Superficie K3

Tipo de superficie compleja lisa de dimensión kodaira 0

Superficie cuártica lisa en el espacio tridimensional. La figura muestra parte de los puntos reales (de dimensión real 2) en una determinada superficie compleja K3 (de dimensión compleja 2, por lo tanto, de dimensión real 4).

En la segunda parte de nuestra relación, se agitan las variedades de kählériennes dites K3, además de los nominados en honor de Kummer, Kähler, Kodaira y la bella montaña K2 au Cachemire.

En la segunda parte de mi informe, nos ocupamos de las variedades Kähler conocidas como K3, nombradas en honor de Kummer , Kähler , Kodaira y de la hermosa montaña K2 en Cachemira .

André Weil (1958, p. 546), describiendo el motivo del nombre "superficie K3"

En matemáticas , una superficie analítica compleja K3 es una variedad compleja conexa compacta de dimensión 2 con un fibrado canónico trivial e irregularidad cero. Una superficie K3 (algebraica) sobre cualquier cuerpo significa una superficie algebraica lisa , propia y geométricamente conexa que satisface las mismas condiciones. En la clasificación de superficies de Enriques-Kodaira, las superficies K3 forman una de las cuatro clases de superficies mínimas de dimensión cero de Kodaira . Un ejemplo simple es la superficie cuártica de Fermat.

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$

en 3-espacio proyectivo complejo .

Junto con los toros complejos compactos bidimensionales , las superficies K3 son las variedades de Calabi–Yau (y también las variedades de hyperkähler ) de dimensión dos. Como tales, están en el centro de la clasificación de superficies algebraicas, entre las superficies de del Pezzo de curvatura positiva (que son fáciles de clasificar) y las superficies de curvatura negativa de tipo general (que son esencialmente inclasificables). Las superficies K3 pueden considerarse las variedades algebraicas más simples cuya estructura no se reduce a curvas o variedades abelianas , y sin embargo donde es posible una comprensión sustancial. Una superficie K3 compleja tiene dimensión real 4, y juega un papel importante en el estudio de 4-variedades suaves . Las superficies K3 se han aplicado a las álgebras de Kac–Moody , la simetría especular y la teoría de cuerdas .

Puede resultar útil pensar en las superficies K3 algebraicas complejas como parte de la familia más amplia de superficies K3 analíticas complejas. Muchos otros tipos de variedades algebraicas no tienen esas deformaciones no algebraicas.

Definición

Existen varias formas equivalentes de definir superficies K3. Las únicas superficies complejas compactas con fibrado canónico trivial son las superficies K3 y los toros complejos compactos, por lo que se puede añadir cualquier condición que excluya estos últimos para definir superficies K3. Por ejemplo, es equivalente definir una superficie analítica compleja K3 como una variedad compleja compacta simplemente conexa de dimensión 2 con una 2-forma holomorfa que no desaparece en ninguna parte . (La última condición dice exactamente que el fibrado canónico es trivial).

También existen algunas variantes de la definición. Sobre los números complejos, algunos autores consideran únicamente las superficies algebraicas K3. (Una superficie algebraica K3 es automáticamente proyectiva . ^[1] ) O se puede permitir que las superficies K3 tengan singularidades de du Val (las singularidades canónicas de dimensión 2), en lugar de ser suaves.

Cálculo de los números de Betti

Los números de Betti de una superficie analítica compleja K3 se calculan de la siguiente manera. ^[2] (Un argumento similar da la misma respuesta para los números de Betti de una superficie algebraica K3 sobre cualquier cuerpo, definido usando cohomología l-ádica ). Por definición, el fibrado canónico es trivial y la irregularidad q ( X ) (la dimensión del grupo de cohomología de haces coherentes ) es cero. Por dualidad de Serre , ${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{2}}$ ${\displaystyle h^{1}(X,O_{X})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X})}$

${\displaystyle h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.}$

Como resultado, el género aritmético (o característica de Euler holomórfica ) de X es:

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.}$

Por otra parte, el teorema de Riemann-Roch (fórmula de Noether) dice:

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),}$

donde es la i - ésima clase de Chern del fibrado tangente . Como es trivial, su primera clase de Chern es cero, y por lo tanto . ${\displaystyle c_{i}(X)}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)}$ ${\displaystyle c_{2}(X)=24}$

A continuación, la secuencia exponencial da una secuencia exacta de grupos de cohomología , y por lo tanto . Por lo tanto, el número de Betti es cero y, por la dualidad de Poincaré , también es cero. Finalmente, es igual a la característica topológica de Euler ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0}$ ${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )=0}$ ${\displaystyle b_{1}(X)}$ ${\displaystyle b_{3}(X)}$ ${\displaystyle c_{2}(X)=24}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}b_{i}(X).}$

Dado que y , se deduce que . ^[3] ${\displaystyle b_{0}(X)=b_{4}(X)=1}$ ${\displaystyle b_{1}(X)=b_{3}(X)=0}$ ${\displaystyle b_{2}(X)=22}$

Propiedades

• Dos superficies analíticas complejas K3 son difeomorfas como 4-variedades suaves, por Kunihiko Kodaira . ^[4]
• Toda superficie analítica compleja K3 tiene una métrica de Kähler , según Yum-Tong Siu . ^[5] (De manera análoga, pero mucho más fácil: toda superficie algebraica K3 sobre un cuerpo es proyectiva). Por la solución de Shing-Tung Yau a la conjetura de Calabi , se deduce que toda superficie analítica compleja K3 tiene una métrica de Kähler plana de Ricci .
• Los números de Hodge de cualquier superficie K3 se enumeran en el diamante de Hodge:

  Una forma de demostrar esto es calcular el ideal jacobiano de una superficie K3 específica y luego usar una variación de la estructura de Hodge en los módulos de superficies K3 algebraicas para demostrar que todas esas superficies K3 tienen los mismos números de Hodge. Se puede hacer un cálculo más sencillo utilizando el cálculo de los números de Betti junto con las partes de la estructura de Hodge calculadas para una superficie K3 arbitraria. En este caso, la simetría de Hodge fuerza , por lo tanto . Para superficies K3 en característica p > 0, esto fue demostrado por primera vez por Alexey Rudakov e Igor Shafarevich . ^[6] ${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{0}(X;\Omega _{X}^{2})\cong \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong \mathbb {C} ^{20}}$

• Para una superficie analítica compleja K3 X , la forma de intersección (o producto de copa ) en es una forma bilineal simétrica con valores en números enteros, conocida como red K3 . Esta es isomorfa a la red unimodular par , o equivalentemente , donde U es la red hiperbólica de rango 2 y es la red E8 . ^[7] ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$ ${\displaystyle \operatorname {II} _{3,19}}$ ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$ ${\displaystyle E_{8}}$
• La conjetura 11/8 de Yukio Matsumoto predice que cada variedad de 4-variedades X con una orientación suave y una forma de intersección par tiene un segundo número de Betti al menos 11/8 veces el valor absoluto de la signatura . Esto sería óptimo si fuera cierto, ya que la igualdad se cumple para una superficie compleja K3, que tiene una signatura 3−19 = −16. La conjetura implicaría que cada variedad de 4-variedades simplemente conexas suave y con una forma de intersección par es homeomorfa a una suma conexa de copias de la superficie K3 y de . ^[8] ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$
• Toda superficie compleja que es difeomorfa con respecto a una superficie K3 es una superficie K3, según Robert Friedman y John Morgan . Por otro lado, existen superficies complejas suaves (algunas de ellas proyectivas) que son homeomorfas pero no difeomorfas con respecto a una superficie K3, según Kodaira y Michael Freedman . ^[9] Todas estas "superficies homotópicas K3" tienen dimensión 1 de Kodaira.

Ejemplos

• La doble cobertura X del plano proyectivo ramificado a lo largo de una curva suave séxtica (grado 6) es una superficie K3 de género 2 (es decir, grado 2 g −2 = 2). (Esta terminología significa que la imagen inversa en X de un hiperplano general en es una curva suave de género 2.) ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$
• Una superficie cuártica lisa (grado 4) es una superficie K3 de género 3 (es decir, grado 4). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$
• Una superficie de Kummer es el cociente de una variedad abeliana bidimensional A por la acción . Esto da como resultado 16 singularidades, en los puntos de 2-torsiones de A . La resolución mínima de esta superficie singular también puede llamarse superficie de Kummer; esa resolución es una superficie K3. Cuando A es el jacobiano de una curva de género 2, Kummer demostró que el cociente puede integrarse en una superficie cuártica con 16 nodos . ${\displaystyle a\mapsto -a}$ ${\displaystyle A/(\pm 1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$
• De manera más general: para cualquier superficie cuártica Y con singularidades de du Val, la resolución mínima de Y es una superficie algebraica K3.
• La intersección de una cuádrica y una cúbica es una superficie K3 de género 4 (es decir, grado 6). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$
• La intersección de tres cuádricas en es una superficie K3 de género 5 (es decir, grado 8). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$
• Existen varias bases de datos de superficies K3 con singularidades de du Val en espacios proyectivos ponderados . ^[10]

La celosía de Picard

El grupo de Picard Pic( X ) de una superficie analítica compleja K3 X significa el grupo abeliano de fibrados lineales analíticos complejos en X . Para una superficie algebraica K3, Pic( X ) significa el grupo de fibrados lineales algebraicos en X . Las dos definiciones concuerdan para una superficie algebraica compleja K3, por el teorema GAGA de Jean-Pierre Serre .

El grupo de Picard de una superficie K3 X es siempre un grupo abeliano libre finitamente generado ; su rango se llama número de Picard . En el caso complejo, Pic( X ) es un subgrupo de . Una característica importante de las superficies K3 es que pueden darse muchos números de Picard diferentes. Para X, una superficie K3 algebraica compleja, puede ser cualquier número entero entre 1 y 20. En el caso analítico complejo, también puede ser cero. (En ese caso, X no contiene ninguna curva compleja cerrada. Por el contrario, una superficie algebraica siempre contiene muchas familias continuas de curvas). Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 0, existe una clase especial de superficies K3, las superficies K3 supersingulares , con número de Picard 22. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

La red de Picard de una superficie K3 significa el grupo abeliano Pic( X ) junto con su forma de intersección, una forma bilineal simétrica con valores en los enteros. (Sobre , la forma de intersección significa la restricción de la forma de intersección en . Sobre un cuerpo general, la forma de intersección se puede definir utilizando la teoría de intersección de curvas en una superficie, identificando el grupo de Picard con el grupo de clase divisor ). La red de Picard de una superficie K3 es siempre par , lo que significa que el entero es par para cada . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$

El teorema del índice de Hodge implica que la red de Picard de una superficie algebraica K3 tiene la firma . Muchas propiedades de una superficie K3 están determinadas por su red de Picard, como una forma bilineal simétrica sobre los números enteros. Esto conduce a una fuerte conexión entre la teoría de superficies K3 y la aritmética de formas bilineales simétricas. Como primer ejemplo de esta conexión: una superficie analítica compleja K3 es algebraica si y solo si hay un elemento con . ^[11] ${\displaystyle (1,\rho -1)}$ ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle u^{2}>0}$

En términos generales, el espacio de todas las superficies analíticas complejas K3 tiene dimensión compleja 20, mientras que el espacio de las superficies K3 con número de Picard tiene dimensión (excluyendo el caso supersingular). En particular, las superficies algebraicas K3 se dan en familias de 19 dimensiones. A continuación se ofrecen más detalles sobre los espacios de módulos de las superficies K3. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 20-\rho }$

La descripción precisa de qué redes pueden presentarse como redes de Picard de superficies K3 es complicada. Una afirmación clara, debida a Viacheslav Nikulin y David Morrison , es que cada red par de firma con es la red de Picard de alguna superficie proyectiva compleja K3. ^[12] El espacio de tales superficies tiene dimensión . ${\displaystyle (1,\rho -1)}$ ${\displaystyle \rho \leq 11}$ ${\displaystyle 20-\rho }$

Superficies elípticas K3

Una subclase importante de superficies K3, más fácil de analizar que el caso general, consiste en las superficies K3 con una fibración elíptica . "Elíptica" significa que todas las fibras, excepto un número finito de fibras de este morfismo, son curvas suaves de género 1. Las fibras singulares son uniones de curvas racionales , con los posibles tipos de fibras singulares clasificados por Kodaira. Siempre hay algunas fibras singulares, ya que la suma de las características topológicas de Euler de las fibras singulares es . Una superficie K3 elíptica general tiene exactamente 24 fibras singulares, cada una de tipo (una curva cúbica nodal). ^[13] ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \chi (X)=24}$ ${\displaystyle I_{1}}$

Si una superficie K3 es elíptica se puede leer a partir de su red Picard. Es decir, en característica no 2 o 3, una superficie K3 X tiene una fibración elíptica si y solo si hay un elemento distinto de cero con . ^[14] (En característica 2 o 3, la última condición también puede corresponder a una fibración cuasi-elíptica .) De ello se deduce que tener una fibración elíptica es una condición de codimensión-1 en una superficie K3. Por lo tanto, hay familias de 19 dimensiones de superficies analíticas complejas K3 con una fibración elíptica y espacios de módulos de 18 dimensiones de superficies proyectivas K3 con una fibración elíptica. ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle u^{2}=0}$

Ejemplo: Toda superficie cuártica suave X que contiene una línea L tiene una fibración elíptica , dada por la proyección desde L . El espacio de módulos de todas las superficies cuárticas suaves (hasta el isomorfismo) tiene dimensión 19, mientras que el subespacio de las superficies cuárticas que contienen una línea tiene dimensión 18. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$

Curvas racionales en superficies K3

A diferencia de las variedades de curvatura positiva, como las superficies de del Pezzo, una superficie algebraica compleja K3 X no es uniregulada ; es decir, no está cubierta por una familia continua de curvas racionales. Por otro lado, a diferencia de las variedades de curvatura negativa, como las superficies de tipo general, X contiene un gran conjunto discreto de curvas racionales (posiblemente singulares). En particular, Fedor Bogomolov y David Mumford demostraron que cada curva en X es linealmente equivalente a una combinación lineal positiva de curvas racionales. ^[15]

Otro contraste con las variedades de curvatura negativa es que la métrica de Kobayashi en una superficie analítica compleja K3 X es idénticamente cero. La prueba utiliza que una superficie algebraica K3 X siempre está cubierta por una familia continua de imágenes de curvas elípticas. ^[16] (Estas curvas son singulares en X , a menos que X sea una superficie elíptica K3). Una pregunta más fuerte que permanece abierta es si cada superficie compleja K3 admite una función holomórfica no degenerada de (donde "no degenerada" significa que la derivada de la función es un isomorfismo en algún punto). ^[17] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

El mapa del periodo

Definamos un marcado de una superficie analítica compleja K3 X como un isomorfismo de redes desde hasta la red K3 . El espacio N de superficies complejas K3 marcadas es una variedad compleja no Hausdorff de dimensión 20. ^[18] El conjunto de clases de isomorfismo de superficies analíticas complejas K3 es el cociente de N por el grupo ortogonal , pero este cociente no es un espacio de módulos geométricamente significativo, porque la acción de está lejos de ser propiamente discontinua . ^{[19] (Por ejemplo, el espacio de superficies cuárticas suaves es irreducible de dimensión 19, y sin embargo cada superficie analítica compleja K3 en la familia} N de 20 dimensiones tiene deformaciones arbitrariamente pequeñas que son isomorfas a las cuárticas suaves. ^[20] ) Por la misma razón, no hay un espacio de módulos significativo de toros complejos compactos de dimensión al menos 2. ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$ ${\displaystyle O(\Lambda )}$ ${\displaystyle O(\Lambda )}$

La función de período envía una superficie K3 a su estructura de Hodge . Si se enuncia con cuidado, el teorema de Torelli se cumple: una superficie K3 está determinada por su estructura de Hodge. El dominio del período se define como la variedad compleja de 20 dimensiones.

${\displaystyle D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathbb {C} ):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}}>0\}.}$

La aplicación de período envía una superficie K3 marcada X a la línea compleja . Esto es sobreyectivo y un isomorfismo local, pero no un isomorfismo (en particular porque D es Hausdorff y N no lo es). Sin embargo, el teorema global de Torelli para superficies K3 dice que la aplicación cociente de conjuntos ${\displaystyle N\to D}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )\cong \Lambda \otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle N/O(\Lambda )\to D/O(\Lambda )}$

es biyectiva. De ello se deduce que dos superficies analíticas complejas K3 X e Y son isomorfas si y solo si existe una isometría de Hodge de a , es decir, un isomorfismo de grupos abelianos que conserva la forma de intersección y envía a . ^[21] ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H^{0}(Y,\Omega ^{2})}$

Espacios de módulos de superficies proyectivas K3

Una superficie K3 polarizada X de género g se define como una superficie K3 proyectiva junto con un fibrado lineal amplio L tal que L es primitivo (es decir, no 2 o más veces otro fibrado lineal) y . Esto también se denomina superficie K3 polarizada de grado 2 g −2. ^[22] ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$

Bajo estos supuestos, L no tiene puntos base . En la característica cero, el teorema de Bertini implica que existe una curva suave C en el sistema lineal | L |. Todas estas curvas tienen género g , lo que explica por qué se dice que ( X , L ) tiene género g .

El espacio vectorial de secciones de L tiene dimensión g + 1, por lo que L da un morfismo de X al espacio proyectivo . En la mayoría de los casos, este morfismo es una incrustación, de modo que X es isomorfo a una superficie de grado 2 g −2 en . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$

Hay un espacio de módulos grueso irreducible de superficies complejas polarizadas K3 de género g para cada ; puede verse como un subconjunto abierto de Zariski de una variedad de Shimura para el grupo SO (2,19) . Para cada g , es una variedad compleja cuasi-proyectiva de dimensión 19. ^[23] Shigeru Mukai demostró que este espacio de módulos es uniracional si o . Por el contrario, Valery Gritsenko, Klaus Hulek y Gregory Sankaran demostraron que es de tipo general si o . Voisin (2008) realizó un estudio de esta área. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle g\leq 13}$ ${\displaystyle g=18,20}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 63}$ ${\displaystyle g=47,51,55,58,59,61}$

Los diferentes espacios de módulos de 19 dimensiones se superponen de una manera intrincada. De hecho, hay un conjunto infinito numerable de subvariedades de codimensión-1 de cada una correspondientes a superficies K3 de número de Picard al menos 2. Esas superficies K3 tienen polarizaciones de infinitos grados diferentes, no solo 2 g –2. Por lo tanto, se puede decir que infinitos de los otros espacios de módulos se encuentran con . Esto es impreciso, ya que no hay un espacio de buen comportamiento que contenga todos los espacios de módulos . Sin embargo, una versión concreta de esta idea es el hecho de que dos superficies K3 algebraicas complejas cualesquiera son equivalentes en deformación a través de superficies K3 algebraicas. ^[24] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$

En términos más generales, una superficie K3 cuasipolarizada de género g significa una superficie K3 proyectiva con un nef primitivo y un fibrado lineal grande L tal que . Un fibrado lineal de este tipo todavía da un morfismo a , pero ahora puede contraer un número finito de (−2)-curvas, de modo que la imagen Y de X es singular. (Una (−2)-curva en una superficie significa una curva isomorfa a con autointersección −2.) El espacio de módulos de superficies K3 cuasipolarizadas de género g sigue siendo irreducible de dimensión 19 (que contiene el espacio de módulos anterior como un subconjunto abierto). Formalmente, funciona mejor verlo como un espacio de módulos de superficies K3 Y con singularidades du Val. ^[25] ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

El cono amplio y el cono de curvas

Una característica notable de las superficies algebraicas K3 es que la red de Picard determina muchas propiedades geométricas de la superficie, incluido el cono convexo de divisores amplios (hasta automorfismos de la red de Picard). El cono amplio está determinado por la red de Picard de la siguiente manera. Por el teorema del índice de Hodge, la forma de intersección en el espacio vectorial real tiene signatura . De ello se deduce que el conjunto de elementos de con autointersección positiva tiene dos componentes conexos . Llamemos cono positivo al componente que contiene cualquier divisor amplio en X . ${\displaystyle N^{1}(X):=\operatorname {Pic} (X)\otimes \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,\rho -1)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

Caso 1: No existe ningún elemento u de Pic( X ) con . Entonces el cono amplio es igual al cono positivo. Por lo tanto, es el cono redondo estándar. ${\displaystyle u^{2}=-2}$

Caso 2: De lo contrario, sea , el conjunto de raíces de la red de Picard. Los complementos ortogonales de las raíces forman un conjunto de hiperplanos que pasan todos por el cono positivo. Entonces el cono amplio es un componente conexo del complemento de estos hiperplanos en el cono positivo. Cualesquiera dos de estos componentes son isomorfos a través del grupo ortogonal de la red Pic( X ), ya que este contiene la reflexión a través de cada hiperplano raíz. En este sentido, la red de Picard determina el cono amplio hasta el isomorfismo. ^[26] ${\displaystyle \Delta =\{u\in \operatorname {Pic} (X):u^{2}=-2\}}$

Una afirmación relacionada, debida a Sándor Kovács, es que conocer un divisor amplio A en Pic( X ) determina todo el cono de curvas de X . Es decir, supongamos que X tiene número de Picard . Si el conjunto de raíces está vacío, entonces el cono cerrado de curvas es el cierre del cono positivo. De lo contrario, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado abarcado por todos los elementos con . En el primer caso, X no contiene (−2)-curvas; en el segundo caso, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado abarcado por todas las (−2)-curvas. ^[27] (Si , hay otra posibilidad: el cono de curvas puede estar abarcado por una (−2)-curva y una curva con autointersección 0.) Por lo tanto, el cono de curvas es el cono redondo estándar o tiene "esquinas agudas" (porque cada (−2)-curva abarca un rayo extremal aislado del cono de curvas). ${\displaystyle \rho \geq 3}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle u\in \Delta }$ ${\displaystyle A\cdot u>0}$ ${\displaystyle \rho =2}$

Grupo de automorfismos

Las superficies K3 son algo inusuales entre las variedades algebraicas en el sentido de que sus grupos de automorfismos pueden ser infinitos, discretos y altamente no abelianos. Por una versión del teorema de Torelli, la red de Picard de una superficie K3 algebraica compleja X determina el grupo de automorfismos de X hasta la conmensurabilidad . Es decir, sea el grupo de Weyl W el subgrupo del grupo ortogonal O (Pic( X )) generado por reflexiones en el conjunto de raíces . Entonces W es un subgrupo normal de O (Pic( X )), y el grupo de automorfismos de X es conmensurable con el grupo cociente O (Pic( X ))/ W . Una afirmación relacionada, debida a Hans Sterk, es que Aut( X ) actúa sobre el cono nef de X con un dominio fundamental poliédrico racional . ^[28] ${\displaystyle \Delta }$

Relación con la dualidad de cuerdas

Las superficies K3 aparecen casi ubicuamente en la dualidad de cuerdas y proporcionan una herramienta importante para su comprensión. Las compactificaciones de cuerdas en estas superficies no son triviales, pero son lo suficientemente simples como para analizar la mayoría de sus propiedades en detalle. La cuerda de tipo IIA, la cuerda de tipo IIB, la cuerda heterótica E ₈ × E ₈ , la cuerda heterótica Spin(32)/Z2 y la teoría M están relacionadas por compactificación en una superficie K3. Por ejemplo, la cuerda de tipo IIA compactificada en una superficie K3 es equivalente a la cuerda heterótica compactificada en un 4-toro (Aspinwall (1996)).

Historia

Las superficies cuárticas en fueron estudiadas por Ernst Kummer , Arthur Cayley , Friedrich Schur y otros geómetras del siglo XIX. De manera más general, Federigo Enriques observó en 1893 que para varios números g , existen superficies de grado 2 g −2 en con fibrado canónico trivial e irregularidad cero. ^[29] En 1909, Enriques demostró que tales superficies existen para todos los , y Francesco Severi demostró que el espacio de módulos de tales superficies tiene dimensión 19 para cada g . ^[30] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$ ${\displaystyle g\geq 3}$

André Weil (1958) dio a las superficies K3 su nombre (ver la cita anterior) y formuló varias conjeturas influyentes sobre su clasificación. Kunihiko Kodaira completó la teoría básica alrededor de 1960, en particular, realizó el primer estudio sistemático de superficies K3 analíticas complejas que no son algebraicas. Demostró que dos superficies K3 analíticas complejas cualesquiera son equivalentes en cuanto a deformación y, por lo tanto, difeomórficas, lo que era nuevo incluso para las superficies K3 algebraicas. Un avance posterior importante fue la demostración del teorema de Torelli para superficies K3 algebraicas complejas por Ilya Piatetski-Shapiro e Igor Shafarevich (1971), ampliada a las superficies K3 analíticas complejas por Daniel Burns y Michael Rapoport (1975).

Véase también

• Superficie de Enriques
• Conjetura de Tate
• Luz de luna de Mathieu , una misteriosa relación entre las superficies K3 y el grupo Mathieu M24 .

Notas

1. Huybrechts (2016), Observación 1.1.2
2. Huybrechts (2016), sección 2.3.
3. Huybrechts (2016), sección 2.4.
4. Huybrechts (2016), Teorema 7.1.1.
5. Barth y col. (2004), sección IV.3.
6. Huybrechts (2016), Teorema 9.5.1.
7. Huybrechts (2016), Proposición 3.3.5.
8. Scorpan (2005), sección 5.3.
9. Huybrechts (2016), Observación 1.3.6 (ii).
10. Base de datos de anillos graduados; Base de datos K3 para Magma.
11. Barth y col. (2004), Teorema 6.1.
12. Huybrechts (2016), Corolario 14.3.1 y Observación 14.3.7.
13. Huybrechts (2016), Observación 11.1.12.
14. Huybrechts (2016), Proposición 11.1.3.
15. Huybrechts (2016), Corolario 13.1.5.
16. Kamenova et al. (2014), Corolario 2.2; Huybrechts (2016), Corolario 13.2.2.
17. Huybrechts (2016), sección 13.0.3.
18. Huybrechts (2016), sección 6.3.3.
19. Huybrechts (2016), sección 6.3.1 y observación 6.3.6.
20. Huybrechts (2016), sección 7.1.3.
21. Huybrechts (2016), Teorema 7.5.3.
22. Huybrechts (2016), Definición 2.4.1.
23. Huybrechts (2016), Corolario 6.4.4.
24. Huybrechts (2016), sección 7.1.1.
25. Huybrechts (2016), sección 5.1.4 y observación 6.4.5.
26. Huybrechts (2016), Corolario 8.2.11.
27. Huybrechts (2016), Corolario 8.3.12.
28. Huybrechts (2016), Teorema 8.4.2.
29. Enriques (1893), apartado III.6.
30. Enriques (1909); Severi (1909).

Referencias

• Aspinwall, Paul (1996), "Superficies K3 y dualidad de cuerdas", Campos, cuerdas y dualidad (Boulder, CO, 1996) , World Scientific, págs. 421–540, arXiv : hep-th/9611137 , MR  1479699
• Barth, Lobo P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / Una serie de estudios modernos en matemáticas, vol. 4, Springer , doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, Sr.  2030225
• Beauville, Arnaud (1983), "Superficies K3", seminario Bourbaki, vol. 1982/83 Exp 609, Astérisque, vol. 105, París: Société Mathématique de France , págs. 217–229, MR  0728990
• Beauville, A .; Bourguignon, J.-P. ; Demazure, M. (1985), Géométrie des superficies K3: módulos y períodos, Séminaire Palaiseau, Astérisque, vol. 126, París: Société Mathématique de France , MR  0785216
• Brown, Gavin (2007), "Una base de datos de superficies K3 polarizadas", Experimental Mathematics , 16 (1): 7–20, doi :10.1080/10586458.2007.10128983, MR  2312974, S2CID  24693572
• Quemaduras, Daniel; Rapoport, Michael (1975), "Sobre el problema de Torelli para superficies kählerian K-3", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 8 (2): 235–273, doi : 10.24033/asens.1287 , SEÑOR  0447635
• Enriques, Federigo (1893), "Richerche di geometria sulle superficie algebriche", Memorie Accademia di Torino , 2, 44 : 171–232, JFM  25.1212.02
• Enriques, Federigo (1909), "Le superficie di genere uno", Rediconti Accademia di Bologna , 13 : 25–28, JFM  40.0685.01
• Gritsenko, VA; Hulek, Klaus ; Sankaran, GK (2007), "La dimensión Kodaira de los módulos de superficies K3", Inventiones Mathematicae , 169 (3): 519–567, arXiv : math/0607339 , Bibcode :2007InMat.169..519G, doi :10.1007/s00222-007-0054-1, MR  2336040, S2CID  14877568
• Huybrechts, Daniel (2016), Lecciones sobre superficies K3 (PDF) , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 158, Cambridge University Press, ISBN 978-1107153042, Sr.  3586372
• Kamenova, Ljudmila; Lu, Steven; Verbitsky, Misha (2014), "Pseudometría de Kobayashi en variedades de hiperkähler", Journal of the London Mathematical Society , 90 (2): 436–450, arXiv : 1308.5667 , doi :10.1112/jlms/jdu038, MR  3263959, S2CID  28495199
• Mukai, Shigeru (2006), "Superficies polarizadas K3 de género trece", Espacios de módulos y geometría aritmética , Adv. Stud. Pure Math., vol. 45, Tokio: Math. Soc. Japón, págs. 315–326, MR  2310254
• Pjateckiĭ-Šapiro, II ; Šafarevič, IR (1971), "Teorema de Torelli para superficies algebraicas de tipo K3", Matemáticas de la URSS-Izvestiya , 5 (3): 547–588, Bibcode :1971IzMat...5..547P, doi :10.1070/IM1971v005n03ABEH001075, MR  0284440
• Rudakov, AN (2001) [1994], "Superficie K3", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Scorpan, Alexandru (2005), El mundo salvaje de las 4-variedades , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3749-8, Sr.  2136212
• Severi, Francesco (1909), "Le superficie algebriche con curva canonica d'ordine zero" (PDF) , Atti del Istituto Veneto , 68 : 249–260, JFM  40.0683.03
• Voisin, Claire (2008), "Géométrie des espaces de module de courbes et de marks K3 (d'après Gritsenko-Hulek-Sankaran, Farkas-Popa, Mukai, Verra, et al.)" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki . 2006/2007. Exp. 981 (317): 467–490, ISBN 978-2-85629-253-2, Sr.  2487743
• Weil, André (1958), "Informe final sobre el contrato AF 18(603)-57", Scientific works. Collected papers , vol. II, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 390–395, 545–547, ISBN 978-0-387-90330-9, Sr.  0537935

Enlaces externos

• Página de inicio de la base de datos de anillos graduados para un catálogo de superficies K3
• Base de datos K3 para el sistema de álgebra computacional Magma
• La geometría de superficies K3, conferencias de David Morrison (1988).