Conjunto hiperbólico

En la teoría de sistemas dinámicos , se dice que un subconjunto Λ de una variedad suave M tiene una estructura hiperbólica con respecto a una función suave f si su fibrado tangente puede dividirse en dos subfibrados invariantes , uno de los cuales se contrae y el otro se expande bajo f , con respecto a alguna métrica de Riemann en M. Una definición análoga se aplica al caso de los flujos .

En el caso especial en que toda la variedad M es hiperbólica, la función f se denomina difeomorfismo de Anosov . La dinámica de f en un conjunto hiperbólico, o dinámica hiperbólica , presenta características de estabilidad estructural local y ha sido muy estudiada, véase Axioma A.

Definición

Sea M una variedad compacta y suave , f : M → M un difeomorfismo , y Df : TM → TM la diferencial de f . Se dice que un subconjunto f -invariante Λ de M es hiperbólico , o que tiene una estructura hiperbólica , si la restricción a Λ del fibrado tangente de M admite una división en una suma de Whitney de dos subfibrados Df -invariantes, llamados fibrado estable y fibrado inestable y denotados E ^s y E ^u . Con respecto a alguna métrica de Riemann sobre M , la restricción de Df a E ^s debe ser una contracción y la restricción de Df a E ^u debe ser una expansión. Por lo tanto, existen constantes 0< λ <1 y c >0 tales que

${\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u}}$

y

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}}$y para todos ${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}}$ ${\displaystyle x\in \Lambda }$

y

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$Para todos y ${\displaystyle v\in E^{s}}$ ${\displaystyle n>0}$

y

${\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$para todos y . ${\displaystyle v\in E^{u}}$ ${\displaystyle n>0}$

Si Λ es hiperbólico, entonces existe una métrica de Riemann para la cual c  = 1; dicha métrica se llama adaptada .

Ejemplos

• El punto de equilibrio hiperbólico p es un punto fijo , o punto de equilibrio, de f , tal que ( Df ) _p no tiene ningún valor propio con valor absoluto 1. En este caso, Λ = { p }.
• De manera más general, una órbita periódica de f con período n es hiperbólica si y sólo si Df ⁿ en cualquier punto de la órbita no tiene ningún valor propio con valor absoluto 1, y es suficiente comprobar esta condición en un solo punto de la órbita.

Referencias

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Reading Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Brin, Michael; Stuck, Garrett (2002). Introducción a los sistemas dinámicos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3.

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