas integrales y funciones especiales . 21 (9): 675–690. doi :10.1080/10652461003593294. ISSN  1065-2469. S2CID  123698377.
66. Oettinger, Ludwig (1 de enero de 1862). "Ueber die richtige Werthbestimmung der Constante des Integrallogarithmus". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 60 : 375–376. doi :10.1515/crll.1862.60.375. ISSN  1435-5345.
67. "I. Sobre el cálculo del valor numérico de la constante de Euler, que el profesor Price, de Oxford, llama E". Actas de la Royal Society de Londres . 15 : 429–432. 1867-12-31. doi :10.1098/rspl.1866.0100. ISSN  0370-1662.
68. Fischer, Helmut; Zeller, Karl (1961). "Bernoullische Zahlen und Eulersche Konstante". zbmath.org (en alemán) . Consultado el 27 de octubre de 2024 .
69. Knuth, Donald E. (julio de 1962). "Constante de Euler hasta 1271 lugares". Matemáticas de la computación . 16 (79). American Mathematical Society : 275–281. doi :10.2307/2004048. JSTOR  2004048.
70. Sweeney, Dura W. (1963). "Sobre el cálculo de la constante de Euler". Matemáticas de la computación . 17 (82): 170–178. doi :10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X. ISSN  0025-5718.
71. Beyer, WA; Waterman, MS (1974). "Análisis de errores de un cálculo de la constante de Euler". Matemáticas de la computación . 28 (126): 599–604. doi :10.2307/2005935. ISSN  0025-5718.
72. Brent, Richard P.; McMillan, Edwin M. (1980). "Algunos nuevos algoritmos para el cálculo de alta precisión de la constante de Euler". Matemáticas de la computación . 34 (149): 305–312. doi :10.1090/S0025-5718-1980-0551307-4. ISSN  0025-5718.
73. Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2004). "La constante de Euler: γ" (PDF) . scipp.ucsc.edu . Consultado el 27 de octubre de 2024 .
74. Yee, Alexander J. (7 de marzo de 2011). "Grandes cálculos". www.numberworld.org .
75. Yee, Alexander J. "Records Set by y-cruncher". www.numberworld.org . Consultado el 30 de abril de 2018 .
    Yee, Alexander J. "y-cruncher - Un programa Pi multiproceso". www.numberworld.org .
76. "Constante de Euler-Mascheroni". Polymath Collector . 15 de febrero de 2020.
77. Havil 2003, págs. 117-18.
78. Weisstein, Eric W. "Constante de Masser-Gramain". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de octubre de 2024 .
79. Melquiond, Guillaume; Nowak, W. Georg; Zimmermann, Paul. "Aproximación numérica de la constante de Masser-Gramain a cuatro dígitos decimales" (PDF) . Consultado el 3 de octubre de 2024 .

Lectura adicional

• Borwein, Jonathan M.; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Estrategias computacionales para la función zeta de Riemann". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 121 (1–2): 11. Bibcode :2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .Deriva γ como sumas sobre funciones zeta de Riemann.
• Finch, Steven R. (2003). Constantes matemáticas . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 94. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81805-2.
• Gerst, I. (1969). "Algunas series para la constante de Euler". Amer. Math. Monthly . 76 (3): 237–275. doi :10.2307/2316370. JSTOR  2316370.
• Glaisher, James Whitbread Lee (1872). "Sobre la historia de la constante de Euler". Messenger of Mathematics . 1 : 25–30. JFM  03.0130.01.
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2002). "Colección de fórmulas para la constante de Euler, γ".
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2004). "La constante de Euler: γ".
• Karatsuba, EA (1991). "Evaluación rápida de funciones trascendentales". Probl. Inf. Transm . 27 (44): 339–360.
• Karatsuba, EA (2000). "Sobre el cálculo de la constante de Euler γ ". Journal of Numerical Algorithms . 24 (1–2): 83–97. doi :10.1023/A:1019137125281. S2CID  21545868.
• Knuth, Donald (1997). El arte de la programación informática, vol. 1 (3.ª ed.). Addison-Wesley. págs. 75, 107, 114, 619–620. ISBN 0-201-89683-4.
• Lehmer, DH (1975). "Constantes de Euler para progresiones aritméticas" (PDF) . Acta Arith . 27 (1): 125–142. doi : 10.4064/aa-27-1-125-142 .
• Lerch, M. (1897). "Expresiones nouvelles de la constante d'Euler". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften . 42 : 5.
• Mascheroni, Lorenzo (1790). Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur . Galeati, Ticini.
• Sondow, Jonathan (2002). "Un enfoque hipergeométrico, a través de formas lineales que involucran logaritmos, para los criterios de irracionalidad de la constante de Euler". Mathematica Slovaca . 59 : 307–314. arXiv : math.NT/0211075 . Bibcode :2002math.....11075S. doi :10.2478/s12175-009-0127-2. S2CID  16340929.con un apéndice de Sergey Zlobin

Enlaces externos

• "Constante de Euler". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Constante de Euler-Mascheroni". MundoMatemático .
• Jonathan Sondow-Sondow, Nueva York, EE. UU.
• Algoritmos rápidos y el método FEE, EA Karatsuba (2005)
• Otras fórmulas que utilizan la constante: Gourdon y Sebah (2004).