Variedad estable

Formalización de la idea de atractor o repelente en sistemas dinámicos

En matemáticas , y en particular en el estudio de los sistemas dinámicos , la idea de conjuntos estables e inestables o variedades estables e inestables da una definición matemática formal a las nociones generales incorporadas en la idea de atractor o repelente . En el caso de la dinámica hiperbólica , la noción correspondiente es la de conjunto hiperbólico .

Ejemplo de flujo hiperbólico que ilustra variedades estables e inestables. La ecuación del campo vectorial es . La variedad estable es el eje x y la variedad inestable es la otra curva asintótica que cruza el eje x. ${\displaystyle (x+\exp(-y),-y)}$

Ejemplo físico

Las fuerzas de marea gravitatorias que actúan sobre los anillos de Saturno proporcionan un ejemplo físico fácil de visualizar. Las fuerzas de marea aplanan el anillo en el plano ecuatorial, al mismo tiempo que lo estiran en la dirección radial. Si imaginamos que los anillos son partículas de arena o grava ("polvo") en órbita alrededor de Saturno, las fuerzas de marea son tales que cualquier perturbación que empuje a las partículas por encima o por debajo del plano ecuatorial hace que esa partícula sienta una fuerza restauradora que la empuja de nuevo hacia el plano. Las partículas oscilan efectivamente en un pozo armónico, amortiguado por las colisiones. La dirección estable es perpendicular al anillo. La dirección inestable es a lo largo de cualquier radio, donde las fuerzas estiran y separan las partículas. Dos partículas que comienzan muy cerca una de la otra en el espacio de fases experimentarán fuerzas radiales que harán que diverjan, radialmente. Estas fuerzas tienen un exponente de Lyapunov positivo ; las trayectorias se encuentran en una variedad hiperbólica y el movimiento de las partículas es esencialmente caótico , vagando a través de los anillos. La variedad central es tangente a los anillos, y las partículas no experimentan compresión ni estiramiento. Esto permite que predominen las fuerzas gravitacionales de segundo orden, por lo que las partículas pueden ser arrastradas por lunas o lunetas en los anillos, sincronizándose en fase con ellas. Las fuerzas gravitacionales de las lunas proporcionan efectivamente una pequeña patada que se repite regularmente, cada vez que da una vuelta a la órbita, similar a un rotor pateado , como el que se encuentra en un bucle de enganche de fase .

El movimiento discreto de las partículas en el anillo puede aproximarse mediante el mapa de Poincaré . El mapa proporciona efectivamente la matriz de transferencia del sistema. El vector propio asociado con el valor propio más grande de la matriz es el vector propio de Frobenius-Perron , que también es la medida invariante , es decir , la densidad real de las partículas en el anillo. Todos los demás vectores propios de la matriz de transferencia tienen valores propios más pequeños y corresponden a modos de decaimiento.

Definición

A continuación se ofrece una definición para el caso de un sistema que es una función iterada o tiene dinámica de tiempo discreto. Nociones similares se aplican a sistemas cuya evolución temporal está dada por un flujo .

Sea un espacio topológico y un homeomorfismo . Si es un punto fijo para , el conjunto estable de se define por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}}$

y el conjunto inestable de ${\displaystyle p}$ se define por

${\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}$

Aquí, denota la inversa de la función , es decir , donde es el mapa identidad en . ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}}$ ${\displaystyle id_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Si es un punto periódico de menor período , entonces es un punto fijo de , y los conjuntos estable e inestable de están definidos por ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{k}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)}$

y

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).}$

Dado un vecindario de , los conjuntos locales estables e inestables de se definen por ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ for each }}n\geq 0\}}$

y

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).}$

Si es metrizable , podemos definir los conjuntos estables e inestables para cualquier punto mediante ${\displaystyle X}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \}}$

y

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),}$

donde es una métrica para . Esta definición coincide claramente con la anterior cuando es un punto periódico. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$

Supóngase ahora que es una variedad compacta y suave , y es un difeomorfismo , . Si es un punto periódico hiperbólico, el teorema de la variedad estable asegura que para algún entorno de , los conjuntos estables e inestables locales son discos embebidos, cuyos espacios tangentes en son y (los espacios estables e inestables de ), respectivamente; además, varían continuamente (en cierto sentido) en un entorno de en la topología de (el espacio de todos los difeomorfismos de a sí mismo). Finalmente, los conjuntos estables e inestables son discos inyectivamente inmersos. Por eso se les llama comúnmente variedades estables e inestables . Este resultado también es válido para puntos no periódicos, siempre que se encuentren en algún conjunto hiperbólico (teorema de la variedad estable para conjuntos hiperbólicos). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E^{s}}$ ${\displaystyle E^{u}}$ ${\displaystyle Df(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{k}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$

Observación

Si es un espacio vectorial (de dimensión finita) y un isomorfismo, sus conjuntos estables e inestables se denominan espacio estable y espacio inestable, respectivamente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Véase también

• Variedad invariante
• Colector central
• Límite establecido
• Conjunto de Julia
• Colector lento
• Colector inercial
• Variedad invariante normalmente hiperbólica
• Estructura coherente lagrangiana

Referencias

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Reading Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Irwin, Michael C. (2001). "Variedades estables". Smooth Dynamical Systems . World Scientific. págs. 143–160. ISBN 981-02-4599-8.
• Sritharan, SS (1990). Teoría de variedades invariantes para la transición hidrodinámica . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2.

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