Espinor

Representación no tensorial del grupo de espín

Un espinor visualizado como un vector que apunta a lo largo de la banda de Möbius , que exhibe una inversión de signo cuando el círculo (el "sistema físico") gira continuamente a través de un giro completo de 360°. ^[a]

En geometría y física, los espinores (pronunciado "spinner" IPA / s p ɪ n ər / ) son elementos de un espacio vectorial basado en números complejos que se pueden asociar con el espacio euclidiano . ^[b] Un espinor se transforma linealmente cuando el espacio euclidiano se somete a una ligera rotación ( infinitesimal ), ^[c] pero a diferencia de los vectores geométricos y los tensores , un espinor se transforma a su negativo cuando el espacio gira 360° (ver imagen). Se necesita una rotación de 720° para que un espinor vuelva a su estado original. Esta propiedad caracteriza a los espinores: los espinores pueden verse como las "raíces cuadradas" de los vectores (aunque esto es inexacto y puede ser engañoso; se ven mejor como "raíces cuadradas" de secciones de fibrados vectoriales - en el caso del fibrado algebraico exterior del fibrado cotangente , se convierten así en "raíces cuadradas" de formas diferenciales ).

También es posible asociar una noción sustancialmente similar de espinor al espacio de Minkowski , en cuyo caso las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial desempeñan el papel de las rotaciones. Los espinores fueron introducidos en geometría por Élie Cartan en 1913. ^{[1] [d]} En la década de 1920, los físicos descubrieron que los espinores son esenciales para describir el momento angular intrínseco , o "espín", del electrón y otras partículas subatómicas. ^[e]

Los espinores se caracterizan por la forma específica en que se comportan bajo rotaciones. Cambian de diferentes maneras dependiendo no solo de la rotación final general, sino de los detalles de cómo se logró esa rotación (por un camino continuo en el grupo de rotación ). Hay dos clases topológicamente distinguibles ( clases de homotopía ) de caminos a través de rotaciones que dan como resultado la misma rotación general, como lo ilustra el rompecabezas del truco del cinturón . Estas dos clases inequivalentes producen transformaciones de espinores de signo opuesto. El grupo de espín es el grupo de todas las rotaciones que sigue la pista de la clase. ^[f] Cubre doblemente el grupo de rotación, ya que cada rotación se puede obtener de dos formas inequivalentes como el punto final de un camino. El espacio de espinores por definición está equipado con una representación lineal (compleja) del grupo de espín, lo que significa que los elementos del grupo de espín actúan como transformaciones lineales en el espacio de espinores, de una manera que realmente depende de la clase de homotopía. ^{[g] En términos matemáticos, los espinores se describen mediante una} representación proyectiva de doble valor del grupo de rotación SO(3) .

Aunque los espinores pueden definirse puramente como elementos de un espacio de representación del grupo de espín (o su álgebra de Lie de rotaciones infinitesimales), normalmente se definen como elementos de un espacio vectorial que lleva una representación lineal del álgebra de Clifford . El álgebra de Clifford es un álgebra asociativa que puede construirse a partir del espacio euclidiano y su producto interno de una manera independiente de la base. Tanto el grupo de espín como su álgebra de Lie están integrados dentro del álgebra de Clifford de una manera natural, y en aplicaciones el álgebra de Clifford es a menudo la más fácil de trabajar. ^[h] Un espacio de Clifford opera en un espacio de espinores, y los elementos de un espacio de espinores son espinores. ^[3] Después de elegir una base ortonormal del espacio euclidiano, se genera una representación del álgebra de Clifford mediante matrices gamma , matrices que satisfacen un conjunto de relaciones de anticonmutación canónicas. Los espinores son los vectores columna sobre los que actúan estas matrices. En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, las matrices de espín de Pauli son un conjunto de matrices gamma, ^[i] y los vectores columna complejos de dos componentes sobre los que actúan estas matrices son espinores. Sin embargo, la representación matricial particular del álgebra de Clifford, es decir, lo que constituye precisamente un "vector columna" (o espinor), implica la elección de matrices base y gamma de manera esencial. Como representación del grupo de espín, esta realización de espinores como vectores columna (complejos ^[j] ) será irreducible si la dimensión es impar, o se descompondrá en un par de las llamadas representaciones de "medio espín" o de Weyl si la dimensión es par. ^[k]

Introducción

Una rotación gradual puede visualizarse como una cinta en el espacio. ^[l] Dos rotaciones graduales con diferentes clases, una de 360° y otra de 720°, se ilustran aquí en el rompecabezas del truco del cinturón . Una solución del rompecabezas es una manipulación continua del cinturón, fijando los puntos finales, que lo desenrolla. Esto es imposible con la rotación de 360°, pero posible con la rotación de 720°. Una solución, mostrada en la segunda animación, da una homotopía explícita en el grupo de rotación entre la rotación de 720° y la rotación de identidad de 0°.

Un objeto atado a correas o cuerdas puede girar continuamente sin enredarse. Observe que después de que el cubo completa una rotación de 360°, la espiral se invierte respecto de su configuración inicial. Las correas vuelven a su configuración original después de girar 720°.

Un ejemplo más extremo que demuestra que esto funciona con cualquier número de cuerdas. En el límite, un trozo de espacio sólido continuo puede rotar en su lugar de esta manera sin romperse ni intersecarse.

Lo que caracteriza a los espinores y los distingue de los vectores geométricos y otros tensores es sutil. Consideremos la aplicación de una rotación a las coordenadas de un sistema. Ningún objeto del sistema se ha movido, sólo las coordenadas, por lo que siempre habrá un cambio compensatorio en esos valores de coordenadas cuando se apliquen a cualquier objeto del sistema. Los vectores geométricos, por ejemplo, tienen componentes que experimentarán la misma rotación que las coordenadas. En términos más generales, cualquier tensor asociado con el sistema (por ejemplo, la tensión de algún medio) también tiene descripciones de coordenadas que se ajustan para compensar los cambios en el propio sistema de coordenadas.

Los espinores no aparecen en este nivel de la descripción de un sistema físico, cuando uno se preocupa sólo de las propiedades de una única rotación aislada de las coordenadas. Más bien, los espinores aparecen cuando imaginamos que en lugar de una única rotación, el sistema de coordenadas rota gradualmente ( continuamente ) entre alguna configuración inicial y final. Para cualquiera de las cantidades familiares e intuitivas ("tensoriales") asociadas con el sistema, la ley de transformación no depende de los detalles precisos de cómo las coordenadas llegaron a su configuración final. Los espinores, por otro lado, están construidos de tal manera que los hace sensibles a cómo la rotación gradual de las coordenadas llegó allí: exhiben dependencia de la trayectoria. Resulta que, para cualquier configuración final de las coordenadas, hay en realidad dos rotaciones graduales (continuas) (" topológicamente ") no equivalentes del sistema de coordenadas que dan como resultado esta misma configuración. Esta ambigüedad se llama la clase de homotopía de la rotación gradual. El truco del cinturón (que se muestra en la imagen, en el que ambos extremos del objeto rotado están atados físicamente a una referencia externa) demuestra dos rotaciones diferentes, una a través de un ángulo de 2 π y la otra a través de un ángulo de 4 π , que tienen las mismas configuraciones finales pero diferentes clases. Los espinores en realidad exhiben una inversión de signo que realmente depende de esta clase de homotopía. Esto los distingue de los vectores y otros tensores, ninguno de los cuales puede sentir la clase.

Los espinores pueden ser exhibidos como objetos concretos usando una elección de coordenadas cartesianas . En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, los espinores pueden construirse haciendo una elección de matrices de espín de Pauli correspondientes a ( momentos angulares alrededor de) los tres ejes de coordenadas. Estas son matrices 2×2 con entradas complejas , y los vectores columna complejos de dos componentes sobre los que estas matrices actúan por multiplicación de matrices son los espinores. En este caso, el grupo de espín es isomorfo al grupo de matrices unitarias 2×2 con determinante uno, que naturalmente se encuentra dentro del álgebra matricial. Este grupo actúa por conjugación sobre el espacio vectorial real abarcado por las propias matrices de Pauli, ^[m] realizándolo como un grupo de rotaciones entre ellas, ^[n] pero también actúa sobre los vectores columna (es decir, los espinores).

De manera más general, un álgebra de Clifford se puede construir a partir de cualquier espacio vectorial V equipado con una forma cuadrática (no degenerada) , como el espacio euclidiano con su producto escalar estándar o el espacio de Minkowski con su métrica de Lorentz estándar. El espacio de espinores es el espacio de vectores columna con componentes. El álgebra de Lie ortogonal (es decir, las "rotaciones" infinitesimales) y el grupo de espín asociado a la forma cuadrática están ambos (canónicamente) contenidos en el álgebra de Clifford, por lo que cada representación del álgebra de Clifford también define una representación del álgebra de Lie y del grupo de espín. ^[o] Dependiendo de la dimensión y la firma métrica , esta realización de espinores como vectores columna puede ser irreducible o puede descomponerse en un par de las llamadas representaciones de "medio espín" o de Weyl. ^[p] Cuando el espacio vectorial V es de cuatro dimensiones, el álgebra se describe mediante las matrices gamma . ${\displaystyle 2^{\lfloor \dim V/2\rfloor }}$

Definición matemática

El espacio de espinores se define formalmente como la representación fundamental del álgebra de Clifford . (Esto puede o no descomponerse en representaciones irreducibles). El espacio de espinores también puede definirse como una representación de espín del álgebra de Lie ortogonal . Estas representaciones de espín también se caracterizan como representaciones proyectivas de dimensión finita del grupo ortogonal especial que no se factorizan a través de representaciones lineales. Equivalentemente, un espinor es un elemento de una representación de grupo de dimensión finita del grupo de espín sobre el que el centro actúa de manera no trivial.

Descripción general

Existen esencialmente dos marcos para considerar la noción de espinor: el punto de vista teórico de la representación y el punto de vista geométrico .

Punto de vista de la teoría de la representación

Desde un punto de vista teórico de la representación , uno sabe de antemano que hay algunas representaciones del álgebra de Lie del grupo ortogonal que no pueden formarse mediante las construcciones tensoriales habituales. Estas representaciones faltantes se etiquetan entonces como representaciones de espín y sus constituyentes como espinores . Desde este punto de vista, un espinor debe pertenecer a una representación de la doble cobertura del grupo de rotación SO( n , ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , o más generalmente de una doble cobertura del grupo ortogonal especial generalizado SO ⁺ ( p ,  q , ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en espacios con una firma métrica de ( p ,  q ) . Estas dobles coberturas son grupos de Lie , llamados grupos de espín Spin( n ) o Spin( p ,  q ) . Todas las propiedades de los espinores, y sus aplicaciones y objetos derivados, se manifiestan primero en el grupo de espín. Las representaciones de las dobles coberturas de estos grupos producen representaciones proyectivas de doble valor de los propios grupos. (Esto significa que la acción de una rotación particular sobre los vectores en el espacio cuántico de Hilbert sólo está definida hasta un signo).

En resumen, dada una representación especificada por los datos donde es un espacio vectorial sobre o y es un homomorfismo , un espinor es un elemento del espacio vectorial . ${\displaystyle (V,{\text{Spin}}(p,q),\rho )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :{\text{Spin}}(p,q)\rightarrow {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle V}$

Punto de vista geométrico

Desde un punto de vista geométrico, se pueden construir explícitamente los espinores y luego examinar cómo se comportan bajo la acción de los grupos de Lie relevantes. Este último enfoque tiene la ventaja de proporcionar una descripción concreta y elemental de lo que es un espinor. Sin embargo, dicha descripción se vuelve difícil de manejar cuando se necesitan propiedades complicadas de los espinores, como las identidades de Fierz .

Álgebras de Clifford

El lenguaje de las álgebras de Clifford ^[5] (a veces llamadas álgebras geométricas ) proporciona una imagen completa de las representaciones de espín de todos los grupos de espín y las diversas relaciones entre esas representaciones, a través de la clasificación de las álgebras de Clifford . Elimina en gran medida la necesidad de construcciones ad hoc .

En detalle, sea V un espacio vectorial complejo de dimensión finita con forma bilineal simétrica no degenerada g . El álgebra de Clifford Cℓ( V ,  g ) es el álgebra generada por V junto con la relación de anticonmutación xy + yx = 2 g ( x ,  y ) . Es una versión abstracta del álgebra generada por las matrices gamma o de Pauli . Si V = , con la forma estándar g ( x ,  y ) = x ^T y = x ₁ y ₁ + ... + x _n y _n denotamos el álgebra de Clifford por Cℓ _n ( ). Dado que por la elección de una base ortonormal todo espacio vectorial complejo con forma no degenerada es isomorfo a este ejemplo estándar, esta notación se abusa de manera más general si dim ( V ) = n . Si n = 2 k es par, Cℓ _n ( ) es isomorfo como álgebra (de manera no única) al álgebra Mat(2 ^k ,  ) de matrices complejas de 2 ^k  × 2 ^k (por el teorema de Artin-Wedderburn y el hecho fácil de demostrar de que el álgebra de Clifford es centralmente simple ). Si n = 2 k  + 1 es impar, Cℓ _{2 k +1} ( ) es isomorfo al álgebra Mat(2 ^k ,  ) ⊕ Mat(2 ^k ,  ) de dos copias de las matrices complejas de 2 ^k  × 2 ^k . Por lo tanto, en cualquier caso Cℓ( V ,  g ) tiene una representación irreducible única (salvo isomorfismo) (también llamada módulo simple de Clifford ), comúnmente denotada por Δ, de dimensión 2 ^{[ n /2]} . Dado que el álgebra de Lie entonces ( V ,  g ) está incrustada como un subálgebra de Lie en Cℓ( V ,  g ) equipada con el álgebra de Clifford ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ _{${\displaystyle \mathbb {C} }$} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$conmutador como corchete de Lie, el espacio Δ es también una representación del álgebra de Lie de ( V , g  ) llamada representación de espín . Si n es impar, esta representación del álgebra de Lie es irreducible. Si n es par, se divide aún más ^{[ aclaración necesaria ]} en dos representaciones irreducibles Δ = Δ ₊  ⊕ Δ ₋ llamadas representaciones de Weyl o de medio espín .

Las representaciones irreducibles sobre los números reales en el caso en que V es un espacio vectorial real son mucho más complejas y se remite al lector al artículo sobre álgebra de Clifford para obtener más detalles.

Grupos de spinning

La representación de espín Δ es un espacio vectorial dotado de una representación del grupo de espín que no se factoriza a través de una representación del grupo ortogonal (especial). Las flechas verticales representan una secuencia exacta corta .

Los espinores forman un espacio vectorial , generalmente sobre los números complejos , equipado con una representación de grupo lineal del grupo de espín que no se factoriza a través de una representación del grupo de rotaciones (ver diagrama). El grupo de espín es el grupo de rotaciones que lleva la cuenta de la clase de homotopía. Los espinores son necesarios para codificar información básica sobre la topología del grupo de rotaciones porque ese grupo no está simplemente conexo , sino que el grupo de espín simplemente conexo es su doble cubierta . Entonces, para cada rotación hay dos elementos del grupo de espín que lo representan. Los vectores geométricos y otros tensores no pueden sentir la diferencia entre estos dos elementos, pero producen signos opuestos cuando afectan a cualquier espinor bajo la representación. Pensando en los elementos del grupo de espín como clases de homotopía de familias de rotaciones de un parámetro, cada rotación está representada por dos clases de homotopía distintas de caminos hacia la identidad. Si una familia de rotaciones de un parámetro se visualiza como una cinta en el espacio, con el parámetro de longitud de arco de esa cinta como parámetro (su marco tangente, normal y binormal en realidad da la rotación), entonces estas dos clases de homotopía distintas se visualizan en los dos estados del rompecabezas del truco de la cinta (arriba). El espacio de espinores es un espacio vectorial auxiliar que se puede construir explícitamente en coordenadas, pero en última instancia solo existe hasta el isomorfismo en el sentido de que no hay una construcción "natural" de ellos que no dependa de elecciones arbitrarias como los sistemas de coordenadas. Una noción de espinores se puede asociar, como un objeto matemático auxiliar, con cualquier espacio vectorial equipado con una forma cuadrática como el espacio euclidiano con su producto escalar estándar o el espacio de Minkowski con su métrica de Lorentz . En el último caso, las "rotaciones" incluyen los impulsos de Lorentz , pero por lo demás la teoría es sustancialmente similar. ^{[ cita requerida ]}

Campos de espinores en física

Las construcciones dadas anteriormente, en términos del álgebra de Clifford o la teoría de la representación, pueden considerarse como la definición de los espinores como objetos geométricos en el espacio-tiempo de dimensión cero . Para obtener los espinores de la física, como el espinor de Dirac , se extiende la construcción para obtener una estructura de espín en el espacio-tiempo de 4 dimensiones ( espacio de Minkowski ). Efectivamente, se comienza con la variedad tangente del espacio-tiempo, cada punto del cual es un espacio vectorial de 4 dimensiones con simetría SO(3,1), y luego se construye el grupo de espín en cada punto. Las vecindades de los puntos están dotadas de conceptos de suavidad y diferenciabilidad: la construcción estándar es la de un haz de fibras , cuyas fibras son espacios afines que se transforman bajo el grupo de espín. Después de construir el haz de fibras, se pueden considerar ecuaciones diferenciales, como la ecuación de Dirac o la ecuación de Weyl en el haz de fibras. Estas ecuaciones (de Dirac o de Weyl) tienen soluciones que son ondas planas , que tienen simetrías características de las fibras, es decir, que tienen las simetrías de los espinores, como se obtiene de la teoría de representación de espín/álgebra de Clifford (de dimensión cero) descrita anteriormente. Tales soluciones de ondas planas (u otras soluciones) de las ecuaciones diferenciales pueden entonces llamarse apropiadamente fermiones ; los fermiones tienen las cualidades algebraicas de los espinores. Por convención general, los términos "fermión" y "espinor" se usan a menudo indistintamente en física, como sinónimos uno del otro. ^{[ cita requerida ]}

Parece que todas las partículas fundamentales de la naturaleza que tienen espín 1/2 se describen mediante la ecuación de Dirac, con la posible excepción del neutrino . No parece haber ninguna razón a priori para que este sea el caso. Una opción perfectamente válida para los espinores sería la versión no complejada de Cℓ _2,2 ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , el espinor de Majorana . ^[6] Tampoco parece haber ninguna prohibición particular para que los espinores de Weyl aparezcan en la naturaleza como partículas fundamentales.

Los espinores de Dirac, Weyl y Majorana están interrelacionados y su relación se puede dilucidar sobre la base del álgebra geométrica real. ^[7] Los espinores de Dirac y Weyl son representaciones complejas, mientras que los espinores de Majorana son representaciones reales.

Los espinores de Weyl son insuficientes para describir partículas masivas, como los electrones , ya que las soluciones de ondas planas de Weyl viajan necesariamente a la velocidad de la luz; para partículas masivas, se necesita la ecuación de Dirac . La construcción inicial del Modelo Estándar de física de partículas comienza con el electrón y el neutrino como espinores de Weyl sin masa; el mecanismo de Higgs le da una masa a los electrones; el neutrino clásico permaneció sin masa y, por lo tanto, fue un ejemplo de espinor de Weyl. ^[q] Sin embargo, debido a la oscilación de neutrinos observada , ahora se cree que no son espinores de Weyl, sino quizás espinores de Majorana. ^[8] No se sabe si las partículas fundamentales del espinor de Weyl existen en la naturaleza.

La situación de la física de la materia condensada es diferente: se pueden construir “espaciotiempos” bidimensionales y tridimensionales en una gran variedad de materiales físicos diferentes, desde semiconductores hasta materiales mucho más exóticos. En 2015, un equipo internacional dirigido por científicos de la Universidad de Princeton anunció que había descubierto una cuasipartícula que se comporta como un fermión de Weyl. ^[9]

Los espinores en la teoría de la representación

Una de las principales aplicaciones matemáticas de la construcción de espinores es hacer posible la construcción explícita de representaciones lineales de las álgebras de Lie de los grupos ortogonales especiales y, en consecuencia, representaciones de espinores de los propios grupos. En un nivel más profundo, se ha descubierto que los espinores están en el centro de los enfoques del teorema del índice de Atiyah-Singer y proporcionan construcciones en particular para representaciones de series discretas de grupos semisimples .

Las representaciones de espín de las álgebras de Lie ortogonales especiales se distinguen de las representaciones tensoriales dadas por la construcción de Weyl por los pesos . Mientras que los pesos de las representaciones tensoriales son combinaciones lineales enteras de las raíces del álgebra de Lie, los de las representaciones de espín son combinaciones lineales semienteras de las mismas. Se pueden encontrar detalles explícitos en el artículo sobre representaciones de espín .

Intentos de comprensión intuitiva

El espinor puede describirse, en términos simples, como "vectores de un espacio cuyas transformaciones están relacionadas de una manera particular con rotaciones en el espacio físico". ^[10] Dicho de otra manera:

Los espinores... proporcionan una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número de dimensiones, cada espinor tiene componentes donde o . ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{\nu }}$ ${\displaystyle n=2\nu +1}$ ${\displaystyle 2\nu }$

Se han formulado varias formas de ilustrar analogías cotidianas en términos del truco de las placas , los tangloides y otros ejemplos de entrelazamiento de orientación .

Sin embargo, el concepto generalmente se considera notoriamente difícil de entender, como lo ilustra la declaración de Michael Atiyah que relata el biógrafo de Dirac, Graham Farmelo:

Nadie entiende completamente los espinores. Su álgebra se entiende formalmente, pero su significado general es misterioso. En cierto sentido, describen la "raíz cuadrada" de la geometría y, así como la comprensión de la raíz cuadrada de −1 llevó siglos, lo mismo podría ser cierto para los espinores. ^[11]

Historia

La forma matemática más general de los espinores fue descubierta por Élie Cartan en 1913. ^[12] La palabra "espinor" fue acuñada por Paul Ehrenfest en su trabajo sobre física cuántica . ^[13]

Los espinores fueron aplicados por primera vez a la física matemática por Wolfgang Pauli en 1927, cuando introdujo sus matrices de espín . ^[14] Al año siguiente, Paul Dirac descubrió la teoría completamente relativista del espín del electrón al mostrar la conexión entre los espinores y el grupo de Lorentz . ^[15] En la década de 1930, Dirac, Piet Hein y otros en el Instituto Niels Bohr (entonces conocido como el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Copenhague) crearon juguetes como Tangloids para enseñar y modelar el cálculo de espinores.

Los espacios de espinores fueron representados como ideales izquierdos de un álgebra matricial en 1930, por Gustave Juvett ^[16] y por Fritz Sauter ^{[17] [18]} Más específicamente, en lugar de representar los espinores como vectores columna 2D de valor complejo como lo había hecho Pauli, los representaron como matrices 2 × 2 de valor complejo en las que solo los elementos de la columna izquierda son distintos de cero. De esta manera, el espacio de espinores se convirtió en un ideal izquierdo mínimo en Mat(2,  ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . ^{[r] [20]}

En 1947 Marcel Riesz construyó espacios de espinores como elementos de un ideal izquierdo mínimo de álgebras de Clifford . En 1966/1967, David Hestenes ^{[21] [22]} reemplazó los espacios de espinores por la subálgebra par Cℓ ⁰ _1,3 ( ) del álgebra del espacio-tiempo Cℓ _1,3 ( ). ^{[18] [20]} A partir de la década de 1980, el grupo de física teórica en Birkbeck College alrededor de David Bohm y Basil Hiley ha estado desarrollando enfoques algebraicos para la teoría cuántica que se basan en la identificación de Sauter y Riesz de espinores con ideales izquierdos mínimos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ejemplos

Algunos ejemplos simples de espinores en pequeñas dimensiones surgen al considerar las subálgebras de grado par del álgebra de Clifford Cℓ _{p ,  q} ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Esta es un álgebra construida a partir de una base ortonormal de n = p  +  q vectores mutuamente ortogonales bajo adición y multiplicación, p de los cuales tienen norma +1 y q de los cuales tienen norma −1, con la regla del producto para los vectores base $${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots ,p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{cases}}}$$

Dos dimensiones

El álgebra de Clifford Cℓ _2,0 ( ) se construye a partir de una unidad escalar, 1, dos vectores unitarios ortogonales, σ ₁ y σ ₂ , y una unidad pseudoescalar i = σ ₁ σ ₂ . De las definiciones anteriores, es evidente que ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1 , y ( σ ₁ σ ₂ ) ( σ ₁ σ ₂ ) = − σ ₁ σ ₁ σ ₂ σ ₂ = −1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La subálgebra par Cℓ ⁰ _2,0 ( ), abarcada por elementos base de grado par de Cℓ _2,0 ( ), determina el espacio de espinores a través de sus representaciones. Está formada por combinaciones lineales reales de 1 y σ ₁ σ ₂ . Como álgebra real, Cℓ ⁰ _2,0 ( ) es isomorfa al cuerpo de números complejos . Como resultado, admite una operación de conjugación (análoga a la conjugación compleja ), a veces llamada el reverso de un elemento de Clifford, definido por el cual, por las relaciones de Clifford, puede escribirse ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$   ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.}$$ $${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.}$$

La acción de un elemento de Clifford par γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sobre vectores, considerados como elementos 1-graduados de Cℓ _2,0 ( ), se determina mediante la aplicación de un vector general u = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ al vector donde es el conjugado de , y el producto es la multiplicación de Clifford. En esta situación, un espinor ^[s] es un número complejo ordinario. La acción de sobre un espinor viene dada por la multiplicación compleja ordinaria: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi .}$$

Una característica importante de esta definición es la distinción entre vectores ordinarios y espinores, que se manifiesta en cómo los elementos de grado par actúan sobre cada uno de ellos de diferentes maneras. En general, una rápida comprobación de las relaciones de Clifford revela que los elementos de grado par conjugan-conmutan con los vectores ordinarios: $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$$

Por otra parte, en comparación con su acción sobre los espinores , la acción de sobre los vectores ordinarios aparece como el cuadrado de su acción sobre los espinores. ${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$ ${\displaystyle \gamma }$

Consideremos, por ejemplo, la implicación que esto tiene para las rotaciones de planos. Rotar un vector a través de un ángulo de θ corresponde a γ ² = exp( θ σ ₁ σ ₂ ) , de modo que la acción correspondiente sobre los espinores es a través de γ = ± exp( θ σ ₁ σ ₂ /2) . En general, debido a la ramificación logarítmica , es imposible elegir un signo de manera consistente. Por lo tanto, la representación de las rotaciones de planos sobre los espinores es bivaluada.

En las aplicaciones de los espinores en dos dimensiones, es común explotar el hecho de que el álgebra de elementos de grado par (es decir, simplemente el anillo de números complejos) es idéntica al espacio de espinores. Por lo tanto, mediante un abuso del lenguaje , a menudo se confunden los dos. Se puede hablar entonces de "la acción de un espinor sobre un vector". En un contexto general, tales afirmaciones no tienen sentido. Pero en las dimensiones 2 y 3 (tal como se aplican, por ejemplo, a los gráficos de computadora ) tienen sentido.

Ejemplos

• El elemento de grado par corresponde a una rotación vectorial de 90° desde σ ₁ alrededor de σ ₂ , lo que se puede comprobar confirmando que corresponde a una rotación de espinor de solo 45°, sin embargo: $${\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• De manera similar, el elemento de grado par γ  = − σ ₁ σ ₂ corresponde a una rotación vectorial de 180°: pero una rotación de espinor de solo 90°: $${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}}$$ $${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• Continuando más adelante, el elemento de grado par γ  = −1 corresponde a una rotación vectorial de 360°, pero a una rotación de espinor de 180°. $${\displaystyle (-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}}$$

Tres dimensiones

El álgebra de Clifford Cℓ _3,0 ( ) se construye a partir de una unidad escalar, 1, tres vectores unitarios ortogonales, σ 1 , σ 2 y σ 3 , los tres bivectores unitarios σ ₁ σ ₂ , σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ y el pseudoescalar i = σ ₁ σ ₂ σ ₃ . Es sencillo demostrar que ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = ( σ ₃ ) ² = 1 , y ( σ ₁ σ ₂ ) ² = ( σ ₂ σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ² = ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ² = −1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El subálgebra de elementos de grado par se compone de dilataciones escalares y rotaciones vectoriales donde $${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$$ $${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$$

corresponde a una rotación vectorial a través de un ángulo θ alrededor de un eje definido por un vector unitario v = a ₁ σ ₁  +  a ₂ σ ₂  +  a ₃ σ ₃ .

Como caso especial, es fácil ver que, si v = σ ₃ , esto reproduce la rotación σ ₁ σ ₂ considerada en la sección anterior; y que dicha rotación deja invariantes los coeficientes de los vectores en la dirección σ _{3 , ya que}

$${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$$

Los bivectores σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ y σ ₁ σ ₂ son de hecho los cuaterniones de Hamilton i , j y k , descubiertos en 1843:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$$

Con la identificación de los elementos de grado par con el álgebra de cuaterniones, como en el caso de dos dimensiones la única representación del álgebra de elementos de grado par es sobre sí misma. ^[t] Así los espinores (reales ^[u] ) en tres dimensiones son cuaterniones, y la acción de un elemento de grado par sobre un espinor está dada por la multiplicación cuaterniónica ordinaria. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Nótese que la expresión (1) para una rotación vectorial a través de un ángulo θ , el ángulo que aparece en γ se redujo a la mitad . Por lo tanto, la rotación de espinor γ ( ψ ) =  γψ (multiplicación cuaterniónica ordinaria) rotará el espinor ψ a través de un ángulo de la mitad de la medida del ángulo de la rotación vectorial correspondiente. Una vez más, el problema de elevar una rotación vectorial a una rotación de espinor tiene dos valores: la expresión (1) con (180° +  θ /2) en lugar de θ /2 producirá la misma rotación vectorial, pero el negativo de la rotación de espinor.

La representación espinor/cuaternión de las rotaciones en 3D se está volviendo cada vez más frecuente en la geometría computacional y otras aplicaciones, debido a la notable brevedad de la matriz de espín correspondiente y la simplicidad con la que pueden multiplicarse entre sí para calcular el efecto combinado de rotaciones sucesivas sobre diferentes ejes.

Construcciones explícitas

Un espacio de espinores se puede construir explícitamente con construcciones concretas y abstractas. La equivalencia de estas construcciones es una consecuencia de la unicidad de la representación de los espinores del álgebra compleja de Clifford. Para un ejemplo completo en dimensión 3, véase espinores en tres dimensiones .

Espinores componentes

Dado un espacio vectorial V y una forma cuadrática g, una representación matricial explícita del álgebra de Clifford Cℓ( V ,  g ) se puede definir de la siguiente manera. Elija una base ortonormal e ¹ ... e ⁿ para V ie g ( e ^μ e ^ν ) = η ^μν donde η ^μμ = ±1 y η ^μν = 0 para μ ≠ ν . Sea k = ⌊ n /2⌋ . Fije un conjunto de matrices 2 ^k  × 2 ^k γ ¹ ... γ ⁿ tal que γ ^μ γ ^ν + γ ^ν γ ^μ = 2 η ^μν 1 (es decir, fije una convención para las matrices gamma ). Entonces la asignación e ^μ → γ ^μ se extiende únicamente a un homomorfismo de álgebra Cℓ( V ,  g ) → Mat(2 ^k ,  ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ enviando el monomio e ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ e ^{μ _k} en el álgebra de Clifford al producto γ ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ γ ^{μ _k} de matrices y extendiéndose linealmente. El espacio en el que actúan las matrices gamma es ahora un espacio de espinores. Sin embargo, es necesario construir dichas matrices explícitamente. En la dimensión 3, definiendo las matrices gamma como la sigma de Pauli Las matrices dan lugar a los conocidos espinores de dos componentes utilizados en la mecánica cuántica no relativista . Del mismo modo, el uso de las matrices gamma de Dirac 4 × 4 da lugar a los espinores de Dirac de 4 componentes utilizados en la teoría cuántica de campos relativista de 3+1 dimensiones . En general, para definir matrices gamma del tipo requerido, se pueden utilizar las matrices de Weyl-Brauer . ${\displaystyle \Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}}$

En esta construcción, la representación del álgebra de Clifford Cℓ( V ,  g ) , el álgebra de Lie so ( V ,  g ) , y el grupo de espín Spin( V ,  g ) , dependen todas de la elección de la base ortonormal y de la elección de las matrices gamma. Esto puede causar confusión sobre las convenciones, pero los invariantes como las trazas son independientes de las elecciones. En particular, todas las cantidades observables físicamente deben ser independientes de tales elecciones. En esta construcción, un espinor puede representarse como un vector de 2 ^k números complejos y se denota con índices de espinor (generalmente α ,  β ,  γ ). En la literatura de física, dichos índices se utilizan a menudo para denotar espinores incluso cuando se utiliza una construcción de espinor abstracta.

Espinores abstractos

Hay al menos dos formas diferentes, pero esencialmente equivalentes, de definir espinores de forma abstracta. Un enfoque busca identificar los ideales mínimos para la acción izquierda de Cℓ( V ,  g ) sobre sí mismo. Estos son subespacios del álgebra de Clifford de la forma Cℓ( V ,  g ) ω , admitiendo la acción evidente de Cℓ( V ,  g ) por multiplicación izquierda: c  : xω → cxω . Hay dos variaciones sobre este tema: uno puede encontrar un elemento primitivo ω que sea un elemento nilpotente del álgebra de Clifford, o uno que sea un idempotente . La construcción a través de elementos nilpotentes es más fundamental en el sentido de que un idempotente puede entonces producirse a partir de él. ^[23] De esta manera, las representaciones de espinores se identifican con ciertos subespacios del propio álgebra de Clifford. El segundo enfoque es construir un espacio vectorial utilizando un subespacio distinguido de V y luego especificar la acción del álgebra de Clifford externamente a ese espacio vectorial.

En ambos enfoques, la noción fundamental es la de un subespacio isótropo W. Cada construcción depende de una libertad inicial para elegir este subespacio. En términos físicos, esto corresponde al hecho de que no existe un protocolo de medición que pueda especificar una base del espacio de espín, incluso si se da una base preferida de V.

Como arriba, sea ( V ,  g ) un espacio vectorial complejo de n dimensiones equipado con una forma bilineal no degenerada. Si V es un espacio vectorial real, entonces reemplazamos V por su complejización y sea g la forma bilineal inducida en . Sea W un subespacio isótropo maximal, es decir, un subespacio maximal de V tal que g | _W = 0 . Si n = 2 k es par, entonces sea W ′ un subespacio isótropo complementario a W . Si n = 2 k + 1 es impar, sea W ′ un subespacio isótropo maximal con W ∩  W ′ = 0 , y sea U el complemento ortogonal de W  ⊕  W ′ . En los casos de dimensión par e impar , W y W ′ tienen dimensión k . En el caso de dimensión impar, U es unidimensional, abarcado por un vector unitario u . ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

Ideales mínimos

Como W ′ es isótropo, la multiplicación de elementos de W ′ dentro de Cℓ( V ,  g ) es sesgada . Por lo tanto, los vectores en W ′ son anticonmutativos, y Cℓ( W ′ ,  g | _{W ′} ) = Cℓ( W ′ , 0) es simplemente el álgebra exterior Λ ^∗ W ′ . En consecuencia, el producto k -fold de W ′ consigo mismo, W ′ ^k , es unidimensional. Sea ω un generador de W ′ ^k . En términos de una base w ′ ₁ , ..., w ′ _k de en W ′ , una posibilidad es establecer $${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$$

Nótese que ω ² = 0 (es decir, ω es nilpotente de orden 2), y además, w ′ ω = 0 para todo w ′ ∈ W ′ . Los siguientes hechos se pueden demostrar fácilmente:

1. Si n = 2 k , entonces el ideal izquierdo Δ = Cℓ( V ,  g ) ω es un ideal izquierdo mínimo. Además, esto se divide en los dos espacios de espín Δ ₊ = Cℓ ^even ω y Δ ₋ = Cℓ ^odd ω en la restricción a la acción del álgebra de Clifford par.
2. Si n = 2 k + 1 , entonces la acción del vector unitario u sobre el ideal izquierdo Cℓ( V ,  g ) ω descompone el espacio en un par de espacios propios irreducibles isomorfos (ambos denotados por Δ), correspondientes a los respectivos valores propios +1 y −1.

En detalle, supongamos, por ejemplo, que n es par. Supongamos que I es un ideal izquierdo distinto de cero contenido en Cℓ( V ,  g ) ω . Demostraremos que I debe ser igual a Cℓ( V ,  g ) ω demostrando que contiene un múltiplo escalar distinto de cero de ω .

Fijemos una base w _i de W y una base complementaria w _i ′ de W ′ de manera que

w _i w _j ′ + w _j ′ w _i = δ _ij , y

( w _yo ) ² = 0, ( w _yo ′) ² = 0.

Nótese que cualquier elemento de I debe tener la forma αω , en virtud de nuestra suposición de que I ⊂ Cℓ( V ,  g )  ω . Sea αω ∈ I cualquier elemento de este tipo. Usando la base elegida, podemos escribir donde a _{i 1 ... i p} son escalares, y B _j son elementos auxiliares del álgebra de Clifford. Observe ahora que el producto Elija cualquier monomio distinto de cero a en la expansión de α con grado homogéneo máximo en los elementos w _i : (sin suma implicada), entonces es un múltiplo escalar distinto de cero de ω , como se requiere. $${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$$ $${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$$ $${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$$ $${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$$

Nótese que para n par, este cálculo también muestra que es un espacio vectorial. En la última ecuación, usamos nuevamente que W es isotrópico. En términos de física, esto muestra que Δ se construye como un espacio de Fock mediante la creación de espinores utilizando operadores de creación anticonmutativos en W que actúan en un vacío ω . $${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$$

Construcción de álgebra exterior

Los cálculos con la construcción ideal mínima sugieren que una representación de espinores también puede definirse directamente utilizando el álgebra exterior Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^j W del subespacio isótropo W . Sea Δ = Λ ^∗ W el álgebra exterior de W considerado únicamente como espacio vectorial. Esta será la representación de espín, y sus elementos se denominarán espinores. ^{[24] [25]}

La acción del álgebra de Clifford sobre Δ se define primero dando la acción de un elemento de V sobre Δ y luego mostrando que esta acción respeta la relación de Clifford y, por lo tanto, se extiende a un homomorfismo del álgebra de Clifford completa en el anillo de endomorfismos End(Δ) por la propiedad universal de las álgebras de Clifford . Los detalles difieren ligeramente según si la dimensión de V es par o impar.

Cuando dim( V ) es par, V = W ⊕ W ′ donde W ′ es el complemento isótropo elegido. Por lo tanto, cualquier v ∈ V se descompone de forma única como v = w + w ′ con w ∈ W y w ′ ∈ W ′ . La acción de v sobre un espinor está dada por donde i ( w ′ ) es el producto interior con w ′ usando la forma cuadrática no degenerada para identificar V con V ^∗ , y ε ( w ) denota el producto exterior . Esta acción a veces se denomina producto de Clifford . Se puede verificar que y por lo tanto c respeta las relaciones de Clifford y se extiende a un homomorfismo del álgebra de Clifford a End(Δ). $${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$$ $${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$$

La representación de espín Δ se descompone además en un par de representaciones complejas irreducibles del grupo de espín ^[26] (las representaciones de medio espín o espinores de Weyl) a través de $${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.}$$

Cuando dim( V ) es impar, V = W ⊕ U ⊕ W ′ , donde U está abarcado por un vector unitario u ortogonal a W . La acción de Clifford c se define como antes en W ⊕ W ′ , mientras que la acción de Clifford de (múltiplos de) u se define por Como antes, se verifica que c respeta las relaciones de Clifford y, por lo tanto, induce un homomorfismo. $${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$$

Espacios vectoriales y espinores hermíticos

Si el espacio vectorial V tiene una estructura adicional que proporciona una descomposición de su complejización en dos subespacios isótropos máximos, entonces la definición de espinores (por cualquier método) se vuelve natural.

El ejemplo principal es el caso en que el espacio vectorial real V es un espacio vectorial hermítico ( V ,  h ) , es decir, V está equipado con una estructura compleja J que es una transformación ortogonal con respecto al producto interno g en V . Luego se divide en los ± i espacios propios de J . Estos espacios propios son isótropos para la complejización de g y se pueden identificar con el espacio vectorial complejo ( V ,  J ) y su conjugado complejo ( V , − J ) . Por lo tanto, para un espacio vectorial hermítico ( V ,  h ) el espacio vectorial (así como su conjugado complejo es un espacio de espinores para el espacio vectorial euclidiano real subyacente. ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V}$

Con la acción de Clifford como la anterior pero con contracción usando la forma hermítica, esta construcción da un espacio de espinor en cada punto de una variedad casi hermítica y es la razón por la cual cada variedad casi compleja (en particular cada variedad simpléctica ) tiene una estructura de espín ^c . Del mismo modo, cada fibrado vectorial complejo en una variedad tiene una estructura de espín ^c . ^[27]

Descomposición de Clebsch-Gordan

Son posibles varias descomposiciones de Clebsch-Gordan en el producto tensorial de una representación de espín con otra. ^[28] Estas descomposiciones expresan el producto tensorial en términos de las representaciones alternas del grupo ortogonal.

Para el caso real o complejo, las representaciones alternas son

• Γ _r = Λ ^r V , la representación del grupo ortogonal en tensores oblicuos de rango r .

Además, para los grupos ortogonales reales, hay tres caracteres (representaciones unidimensionales)

• σ ₊  : O( p ,  q ) → {−1, +1} dado por σ ₊ (R) = −1 , si R invierte la orientación espacial de V , +1, si R conserva la orientación espacial de V . ( El carácter espacial .)
• σ ₋  : O( p ,  q ) → {−1, +1} dado por σ ₋ (R) = −1 , si R invierte la orientación temporal de V , +1, si R conserva la orientación temporal de V . ( El carácter temporal .)
• σ = σ ₊ σ ₋  . ( El carácter de orientación .)

La descomposición de Clebsch-Gordan permite definir, entre otras cosas:

• Una acción de espinores sobre vectores.
• Una métrica hermítica sobre las representaciones complejas de los grupos de espín reales.
• Un operador de Dirac en cada representación de espín.

Dimensiones pares

Si n  = 2 k es par, entonces el producto tensorial de Δ con la representación contragrediente se descompone como lo que se puede ver explícitamente considerando (en la construcción explícita) la acción del álgebra de Clifford sobre los elementos descomponibles αω  ⊗  βω ′ . La formulación más a la derecha se desprende de las propiedades de transformación del operador de estrella de Hodge . Nótese que, al restringirse al álgebra de Clifford par, los sumandos pareados Γ _p ⊕ σ Γ _p son isomorfos, pero bajo el álgebra de Clifford completa no lo son. $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}}$$

Existe una identificación natural de Δ con su representación contragrediente a través de la conjugación en el álgebra de Clifford: Por lo tanto , Δ ⊗ Δ también se descompone de la manera anterior. Además, bajo el álgebra de Clifford par, las representaciones de medio espín se descomponen $${\displaystyle (\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}}$$

Para las representaciones complejas de las álgebras de Clifford reales, la estructura de realidad asociada en el álgebra de Clifford compleja desciende al espacio de espinores (a través de la construcción explícita en términos de ideales mínimos, por ejemplo). De esta manera, obtenemos el conjugado complejo Δ de la representación Δ, y se observa que se cumple el siguiente isomorfismo: $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}}$$

En particular, nótese que la representación Δ del grupo de espín ortócrono es una representación unitaria . En general, existen descomposiciones de Clebsch-Gordan $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).}$$

En la firma métrica ( p ,  q ) , los siguientes isomorfismos se cumplen para las representaciones de medio espín conjugado

• Si q es par, entonces y ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.}$
• Si q es impar, entonces y ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.}$

Usando estos isomorfismos, se pueden deducir descomposiciones análogas para los productos tensoriales de las representaciones de medio espín Δ _± ⊗ Δ _± .

Dimensiones extrañas

Si n  = 2 k + 1 es impar, entonces En el caso real, una vez más se cumple el isomorfismo Por lo tanto, hay una descomposición de Clebsch-Gordan (nuevamente usando la estrella de Hodge para dualizar) dada por $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.}$$ $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.}$$ $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}}$$

Consecuencias

Las descomposiciones de Clebsch-Gordan de los espacios de espinores tienen muchas consecuencias de gran alcance. Las más fundamentales de ellas se refieren a la teoría del electrón de Dirac, entre cuyos requisitos básicos se encuentran:

• Una manera de considerar el producto de dos espinores ϕ ψ como un escalar. En términos físicos, un espinor debería determinar una amplitud de probabilidad para el estado cuántico .
• Una manera de considerar el producto ψ ϕ como un vector. Esta es una característica esencial de la teoría de Dirac, que vincula el formalismo espinorial a la geometría del espacio físico.
• Una manera de considerar un espinor como si actuara sobre un vector, mediante una expresión como ψv ψ . En términos físicos, esto representa una corriente eléctrica de la teoría electromagnética de Maxwell , o más generalmente una corriente de probabilidad .

Resumen en pequeñas dimensiones

• En 1 dimensión (un ejemplo trivial), la representación de espinor único es formalmente Majorana, una representación unidimensional real que no se transforma.
• En dos dimensiones euclidianas, el espinor de Weyl zurdo y el dextrógiro son representaciones complejas de 1 componente , es decir, números complejos que se multiplican por e ^{± iφ /2} bajo una rotación de ángulo φ .
• En 3 dimensiones euclidianas, la representación de un único espinor es bidimensional y cuaterniónica . La existencia de espinores en 3 dimensiones se desprende del isomorfismo de los grupos SU(2) ≅ Spin(3) que permite definir la acción de Spin(3) sobre una columna compleja de 2 componentes (un espinor); los generadores de SU(2) pueden escribirse como matrices de Pauli .
• En 4 dimensiones euclidianas, el isomorfismo correspondiente es Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2) . Hay dos espinores de Weyl cuaterniónicos de 2 componentes no equivalentes y cada uno de ellos se transforma solo bajo uno de los factores SU(2).
• En 5 dimensiones euclidianas, el isomorfismo relevante es Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2), lo que implica que la representación del espinor único es 4-dimensional y cuaterniónica.
• En 6 dimensiones euclidianas, el isomorfismo Spin(6) ≅ SU(4) garantiza que hay dos representaciones de Weyl complejas de 4 dimensiones que son conjugados complejos entre sí.
• En 7 dimensiones euclidianas, la representación de espinor único es de 8 dimensiones y real; no existen isomorfismos a un álgebra de Lie de otra serie (A o C) a partir de esta dimensión.
• En 8 dimensiones euclidianas, hay dos representaciones reales de 8 dimensiones de Weyl-Majorana que están relacionadas con la representación vectorial real de 8 dimensiones por una propiedad especial de Spin(8) llamada trialidad .
• En d  + 8 dimensiones, el número de representaciones de espinores irreducibles distintas y su realidad (ya sean reales, pseudorreales o complejas) imita la estructura en d dimensiones, pero sus dimensiones son 16 veces mayores; esto permite comprender todos los casos restantes. Véase la periodicidad de Bott .
• En los espacio-tiempos con p direcciones espaciales y q temporales, las dimensiones vistas como dimensiones sobre los números complejos coinciden con el caso del espacio euclidiano ( p  +  q ) -dimensional, pero las proyecciones de la realidad imitan la estructura en dimensiones euclidianas | p  −  q | . Por ejemplo, en 3 + 1 dimensiones hay dos espinores complejos de Weyl no equivalentes (como en 2 dimensiones) de 2 componentes (como en 4 dimensiones), lo que se sigue del isomorfismo SL(2,  ) ≅ Spin(3,1) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Véase también

• Alguien
• Ecuación de Dirac en el álgebra del espacio físico
• Espinor propio
• Teoría de Einstein-Cartan
• Representación proyectiva
• Espinor puro
• Giro-1/2
• Haz espinorial
• Sobrealimentar
• Teoría de twistores
• Álgebra del espacio-tiempo

Notas

1. Los espinores en tres dimensiones son puntos de un fibrado lineal sobre una cónica en el plano proyectivo . En esta imagen, que está asociada a los espinores de un espacio pseudoeuclidiano tridimensional de signatura (1,2), la cónica es una cónica real ordinaria (aquí el círculo), el fibrado lineal es el fibrado de Möbius y el grupo de espín es SL ₂ ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . En la signatura euclidiana, el plano proyectivo, la cónica y el fibrado lineal están sobre el complejo, y esta imagen es solo una porción real.
2. Los espinores siempre se pueden definir sobre los números complejos. Sin embargo, en algunas firmas existen espinores reales. Los detalles se pueden encontrar en la representación del espín .
3. Una definición formal de espinores en este nivel es que el espacio de espinores es una representación lineal del álgebra de Lie de rotaciones infinitesimales de un cierto tipo .
4. "Los espinores fueron utilizados por primera vez con ese nombre por los físicos en el campo de la mecánica cuántica. En su forma más general, los espinores fueron descubiertos en 1913 por el autor de esta obra, en sus investigaciones sobre las representaciones lineales de grupos simples*; proporcionan una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número de dimensiones, teniendo cada espinor componentes donde o ." ^[2] La estrella (*) se refiere a Cartan (1913). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{\nu }}$ ${\displaystyle n=2\nu +1}$ ${\displaystyle 2\nu }$
5. Más precisamente, son los fermiones de espín 1/2 los que se describen mediante espinores, lo que es cierto tanto en la teoría relativista como en la no relativista. La función de onda del electrón no relativista tiene valores en espinores de 2 componentes que se transforman bajo rotaciones infinitesimales tridimensionales. La ecuación de Dirac relativista para el electrón es una ecuación para espinores de 4 componentes que se transforman bajo transformaciones infinitesimales de Lorentz, para las cuales existe una teoría de espinores sustancialmente similar.
6. Formalmente, el grupo de espín es el grupo de clases de homotopía relativa con puntos finales fijos en el grupo de rotación.
7. Más formalmente, el espacio de espinores puede definirse como una representación ( irreducible ) del grupo de espín que no se factoriza a través de una representación del grupo de rotación (en general, el componente conexo de la identidad del grupo ortogonal ).
8. Álgebra geométrica es el nombre que se le da al álgebra de Clifford en un entorno aplicado.
9. Las matrices de Pauli corresponden a operadores de momento angular respecto de los tres ejes de coordenadas. Esto las convierte en matrices gamma ligeramente atípicas porque, además de su relación de anticonmutación, también satisfacen relaciones de conmutación.
10. La firma métrica también es relevante si nos ocupamos de espinores reales. Véase representación de espín .
11. La descomposición de la representación depende de si se considera como representación del grupo de espín (o de su álgebra de Lie), en cuyo caso se descompone en dimensiones pares pero no impares, o del álgebra de Clifford cuando es al revés. También pueden existir otras estructuras distintas a esta descomposición; los criterios precisos se tratan en representación de espín y álgebra de Clifford .
12. El marco TNB de la cinta define una rotación continua para cada valor del parámetro de longitud del arco.
13. matrices hermíticas complejas sin traza de 2×2 .
14. Excepto un núcleo correspondiente a los dos elementos diferentes del grupo de espín que van a la misma rotación. ^[4] ${\displaystyle \{\pm 1\}}$
15. Por lo tanto, la ambigüedad en la identificación de los espinores mismos persiste desde el punto de vista de la teoría de grupos, y todavía depende de elecciones.
16. Al álgebra de Clifford se le puede dar una clasificación par/impar a partir de la paridad del grado en las gammas, y tanto el grupo de espín como su álgebra de Lie se encuentran en la parte par. El hecho de que aquí nos refiramos a representaciones del grupo de espín o del álgebra de Clifford afectará la determinación de su reducibilidad. También pueden existir otras estructuras además de esta división; los criterios precisos se tratan en representación de espín y álgebra de Clifford .
17. Más precisamente, el electrón comienza como dos espinores de Weyl sin masa, uno levógiro y otro dextrógiro. Al romperse la simetría, ambos ganan masa y se acoplan para formar un espinor de Dirac.
18. Las matrices de dimensión N  ×  N en las que sólo los elementos de la columna izquierda son distintos de cero forman un ideal izquierdo en el álgebra matricial N  ×  N Mat( N ,  ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ – multiplicando dicha matriz M desde la izquierda con cualquier matriz N  ×  N A se obtiene el resultado AM que es de nuevo una matriz N  ×  N en la que sólo los elementos de la columna izquierda son distintos de cero. Además, se puede demostrar que es un ideal izquierdo mínimo . ^[19]
19. Estos son los espinores de Weyl dextrógiros en dos dimensiones. Para los espinores de Weyl zurdos, la representación es mediante γ ( ϕ ) =  γ ϕ . Los espinores de Majorana son la representación real subyacente común para las representaciones de Weyl.
20. Dado que, para un cuerpo oblicuo , el núcleo de la representación debe ser trivial, las representaciones no equivalentes solo pueden surgir mediante un automorfismo del cuerpo oblicuo. En este caso, hay un par de representaciones equivalentes: γ ( ϕ ) = γϕ , y su conjugado cuaterniónico γ ( ϕ ) =  ϕ γ .
21. Los espinores complejos se obtienen como representaciones del producto tensorial = Mat ₂ ( ) . Estos se consideran con más detalle en espinores en tres dimensiones . ${\displaystyle \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Referencias

1. Cartan 1913.
2. Cita de Elie Cartan: La teoría de los espinores , Hermann, París, 1966, primera oración de la sección Introducción al comienzo del libro, antes de que comiencen los números de página.
3. Rukhsan-Ul-Haq (diciembre de 2016). "Geometría del espín: enfoque algebraico de Clifford". Resonancia . 21 (12): 1105–1117. doi :10.1007/s12045-016-0422-5. S2CID  126053475.
4. Para más detalles, véase Eberlein, WF (1962). "El modelo de espín del espacio tridimensional euclidiano". The American Mathematical Monthly . 69 (7): 587–598. doi :10.2307/2310821.
5. Lleva el nombre de William Kingdon Clifford ,
6. Nombrado en honor a Ettore Majorana .
7. Francis, Matthew R.; Kosowsky, Arthur (2005) [20 de marzo de 2004]. "La construcción de espinores en álgebra geométrica". Anales de Física . 317 (2): 383–409. arXiv : math-ph/0403040 . Código Bibliográfico :2005AnPhy.317..383F. doi :10.1016/j.aop.2004.11.008. S2CID  119632876.
8. Wilczek, Frank (2009). "Majorana regresa". Nature Physics . 5 (9). Macmillan Publishers : 614–618. Bibcode :2009NatPh...5..614W. doi :10.1038/nphys1380. ISSN  1745-2473.
9. Xu, Yang-Su; et al. (2015). "Descubrimiento de un semimetal de fermión de Weyl y arcos de Fermi topológicos". Revista Science . 349 (6248). AAAS : 613–617. arXiv : 1502.03807 . Bibcode :2015Sci...349..613X. doi :10.1126/science.aaa9297. ISSN  0036-8075. PMID  26184916. S2CID  206636457.
10. Jean Hladik: Spinors in Physics , traducido por JM Cole, Springer 1999, ISBN 978-0-387-98647-0 , pág. 3 
11. Farmelo, Graham (2009). El hombre más extraño: La vida oculta de Paul Dirac, genio cuántico . Faber & Faber. p. 430. ISBN 978-0-571-22286-5.
12. Cartan 1913
13. Tomonaga 1998, pág. 129
14. Pauli 1927.
15. Dirac 1928.
16. Juvet, G. (1930). "Operadores de Dirac y ecuaciones de Maxwell". Commentarii Mathematici Helvetici (en francés). 2 : 225–235. doi :10.1007/BF01214461. S2CID  121226923.
17. Sauter, F. (1930). "Lösung der Diracschen Gleichungen ohne Spezialisierung der Diracschen Operadores". Zeitschrift für Physik . 63 (11–12): 803–814. Código Bib : 1930ZPhy...63..803S. doi :10.1007/BF01339277. S2CID  122940202.
18. Pertti Lounesto: Bivectores y espinores de Crumeyrolle , pp. 137–166, En: Rafał Abłamowicz, Pertti Lounesto (eds.): Álgebras de Clifford y estructuras de espinores: Un volumen especial dedicado a la memoria de Albert Crumeyrolle (1919–1992) , ISBN 0-7923-3366-7 , 1995, p. 151 
19. Véase también: Pertti Lounesto: Álgebras y espinores de Clifford , London Mathematical Society Lecture Notes Series 286, Cambridge University Press, segunda edición 2001, ISBN 978-0-521-00551-7 , pág. 52 
20. Pertti Lounesto: Álgebras de Clifford y espinores , London Mathematical Society Lecture Notes Series 286, Cambridge University Press, segunda edición 2001, ISBN 978-0-521-00551-7 , pág. 148 y siguientes y pág. 327 y siguientes. 
21. D. Hestenes: Álgebra espacio-temporal , Gordon y Breach, Nueva York, 1966, 1987, 1992
22. Hestenes, D. (1967). "Campos de espinores reales" (PDF) . J. Math. Phys. 8 (4): 798–808. Bibcode :1967JMP.......8..798H. doi : 10.1063/1.1705279 . S2CID  13371668.
23. Esta construcción se debe a Cartan (1913). El tratamiento que aquí se hace se basa en Chevalley (1996).
24. Una fuente para esta subsección es Fulton y Harris (1991).
25. Jürgen Jost, "Geometría riemanniana y análisis geométrico" (2002) Springer-Verlag Univeritext ISBN 3-540-42627-2 . Véase el capítulo 1. 
26. A través del álgebra de Clifford de grado uniforme.
27. Lawson y Michelsohn 1989, Apéndice D.
28. Brauer y Weyl 1935.

Obras citadas

• Brauer, Richard ; Weyl, Hermann (1935). "Espinores en n dimensiones". American Journal of Mathematics . 57 (2). Prensa de la Universidad Johns Hopkins: 425–449. doi :10.2307/2371218. JSTOR  2371218.
• Cartan, Élie (1913). "Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. P.​ 41 : 53–96. doi : 10.24033/bsmf.916 .
• Chevalley, Claude (1996) [1954]. La teoría algebraica de los espinores y las álgebras de Clifford (edición reimpresa). Columbia University Press (1954); Springer (1996). ISBN 978-3-540-57063-9.
• Dirac, Paul M. (1928). "La teoría cuántica del electrón". Actas de la Royal Society of London A . 117 (778): 610–624. Bibcode :1928RSPSA.117..610D. doi : 10.1098/rspa.1928.0023 . JSTOR  94981.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 0-387-97495-4.Señor 1153249  .
• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría del espín . Princeton University Press. ISBN 0-691-08542-0.
• Pauli, Wolfgang (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik . 43 (9–10): 601–632. Código bibliográfico : 1927ZPhy...43..601P. doi :10.1007/BF01397326. S2CID  128228729.
• Tomonaga, Sin-Itiro (1998). "Conferencia 7: La cantidad que no es ni vector ni tensor". La historia del espín . University of Chicago Press. pág. 129. ISBN 0-226-80794-0.

Lectura adicional

• Cartan, Élie (1981) [1966]. La teoría de los espinores (edición reimpresa). París, FR: Hermann (1966); Dover Publications (1981). ISBN 978-0-486-64070-9.
• Gilkey, Peter B. (1984). Teoría de la invariancia: la ecuación del calor y el teorema del índice de Atiyah-Singer. Publicar o perecer. ISBN 0-914098-20-9.
• Harvey, F. Reese (1990). Espinores y calibraciones . Academic Press. ISBN 978-0-12-329650-4.
• Hitchin, Nigel J. (1974). "Espinores armónicos". Avances en Matemáticas . 14 : 1–55. doi : 10.1016/0001-8708(74)90021-8 . MR  0358873.
• Penrose, Roger ; Rindler, W. (1988). Métodos de espinores y twistores en geometría del espacio-tiempo . Spinors and Space-Time. Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-34786-6.