El cálculo es el estudio matemático del cambio continuo, de la misma manera que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de operaciones aritméticas .
Originalmente llamado cálculo infinitesimal o "el cálculo de los infinitesimales ", tiene dos grandes ramas, el cálculo diferencial y el cálculo integral . El primero se refiere a tasas de cambio instantáneas y las pendientes de las curvas , mientras que el segundo se refiere a la acumulación de cantidades y áreas bajo o entre curvas. Estas dos ramas están relacionadas entre sí por el teorema fundamental del cálculo , y hacen uso de las nociones fundamentales de convergencia de sucesiones infinitas y series infinitas hasta un límite bien definido . [1]
El cálculo infinitesimal fue desarrollado de forma independiente a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz . [2] [3] Trabajos posteriores, incluida la codificación de la idea de límites , colocaron estos desarrollos sobre una base conceptual más sólida. Hoy en día, el cálculo tiene usos generalizados en la ciencia , la ingeniería y las ciencias sociales . [4]
En educación matemática , cálculo denota cursos de análisis matemático elemental , que se dedican principalmente al estudio de funciones y límites. La palabra cálculo en latín significa "pequeño guijarro" (el diminutivo de calx, que significa "piedra"), significado que aún persiste en la medicina . Debido a que tales guijarros se usaban para contar distancias, [5] contar votos y hacer aritmética con ábaco , la palabra pasó a significar un método de cálculo. En este sentido, se utilizó en inglés al menos ya en 1672, varios años antes de las publicaciones de Leibniz y Newton. [6]
Además de cálculo diferencial y cálculo integral, el término también se utiliza para nombrar métodos de cálculo específicos y teorías relacionadas que buscan modelar un concepto particular en términos de matemáticas. Ejemplos de esta convención incluyen cálculo proposicional , cálculo de Ricci , cálculo de variaciones , cálculo lambda , cálculo secuencial y cálculo de procesos . Además, el término "cálculo" se ha aplicado de diversas formas en ética y filosofía, para sistemas como el cálculo feliz de Bentham y el cálculo ético .
El cálculo moderno fue desarrollado en la Europa del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (de forma independiente, publicándose por primera vez aproximadamente al mismo tiempo), pero algunos elementos aparecieron por primera vez en el antiguo Egipto y más tarde en Grecia, luego en China y Oriente Medio. y aún más tarde en la Europa medieval y la India.
Los cálculos de volumen y área , uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiro egipcio de Moscú ( c. 1820 a. C.), pero las fórmulas son instrucciones simples, sin indicación de cómo se obtuvieron. [7] [8]
Sentando las bases para el cálculo integral y presagiando el concepto de límite, el antiguo matemático griego Eudoxo de Cnido ( c. 390 – 337 a. C.) desarrolló el método de agotamiento para probar las fórmulas de los volúmenes de conos y pirámides.
Durante el período helenístico , este método fue desarrollado aún más por Arquímedes ( c. 287 – c. 212 a. C. ), quien lo combinó con un concepto de indivisibles , un precursor de los infinitesimales , que le permitió resolver varios problemas que ahora se tratan mediante el cálculo integral. En El método de los teoremas mecánicos describe, por ejemplo, el cálculo del centro de gravedad de un hemisferio sólido , el centro de gravedad de un tronco de paraboloide circular y el área de una región delimitada por una parábola y una de sus rectas secantes. . [9]
El método de agotamiento fue descubierto más tarde de forma independiente en China por Liu Hui en el siglo III d.C. para encontrar el área de un círculo. [10] [11] En el siglo V d.C., Zu Gengzhi , hijo de Zu Chongzhi , estableció un método [12] [13] que luego se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera .
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En Oriente Medio, Hasan Ibn al-Haytham , latinizado como Alhazen ( c. 965 – c. 1040 d. C.) derivó una fórmula para la suma de los cuartos poderes . Usó los resultados para realizar lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide . [14]
La evidencia sugiere que Bhaskara estaba familiarizado con algunas ideas de cálculo diferencial. [15] Bhaskara también profundiza en el 'cálculo diferencial' y sugiere que el coeficiente diferencial desaparece en un valor extremo de la función, lo que indica conocimiento del concepto de ' infinitésimos '. [16] Hay evidencia de una forma temprana del teorema de Rolle en su trabajo. La formulación moderna del teorema de Rolle establece que si , entonces para algunos con . En este trabajo astronómico, dio un procedimiento que parecía un precursor de los métodos infinitesimales. En términos de eso, es si, entonces es una derivada del seno, aunque no desarrolló la noción de derivada. [17] En el siglo XIV, los matemáticos indios dieron un método no riguroso, parecido a la diferenciación, aplicable a algunas funciones trigonométricas. Madhava de Sangamagrama y la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala establecieron así los componentes del cálculo. Una teoría completa que abarca estos componentes es ahora bien conocida en el mundo occidental como la serie de Taylor o aproximaciones de series infinitas . [18] [19] Según Victor J. Katz, no pudieron "combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la gran solución de problemas". herramienta que tenemos hoy". [14]
La obra Stereometrica Doliorum de Johannes Kepler formó la base del cálculo integral. [20] Kepler desarrolló un método para calcular el área de una elipse sumando las longitudes de muchos radios extraídos de un foco de la elipse. [21]
Una obra importante fue un tratado, cuyo origen fueron los métodos de Kepler, [21] escrito por Bonaventura Cavalieri , quien sostenía que los volúmenes y las áreas debían calcularse como sumas de los volúmenes y áreas de secciones transversales infinitamente delgadas. Las ideas eran similares a las de Arquímedes en El método , pero se cree que este tratado se perdió en el siglo XIII y no fue redescubierto hasta principios del siglo XX, por lo que Cavalieri no lo habría conocido. El trabajo de Cavalieri no fue muy respetado ya que sus métodos podían conducir a resultados erróneos y las cantidades infinitesimales que introdujo eran de mala reputación al principio.
El estudio formal del cálculo unió los infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa aproximadamente al mismo tiempo. Pierre de Fermat , alegando que había tomado prestado de Diofanto , introdujo el concepto de desigualdad , que representaba la igualdad hasta un término de error infinitesimal. [22] La combinación fue lograda por John Wallis , Isaac Barrow y James Gregory , estos dos últimos predecesores del segundo teorema fundamental del cálculo alrededor de 1670. [23] [24]
La regla del producto y la regla de la cadena , [25] las nociones de derivadas superiores y series de Taylor , [26] y de funciones analíticas [27] fueron utilizadas por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que aplicó para resolver problemas de física matemática . En sus obras, Newton reformuló sus ideas para adaptarlas al lenguaje matemático de la época, reemplazando los cálculos con infinitesimales por argumentos geométricos equivalentes que se consideraban irreprochables. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido en rotación, el achatamiento de la Tierra, el movimiento de un peso que se desliza sobre una cicloide y muchos otros problemas discutidos en sus Principia Mathematica ( 1687). En otro trabajo, desarrolló expansiones en serie para funciones, incluidas potencias fraccionarias e irracionales, y quedó claro que entendía los principios de la serie de Taylor . No publicó todos estos descubrimientos y en aquella época los métodos infinitesimales todavía se consideraban de mala reputación. [28]
Estas ideas fueron organizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz , quien originalmente fue acusado de plagio por Newton. [29] Ahora se le considera un inventor independiente y colaborador del cálculo. Su contribución fue proporcionar un conjunto claro de reglas para trabajar con cantidades infinitesimales, permitiendo el cálculo de segundas derivadas y superiores, y proporcionando la regla del producto y la regla de la cadena , en sus formas diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz puso un gran esfuerzo en la elección de la notación. [30]
Hoy en día, se suele dar crédito a Leibniz y Newton por haber inventado y desarrollado el cálculo de forma independiente. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general . Leibniz desarrolló gran parte de la notación que se utiliza hoy en día en el cálculo. [31] : 51–52 Las ideas básicas que proporcionaron tanto Newton como Leibniz fueron las leyes de diferenciación e integración, enfatizando que la diferenciación y la integración son procesos inversos, segundas derivadas y superiores, y la noción de una serie polinomial aproximada.
Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, hubo una gran controversia sobre qué matemático (y por tanto qué país) merecía el crédito. Newton obtuvo sus resultados primero (que luego se publicaron en su Método de fluxiones ), pero Leibniz publicó primero su " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ". Newton afirmó que Leibniz robó ideas de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la Royal Society . Esta controversia dividió durante muchos años a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos de Europa continental, en detrimento de las matemáticas inglesas. [32] Un examen cuidadoso de los artículos de Leibniz y Newton muestra que llegaron a sus resultados de forma independiente: Leibniz comenzó primero con la integración y Newton con la diferenciación. Sin embargo, fue Leibniz quien dio nombre a la nueva disciplina. Newton llamó a su cálculo " la ciencia de las fluxiones ", término que perduró en las escuelas inglesas hasta el siglo XIX. [33] : 100 El primer tratado completo sobre cálculo escrito en inglés y que utiliza la notación de Leibniz no se publicó hasta 1815. [34]
Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al continuo desarrollo del cálculo. Una de las primeras y más completas obras sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrita en 1748 por Maria Gaetana Agnesi . [35] [36]
En cálculo, fundamentos se refiere al desarrollo riguroso de la materia a partir de axiomas y definiciones. En los primeros cálculos, el uso de cantidades infinitesimales se consideraba poco riguroso y fue ferozmente criticado por varios autores, sobre todo Michel Rolle y el obispo Berkeley . Berkeley describió los infinitesimales como los fantasmas de cantidades desaparecidas en su libro The Analyst en 1734. Elaborar una base rigurosa para el cálculo ocupó a los matemáticos durante gran parte del siglo posterior a Newton y Leibniz, y hasta cierto punto sigue siendo un área activa de investigación en la actualidad. [37]
Varios matemáticos, entre ellos Maclaurin , intentaron demostrar la solidez del uso de infinitesimales, pero no sería hasta 150 años después cuando, gracias al trabajo de Cauchy y Weierstrass , finalmente se encontró una manera de evitar meras "nociones" de cantidades infinitamente pequeñas. . [38] Se habían sentado las bases del cálculo diferencial e integral. En el Cours d'Analyse de Cauchy , encontramos una amplia gama de enfoques fundamentales, incluida una definición de continuidad en términos de infinitesimales y un prototipo (algo impreciso) de una definición (ε, δ) de límite en la definición de diferenciación. [39] En su trabajo, Weierstrass formalizó el concepto de límite y eliminó los infinitesimales (aunque su definición puede validar los infinitesimales nilcuadrados ). Siguiendo el trabajo de Weierstrass, eventualmente se volvió común basar el cálculo en límites en lugar de cantidades infinitesimales, aunque el tema todavía se llama ocasionalmente "cálculo infinitesimal". Bernhard Riemann utilizó estas ideas para dar una definición precisa de la integral. [40] También fue durante este período que las ideas del cálculo se generalizaron al plano complejo con el desarrollo del análisis complejo . [41]
En las matemáticas modernas, los fundamentos del cálculo se incluyen en el campo del análisis real , que contiene definiciones completas y demostraciones de los teoremas del cálculo. El alcance del cálculo también se ha ampliado enormemente. Henri Lebesgue inventó la teoría de la medida , basada en desarrollos anteriores de Émile Borel , y la utilizó para definir integrales de todas las funciones excepto las más patológicas . [42] Laurent Schwartz introdujo las distribuciones , que pueden usarse para tomar la derivada de cualquier función. [43]
Los límites no son el único enfoque riguroso para los fundamentos del cálculo. Otra forma es utilizar el análisis no estándar de Abraham Robinson . El enfoque de Robinson, desarrollado en la década de 1960, utiliza maquinaria técnica de la lógica matemática para aumentar el sistema de números reales con números infinitesimales e infinitos , como en la concepción original de Newton-Leibniz. Los números resultantes se denominan números hiperreales y pueden utilizarse para dar un desarrollo similar al de Leibniz de las reglas habituales del cálculo. [44] También existe un análisis infinitesimal fluido , que se diferencia del análisis no estándar en que exige descuidar los infinitesimales de mayor potencia durante las derivaciones. [37] Basado en las ideas de FW Lawvere y empleando los métodos de la teoría de categorías , el análisis infinitesimal fluido considera que todas las funciones son continuas e incapaces de expresarse en términos de entidades discretas . Un aspecto de esta formulación es que la ley del tercero excluido no se cumple. [37] La ley del tercero excluido también se rechaza en las matemáticas constructivas , una rama de las matemáticas que insiste en que las pruebas de la existencia de un número, función u otro objeto matemático deben dar una construcción del objeto. Las reformulaciones del cálculo en un marco constructivo generalmente forman parte del tema del análisis constructivo . [37]
Si bien muchas de las ideas del cálculo se habían desarrollado anteriormente en Grecia , China , India , Irak, Persia y Japón , el uso del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando Newton y Leibniz se basaron en el trabajo de matemáticos anteriores para presentar sus principios básicos. [11] [28] [45] El erudito húngaro John von Neumann escribió sobre este trabajo,
El cálculo fue el primer logro de las matemáticas modernas y es difícil sobreestimar su importancia. Creo que define más inequívocamente que cualquier otra cosa el inicio de las matemáticas modernas, y el sistema de análisis matemático, que es su desarrollo lógico, todavía constituye el mayor avance técnico en el pensamiento exacto. [46]
Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos que involucran velocidad y aceleración , la pendiente de una curva y optimización . [47] : 341–453 Las aplicaciones del cálculo integral incluyen cálculos que involucran área, volumen , longitud de arco , centro de masa , trabajo y presión . [47] : 685–700 Las aplicaciones más avanzadas incluyen series de potencias y series de Fourier .
El cálculo también se utiliza para obtener una comprensión más precisa de la naturaleza del espacio, el tiempo y el movimiento. Durante siglos, matemáticos y filósofos lucharon con paradojas relacionadas con la división por cero o sumas de infinitos números. Estas preguntas surgen en el estudio del movimiento y el área. El antiguo filósofo griego Zenón de Elea dio varios ejemplos famosos de tales paradojas . El cálculo proporciona herramientas, especialmente el límite y las series infinitas , que resuelven las paradojas. [48]
El cálculo suele desarrollarse trabajando con cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método para hacerlo fue mediante infinitesimales . Se trata de objetos que pueden tratarse como números reales pero que son, en cierto sentido, "infinitamente pequeños". Por ejemplo, un número infinitesimal podría ser mayor que 0, pero menor que cualquier número de la secuencia 1, 1/2, 1/3,... y por tanto menor que cualquier número real positivo . Desde este punto de vista, el cálculo es un conjunto de técnicas para manipular infinitesimales. Los símbolos y se tomaron como infinitesimales y la derivada era su proporción. [37]
El enfoque infinitesimal cayó en desgracia en el siglo XIX porque era difícil hacer precisa la noción de infinitesimal. A finales del siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados dentro del mundo académico por el enfoque épsilon o delta de los límites . Los límites describen el comportamiento de una función en una determinada entrada en términos de sus valores en entradas cercanas. Captan el comportamiento a pequeña escala utilizando la estructura intrínseca del sistema de números reales (como un espacio métrico con la propiedad de límite superior mínimo ). En este tratamiento, el cálculo es un conjunto de técnicas para manipular ciertos límites. Los infinitesimales son reemplazados por secuencias de números cada vez más pequeños, y el comportamiento infinitamente pequeño de una función se encuentra tomando el comportamiento límite de estas secuencias. Se pensaba que los límites proporcionaban una base más rigurosa para el cálculo y, por esta razón, se convirtieron en el enfoque estándar durante el siglo XX. Sin embargo, el concepto infinitesimal revivió en el siglo XX con la introducción del análisis no estándar y el análisis infinitesimal fluido , que proporcionaron bases sólidas para la manipulación de los infinitesimales. [37]
El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación . Dada una función y un punto en el dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña escala de la función cerca de ese punto. Al encontrar la derivada de una función en cada punto de su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función derivada o simplemente derivada de la función original. En términos formales, la derivada es un operador lineal que toma una función como entrada y produce una segunda función como salida. Esto es más abstracto que muchos de los procesos estudiados en álgebra elemental, donde las funciones generalmente ingresan un número y generan otro número. Por ejemplo, si a la función de duplicación se le da la entrada tres, entonces genera seis, y si a la función de cuadratura se le da la entrada tres, entonces genera nueve. La derivada, sin embargo, puede tomar la función de elevar al cuadrado como entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información de la función de elevar al cuadrado (por ejemplo, que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, etc.) y utiliza esta información para producir otra función. La función que se obtiene al derivar la función de elevar al cuadrado resulta ser la función de duplicación. [31] : 32
En términos más explícitos, la "función de duplicación" puede denotarse por g ( x ) = 2 x y la "función de cuadratura" por f ( x ) = x 2 . La "derivada" ahora toma la función f ( x ) , definida por la expresión " x 2 ", como entrada, es decir, toda la información, como que dos se envían a cuatro, tres se envían a nueve, cuatro se envían a dieciséis, y así sucesivamente, y utiliza esta información para generar otra función, la función g ( x ) = 2 x , como resultará.
En la notación de Lagrange , el símbolo de una derivada es una marca parecida a un apóstrofo llamada prima . Por lo tanto, la derivada de una función llamada f se denota por f′ , que se pronuncia "f prima" o "f guión". Por ejemplo, si f ( x ) = x 2 es la función de elevar al cuadrado, entonces f′ ( x ) = 2 x es su derivada (la función de duplicación g vista arriba).
Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si f es una función que toma el tiempo como entrada y da como salida la posición de una pelota en ese momento, entonces la derivada de f es cómo cambia la posición en el tiempo, es decir, es la velocidad de la pelota. . [31] : 18-20
Si una función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función se puede escribir como y = mx + b , donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente, b es la y -interceptar, y:
Esto da un valor exacto de la pendiente de una línea recta. [49] : 6 Sin embargo, si la gráfica de la función no es una línea recta, entonces el cambio en y dividido por el cambio en x varía. Los derivados dan un significado exacto a la noción de cambio en la producción en relación con el cambio en los insumos. Para ser concretos, sea f una función y fije un punto a en el dominio de f . ( a , f ( a )) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a a . Por lo tanto, ( a + h , f ( a + h )) está cerca de ( a , f ( a )) . La pendiente entre estos dos puntos es
Esta expresión se llama cociente de diferencias . Una recta que pasa por dos puntos de una curva se llama recta secante , por lo que m es la pendiente de la recta secante entre ( a , f ( a )) y ( a + h , f ( a + h )) . La segunda línea es sólo una aproximación al comportamiento de la función en el punto a porque no explica lo que sucede entre a y a + h . No es posible descubrir el comportamiento en a estableciendo h en cero porque esto requeriría dividir por cero , que no está definido. La derivada se define tomando el límite cuando h tiende a cero, lo que significa que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de h y extrae un valor consistente para el caso en que h es igual a cero:
Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a . La recta tangente es un límite de rectas secantes al igual que la derivada es un límite de cocientes de diferencias. Por esta razón, a la derivada a veces se le llama pendiente de la función f . [49] : 61–63
Aquí hay un ejemplo particular, la derivada de la función de elevación al cuadrado en la entrada 3. Sea f ( x ) = x 2 la función de elevación al cuadrado.
La pendiente de la recta tangente a la función cuadrada en el punto (3, 9) es 6, es decir, sube seis veces más rápido que hacia la derecha. El proceso límite que se acaba de describir se puede realizar para cualquier punto en el dominio de la función de elevación al cuadrado. Esto define la función derivada de la función elevado al cuadrado o simplemente la derivada de la función elevado al cuadrado, para abreviar. Un cálculo similar al anterior muestra que la derivada de la función de elevación al cuadrado es la función de duplicación. [49] : 63
Una notación común, introducida por Leibniz, para la derivada en el ejemplo anterior es
En un enfoque basado en límites, el símbolody/dxdebe interpretarse no como el cociente de dos números sino como una abreviatura del límite calculado anteriormente. [49] : 74 Leibniz, sin embargo, pretendía que representara el cociente de dos números infinitamente pequeños, siendo dy el cambio infinitamente pequeño en y causado por un cambio infinitamente pequeño dx aplicado a x . También podemos pensar end/dxcomo operador de diferenciación, que toma una función como entrada y da otra función, la derivada, como salida. Por ejemplo:
En este uso, el dx en el denominador se lee "con respecto a x ". [49] : 79 Otro ejemplo de notación correcta podría ser:
Incluso cuando el cálculo se desarrolla utilizando límites en lugar de infinitesimales, es común manipular símbolos como dx y dy como si fueran números reales; aunque es posible evitar tales manipulaciones, a veces son notariamente convenientes para expresar operaciones como la derivada total .
El cálculo integral es el estudio de las definiciones, propiedades y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida . El proceso de encontrar el valor de una integral se llama integración . [47] : 508 La integral indefinida, también conocida como antiderivada , es la operación inversa a la derivada. [49] : 163-165 F es una integral indefinida de f cuando f es una derivada de F . (Este uso de letras minúsculas y mayúsculas para una función y su integral indefinida es común en cálculo). La integral definida ingresa una función y genera un número, lo que da la suma algebraica de áreas entre la gráfica de la entrada y la eje x . La definición técnica de integral definida implica el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamada suma de Riemann . [50] : 282
Un ejemplo motivador es la distancia recorrida en un tiempo determinado. [49] : 153 Si la velocidad es constante, sólo se necesita la multiplicación:
Pero si la velocidad cambia, se necesita un método más potente para encontrar la distancia. Uno de esos métodos consiste en aproximar la distancia recorrida dividiendo el tiempo en muchos intervalos cortos, luego multiplicando el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades de ese intervalo y luego tomando la suma (una suma de Riemann ) de las distancia aproximada recorrida en cada intervalo. La idea básica es que si transcurre poco tiempo, la velocidad seguirá siendo más o menos la misma. Sin embargo, una suma de Riemann sólo da una aproximación de la distancia recorrida. Debemos tomar el límite de todas esas sumas de Riemann para encontrar la distancia exacta recorrida.
Cuando la velocidad es constante, la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo dado se puede calcular multiplicando la velocidad y el tiempo. Por ejemplo, viajar a una velocidad constante de 50 mph durante 3 horas da como resultado una distancia total de 150 millas. Al trazar la velocidad en función del tiempo se obtiene un rectángulo con una altura igual a la velocidad y un ancho igual al tiempo transcurrido. Por lo tanto, el producto de la velocidad y el tiempo también calcula el área rectangular bajo la curva de velocidad (constante). [47] : 535 Esta conexión entre el área bajo una curva y la distancia recorrida se puede extender a cualquier región de forma irregular que exhiba una velocidad fluctuante durante un período determinado. Si f ( x ) representa la velocidad a medida que varía con el tiempo, la distancia recorrida entre los tiempos representados por a y b es el área de la región entre f ( x ) y el eje x , entre x = a y x = b .
Para aproximar esa área, un método intuitivo sería dividir la distancia entre a y b en varios segmentos iguales, la longitud de cada segmento representada por el símbolo Δ x . Para cada segmento pequeño, podemos elegir un valor de la función f ( x ) . Llame a ese valor h . Entonces el área del rectángulo con base Δ x y altura h da la distancia (tiempo Δ x multiplicado por la velocidad h ) recorrida en ese segmento. Asociado con cada segmento está el valor promedio de la función que está encima de él, f ( x ) = h . La suma de todos esos rectángulos da una aproximación del área entre el eje y la curva, que es una aproximación de la distancia total recorrida. Un valor más pequeño para Δ x dará más rectángulos y en la mayoría de los casos una mejor aproximación, pero para una respuesta exacta, debemos tomar un límite cuando Δ x se acerca a cero. [47] : 512–522
El símbolo de integración es , una S alargada elegida para sugerir sumatoria. [47] : 529 La integral definida se escribe como:
y se lee "la integral de a a b de f -de- x con respecto a x ". La notación de Leibniz dx pretende sugerir dividir el área bajo la curva en un número infinito de rectángulos de modo que su ancho Δ x se convierta en dx infinitamente pequeño . [31] : 44
La integral indefinida o primitiva se escribe:
Las funciones que difieren sólo en una constante tienen la misma derivada y se puede demostrar que la primitiva de una función dada es una familia de funciones que difieren sólo en una constante. [50] : 326 Dado que la derivada de la función y = x 2 + C , donde C es cualquier constante, es y′ = 2 x , la primitiva de esta última viene dada por:
La constante C no especificada presente en la integral indefinida o primitiva se conoce como constante de integración . [51] : 135
El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. [50] : 290 Más precisamente, relaciona los valores de antiderivadas con integrales definidas. Debido a que suele ser más fácil calcular una primitiva que aplicar la definición de integral definida, el teorema fundamental del cálculo proporciona una forma práctica de calcular integrales definidas. También puede interpretarse como una afirmación precisa del hecho de que la diferenciación es lo inverso de la integración.
El teorema fundamental del cálculo establece: Si una función f es continua en el intervalo [ a , b ] y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo ( a , b ) , entonces
Además, para cada x en el intervalo ( a , b ) ,
Esta comprensión, realizada tanto por Newton como por Leibniz , fue clave para la proliferación de resultados analíticos después de que se conociera su trabajo. (Es difícil determinar hasta qué punto Newton y Leibniz fueron influenciados por sus predecesores inmediatos, y particularmente lo que Leibniz pudo haber aprendido del trabajo de Isaac Barrow , debido a la disputa de prioridad entre ellos. [52] ) El teorema fundamental proporciona una explicación algebraica. Método de calcular muchas integrales definidas, sin realizar procesos límite, mediante la búsqueda de fórmulas para antiderivadas . También es un prototipo de solución de una ecuación diferencial . Las ecuaciones diferenciales relacionan una función desconocida con sus derivadas y son omnipresentes en las ciencias. [53] : 351–352
El cálculo se utiliza en todas las ramas de las ciencias físicas, [54] : 1 ciencia actuarial , informática , estadística , ingeniería , economía , negocios , medicina , demografía y en otros campos donde un problema se puede modelar matemáticamente y se puede encontrar una solución óptima . deseado. [55] Permite pasar de tasas de cambio (no constantes) al cambio total o viceversa, y muchas veces al estudiar un problema conocemos uno y estamos tratando de encontrar el otro. [56] El cálculo se puede utilizar junto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, se puede utilizar con álgebra lineal para encontrar la aproximación lineal de "mejor ajuste" para un conjunto de puntos en un dominio. O puede usarse en teoría de la probabilidad para determinar el valor esperado de una variable aleatoria continua dada una función de densidad de probabilidad . [57] : 37 En geometría analítica , el estudio de gráficas de funciones, el cálculo se utiliza para encontrar puntos altos y bajos (máximos y mínimos), pendiente, concavidad y puntos de inflexión . El cálculo también se utiliza para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones; en la práctica, es la forma estándar de resolver ecuaciones diferenciales y encontrar raíces en la mayoría de las aplicaciones. Algunos ejemplos son métodos como el método de Newton , la iteración de punto fijo y la aproximación lineal . Por ejemplo, las naves espaciales utilizan una variación del método de Euler para aproximar trayectorias curvas en entornos de gravedad cero.
La física hace un uso particular del cálculo; Todos los conceptos de la mecánica clásica y el electromagnetismo están relacionados a través del cálculo. La masa de un objeto de densidad conocida , el momento de inercia de los objetos y las energías potenciales debidas a las fuerzas gravitacionales y electromagnéticas se pueden encontrar mediante el uso del cálculo. Un ejemplo del uso del cálculo en mecánica es la segunda ley del movimiento de Newton , que establece que la derivada del momento de un objeto con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta sobre él. Alternativamente, la segunda ley de Newton se puede expresar diciendo que la fuerza neta es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración , que es la derivada temporal de la velocidad y, por lo tanto, la segunda derivada temporal de la posición espacial. Partiendo de saber cómo se acelera un objeto, utilizamos el cálculo para derivar su trayectoria. [58]
La teoría del electromagnetismo de Maxwell y la teoría de la relatividad general de Einstein también se expresan en el lenguaje del cálculo diferencial. [59] [60] : 52–55 La química también utiliza el cálculo para determinar las velocidades de reacción [61] : 599 y para estudiar la desintegración radiactiva. [61] : 814 En biología, la dinámica demográfica comienza con las tasas de reproducción y mortalidad para modelar los cambios poblacionales. [62] [63] : 631
El teorema de Green , que da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C, se aplica en un instrumento conocido como planímetro , que se utiliza para calcular el área de un plano. superficie en un dibujo. [64] Por ejemplo, se puede utilizar para calcular la cantidad de área ocupada por un parterre de flores de forma irregular o una piscina al diseñar el diseño de una propiedad.
En el ámbito de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de un vaso sanguíneo para maximizar el flujo. [65] El cálculo se puede aplicar para comprender qué tan rápido se elimina un medicamento del cuerpo o qué tan rápido crece un tumor canceroso . [66]
En economía, el cálculo permite determinar el beneficio máximo al proporcionar una manera de calcular fácilmente tanto el costo marginal como el ingreso marginal . [67] : 387
Las más interesantes para nosotros son las Conferencias X a XII, en las que Barrow se acerca a proporcionar una demostración geométrica del teorema fundamental del cálculo... Sin embargo, no se dio cuenta del significado total de sus resultados. , y su rechazo del álgebra significa que su trabajo debe seguir siendo una pieza de análisis geométrico de mediados del siglo XVII de interés principalmente histórico.
[Newton] se dio cuenta inmediatamente de que los problemas de cuadratura (los problemas inversos) podían abordarse mediante series infinitas: como diríamos hoy en día, expandiendo el integrando en series de potencias e integrando términos.
Leibniz entendió los símbolos, sus poderes conceptuales así como sus limitaciones. Pasaría años experimentando con algunos: ajustando, rechazando y manteniendo correspondencia con todos los que conocía, consultando con tantos de los principales matemáticos de la época que simpatizaban con su fastidio.
Los grandes matemáticos del siglo XVII eran optimistas y ansiosos de obtener resultados rápidos; en consecuencia, dejaron inseguros los fundamentos de la geometría analítica y del cálculo infinitesimal. Leibniz creía en los infinitesimales reales, pero aunque esta creencia se adaptaba a su metafísica, no tenía una base sólida en matemáticas. Weierstrass, poco después de mediados del siglo XIX, mostró cómo establecer el cálculo sin infinitesimales y así, finalmente, lo hizo lógicamente seguro. Luego vino Georg Cantor, quien desarrolló la teoría de la continuidad y el número infinito. "Continuidad" había sido, hasta que él la definió, una palabra vaga, conveniente para filósofos como Hegel, que deseaban introducir líos metafísicos en las matemáticas. Cantor dio un significado preciso a la palabra y demostró que la continuidad, tal como él la definía, era el concepto que necesitaban los matemáticos y los físicos. De este modo, gran parte del misticismo, como el de Bergson, quedó anticuado.
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