Colector central

Concepto matemático

En las matemáticas de sistemas en evolución, el concepto de variedad central se desarrolló originalmente para determinar la estabilidad de los equilibrios degenerados. Posteriormente, se descubrió que el concepto de variedad central era fundamental para el modelado matemático .

Las variedades centrales juegan un papel importante en la teoría de la bifurcación porque en ellas se produce un comportamiento interesante y en las matemáticas multiescala porque la dinámica a largo plazo de la microescala a menudo se ve atraída por una variedad central relativamente simple que involucra las variables de escala gruesa.

Descripción informal

Los anillos de Saturno se encuentran en la variedad central definida por las fuerzas de marea .

Los anillos de Saturno capturan gran parte de la geometría de la variedad central. Las partículas de polvo en los anillos están sujetas a fuerzas de marea , que actúan característicamente para "comprimir y estirar". Las fuerzas comprimen las órbitas de las partículas en los anillos, estiran las partículas a lo largo de los anillos e ignoran pequeños cambios en el radio de los anillos. La dirección de compresión define la variedad estable , la dirección de estiramiento define la variedad inestable y la dirección neutra es la variedad central.

Si bien son geométricamente precisos, una diferencia importante distingue a los anillos de Saturno de una variedad central física. Como la mayoría de los sistemas dinámicos, las partículas en los anillos están regidas por leyes de segundo orden . Para comprender las trayectorias es necesario modelar la posición y una variable de velocidad/momento, para dar una estructura de variedad tangente llamada espacio de fases . Físicamente hablando, las variedades estable, inestable y neutra del sistema de anillos de Saturno no dividen el espacio de coordenadas para la posición de una partícula; en cambio, dividen análogamente el espacio de fases.

La variedad central se comporta típicamente como una colección extendida de puntos de silla . Algunos pares de posición-velocidad son impulsados ​​hacia la variedad central, mientras que otros son arrojados lejos de ella. Pequeñas perturbaciones que generalmente los empujan aleatoriamente y a menudo los expulsan de la variedad central. Sin embargo, existen contraejemplos dramáticos de inestabilidad en la variedad central, llamados estructuras coherentes lagrangianas . Toda la dinámica de cuerpo rígido no forzado de una pelota es una variedad central. ^[1]

Un ejemplo mucho más sofisticado es el flujo de Anosov sobre fibrados tangentes de superficies de Riemann. En ese caso, el espacio tangente se divide de forma muy explícita y precisa en tres partes: los fibrados inestables y estables, con la variedad neutra encajada entre ellos.

Definición

Variedades central (roja) e inestable (verde) del punto de equilibrio del nodo-silla del sistema . ${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=y}$

Los puntos seleccionados aleatoriamente del espacio de fases 2D convergen exponencialmente a una variedad central 1D en la que la dinámica es lenta (no exponencial). El estudio de la dinámica de la variedad central determina la estabilidad del punto fijo no hiperbólico en el origen.

La variedad central de un sistema dinámico se basa en un punto de equilibrio de ese sistema. Una variedad central del equilibrio consiste entonces en aquellas órbitas cercanas que ni decaen ni crecen exponencialmente rápido.

Matemáticamente, el primer paso al estudiar los puntos de equilibrio de los sistemas dinámicos es linealizar el sistema y luego calcular sus valores propios y vectores propios . Los vectores propios (y vectores propios generalizados si existen) correspondientes a valores propios con parte real negativa forman una base para el espacio propio estable . Los vectores propios (generalizados) correspondientes a valores propios con parte real positiva forman el espacio propio inestable.

Algebraicamente, sea un sistema dinámico , linealizado respecto del punto de equilibrio x ^* . La matriz jacobiana ( D f )( x ^* ) define tres subespacios principales: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )\approx ({\mathcal {D}}\mathbf {f} )(\mathbf {x} ^{*})\mathbf {x} }$$

• el subespacio central, abarcado por vectores propios generalizados cuyos valores propios satisfacen (de manera más general, ^[2] ); ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda =0}$ ${\displaystyle |\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha }$
• el subespacio estable, abarcado por vectores propios generalizados cuyos valores propios satisfacen (de manera más general, ); ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda <0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha }$
• el subespacio inestable, abarcado por los vectores propios generalizados cuyos valores propios satisfacen (de forma más general, ). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda >0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha }$

Dependiendo de la aplicación, pueden ser de interés otros subespacios invariantes de la ecuación linealizada, incluidos los subespacios centro-estable, centro-inestable, subcentro, lentos y rápidos.

Si el punto de equilibrio es hiperbólico (es decir, todos los valores propios de la linealización tienen una parte real distinta de cero), entonces el teorema de Hartman-Grobman garantiza que estos valores propios y vectores propios caracterizan completamente la dinámica del sistema cerca del equilibrio. Sin embargo, si el equilibrio tiene valores propios cuya parte real es cero, entonces los vectores propios correspondientes (generalizados) forman el espacio propio central . Yendo más allá de la linealización, cuando tenemos en cuenta las perturbaciones por no linealidad o forzamiento en el sistema dinámico, el espacio propio central se deforma hacia la variedad central cercana. ^[3]

Si los valores propios son exactamente cero (como lo son para la pelota), en lugar de que solo la parte real sea cero, entonces el espacio propio correspondiente da lugar más específicamente a una variedad lenta . El comportamiento en la variedad central (lenta) generalmente no está determinado por la linealización y, por lo tanto, puede ser difícil de construir.

De manera análoga, la no linealidad o forzamiento en el sistema perturba los espacios propios estables e inestables a una variedad estable cercana y una variedad inestable cercana . ^[4] Estos tres tipos de variedades son tres casos de una variedad invariante .

En correspondencia con el sistema linealizado, el sistema no lineal tiene variedades invariantes , cada una de las cuales consiste en conjuntos de órbitas del sistema no lineal. ^[5]

• Una variedad invariante tangente al subespacio estable y con la misma dimensión es la variedad estable .
• La variedad inestable es de la misma dimensión y tangente al subespacio inestable.
• Una variedad central tiene la misma dimensión y es tangente al subespacio central. Si, como es habitual, los valores propios del subespacio central son todos exactamente cero, en lugar de solo cero en la parte real, entonces una variedad central suele denominarse variedad lenta .

Teoremas de la variedad central

El teorema de existencia de la variedad central establece que si la función del lado derecho es ( veces continuamente diferenciable), entonces en cada punto de equilibrio existe un vecindario de un tamaño finito en el que hay al menos uno de ^[6] ${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {x}})}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle r}$

• Un colector estable único , ${\displaystyle C^{r}}$
• una variedad inestable única , ${\displaystyle C^{r}}$
• y un colector central (no necesariamente único) . ${\displaystyle C^{r-1}}$

En aplicaciones de ejemplo, una transformación de coordenadas no lineal a una forma normal puede separar claramente estas tres variedades. ^[7]

En el caso en que no exista la variedad inestable, las variedades centrales suelen ser relevantes para el modelado. El teorema de emergencia de la variedad central dice entonces que el vecindario puede elegirse de modo que todas las soluciones del sistema que permanezcan en el vecindario tiendan exponencialmente rápido a alguna solución en la variedad central; en fórmulas, para alguna tasa β . ^[8] Este teorema afirma que para una amplia variedad de condiciones iniciales las soluciones del sistema completo decaen exponencialmente rápido a una solución en la variedad central de dimensión relativamente baja. ${\displaystyle {\textbf {y}}(t)}$ $${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {y} (t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta t})\quad {\text{ as }}\quad t\to \infty }$$

Un tercer teorema, el teorema de aproximación, afirma que si una expresión aproximada para tales variedades invariantes, digamos , satisface la ecuación diferencial para el sistema con residuos como , entonces la variedad invariante se aproxima mediante a un error del mismo orden, es decir . ${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$ ${\displaystyle {\textbf {s}}\to {\textbf {0}}}$ ${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$

Variedades centrales de sistemas de dimensión infinita o no autónomos

Sin embargo, algunas aplicaciones, como la dispersión en tubos o canales, requieren una variedad central de dimensión infinita. ^[9] La teoría más general y poderosa fue desarrollada por Aulbach y Wanner. ^{[10] [11] [12]} Abordaron sistemas dinámicos no autónomos en dimensiones infinitas, con variedades estables, inestables y centrales potencialmente de dimensión infinita. Además, generalizaron útilmente la definición de las variedades de modo que la variedad central está asociada con valores propios tales que , la variedad estable con valores propios y la variedad inestable con valores propios . Probaron la existencia de estas variedades y la aparición de una variedad central mediante transformadas de coordenadas no lineales. ${\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)}$ ${\displaystyle |\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha }$

Potzsche y Rasmussen establecieron un teorema de aproximación correspondiente para tales sistemas no autónomos de dimensión infinita. ^[13]

Teoría alternativa al revés

Toda la teoría existente mencionada anteriormente busca establecer propiedades de variedad invariante de un problema específico dado. En particular, se construye una variedad que se aproxima a una variedad invariante del sistema dado. Un enfoque alternativo es construir variedades invariantes exactas para un sistema que se aproxima al sistema dado, lo que se denomina teoría inversa. El objetivo es aplicar la teoría de manera útil a una gama más amplia de sistemas y estimar errores y tamaños del dominio de validez. ^{[14] [15]}

Este enfoque es similar al análisis de errores hacia atrás bien establecido en el modelado numérico.

Variedad central y análisis de sistemas no lineales

Como la estabilidad del equilibrio se correlaciona con la "estabilidad" de sus variedades, la existencia de una variedad central plantea la cuestión de la dinámica en la variedad central. Esto se analiza mediante la reducción de la variedad central, que, en combinación con algún parámetro del sistema μ, conduce a los conceptos de bifurcaciones .

Ejemplos

La entrada de Wikipedia sobre variedades lentas ofrece más ejemplos.

Un ejemplo sencillo

Considere el sistema

${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.}$

La variedad inestable en el origen es el eje y , y la variedad estable es el conjunto trivial {(0, 0)}. Cualquier órbita que no esté en la variedad estable satisface una ecuación de la forma para alguna constante real A . De ello se deduce que para cualquier A real , podemos crear una variedad central juntando la curva para x  > 0 con el eje x negativo (incluido el origen). ^[16] Además, todas las variedades centrales tienen esta no unicidad potencial, aunque a menudo la no unicidad solo ocurre en valores complejos no físicos de las variables. ${\displaystyle y=Ae^{-1/x}}$ ${\displaystyle y=Ae^{-1/x}}$

Las ecuaciones diferenciales de retardo a menudo tienen bifurcaciones de Hopf

Otro ejemplo muestra cómo una variedad central modela la bifurcación de Hopf que ocurre para el parámetro en la ecuación diferencial de retardo . Estrictamente, el retardo hace que esta ED sea de dimensión infinita. ${\displaystyle a\approx 4}$ ${\displaystyle {dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}}$

Afortunadamente, podemos aproximarnos a dichos retrasos con el siguiente truco que mantiene la dimensionalidad finita. Defina y aproxime la variable con retraso temporal, , utilizando los intermediarios y . ${\displaystyle u_{1}(t)=x(t)}$ ${\displaystyle x(t-1)\approx u_{3}(t)}$ ${\displaystyle {du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})}$ ${\displaystyle {du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})}$

Para el parámetro cercano al crítico, , la ecuación diferencial de retardo se aproxima entonces mediante el sistema ${\displaystyle a=4+\alpha }$

${\displaystyle {\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].}$

En términos de una amplitud compleja y su conjugado complejo , la variedad central es ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle {\bar {s}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})}$

y la evolución en el colector central es

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})}$

Esta evolución muestra que el origen es linealmente inestable para , pero la no linealidad cúbica estabiliza los ciclos límite cercanos como en la bifurcación de Hopf clásica . ${\displaystyle \alpha >0\ (a>4)}$

Véase también

• Variedad invariante
• Variedad estable
• Estructura coherente lagrangiana
• Variedad invariante normalmente hiperbólica

Notas

1. Roberts, AJ (1993). "La variedad invariante de deformaciones de vigas. Parte 1: la varilla circular simple". J. Elast . 30 : 1–54. doi :10.1007/BF00041769. S2CID  123743932.
2. Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "El teorema de Hartman-Grobman para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". Análisis no lineal . 40 (1–8): 91–104. doi :10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
3. Carr, Jack (1981). Aplicaciones de la teoría de variedades centrales . Applied Mathematical Sciences. Vol. 35. Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-5929-9. ISBN . 978-0-387-90577-8.
4. Kelley, A. (1967). "Las variedades estable, centro-estable, centro, centro-inestable e inestable". J. Differential Equations . 3 (4): 546–570. Bibcode :1967JDE.....3..546K. doi : 10.1016/0022-0396(67)90016-2 .
5. Guckenheimer y Holmes (1997), sección 3.2
6. Guckenheimer y Holmes (1997), Teorema 3.2.1
7. Murdock, James (2003). Formas normales y desdoblamientos para sistemas dinámicos locales . Springer-Verlag .
8. Iooss, G.; Adelmeyer, M. (1992). Temas de teoría de la bifurcación . pág. 7.
9. Roberts, AJ (1988). "La aplicación de la teoría de variedades centrales a la evolución de sistemas que varían lentamente en el espacio". J. Austral. Math. Soc . B. 29 (4): 480–500. doi : 10.1017/S0334270000005968 .
10. Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Variedades integrales para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". En Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). Six Lectures on Dynamical Systems . Singapur: World Scientific. págs. 45–119. ISBN 9789810225483.
11. Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Foliaciones invariantes para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". En Lakshmikantham, V.; Martynyuk, AA (eds.). Avances de la teoría de la estabilidad a fines del siglo XX . Gordon & Breach.
12. Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "El teorema de Hartman-Grobman para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". Análisis no lineal . 40 (1–8): 91–104. doi :10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
13. Potzsche, C.; Rasmussen, M. (2006). "Aproximación de Taylor de variedades integrales". Journal of Dynamics and Differential Equations . 18 (2): 427–460. Bibcode :2006JDDE...18..427P. doi :10.1007/s10884-006-9011-8. S2CID  59366945.
14. Roberts, AJ (2019). "La teoría inversa apoya el modelado a través de variedades invariantes para sistemas dinámicos no autónomos". arXiv : 1804.06998 [math.DS].
15. Hochs, Peter; Roberts, AJ (2019). "Formas normales y variedades invariantes para ecuaciones diferenciales parciales no lineales y no autónomas, vistas como ecuaciones diferenciales ordinarias en dimensiones infinitas". J. Differential Equations . 267 (12): 7263–7312. arXiv : 1906.04420 . Bibcode :2019JDE...267.7263H. doi :10.1016/j.jde.2019.07.021. S2CID  184487247.
16. Chicone 2010, pág. 344.

Lectura adicional

• Jack Carr (ed.). "Variedad central". Scholarpedia .
• Chicone, Carmen (2010). Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones . Textos de matemáticas aplicadas (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-35794-2.
• Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1997), Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales , Applied Mathematical Sciences, vol. 42, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90819-9, quinta impresión corregida.

Enlaces externos

• Servicios web en línea para extraer variedades centrales de un sistema específico mediante álgebra computacional:
  • Un servicio sencillo para construir colectores centrales para sistemas autónomos
  • Un servicio más complicado para convertir un sistema ODE específico a una forma normal