En matemáticas , la geometría hiperbólica (también llamada geometría Lobachevskiana o geometría Bolyai - Lobachevskiana ) es una geometría no euclidiana . El postulado de las paralelas de la geometría euclidiana se reemplaza por:
(Compárese lo anterior con el axioma de Playfair , la versión moderna del postulado paralelo de Euclides ).
El plano hiperbólico es un plano donde cada punto es un punto silla . La geometría del plano hiperbólico es también la geometría de superficies pseudoesféricas , superficies con una curvatura gaussiana negativa constante . Las superficies de la silla de montar tienen curvatura gaussiana negativa en al menos algunas regiones, donde localmente se parecen al plano hiperbólico.
Un uso moderno de la geometría hiperbólica se encuentra en la teoría de la relatividad especial , particularmente en el modelo de Minkowski .
Cuando los geómetras se dieron cuenta por primera vez de que estaban trabajando con algo distinto de la geometría euclidiana estándar, describieron su geometría con muchos nombres diferentes; Felix Klein finalmente le dio al tema el nombre de geometría hiperbólica para incluirla en la secuencia, ahora raramente utilizada, geometría elíptica ( geometría esférica ), geometría parabólica ( geometría euclidiana ) y geometría hiperbólica. En la antigua Unión Soviética , se la llama comúnmente geometría lobachevskiana, en honor a uno de sus descubridores, el geómetra ruso Nikolai Lobachevsky .
Esta página trata principalmente sobre la geometría hiperbólica bidimensional (plana) y las diferencias y similitudes entre la geometría euclidiana y la hiperbólica. Consulte espacio hiperbólico para obtener más información sobre la geometría hiperbólica extendida a tres y más dimensiones.
La geometría hiperbólica está más relacionada con la geometría euclidiana de lo que parece: la única diferencia axiomática es el postulado de las paralelas . Cuando se elimina el postulado de las paralelas de la geometría euclidiana, la geometría resultante es geometría absoluta . Hay dos tipos de geometría absoluta, la euclidiana y la hiperbólica. Todos los teoremas de la geometría absoluta, incluidas las primeras 28 proposiciones del libro uno de los Elementos de Euclides , son válidos en geometría euclidiana e hiperbólica. Las proposiciones 27 y 28 del Libro Uno de los Elementos de Euclides prueban la existencia de líneas paralelas/que no se cruzan.
Esta diferencia también tiene muchas consecuencias: conceptos que son equivalentes en geometría euclidiana no lo son en geometría hiperbólica; Es necesario introducir nuevos conceptos. Además, debido al ángulo de paralelismo , la geometría hiperbólica tiene una escala absoluta , una relación entre las medidas de distancia y ángulo.
Las líneas simples en geometría hiperbólica tienen exactamente las mismas propiedades que las líneas rectas simples en geometría euclidiana. Por ejemplo, dos puntos definen de forma única una línea y los segmentos de línea se pueden extender infinitamente.
Dos líneas que se cruzan tienen las mismas propiedades que dos líneas que se cruzan en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dos líneas distintas pueden cruzarse en no más de un punto, las líneas que se cruzan forman ángulos opuestos iguales y los ángulos adyacentes de las líneas que se cruzan son suplementarios .
Cuando se introduce una tercera línea, entonces puede haber propiedades de las líneas que se cruzan que difieren de las líneas que se cruzan en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dadas dos líneas que se cruzan, hay infinitas líneas que no se cruzan con ninguna de las líneas dadas.
Todas estas propiedades son independientes del modelo utilizado, incluso si las líneas pueden verse radicalmente diferentes.
Las líneas que no se cruzan en la geometría hiperbólica también tienen propiedades que difieren de las líneas que no se cruzan en la geometría euclidiana :
Esto implica que a través de P pasa un número infinito de rectas coplanares que no cortan a R.
Estas líneas que no se cruzan se dividen en dos clases:
Algunos geómetras simplemente usan la frase " líneas paralelas " para significar " líneas paralelas limitantes ", donde líneas ultraparalelas significa simplemente que no se cruzan .
Estos paralelos limitantes forman un ángulo θ con PB ; este ángulo depende sólo de la curvatura gaussiana del plano y de la distancia PB y se llama ángulo de paralelismo .
Para líneas ultraparalelas, el teorema ultraparalelo establece que hay una línea única en el plano hiperbólico que es perpendicular a cada par de líneas ultraparalelas.
En geometría hiperbólica, la circunferencia de un círculo de radio r es mayor que .
Sea , donde está la curvatura gaussiana del plano. En geometría hiperbólica, es negativo, por lo que la raíz cuadrada es de un número positivo.
Entonces la circunferencia de un círculo de radio r es igual a:
Y el área del disco encerrado es:
Por lo tanto, en geometría hiperbólica la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio es siempre estrictamente mayor que , aunque puede acercarse arbitrariamente seleccionando un círculo lo suficientemente pequeño.
Si la curvatura gaussiana del plano es −1, entonces la curvatura geodésica de un círculo de radio r es: [1]
En geometría hiperbólica, no existe una línea cuyos puntos estén equidistantes de otra línea. En cambio, todos los puntos que tienen la misma distancia ortogonal desde una línea dada se encuentran en una curva llamada hiperciclo .
Otra curva especial es el horociclo , una curva cuyos radios normales ( líneas perpendiculares ) son todos paralelos limitantes entre sí (todos convergen asintóticamente en una dirección hacia el mismo punto ideal , el centro del horociclo).
Por cada par de puntos hay dos horociclos. Los centros de los horociclos son los puntos ideales de la bisectriz perpendicular del segmento de recta entre ellos.
Dados tres puntos distintos, todos se encuentran en una línea, un hiperciclo , un horociclo o un círculo.
La longitud del segmento de línea es la longitud más corta entre dos puntos. La longitud del arco de un hiperciclo que conecta dos puntos es más larga que la del segmento de línea y más corta que la de un horociclo que conecta los mismos dos puntos. La longitud de arco de ambos horociclos que conectan dos puntos es igual. La longitud del arco de un círculo entre dos puntos es mayor que la longitud del arco de un horociclo que conecta dos puntos.
Si la curvatura gaussiana del plano es −1, entonces la curvatura geodésica de un horociclo es 1 y la de un hiperciclo está entre 0 y 1. [1]
A diferencia de los triángulos euclidianos, donde los ángulos siempre suman π radianes (180°, un ángulo llano ), en geometría hiperbólica la suma de los ángulos de un triángulo hiperbólico siempre es estrictamente menor que π radianes (180°, un ángulo llano ). La diferencia se conoce como defecto . Generalmente, el defecto de un polígono hiperbólico convexo con lados es la suma de sus ángulos restada de .
El área de un triángulo hiperbólico viene dada por su defecto en radianes multiplicado por R 2 , lo que también es válido para todos los polígonos hiperbólicos convexos. [2] Como consecuencia, todos los triángulos hiperbólicos tienen un área menor o igual a R 2 π. El área de un triángulo ideal hiperbólico en el que los tres ángulos miden 0° es igual a este máximo.
Como en la geometría euclidiana , cada triángulo hiperbólico tiene una circunferencia . En geometría hiperbólica, si sus tres vértices se encuentran en un horociclo o hiperciclo , entonces el triángulo no tiene un círculo circunscrito .
Al igual que en la geometría esférica y elíptica , en la geometría hiperbólica si dos triángulos son semejantes deben ser congruentes.
Los polígonos especiales en geometría hiperbólica son los polígonos uniformes apeirogon y pseudogon regulares con un número infinito de lados.
En geometría euclidiana , la única forma de construir un polígono de este tipo es hacer que las longitudes de los lados tiendan a cero y el apeirogon sea indistinguible de un círculo, o hacer que los ángulos interiores tiendan a 180 grados y el apeirogon se acerque a una línea recta.
Sin embargo, en geometría hiperbólica, un apeirogon o pseudogon regular tiene lados de cualquier longitud (es decir, sigue siendo un polígono con lados notables).
Las bisectrices de los lados y de los ángulos , dependiendo de la longitud del lado y del ángulo entre los lados, serán paralelas limitantes o divergentes (ver líneas arriba). Si las bisectrices son paralelas limitantes entonces es un apeirogon y puede estar inscrito y circunscrito por horociclos concéntricos .
Si las bisectrices divergen paralelas, entonces es un pseudogono y puede inscribirse y circunscribirse mediante hiperciclos (todos los vértices están a la misma distancia de una línea, el eje y el punto medio de los segmentos laterales son todos equidistantes al mismo eje).
Al igual que el plano euclidiano también es posible teselar el plano hiperbólico con polígonos regulares como caras .
Hay un número infinito de mosaicos uniformes basados en los triángulos de Schwarz ( p q r ) donde 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1, donde p , q , r son cada uno de los órdenes de simetría de reflexión en tres puntos de la Triángulo de dominio fundamental , el grupo de simetría es un grupo de triángulos hiperbólicos . También hay infinitos mosaicos uniformes que no se pueden generar a partir de triángulos de Schwarz; algunos, por ejemplo, requieren cuadriláteros como dominios fundamentales. [3]
Aunque la geometría hiperbólica se aplica a cualquier superficie con una curvatura gaussiana negativa constante , es habitual asumir una escala en la que la curvatura K es −1.
Esto da como resultado que algunas fórmulas se vuelvan más simples. Algunos ejemplos son:
En comparación con la geometría euclidiana, la geometría hiperbólica presenta numerosas dificultades para un sistema de coordenadas: la suma de los ángulos de un cuadrilátero es siempre inferior a 360 grados; no hay líneas equidistantes, por lo que un rectángulo euclidiano adecuado debería estar rodeado por dos líneas y dos hiperciclos; transportar en paralelo un segmento de línea alrededor de un cuadrilátero hace que gire cuando regresa al origen; etc.
Sin embargo, existen diferentes sistemas de coordenadas para la geometría del plano hiperbólico. Todos se basan en elegir un punto (el origen) en una línea dirigida elegida (el eje x ) y después de eso existen muchas opciones.
Las coordenadas de Lobachevski xey se encuentran trazando una perpendicular al eje x . x será la etiqueta del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado desde su pie (positiva por un lado y negativa por el otro).
Otro sistema de coordenadas mide la distancia desde el punto al horociclo a través del origen centrado alrededor y la longitud a lo largo de este horociclo. [5]
Otros sistemas de coordenadas utilizan el modelo de Klein o el modelo de disco de Poincaré que se describe a continuación y toman las coordenadas euclidianas como hiperbólicas.
Un sistema de coordenadas cartesiano [ cita necesaria ] ( x, y ) en el plano hiperbólico orientado se construye de la siguiente manera. Elija una línea en el plano hiperbólico junto con una orientación y un origen o en esta línea. Entonces:
La distancia entre dos puntos representados por ( x_i, y_i ), i=1,2 en este sistema de coordenadas es [ cita necesaria ]
Esta fórmula se puede derivar de las fórmulas sobre triángulos hiperbólicos .
El campo tensor métrico correspondiente es: .
En este sistema de coordenadas, las líneas rectas toman una de estas formas (( x , y ) es un punto en la línea; x 0 , y 0 , A y α son parámetros):
ultraparalelo al eje x
asintóticamente paralelo en el lado negativo
asintóticamente paralelo en el lado positivo
intersectando perpendicularmente
intersectando en un ángulo α
Generalmente, estas ecuaciones solo se cumplirán en un dominio acotado (de valores de x ). En el borde de ese dominio, el valor de y aumenta hasta ±infinito. Véase también Sistemas de coordenadas para el plano hiperbólico#Sistema de coordenadas polares .
Desde la publicación de los Elementos de Euclides alrededor del año 300 a. C., muchos geómetras intentaron probar el postulado de las paralelas . Algunos intentaron probarlo asumiendo su negación e intentando derivar una contradicción . Los más destacados entre ellos fueron Proclo , Ibn al-Haytham (Alhacen), Omar Khayyám , [6] Nasīr al-Dīn al-Tūsī , Witelo , Gersonides , Alfonso y más tarde Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis , Johann Heinrich Lambert y Legendre . [7] Sus intentos estuvieron condenados al fracaso (como ahora sabemos, el postulado paralelo no es demostrable a partir de los otros postulados), pero sus esfuerzos llevaron al descubrimiento de la geometría hiperbólica.
Los teoremas de Alhacen, Khayyam y al-Tūsī sobre cuadriláteros , incluido el cuadrilátero de Ibn al-Haytham-Lambert y el cuadrilátero de Khayyam-Saccheri , fueron los primeros teoremas sobre geometría hiperbólica. Sus trabajos sobre geometría hiperbólica tuvieron una influencia considerable en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, incluidos Witelo, Gersonides, Alfonso, John Wallis y Saccheri. [8]
En el siglo XVIII, Johann Heinrich Lambert introdujo las funciones hiperbólicas [9] y calculó el área de un triángulo hiperbólico . [10]
En el siglo XIX, la geometría hiperbólica fue explorada extensamente por Nikolai Ivanovich Lobachevsky , János Bolyai , Carl Friedrich Gauss y Franz Taurinus . A diferencia de sus predecesores, que sólo querían eliminar el postulado de las paralelas de los axiomas de la geometría euclidiana, estos autores se dieron cuenta de que habían descubierto una nueva geometría. [11] [12] Gauss escribió en una carta de 1824 a Franz Taurinus que él lo había construido, pero Gauss no publicó su trabajo. Gauss la llamó " geometría no euclidiana " [13], lo que provocó que varios autores modernos siguieran considerando "geometría no euclidiana" y "geometría hiperbólica" como sinónimos. Taurino publicó resultados sobre trigonometría hiperbólica en 1826, argumentó que la geometría hiperbólica es autoconsistente, pero todavía creía en el papel especial de la geometría euclidiana. El sistema completo de geometría hiperbólica fue publicado por Lobachevsky en 1829/1830, mientras que Bolyai lo descubrió de forma independiente y lo publicó en 1832.
En 1868, Eugenio Beltrami proporcionó modelos (ver más abajo) de geometría hiperbólica y los utilizó para demostrar que la geometría hiperbólica era consistente si y sólo si la geometría euclidiana lo era.
El término "geometría hiperbólica" fue introducido por Felix Klein en 1871. [14] Klein siguió una iniciativa de Arthur Cayley de utilizar las transformaciones de la geometría proyectiva para producir isometrías . La idea utilizaba una sección cónica o cuádrica para definir una región y una relación cruzada para definir una métrica . Las transformaciones proyectivas que dejan estable la sección cónica o cuádrica son las isometrías. "Klein demostró que si el absoluto de Cayley es una curva real entonces la parte del plano proyectivo en su interior es isométrica al plano hiperbólico..." [15]
Para obtener más historia, consulte el artículo sobre geometría no euclidiana y las referencias Coxeter [16] y Milnor . [17]
El descubrimiento de la geometría hiperbólica tuvo importantes consecuencias filosóficas . Antes de su descubrimiento, muchos filósofos (por ejemplo Hobbes y Spinoza ) veían el rigor filosófico en términos del "método geométrico", en referencia al método de razonamiento utilizado en los Elementos de Euclides .
Kant, en la Crítica de la razón pura, llegó a la conclusión de que el espacio (en la geometría euclidiana ) y el tiempo no son descubiertos por los humanos como características objetivas del mundo, sino que son parte de un marco sistemático ineludible para organizar nuestras experiencias. [18]
Se dice que Gauss no publicó nada sobre geometría hiperbólica por miedo al "alboroto de los beocios [ dead link ] ", que arruinaría su condición de princeps mathematicorum (en latín, "el Príncipe de los Matemáticos"). [19] El "alboroto de los beocios" vino y se fue, y dio impulso a grandes mejoras en el rigor matemático , la filosofía analítica y la lógica . Finalmente se demostró que la geometría hiperbólica es consistente y, por lo tanto, es otra geometría válida.
Como la geometría euclidiana, hiperbólica y elíptica son todas consistentes, surge la pregunta: ¿cuál es la geometría real del espacio y, si es hiperbólica o elíptica, cuál es su curvatura?
Lobachevsky ya había intentado medir la curvatura del universo midiendo el paralaje de Sirio y tratando a Sirio como el punto ideal de un ángulo de paralelismo . Se dio cuenta de que sus mediciones no eran lo suficientemente precisas como para dar una respuesta definitiva, pero sí llegó a la conclusión de que si la geometría del universo es hiperbólica, entonces la longitud absoluta es al menos un millón de veces el diámetro de la órbita de la Tierra (2.000.000 AU , 10 pársec ) . [20] Algunos argumentan que sus mediciones eran metodológicamente defectuosas. [21]
Henri Poincaré , con su experimento mental esfera-mundo , llegó a la conclusión de que la experiencia cotidiana no excluye necesariamente otras geometrías.
La conjetura de geometrización da una lista completa de ocho posibilidades para la geometría fundamental de nuestro espacio. El problema para determinar cuál se aplica es que, para llegar a una respuesta definitiva, necesitamos poder observar formas extremadamente grandes, mucho más grandes que cualquier cosa en la Tierra o tal vez incluso en nuestra galaxia. [22]
La relatividad especial coloca el espacio y el tiempo en pie de igualdad, de modo que se considera la geometría de un espacio-tiempo unificado en lugar de considerar el espacio y el tiempo por separado. [23] [24] La geometría de Minkowski reemplaza a la geometría galileana (que es el espacio euclidiano tridimensional con tiempo de la relatividad galileana ). [25]
En relatividad, en lugar de considerar geometrías euclidianas, elípticas e hiperbólicas, las geometrías apropiadas a considerar son el espacio de Minkowski , el espacio de Sitter y el espacio anti-de Sitter , [26] [27] correspondientes a curvatura cero, positiva y negativa respectivamente.
La geometría hiperbólica entra en la relatividad especial a través de la rapidez , que sustituye a la velocidad , y se expresa mediante un ángulo hiperbólico . El estudio de esta geometría de velocidades se ha denominado geometría cinemática . El espacio de velocidades relativistas tiene una geometría hiperbólica tridimensional, donde la función de distancia se determina a partir de las velocidades relativas de los puntos "cercanos" (velocidades). [28]
Existen varias pseudoesferas en el espacio euclidiano que tienen un área finita de curvatura gaussiana negativa constante.
Según el teorema de Hilbert , no es posible sumergir isométricamente un plano hiperbólico completo (una superficie regular completa de curvatura gaussiana negativa constante ) en un espacio euclidiano tridimensional.
Existen otros modelos útiles de geometría hiperbólica en el espacio euclidiano, en el que no se conserva la métrica. Un modelo de papel particularmente conocido basado en la pseudoesfera se debe a William Thurston .
Se ha utilizado el arte del crochet (ver Matemáticas y artes de fibras § Tejido y crochet ) para demostrar planos hiperbólicos; la primera demostración de este tipo la realizó Daina Taimiņa . [29]
En 2000, Keith Henderson demostró un modelo de papel de fabricación rápida denominado " balón de fútbol hiperbólico " (más precisamente, un mosaico triangular de orden 7 truncado ). [30] [31]
Jeff Weeks ha puesto a disposición instrucciones sobre cómo hacer una colcha hiperbólica, diseñada por Helaman Ferguson , [32] . [33]
Varias pseudoesferas (superficies con curvatura gaussiana negativa constante) pueden incrustarse en un espacio tridimensional bajo la métrica euclidiana estándar y, por lo tanto, pueden convertirse en modelos físicos tangibles. De ellos, el tractoide (a menudo llamado pseudoesfera) es el más conocido; utilizar el tractoide como modelo del plano hiperbólico es análogo a utilizar un cono o un cilindro como modelo del plano euclidiano. Sin embargo, todo el plano hiperbólico no puede integrarse en el espacio euclidiano de esta manera, y otros modelos son más convenientes para explorar de manera abstracta la geometría hiperbólica.
Existen cuatro modelos comúnmente utilizados para la geometría hiperbólica: el modelo de Klein , el modelo de disco de Poincaré , el modelo de semiplano de Poincaré y el modelo de Lorentz o hiperboloide . Estos modelos definen un plano hiperbólico que satisface los axiomas de una geometría hiperbólica. A pesar de sus nombres, los tres primeros mencionados anteriormente fueron introducidos como modelos de espacio hiperbólico por Beltrami , no por Poincaré o Klein . Todos estos modelos son ampliables a más dimensiones.
El modelo de Beltrami-Klein , también conocido como modelo de disco proyectivo, modelo de disco de Klein y modelo de Klein , lleva el nombre de Eugenio Beltrami y Felix Klein .
Para las dos dimensiones este modelo utiliza el interior del círculo unitario para el plano hiperbólico completo , y las cuerdas de este círculo son las líneas hiperbólicas.
Para dimensiones superiores, este modelo utiliza el interior de la bola unitaria , y las cuerdas de esta n -bola son las líneas hiperbólicas.
El modelo de disco de Poincaré , también conocido como modelo de disco conforme, también emplea el interior del círculo unitario , pero las líneas están representadas por arcos de círculos que son ortogonales al círculo límite, más los diámetros del círculo límite.
El modelo de semiplano de Poincaré toma la mitad del plano euclidiano, delimitada por una línea B del plano, como modelo del plano hiperbólico. La línea B no está incluida en el modelo.
El plano euclidiano puede considerarse un plano con el sistema de coordenadas cartesiano y el eje x se toma como la línea B y el medio plano es la mitad superior ( y > 0) de este plano.
El modelo hiperboloide o modelo de Lorentz emplea un hiperboloide de revolución bidimensional (de dos láminas, pero usando una) incrustado en un espacio de Minkowski tridimensional . Este modelo generalmente se atribuye a Poincaré, pero Reynolds [34] dice que Wilhelm Killing utilizó este modelo en 1885.
El modelo del hemisferio no se utiliza a menudo como modelo en sí mismo, pero funciona como una herramienta útil para visualizar transformaciones entre los otros modelos.
El modelo de hemisferio utiliza la mitad superior de la esfera unitaria :
Las líneas hiperbólicas son semicírculos ortogonales al límite del hemisferio.
El modelo del hemisferio es parte de una esfera de Riemann , y diferentes proyecciones dan diferentes modelos del plano hiperbólico:
Ver más: Conexión entre los modelos (abajo)
En 1966, David Gans propuso un modelo hiperboloide aplanado en la revista American Mathematical Monthly . [35] Es una proyección ortográfica del modelo hiperboloide en el plano xy. Este modelo no se utiliza tan ampliamente como otros modelos pero, sin embargo, es bastante útil para comprender la geometría hiperbólica.
El modelo de banda emplea una porción del plano euclidiano entre dos líneas paralelas. [37] La distancia se conserva a lo largo de una línea que pasa por el centro de la banda. Suponiendo que la banda está dada por , la métrica está dada por .
Todos los modelos describen esencialmente la misma estructura. La diferencia entre ellos es que representan diferentes mapas de coordenadas establecidos en el mismo espacio métrico , es decir, el plano hiperbólico. El rasgo característico del propio plano hiperbólico es que tiene una curvatura gaussiana negativa constante , lo que es indiferente al gráfico de coordenadas utilizado. Las geodésicas son igualmente invariantes: es decir, las geodésicas se asignan a geodésicas bajo transformación de coordenadas. La geometría hiperbólica generalmente se introduce en términos de geodésicas y sus intersecciones en el plano hiperbólico. [38]
Una vez que elegimos un gráfico de coordenadas (uno de los "modelos"), siempre podemos incrustarlo en un espacio euclidiano de la misma dimensión, pero la incrustación claramente no es isométrica (ya que la curvatura del espacio euclidiano es 0). El espacio hiperbólico se puede representar mediante una infinidad de gráficos diferentes; pero las incrustaciones en el espacio euclidiano debido a estos cuatro gráficos específicos muestran algunas características interesantes.
Dado que los cuatro modelos describen el mismo espacio métrico, cada uno puede transformarse en el otro.
Véase, por ejemplo:
Cada isometría ( transformación o movimiento ) del plano hiperbólico respecto de sí mismo puede realizarse como la composición de como máximo tres reflexiones . En un espacio hiperbólico de n dimensiones, podrían ser necesarias hasta n +1 reflexiones. (Esto también es válido para las geometrías euclidiana y esférica, pero la clasificación siguiente es diferente).
Todas las isometrías del plano hiperbólico se pueden clasificar en estas clases:
Las famosas impresiones de MC Escher Circle Limit III y Circle Limit IV ilustran bastante bien el modelo de disco conforme ( modelo de disco de Poincaré ). Las líneas blancas en III no son del todo geodésicas (son hiperciclos ), pero están cerca de ellas. También es posible ver con toda claridad la curvatura negativa del plano hiperbólico, a través de su efecto sobre la suma de ángulos en triángulos y cuadrados.
Por ejemplo, en Circle Limit III cada vértice pertenece a tres triángulos y tres cuadrados. En el plano euclidiano, sus ángulos sumarían 450°; es decir, un círculo y un cuarto. De esto vemos que la suma de los ángulos de un triángulo en el plano hiperbólico debe ser menor que 180°. Otra propiedad visible es el crecimiento exponencial . En Circle Limit III , por ejemplo, se puede ver que el número de peces dentro de una distancia de n del centro aumenta exponencialmente. Los peces tienen un área hiperbólica igual, por lo que el área de una bola de radio n debe aumentar exponencialmente en n .
El arte del crochet se ha utilizado para demostrar planos hiperbólicos (en la foto de arriba), siendo el primero realizado por Daina Taimiņa , [29] cuyo libro Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes ganó el premio Librero/Diagrama 2009 al título más extraño del año . [39]
HyperRogue es un juego roguelike ambientado en varios aspectos del plano hiperbólico .
La geometría hiperbólica no se limita a 2 dimensiones; Existe una geometría hiperbólica para cada número mayor de dimensiones.
El espacio hiperbólico de dimensión n es un caso especial de un espacio simétrico de Riemann de tipo no compacto, ya que es isomorfo al cociente.
El grupo ortogonal O(1, n ) actúa mediante transformaciones que preservan la norma en el espacio de Minkowski R 1, n , y actúa transitivamente sobre el hiperboloide de dos hojas de los vectores de norma 1. Las líneas temporales (es decir, aquellas con tangentes de norma positiva) que pasan por el origen pasan por puntos antípodas en el hiperboloide, por lo que el espacio de tales líneas produce un modelo de n -espacio hiperbólico. El estabilizador de cualquier línea en particular es isomorfo al producto de los grupos ortogonales O( n ) y O(1), donde O( n ) actúa sobre el espacio tangente de un punto en el hiperboloide y O(1) refleja la línea. a través del origen. Muchos de los conceptos elementales de la geometría hiperbólica se pueden describir en términos algebraicos lineales : las trayectorias geodésicas se describen mediante intersecciones con planos que pasan por el origen, los ángulos diédricos entre hiperplanos se pueden describir mediante productos internos de vectores normales y los grupos de reflexión hiperbólica se pueden dar de forma explícita. realizaciones matriciales.
En dimensiones pequeñas, existen isomorfismos excepcionales de grupos de Lie que generan formas adicionales de considerar simetrías de espacios hiperbólicos. Por ejemplo, en la dimensión 2, los isomorfismos SO + (1, 2) ≅ PSL(2, R ) ≅ PSU(1, 1) permiten interpretar el modelo del semiplano superior como el cociente SL(2, R )/SO (2) y el modelo de disco de Poincaré como el cociente SU(1, 1)/U(1) . En ambos casos, los grupos de simetría actúan mediante transformaciones lineales fraccionarias, ya que ambos grupos son los estabilizadores que preservan la orientación en PGL(2, C ) de los respectivos subespacios de la esfera de Riemann. La transformación de Cayley no sólo lleva un modelo del plano hiperbólico al otro, sino que realiza el isomorfismo de grupos de simetría como conjugación en un grupo más grande. En la dimensión 3, la acción lineal fraccionaria de PGL(2, C ) sobre la esfera de Riemann se identifica con la acción sobre el límite conforme del espacio 3 hiperbólico inducida por el isomorfismo O + (1, 3) ≅ PGL(2, C ) . Esto permite estudiar isometrías del espacio tridimensional hiperbólico considerando las propiedades espectrales de matrices complejas representativas. Por ejemplo, las transformaciones parabólicas son conjugadas con traslaciones rígidas en el modelo del semiespacio superior, y son exactamente aquellas transformaciones que pueden representarse mediante matrices triangulares superiores unipotentes .
"Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tūsī, habían hecho la contribución más considerable a esta rama de la geometría cuya importancia llegó a ser completamente reconocida sólo en el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones sobre las propiedades de los cuadrángulos que ellos Consideró suponiendo que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos o obtusos, encarnaba los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas demostraron que varios enunciados geométricos eran equivalentes al postulado euclidiano V. Es extremadamente importante que estos. Los científicos establecieron la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrángulo. Con sus trabajos sobre la teoría de las líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones relevantes de sus homólogos europeos. El primer intento europeo de probar el postulado. En líneas paralelas –realizadas por Witelo, los científicos polacos del siglo XIII, mientras revisaban el Libro de la Óptica de Ibn al-Haytham ( Kitab al-Manazir )– fue sin duda inspirada en fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson , que vivía en el sur de Francia, y por el ya mencionado Alfonso de España, lindan directamente con la demostración de Ibn al-Haytham. Arriba, hemos demostrado que la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi había estimulado los estudios de la teoría de las líneas paralelas tanto de J. Wallis como de G. Saccheri."
le debemos a Lambert el primer desarrollo sistemático de la teoría de las funciones hiperbólicas y, de hecho, nuestra notación actual para estas funciones.
Que el área de un triángulo hiperbólico es proporcional a su defecto angular apareció por primera vez en la monografía de Lambert Theorie der Parallellinien , que se publicó póstumamente en 1786.
De la nada he creado un universo nuevo y extraño. JÁNOS BOLYAI
{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link){{cite book}}: CS1 maint: others (link)